Математическая модель магнитного поля намагничивающего устройства конструкции В. В. Геккера Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 629.179.141.1

. Л. АХМЕДЖАНОВ А. В. ТИХОНОВ

Омский государственный университет путей сообщения

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НАМАГНИЧИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА КОНСТРУКЦИИ В. В. ГЕККЕРА_________________________

В статье приводятся результаты математического моделирования распределения составляющих магнитного поля седлообразного намагничивающего устройства конструкции В. В. Геккера. Относительная погрешность нормальной и тангенциальной составляющей поля не превышает 3—5%.

Ключевые слова: математическая модель, седлообразное намагничивающее устройство, магнитное поле, виток с током, магнитопорошковый контроль.

Как известно, магнитопорошковый контроль позволяет выявлять поверхностные и подповерхностные дефекты в ферромагнитных материалах с шириной раскрытия порядка одного микрометра. К тому же данный метод не требует больших аппаратных затрат, является наглядным, что способствует широкому распространению магнитопорошкового контроля во всех отраслях техники.

Седлообразное намагничивающее устройство (рис. 1), предложенное Виктором Вениаминовичем Геккером в 1946 году, явилось основой реализации технологии магнитопорошкового контроля ряда деталей сложной формы на подвижном составе железнодорожного транспорта, где применение типовых соленоидов невозможно. Одной из таких деталей является ось колесной пары, как одна из наиболее нагруженных и в наибольшей степени отвечающих за безопасность движения, сохранность перевозимых грузов и жизнь людей.

В настоящее время объем выпуска колесных пар постоянно растет, однако производительность и качество магнитопорошкового контроля осей по штатной деповской технологии остается на прежнем уровне. Одним из путей решения сложившейся ситуации является автоматизация контроля, которая может снять влияние субъективного фактора, снизив нагрузки оператора за счет устранения всех его ручных манипуляций в конвейере ремонта колесных пар. Однако автоматизация здесь невозможна без оптимизации режимов магнитопорошкового контроля на базе математической модели.

В данной статье приведены результаты разработки математической модели распределения составляющих магнитного поля намагничивающего устройства конструкции В. В. Геккера. Совмещение предлагаемой модели с моделями магнитного поля рассеяния дефекта, полученной В. Е. Щербининым и Н. Н. Зацепиным, и влияния размагничивающего поля объекта контроля позволит в результирующей картине изучить динамику формирования индикаторного рисунка и наложить требования к режимам контроля.

В основу расчета положен закон Био-Савара-Лапласа [1]:

I <31 х Г

4Р“Г^,

где г — радиус-вектор анализируемой точки, м (рис. 2); 31—элемент проводника; I— сила постоянного тока, А. Выражение (1) в скалярной форме:

^ 1 И1 . , ,

аИ =----------— • 8іп(а)

4р г2

(2)

Для определения напряжённости поля, образованного проводником конечной длины, необходимо произвести суммирование по всей длине проводника. Рассмотрим случай кругового расположения проводника. Для проекций на декартовые оси координат вектора напряжённости (рис. 3) справедливы следующие выражения:

<ЗИ2 = _^:!аіІ5Іп(а)со8(Р)і

4р

1 И1

<ЗИХ = -------8Іп(а)со8(Р)(- сов(у)).

4р

(3)

(4)

Проекция на ось ординат равна нулю из-за симметрии кругового витка.

Для нахождения напряжённости поля в точке А необходимо произвести интегрирование по всему витку проводника. Поэтому удобнее заменить переменную интегрирования на угол а в плоскости витка, при этом нижний предел интегрирования будет 0, а верхний 2 р. Исходя из малости угла <3у справедливо выражение:

(5)

Так как точка А смещена относительно центральной оси на величину с, значения д, г, а, р являются функциями от угла интегрирования у. Для составления подынтегральной функции найдём эти зависимости.

Проекция радиус-вектора на плоскость витка выражается по теореме косинусов:

д(у)2 = Я2 + с2 - 2Яс • сов(у),

(6)

аИ =

где с — координата по оси х, м; д(у) находим из условия соотношения сторон в прямоугольном треугольнике:

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

249

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

250

Рис. 1. Расположение координатных осей МД12-ПС

г(у) = (г2 + д(у)2)2 ■

(7)

зіп(а) = -—- ;

г(у) ;

р = агс віп| —

= -у/(Я - с • с08(у))'

(8)

(9)

(10)

ІЯ 2р Иг = — /2 4р 0

Я - с • со8(у)

-ау

Их =

(г2 + Я2 + с2 - 2Яс • со8(у))2 2(- со8(у))

і (11)

ау

Рис. 2. К закону Био-Савара-Лапласа

го устройства на ось Ъ. Проекция на ось Ъ вектора напряженности магнитного поля, создаваемого большими полуокружностями примет следующий вид:

И2і (Х| г) =

= г. 4р о

Я! - Х • сов(у)

ау

((г + Я2)2 + Яі2 + х2 - 2^ • х • со8(у))2

(13)

И22 (Х| г) = -ІЯі р

4р

і-

Яі - х • сов(у)

ау

(14)

Для нахождения угла а необходимо построить дополнительную плоскость, которой будут принадлежать отрезки z и БЭ, при этом БЭ всегда параллелен вектору тока. Из полученного построения вытекают следующие соотношения:

((г - Я2)2 + Я12 + х2 - 2Я1 • х • ^(у))2

Иггі(Хіг) = И21 (Х|г) + ИХ2(х,2). (15)

Для проекции на ось Ъ вектора напряженности магнитного поля, создаваемого малыми полуокружностями справедливы следующие выражения:

И—1 (Х| г) =

-ІЯ2 2*_

(х - ^) • (-^(у))

4р

ау

((Х - ^)2 + Я22 + г2 - 2Я2 • г • cos(у))2

(16)

После подстановки выражений (5), (7), (8), (9) в (3) и (4) и преобразований получаем выражение, описывающее распределение проекций вектора напряженности магнитного поля витка с током:

Н—2'(Х'2) =

(х + Я1) • (-^(у))

ау

(17)

4р О 2 2 2 3 '■ (12)

(г2 + Я2 + с2 - 2Яс • со8(у))2

Взять такие интегралы в аналитической форме сложно. Поэтому, подставив значения величин, характеризующих виток с током, численно интегрируем эти выражения в заранее заданном интервале координат анализируемых точек поля. Результатом является распределение поля в заранее заданной области.

Для построения математической модели обмотка седлообразного намагничивающего устройства модели МД-12ПС была разбита на участки, представляющие две пары полуокружностей: малые с радиусом Я1 и большие с радиусом И2 (рис. 4).

Рассмотрим проекцию вектора напряженности, создаваемую витком седлообразного намагничивающе-

' ((х + И!)2 + И22 + z2 - 2И2 • z • С08(у))2

^г2(х^) = Hal(xrz) + Ha2(xlz). (18)

Проекция на ось Ъ вектора напряженности магнитного поля, создаваемого витком седлообразной конфигурации будет являться алгебраической суммой проекций малых и больших полуокружностей:

Н5(х, г) = И2г1(Х| г) + Иг^х^).

(19)

Рассмотрим проекцию вектора напряженности магнитного поля, создаваемого витком седлообразного намагничивающего устройства на ось У. Проекцию на ось У вектора напряженности магнитного поля, создаваемого большими полуокружностями находим следующим образом:

Иу1 (х, г) =

= 1^1 г. 4р о

(г + Я2) • (-^(у))

ау

((г + Я2)2 + ^2 + х2 - 2Я1 • х • со8(у))2

3

3

3

3

3

Рис. 4. Разбиение обмотки МД-12ПС на участки

Рис. 6. Расчетные и экспериментальные значения нормальной и тангенциальной составляющих магнитного поля седлообразного намагничивающего устройства

Ну2(х^) = -ш_11_

^ - И2) • (- С08(у))

4я

Ha1(xrz) =

- ^2 |2_ 4р эР,

И2 - z • С08(у)

2 ((х - Ш)2 + И22 + z2 - 2И2 • z • сов(у))2

3 йу(23)

На2(х, z) =

7-

= 1И2 2______________

4я -Р 3“ '(24)

32 ((х + Ш)2 + И22 + z2 - 2И2 • z • сов(у))2

И2 - z • сов(у)

-¿у.

Hyг2(x,z) = На1(х,2;) + Ha2(x, z)

(25)

^(х^) =

= XX (^ Р

И! И2 4р 0

+ -1И1Р 4р 0

^ + И2) •(-С08(у))

((z + И2)2 + И12 + х2 - 2И1 • х • сов(у))2

^- И2) •(- С08(у))

-йу +

- Ш2 ,2

+------2 I

(^ - И2)2 + И12 + х2 - 2^ • х • С0в(у))2

Р

И2 - z • С0Б(у)

-----— йу (21)

((z - И2)2 + И12 + х2 - • х • С0в(у))2

HyГ(x,z) = Hy1(x,z) + Hy2 (х, z) (22)

Для проекции на ось У вектора напряженности магнитного поля малых полуокружностей также справедливы следующие выражения:

4р р г

32 ((х - И1)2 + И22 + z2 - 2И2 • z • С0в(у))2

йу +

йу +

1^2 г2

+ —— I -

4р 3Р

И2 - z • С08(у)

-йу)

=

= XX (^ р-

И1И2 4Р 0

- х • С0Б(у)

- ТИ р

+_^ I 4р 0

((z + И2)2 + И12 + х2 - 2^ • х • С0в(у))2 - х • С08(у)

Проекцию на ось У вектора напряженности магнитного поля витка седлообразной конфигурации найдем как алгебраическую сумму проекций составляющих малых и больших полуокружностей:

+ ^йМ. (26)

- ТИ2 2р 4р Р

((z - И2)2 + И12 + х2 - 2^ • х • С0в(у))2

(х - И1) •(-С0®(у))

йу +

-йу +

ТИ2 2р

+ —2 I -

4р Р

((х - И1)2 + И22 + z2 - 2И2 • z • С08(у))2

(х + И1) •(-С0®(у))

йу)

((х + И1)2 + И22 + z2 - 2И2 • z • С08(у))2

Конструктивно, обмотка седлообразного соленоида МД-12ПС собрана в жгут квадратного сечения 36x36 мм. Диаметр провода 3,5 мм. Внутренний радиус больших полуокружностей составляет 16,2 см, малых — 6 см. Соленоид содержит 100 витков. Конфигурация обмотки МД-12ПС представлена на рис. 5.

Рис. 5. МД-12ПС без корпуса

Учитывая пространственное распределение витков седлообразного соленоида, из выражения (26) получаем формулу (27) для расчёта нормальной составляющей магнитного поля МД-12ПС ^у).

(27)

2 ((х + Ш)2 + И22 + z2 - 2И2 • z • С0в(у))2

По результатам расчета построено распределение нормальной составляющей магнитного поля МД-12ПС по оси Ъ (рис. 6).

Учитывая пространственное распределение витков седлообразного соленоида, из выражения (19) получаем формулу (28) для расчёта тангенциальной составляющей магнитного поля МД-12ПС (№).

-йу +

По результатам расчета построен график пространственного распределения тангенциальной составляющей магнитного поля МД-12ПС по оси Ъ (рис. 6).

Для подтверждения достоверности математической модели было проведено измерение нормальной и тангенциальной составляющей поля МД-12ПС фер-

Н, А/м

3

3

3

3

3

3

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНкЖ №3 (103) 2011 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

мм

Рис. 7. Схема измерения нормальной и тангенциальной составляющих поля МД-12ПС

розондовым дефектоскопом Ф205.38 каждые 10 мм вдоль оси Ъ. Схема измерения представлена на рис. 7. Экспериментальные значения нормальной и тангенциальной составляющих поля МД-12ПС представлены на рис. 6.

Относительная погрешность расчетных значений нормальной и тангенциальной составляющих магнитного поля (рис. 8) не превышает 3 — 5% в зоне контроля по обе стороны МД-12ПС (150 мм) [2]. Отклонение экспериментальных значений от расчетных вызвано тем, что при создании математической модели рассматривалась только обмотка седлообразного намагничивающего устройства и не учитывались металлические вставки внутренних поверхностей корпуса, которые вызывают некоторое искажение магнитного поля. В зоне контроля теоретические значения магнитного поля близки к экспериментальным.

Библиографический список

1. Щербинин, В. Е. Магнитный контроль качества металлов / В. Е. Щербинин, Э. С. Горкунов / Екатеринбург : УрОРАН, 1996. - 263 с.

Рис. 8. Относительная погрешность математической модели

2. Руководящий документ РД 32.159-2000. Магнитопорошковый метод неразрушающего контроля деталей вагонов. — М. : ВНИИЖТ, 2000. - 120 с.

АХМЕДЖАНОВ Равиль Абдрахманович, кандидат технических наук, профессор кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство».

ТИХОНОВ Александр Викторович, аспирант кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство».

Адрес для переписки: 644046, г. Омск, пр. Маркса, 35.

Статья поступила в редакцию 30.06.2011 г.

© Р. А. Ахмеджанов, А. В. Тихонов

Книжная полка

Ризин, А. И. Терминология ядерного приборостроения : справ. пособие. В 2 т. Т. 2. Ядерное приборостроение. Измерение ионизирующих излучений / А. И. Ризин, Д. Е. Фертман.- М. : Группа ИДТ, 2008. - 264 с. - ¡ББЫ: 978-5-94833-064-8.

Пособие разработано с учетом терминологии действующих международных документов и соглашений, а также законодательной базы Российской Федерации в области атомной энергии и радиационной безопасности, национальных норм и стандартов в указанных областях и, в первую очередь, НРБ-99, ОСПОРБ-99, СП АЭС-99. При составлении пособия авторами была принята за основу идеология обновленной редакции главы 394 Международного электротехнического словаря. При составлении пособия авторами учтен опыт многолетней деятельности в данной области одного из ведущих национальных центров ядерного приборостроения — ФГУП «Научно-инженерный центр «СНИИП». Пособие предназначено для унификации и разъяснения терминологии ядерного приборостроения.

Галимов, Э. Р. Материалы приборостроения : учебники и учебные пособия для студентов высших учебных заведений / Э. Р. Галимов, А. С. Маминов, А. Г. Аблясова. - М. : КолосС, 2010. - 284 с. - Гриф УМО МО РФ. - ¡ББЫ 978-5-9532-0743-0.

Приводятся общие сведения о строении, составе, структуре, технологических, эксплуатационных и специальных свойствах широкого круга электротехнических, конструкционных и других видов материалов, используемых при разработке и эксплуатации приборов, автоматов и электронных устройств. Рассматриваются способы целенаправленного регулирования структуры и свойств материалов, а также методы переработки (обработки) с учетом их функционального назначения. Рекомендовано для подготовки бакалавров, магистров и дипломированных специалистов всех форм обучения по направлениям «Приборостроение», а также «Химическая технология высокомолекулярных соединений», «Материаловедение».