CC BY
12Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/31-118 Ссылка для цитирования этой статьи:
Кондратов Д.В., Барулина М.А., Галкина С.А. Математическая модель круглого чувствительного элемента нанодатчика // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2020. №3
Выполнено при поддержке гранта РФФИ 19-08-00807_
УДК 534.1:517.957 DOI: 10.24411/2541-9269-2020-10305
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРУГЛОГО ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО
ЭЛЕМЕНТА НАНОДАТЧИКА
Кондратов Д.В.1, Барулина М.А. 2, Галкина С.А.3
1 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук (ИПТМУ
РАН), г. Саратов, [email protected]
2 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук (ИПТМУ
РАН), г. Саратов, [email protected]
3 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук (ИПТМУ
РАН), г. Саратов, [email protected]
MATHEMATICAL MODEL OF THE CIRCULAR SENSITIVE ELEMENT
OF THE NANOSENSOR Kondratov D.V. 1, Barulina M.A. 2, Galkina S.A.3
1 Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences
(IPTMU RAS), Saratov, Russia, [email protected]
2 Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences
(IPTMU RAS), Saratov, Russia, [email protected]
3 Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences
(IPTMU RAS), Saratov, Russia, [email protected]
Аннотация. В работе приведены уравнения движения в перемещениях чувствительного элемента наноэлектромеханического датчика в виде круглой ортотропной размерно-зависимой нано-пластины. Наноэлектромеханические датчики являются логическим продолжением развития микроэлекромеханических датчиков в сторону уменьшения размеров компонентов датчика. Чувствительный элемент рассматривался как круглая пластина пластина, находящаяся под действием распределенной силы. При выводе уравнений использовалась динамическая версия принципа виртуальных перемещений, теория ламинированных композитных пластин и оболочек третьего порядка и модифицированная теория парных напряжений.
Ключевые слова: наноэлектромеханические системы, математическая модель, круглая пластина, элементы датчиков, размерно-зависимые объекты, модифицированная теория
парных напряжений
Abstract. The article presents the equations of motion in the displacements of the round sensing element of a nanoelectromechanical sensor. The round sensing element was considered as a circular orthotropic size-dependent nano-plate under a distributed force applied to the top face of the plate. Nanoelectromechanical sensors are a logical stage of the evolution of microelectromechanical sensors towards reducing the size of sensor components. The equations were derived using a dynamic version of the principle of virtual displacements, the third-order theory of laminated composite plates and shells, and the modified couple stress theory.
Keywords: nanoelectromechanical systems, mathematical model, round plate, sensor elements, size-dependent objects, the modified couple stress theory
Введение
Нанотехнологии -относительно молодая область фундаментальной и прикладной науки, появление и успешное развитие которой в большой степени обусловили фундаментальные достижения в физике, материаловедении, биохимии, неклассической механике, сделанные еще в начале XX века. К настоящему времени нанотехнологии получили признание как один из приоритетов в развитии науки и технологии во многих странах. Одними из приоритетных направлений развития нанотехнологий являются создание компактных устройств нового поколения и разработка средств и математического обеспечения для компьютерного моделирования наноматериалов, наноустройств и нанотехнологий [1-4]. Такое внимание к наноустройствам вообще и нанодатчикам в частности обусловлено потенциальной возможностью создания на их основе систем, отличающихся сверхмалыми массогабаритными характеристиками и низким энергопотреблением. Такие системы были бы востребованы при разработке микро- и нанодронов, сверхмалых систем навигации или их подсистем, портативных звуко-, тепло-, газо-анализаторов, и т.д.
Под нанодатчиками понимаются устройства, компоненты которых не превышают 10 нм [5].
К настоящему времени создано и запатентовано большое количество различных видов нанодатчиков [6-9].
В работе [6] описывается нанодатчик, способный измерить вес одной молекулы. Нанодатчик представляет собой резонатор в виде консольной нанобалки (рис. 1а). Принцип действия этого нанодатчика основан на изменении собственной частоты нанобалки, когда на ней находится молекула другого вещества. По сдвигу частот можно судить о весе частицы на резонаторе (рис 1б).
Рис. 1. Электронная микрофотография чувствительного элемента нанодатчика с частицами вируса вакцины от оспы (а); сдвиг частот в 60 кГц консольной нанобалки при наличии частицы вируса массой 5-8 фгр и без. Длина нанобалки 3.6 мкм, ширина 1.1 мкм
Наноэлектромеханический датчик (НЭМС) для масс-спектроскопии объектов размером с молекулу был запатентован исследователями из Калифорнийского технического университета [7]. Устройство представляет собой систему из Микрофлюидная система доставки и ионизации образца, NEMS резонатора и NEMS детектора (рис 2). Принцип действия этого датчика также основан на измерении сдвига собственных частот нанорезонатора при попадании на него объекта молекулярного размера.
Microfluldlcs Inertia! NEMS NEMS Detector Array Interface
Рис. 2. НЭМС для масс-спектроскопии объектов размером с молекулу
В работе [8] описывается опыт разработки нанодатчика света. Нанодатчик представляет собой прямоугольную пластину (рис. 3 а), сопротивление которой меняется при попадании на нее пучка лазера (рис 3б).
Рис. 3. Конструктивная схема оптического датчика (а) и изменение его сопротивления в зависимости от наличия 532 нм пучка лазера (б)
В формате нанодатчиков могут быть созданы чувствительные элементы, предназначенные для закрепления на теле пациента. Такие нанодатчики могут осуществлять мониторинг давления или температуры человека, следить за его дыханием человека (рис.4) и т.д. [9].
Рис. 4. Процесс производства (а) датчика давления из карбонизированной мембраны из шелкового нановолокна; демонстрация прозрачности (Ь) и гибкости (с) датчика; фотография датчика в масшабе 100 мкм (ё) и 1 мкм (е); реакция датчика на пульс при установке на запястье (И) и шее (1)
Анализ литературы и патентов [6-11], посвященных разработке и исследованию нанодатчиков, показал, что наиболее распространенными форм факторами чувствительных элементов нанодатчиков являются балки и круглые и прямоугольные пластины. При этом существует довольно большое количество работ, посвященных изучению динамики нанобалок и нанопластин, например [12-19], в которых учитываются размерные эффекты, то есть эффекты, возникающие именно из-за нано размеров компонентов. К таким эффектам относятся, например, квантовые эффекты, анизотропность материала и необходимость учета его неоднородности. Но ряд вопросов к настоящему времени не были решены. Так к настоящему времени не было создано
математической модели круглой пластины, учитывающей как размерные, так и нелинейные эффекты. В данной работе восполняется этот пробел.
Постановка задачи
Рассмотрим круглую ортотропную нанопластину толщиной И (Рис. 5), находящуюся под действием распределенной нагрузки, приложенной на верхнюю грань пластины ^ = ^/2). Начало системы координат положим в центре срединной поверхности нанопластины. Соответствующие декартова и цилиндрическая системы координат приведены на рис. 5. Положительное направление оси 2 - вниз от срединной плоскости по толщине пластины. Таким образом, координаты произвольной точки срединной плоскости имеют вид (г, ф, 0). Плотность р0 пластины принимаем однородной, не изменяющейся по толщине или длине пластины.
Ранее в [19] с помощь вариационного принципа Гамильтона были получены уравнения прямоугольной размерно-зависимой пластины с применением теории пластин третьего порядка. В представляемой работе были использованы основные соотношения и уравнения, полученные в [19], при этом переменные были приведены к безразмерному виду согласно формулам: - и
и, = и, г = 1,2,3 , п
где и - компоненты вектора перемещения произвольной точки нанопластины, определяющиеся согласно теории пластин третьего порядка следующими выражениями в декартовой системе координат [20]:
М1(*1,*2,*3,0 = Ио(*1,*2,0 + ^301 (^1, ^2, 0 — Х3 (01(*1,*2,О +
^2(^1, ^2, ^3, 0 = ^0(^1, ^2, 0 +Хз02(^1,^2,О — ¿Х3 (02(*1,*2,О + д^*1^2,0), щ(Х1,Х2,Хз,г) = ^о(Х1, Х2, О,
где (и0, ) - компоненты вектора перемещения точки срединной
поверхности по координатным осям (х1,х2,х3), и ф2 - углы поворота поперечного сечения пластины, к которому принадлежит точка Р, относительно осей х2 и х1, соответственно.
Система уравнений в перемещениях
Используя приведенные выше соотношения для компонентов вектора и используя подход к построению систем уравнений движения нанопластины, описанной в [20], получим следующие пять уравнений динамики ортотропной круглой пластины в перемещениях относительно безразмерных переменных й0, ш0, и ф2 в цилиндрической системе координат (для краткости записи черта над переменными далее опущена):
Первое уравнение ^(»тО) (С11 - С44) ди0 соБр) Бтр) (-3£И2 + 4г2 (С12 + С44))
2-
г2 др 4г3 дг
со$(о)$1п(о)4^2 д4и0 & (-1 + 2(сОБ(о))2) д\ со8(р)8т(р)&И2 д4и0 2г дг3др 4г дг3др 2г3 др3дг
1....... д\ со8О)8т(р)(-2^И2 + г2(С12 + С44)) д2
+--81п(р)сОБ(о)^ И
2 и У0 ■ - ■ ~ ■ У0
4 „4 я „2
4 дг г др
(-2С11г2 - 4£И2 (соБ(р))2 + 3£И2 - 2(соБ(р))2 С44т2 + 2С11г2 (соБ(р))2) д2и
0 +
2г4 др2
(4т2С44 + 4С11т2 (соБ(р))2 - 3£И2 (соБ(р))2 + 2£И2 - 4(соБ(р))2 С44т2) д2и
+ \-1-0 +
4т2 дг2
(-1 + 2(с°зО))21 И 1 + соБ(р))(со8(р) +^ - - (Шр))1^
4г3 др дг А 3 V К 7 ' дг4 г4 др4
БтО^О) (-2г2С44 -£И2 + 2С11г2) д2и0 1 8т(р)со8(р)£й2 д4
__+ 2С11г2) д2и0 1 Б\п{р)соБ{р)^И2 +
г3 дрдг 4 г4 др4
1 Бш(р) соб(р) (- 3£И2 + 4г2С12 + 4г2С44) 1 ^ (3(сов(р))2 - 2) д3и0
4 г2 дг2 2 г3 др2дг
„2 ^^И2 (-1 + 2(соб (р))2 ) -3
3 8т(р)со8(р)&И2 д\ 3$3И (-1 + 2(соБ(р)) ) д\
+ 2 г4 др3 4 г4 др3 +
(-1 + 2(сов(ф))2)(2г2С44-^И1 + 2г2С12) 1 ^д3^ _ 1 _д\
2г3 дудг 4 г дг3 г2 дг2дф2
С08(ф))2)(С44 + С12) ^
3 соб(ф) 8ш(ф)43Н2 д3г0 г2 дф 2 г3 дф2дг
1 (-4С11г2 - 4(сов(ф))2 С44г2 + 4С11г2 (сю(ф))2 - 343Н2 (сов(ф))2 + 2&Н2) и _ 2 ^ч
4 ? "¿г " Н Ро ~дё'
Второе уравнение
С05(ф) )2 )(С 44+С12)дио+^„оф, н
дф 4 дг4
Iеь2дЧ 1 &1(-1+2Мф))2)(2г2С444+2г2С12) ач +
4 4 ( (ф)) дг4 4 г2 дгдф2дг 2 г3 дфдг
1 8т(ф)с08(ф)(-3^зП2 + 4г2С12 + 4г2С44)5| 1 8т(ф)с08(ф)43Н2 д\
дг2 2 г3 дф дг
3 Бт(ф) соб(ф)^Н2 д3г0 3 Бт(ф) со$,(ф)4Н2 д3и0 1 Бт(ф) соб(ф)^Н2 д4у0
2 г4 дф3 2 г3 дф дг 2 г дгдф
& (-1 + 2(С08(ф))2 )
д4и0 Бш(ф) соб(ф)^3Н2 д4и0 2 (-1 + 2(сов(ф))2 )
д ч
4г дг3дф 4г4 дф4 4г3 дф3дг
4п2(-1 + 3(с08(ф))2) д3у вт(ф)с08(ф)+ г2С12 + г2С44) д2и0 2г3 дф2дг г4 дф2
3^ (-1 + 2(соб(ф))2) д3и 43Н2 (-1 + соб(ф)) (соб(ф) +1) д\ 4 г4 дф3 + 4г4 дф4 +
8т(ф)с08(ф) (2г2С22 -£3П2 - 2г2С44) дV 8т(ф)с08(ф) (-3£3Н2 + 4г2С12 + 4г2С44) ^ г3 дфдг 4г3 дг
Бт(ф) соб(ф) (-С44 + С22) 8у0 43Н2 дV
-2-
г2 дф 4г дг3
дЧ
(-3£Н2 (соб(ф))2 - 4г2С22 + 4(соб(ф))2 С22г2 + 4Н2 - 4(соб(ф))2 С44г2) ^
4г2 дг +
4Н2 - 2(соб(ф))2 С44г2 + 2г2С44 - 4^Н2 (сте(ф))2 + 2(соб(ф))2 С22г2) д2у +----+
2г4 дф2
(4г2С44 + 4Н2 + 4(соб(ф))2 С22г2 - 4(соб(ф))2 С44г2 - 3£Н2 (соб(ф))2) ^ 2 ^
+ ^-----^------Н р0 ,
4г дг 0 дГ2
Третье уравнение
^^соб(^)(4С1 1(соб(^))2 -8С44(соб(^))2 + 8С44-4С12(соб(^))2 + 4С12 + 63^Н2+
г
+ ^ (- 30С44 + 55( С0Б(ф) )4 С22 - 220С44(соб(ф) )4 + 55С1 1(соб(ф) )4 +
+420г2Н24 - 110С12(соб(ф))4 - 15С12 + 168г2С55(соб(ф))2 + +220С44(соб(ф))2 + 110С12(соб(ф))2 + 1176(соб(ф))2 4ХН2 - 882£Н2 --45(соб(ф))2 С22 + 10С11 - 420г2 (соб(ф))2 4Н2 - 168г2 (соб(ф))2 С66 + 168С66г2 -
-65С11(соб(ф))2 + 420г2 (соб(ф))2 4Н2 -11 76(соб(ф))2 4Н2 + 2944Н2) -1+
+ б!) (-15С11(соб(ф))2 - 30С12(соб(ф))4 - 2944Н2 - 10С44 +
+30С12(соб(ф))2 +15С11( соб(ф) )4 + 60С 44( соб(ф) )2 + 15(соб(ф))4 С 22 -
1 д3ч
-60С44(соб(ф))4 - 2944Н2 -1 5(соб(ф))2 С22 - 5С12) -
г дг
,3
^(-15С1 1(соб(ф))2 - 30С12(С0Б(ф))4 - 2944Н2 - 10С44 + 30С12(соб(ф))2 +15С1 1(соб(ф))4 + 60С44(соб(ф))2 +1 5(соб(ф))4 С22 - 60С44(соб(ф))4 -
4
-29441Н2 -15(С08(ф))2 С22 - 5С12) +
'г дг дф
+1^) (15С11 - И764Н2 + 1680г2Н24 -1764(соб(ф))2 4Н2 +
+300С44(соб(ф))2 - 20С12 + 1680г2 (соб(ф))2 4Н2 - 40С44 +
+75С11(соб(ф))4 - 90С11(соб(ф))2 - 60(соб(ф))2 С22 + 672г2С55(соб(ф))2 -
-1680г2 (соб(ф))2 4Н2 +1764(соб(ф))2 4Н2 + 5884Н2 - 300С44(соб(ф))4 +
+672С66г2 + 150С12(соб(ф))2 - 150С12(соб(ф))4 +
1
+75(соб(ф))4 С22 - 672г2 (соб(ф))2 С 66 ) - п
г дг
2
^ соб(ф) (8С44(соб(ф))2 - 4(соб(ф))2 С22 - 63£Н
1 д3
+4С12(соб(ф))2 - 8С44 - 4С12 ) 1 ф2
г3 дф3
^ мп(ф) (-8С 44 - 4С12 -12( соб(ф) )2 С22 - 63£Н2 +
1
+24С 44(соб(ф))2 + 12С 12(соб(ф))2 ) 4 уф -
+-
—соб(ф) Бт(ф) (- 10С12(соб(ф))2 + 2944Н2 - 2944Н2 - 20С44(соб(ф))
1
+5С11( соб(ф) )2 + 5(соб(ф))2 С 22 - 5С11 + 5С12 + 10С 44)1 +
' г дф дг
+^со8р) Бтр) (10С44 - 20С44(соБр)) - 5С22 + 5С11(соБр))2 +
1
+5(соБ(р))2 С22 - 10С12(соБ(р))2 + 5С12 - 294£И2 + 2944И2)1 д +
' г дг дрдг
+ ^со8(р)8т(р) (420г2^И2 - 20С11 - 70С12(соБр))2 + 294^И2 -
-420г2И4 + 35С12 + 70С44 - 294^И2 - 168С66г2 + 35(соБр))2 С22-
1
-15С22 + 168г 2С55 - 140С 44( соБр) )2 + 35С11(соБр) )2)—^^ -
' г дрдг
1 соб(р)Бш(р)(-1 + 2(соБ(р))2)(С11 + С22-2С12-4С44) д3^ 21 г2 дгдрдг
-1Ш)(588(соб(р))2 4И2 + 588^И2 -10(соБр))2 С22 - 10С12(соБр))4 -
-20С44(соБ(р))4 - 588(соБр))2 4И2 + 5(соБ(р))4 С22 + 20С44(соБр))2 +
4
+5С11( соб(р) )4 + 5С 22 + 10С12( соБр) )2 — ^0(г,р, Г)
4 7 7
—Бтр) (4С44 - 16С44(соб(р)) - 8С12(соБ(р)) + 42С66г2 +
1 др
+2С12 + 105г2И24 + 8С11(со8(р)) - 2С11)
г др
^ (5884 И2 + 300С 44(соБ(р))2 + 150С12( соБр) )2 +1764( соБр) )2 4И2
-300С44(соБр))4 - 150С12(соБр))4 -1764(соБр))2 4И --20С12 - 90С11(соб(р))2 - 40С44 + 15С11 -11764И2 +
1 Я)3
+75( соБ(р))4 С22 - 60( соб(р) )2 С22 + 75С11( соБр) )4) 4 -соБр^тр) (140г24И2 - 56С66г2 + 10С12 + 56г2С55 -
—соб(р) бш(р) (140г24И2 - 56С66г2 + 10С12 + с*~2 105
-5С22 +10(соб(р))2 С22 - 140г2И24 - 20С12(соБ(р))2 --40С44(соб(р))2 + 10С11(соБр))2 - 5С11 + 20С44)1 ^ +
^зЬ§1п(р) (-634И2 - 4С11 - 4С12(соб(р))2 +
1 д 3р
4С 11(соб(р))2 - 8С44(со8р))2)
г3 др3
+у^соБр) Бтр) (-10С12(соБ(р))2 + 2944И2 - 2944И2 - 20С44(соБр))2 +
1 я3
5С11(соБ(р))2 + 5(соБ(р))2 С 22 - 5С11 + 5С12 + 10С 44) 1 ^ +
+ ( соб(ф)42г 2С55 + 8С12( соб(ф) )2 + 6С22 + 105г24Н2 + 16С44(соб(ф))2 -12С44 - 6С12 - 8(соб(ф)) С22)1 ф -
--(-20С44(сов(ф))4 - 10С11(соб(ф))2 + 588(соб(ф))2 4Н2 -
)-20С 44|С0»(фП - 10С111 С0»( ф I I + 588( С0»( ф I) ¿Н
1260
-588( соб(ф))2 4 Н2 + 5С11( соб(ф) )4 + 20С 44(сов(ф) )2 + 10С12(сов(ф) )2 +
+5884Н2 + 5С11 + 5( соб(ф) )4 С 22 - 10С12(сов(ф) )4 )
Л 1 д
г4 дф4
^зЬ§1п(ф) (-4С12 - 634Н2 - 12(соб(ф))2 С22 + 420г24Н2 + +12С12(сов(ф))2 + 24С 44(соб(ф) )2 + 168г 2С55 - 8С 44)1 ф +
+ -^сов(ф) (8С12 - 634Н2 + 12С11( сов(ф) )2 + 16С44 + 420г 2Н 24
315
-12С11 - 12С12(соб(ф))2 - 24С44(соб(ф))2 + 168С66г2) —
1 ?
вт(ф) (-8С44 - 4С12 -12(соб(ф)) С22 - 63£Н
г дг
2
315
чП 1 д ф2
+24С 44(соб(ф) )2 + 12С 12( соб(ф) )2 )-
г2 дф2дг
-^соб(ф) (16С44 - 24С44(соб(ф))2 - 634Н2 - 12С11 --12С12(соб(ф))2 + 8С12 + 12С11(соб(ф)))-2 2,
' 7" ~
1+
' г2 дф2дг
1 ?
+ —мп(ф)(8С12 + 16С44 - 36С12(соб(Ф)) - 634Н2 -
1 д2ф,
-72С44(соб(ф))2 - 12С11 + 36С11(сов(ф))2)-
'г дфдг
— С0Б(ф) (16С44 - 24С44(соб(ф))2 - 634Н2 - 12С11 -
1 д 2ф1 +
-12С12( соб(ф) )2 + 8С12 + 12С1 1(соб(ф) )2) ~
'г дг
+ ^соб(ф)(24С44(с08(ф))2 - 16С44 + 12С22 + 63^Н2 +
1 я)3
+12С12(соб(ф))2 - 8С12 -12(соб(ф))2 С22)-_д_ф2--
' г дгдфдг
- ^ соб(ф) (-3б(сов(ф))2 С22 + 72С44(соб(ф)) - 56С44 +
1
+24С22 - 28С12 - 634Н2 + 36С12(сов(ф))2 )-1 +
'г дфдг
+-
315
соб(о) (16С44 - 24С44(соб(о))2 - 63£Н2 - 12С11 -
1 ^ О
-12С12(соб(о))2 + 8С12 + 12С11(соб(о)))- 3 ^ , ^б1п(о) (12С11(соб(о))2 + 8С44 - 24С 44(соб(о) ) +
1 я3
+4С12 - 12С12( соб(о) )2 + 63&Н2) 1-д0--
7 г дгдодг
" зъ^по) (-8С 44 - 4С12 - 12(соб(о) )2 С22 - 63^Н2
1
+24С 44(соб(о))2 + 12С 12(соб(о))2 )1 + + зь§1п(о) (8С44(соб(о))2 + 4С12(соб(о))2 - 4(соб(о))2 С22 + 63£Н2 + 4С22)
1 1
1260 г2
1(6б1п(о)Н 2р0
( \
д 02 дгдгдг
г2 - 5Н2р0
д4 ж
дгдО дг
+ Ь3д1п +
Г д3ж, >
дг3
- 5Н2р,
дгдгдг
г -
У
' д4ж ^
-5Н 2Ро
кдгдг2 дг У
г2 +1260
3
^д2 ж ^
V дг2 у
- 16б1п(о)Н 2рс
д О
дгдодг
Н р г + 16соб(о)
' д3о ^
Г д302 Л
дгдодг
Н Ро г -
г + 16соб(о) —— Н2раг2 +1260^(г,о,г)г2), дгдгдг 0
У
Четвертное уравнение
^3Н2 (3(соб(о))2-2)
д3о 17 43Н2 в1п(о)соб(о) д4о2
630
до дг 1260
17 4Н2в1П(о)СОБ(О) д4о
17 43Н2 (-1 + 2(соб(о))2)
до4 д02
630
до дг 1260
34,
г
дг додг
17 43Н2б\П(О)СОБ(О) д4о, 17 е,2 • . ч , 4 . ^
Ьз-^-^ 2Я1 + Т^^1 в1п(о)с08(о)-то2(г,о,г) +
630 г дг додг 1260 дг
17 б1п(о)соб(о) д3о, 17 „,2/ , . . ч 1\д4о, +-ьз-^-ую +-¿и2 (-1 + соб(о)) (соб(о) +1) ^
210
до 1260"
1 в1П(о)СОБ(О) (17г2С12 - 42г2^Н2 +17г2С44 - 34^Н2) д2
дг4
О2
315 г4 до2
1 б1п(о) соб(о) (34С11г2 34г2 С44 -17£Н2 -84г2£Н2 )д2о
315 г3 додг
17 42 (-1 + 2(соб(о))2) д02 17 4Н2 б1п(о)соб(о) д3о2
420 г4 до3 210 г3 до2дг
1 в1п(о)соб(о) (68г 2С12 + 68г2 С 44- -5ЦЪН2-168г24Н2)д2о ,
1260
дг2
2
г
17 4Н (-1 + 2(с0§(ф))2) дф 17 43Н2 (сов(ф))2 д4ф 1260 г3 дф3 дг 1260 г4 дф4
1 Бт(ф)с08(ф) (68г2С12 + 68г2С44 - 514Н2 - 168г%Н2) дф 1260 г3 дг
2 81П(ф)СОБ(Ф) (-424Н2 - 17С44 + 17С11) дф
315 г2 дф
+1^) (-168г2 (сов(ф))2 4Н2 + 68С11г2 (соб(ф))2 + 68г 2С 44 +
+168г2Н24 + 344Н2 + 168г24Н2 - 68(соб(ф))2 С44г2 - 5143Н2 (с08(ф))2) ,
315
2 .
+
315
2'~2е2 + 344Н2 + ^в*.2* ь2 ^ 1 д ф1
^соб(ф) (8С44 - 105(соб(ф))2 4Н2 + 4С12 + 4С11(сов(ф))2 - 8С44(соб(ф))2 -
4С12(сов(ф))2 +1684Н2 - 1054Н2 + 105(соб(ф))2 4Н2+ Бт(ф) (16С1 1(соб(ф))2 + 84С66г2 + 1054Н2 - 4С11 + 8С44 - 32С44(соб(ф))2 -
16С12(соб(ф))2 + 210г2Н24 - 1054Н2 + 420(соб(ф))2 4Н2 - 420(соб(ф))2 4Н2 + 4С12) 1 ^
2 1 1 2 3
' г дф
1 (-1 + 2(соб(ф))2)(17С12-424Н2 + 17С44) дф 315 г2 дф
-(168г2 (соб(ф))2 4Н2 - 5143Н2 (соб(ф))2 - 68С11г2 + +68С11г2 (соб(ф))2 -168г2Н24 - 68(соб(ф))2 С44г2 + 344Н2) 1 8ф
г 8г
2
-^соб(ф) 1 (2С1 1(соб(ф))2 + 31 5(соб(ф)) Н2 (4 - 4) +16С44 + 8С12 +168С66г
-24С44(соб(ф))2 + 1474Н2 - 12С12(соб(ф)) - 2104Н2 + 420г2Н24 - 12С11)---
1 8ч,
0
г 8г
-^т(ф) (-4С11 - 634Н2 + 4С1 1(соб(ф))2 - 4С12(соб(ф))2 - 8С44(соб(ф))2 +
-105(сов(ф))2 4Н12 - 105(соб(ф))2 42Н12)
^иЛ 1 д3Ч0 д ф\ ,
г3 дф3 1260 г дг3
^соб(ф) (-12С12(со8(ф))2 - 24С44(соб(ф))2 - 2104Н2 + 315(соб(ф))2 4н
\2
+ ■ .........................
315
2
\2 р и2 i i 1 лпк и2 i огч о i 1 а/^/м 1 огч 1 i 1 огч 1 /'^^г^члл2 1 д ч0
-315(соб(ф))2 42Н2 + +1474Н2 + 8С12 + 16С44- 12С11 + 12С1 1(со8(ф))) +
" г дг
-^соб(ф) -(12С12(сов(ф))2 - 24С44(соб(ф))2 - 2104Н2 + 315(соб(ф))2 4н2
1 Л2
-315(соб(ф))2 4/г2 +147^2 + 8С12 + 16С44 - 12С11 + 12С1 1(с08(ф))2)-1 д Ч
г3 дф2
^Бт(ф) (16С44 + 36С1 1(соб(ф))2 - 36С12(соб(ф))2 - 72С44(соб(ф))2 + 8С12 --945(соб(ф))2 4Н2 - 2104Н2 +1474Н2 + 945(соб(ф))2 4Н2 - 12С11)
1 дч
2н + 945(с0э(ф)) 41н - —
г дфдг
17 4Н д4ф 4
- ( 2С66 + 54Н2 )ф
+ 315
1260 г2 дг дф 15 1 (-1 + 2(соб(ф))2)(-174Н2 + 34г2С12 + 34г2С44-84г43Н2) д2ф 630 г3 дфдг
— Бт(ф) (-12С12(сов(ф))2 + 4С12 + 8С44 + 1684Н2 - 24С44(соб(ф))2
-315(соб(ф))2 4Н2 - 1054Н2 + 12С11(со8(ф))2 + 315(СОБ(Ф))2 4Н2)--8-ЧL
'г дгдфдг
^соб(ф)(-12С12(сов(ф))2 -24С44(соб(ф))2 -2104Н2 + 315(сов(ф))2 н2 (4 -4)
1 Я3
+1474Н2 + 8С12 + 16С44- 12С11 + 12С11(соб(ф))2)■1 д Ч
г дф дг
—— (34С11г2 (соб(ф))2 - 684Н2 (соб(ф))2 + 514Н2 - 84г2 (соб(ф))2 43Н2 -
-34(соб(ф))2 С44г2 - 84г2Н24 - 34С11г2)
1 8ф
г4 дф2
1
д ф
Н р -17 —^ г + 4соб(ф) 0 г - 4б1п(ф) 8t
\ у ^ /
д3ч
0
у8t8г8t ^ 8t8ф8t J
315 г
Пятое уравнение
— (54Н2 + 2С55) ф--1—1 (-168г24Н2 + 68(соб(ф))2 С22г2 - 68(соб(ф))2 С44г2 +
15 1260 г
л2
+ 1260
+174Н2 - 168г2 (соб(ф))2 4Н2 - 68г2С22 - 514Н2 (соб(ф))2)-^ (-68( соб(ф))2 С44г2 + 68(соб(ф))2 С 22г2 + 168г 24Н2 + 168г 24Н 168г2 (соб(ф))2 4Н2 +174Н2 + 68г2С44 - 514Н2 (соб(ф))2) 1 ф
1 (-1 + 2(сов(ф))2 )(-174Н2 + 34г2С12 + 34г2С44 - 84г24Н2) _ ^4^ дф 630 г3 дфдг 1260 г дг3
—соб(ф) (-8С44 + 8С44(соб(ф))2 + 4С12(сов(ф))2 + 1054Н2 - 4С12 - 4(соб(ф))2 С22 -
315
105(соб(ф))2 4Н2 + 105(сов(ф))2 4Н2 - 1684Н2)
1 дЧ
г3 дф3
0 +
+^соб(о) (72С44(соб(о))2 -945(соб(о)) 4Н2 -798^Н2 + 7354Н2 + 24С22 +
+945(соб(о))2 4Н2 + 36С12(соб(о))2 - 56С44 - 28С12 - 36(соб(о))2 С22) 1 д Щ
г2 додг
1 (-1 + 2(соб(о))2)(17С12-424Н2 + 17С44) д° 315 г2 до
^1п(°) (315(соб(о))2 4Н2 + 420г24Н2 -1684Н2 -315(соб(о))2 4Н2 + 12С12(соб(о))2
-4С12 + 168г2с55 - 12(соб(о))2 С22 + 1054Н2 + 24С44(соб(°))2 - 8 С44 ) -1 у0 -
2С08(0)-(-16(соб(о))2 С22-12(С12 +С22) + 32С44(соб(о))2 -3154Н2 + 420(соб(°))2 4,н2 +
315
+3154Н2 -24С44 + 16С12(соб(о))2 + 210г24Н2 + 84г2С55-420(соб(о))42н2) 3
г до
^б1п(о) (24С44(соб(о))2 -315(соб(о))2 4Н2 + 12С12(соб(о))2 -4С12 + 1054Н2 -
1 л3
+31 5(соб(о))2 4Н2 - 1 2 ( с об ( о ) ) 2 С 22 - 8 С44 - 1 6 8£Н2) -1 +
' г до дг
1 соб(о)б1п(о) (68г2С12 + 68г2С44-514Н2 -168г42) д2° + 1260 г2 дг2
собо)
315
^соб(о) (12С22 + 24С44(соб(о))2 -315(соб(о))2 4Н2 + 315(соб(о))2 ^Н2 -147 ^Н2 -
1 я3
-16С44 -12(соб(о))2 С22 + 2104Н2 - 8С12 +12С12(соб(°))2) — д Ж
' г I
г дг до
1 соб(о)б1п(о) (68г2С12 + 68г2С44-514Н2 -168г24ЪН2) д° 1260 г3 дг
2 соб(о)б1п(о)(-17С44-424Н2 + 17С22) до 17 в ,2 • , Л , Л д4° ----—^ ^-4н Б1п(о) соб(о) —т1 +
315 г2 до 1260 дг4
+ 31^(0) (24С44(соб(о))2 -315(соб(о))2 4Н2 + 12С12(соб(о))2
2
-4С12 +1054Н2 + 315(соб(о))2 4Н2 -12(соб(о))2 С22 -8С44 -1684Н2)1 ■
г дг
4Н2 Л.4 Н (с08(о))2 + Л43н2 (-1+3М°))2) д3о2
1260 г2 дг2д°2 12604 ( (0)) дг4 630 г3 д°2дг
__2_
315
1 Р>2
4С12 +1054Н2 + 315(соб(°))2 ^Н2 -12(соб(°))2 С22 -8С44 -1684Н2) -1 д^0
:б1п(°)2 (4С44(соб(°))2 -315(сов(°))2 4н2 + 12С12(соб(°))2
г д°
17 4н2 (-1 + 2(соб(°))2) д3° 17 43н2 (-1 + 2(соб(°))2) д4°
420 г4 д° 1260 г дг 2д°дг
+
17 4И2 (-1 + соб(о))(со8(о) +1) др2 | 17 со$(о)$т(о)4И2 др2
+
1260 г4 доА 630 г дгъдо
17 С0$,0)$,т0)4к2 дАо 17 соб(о)Б\П(О)4И2 дъфх 17 СОБ(О)Б\П(О)4И2 д3о2
630 г3 доъдг 210 г3 дф2дг 210 г4 до
~2 Я4„ 17 4И2 (-1 + 2(соб(о))2) я4
17 соъ(о)ът(о)4к2 д4о 17 4и (-1 + 2(соб(О)) ) д>,
1260 г4 до4 1260 г3 до дг
о
1 собО^ШО) (17г2С12 - 42г2£И2 +17г2С44 - 34£И2) д2 1
315 г4 до2
О 2
1 соб(о) б1п(о) (34г2С22 - 34г2С44 - 84г2£И2 -17 4И2) д2
315 г" додг
—б1п(о) (-4(соб(о))2 С22 + 63£И2 -1 05(соб(о))2 4И2 + 4С22 + 8С44(соб(о))2
+4С 12(соб(о))2 + 105(соб(о))2 2 +
дг
+ б!) (84г2^И2 + 34г2С44 + 84г2^И2 - 34(соб(о))2 С44г2 + -174И2 + 34(соб(о))2 С22г2 - 84г2 (соб(о))2 4И2 - 684И2 (соб(о))2)1 ^о
^ д3 í ^ Л ( я3 Л ^
^ д^д^д у
д
4соб(о)-ч0(г, о, ^) -17 —(г, О, 0 г + 4б1п(о) -ч0(г, о, ¿)
д3
дХдгдХ
г
У У
315 г
где (С^) - коэффициенты тензора упругих постоянных, = /¿С;;, ^ - размерно зависимый параметр материала, (и0, у0, ш0) - компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности по координатным осям (х1,х2,х3) декартовой системы х = гсобо, X = гбшо, х3 = 2 , ф1 и ф2 - углы поворота поперечного сечения пластины, к которому принадлежит точка Р, относительно осей х2 и х1, соответственно. Все приведенные параметры соответствуют [19].
Заключение
В работе получены уравнения движения в перемещениях круглой ортотропной пластины на основе теории изгиба пластин третьего порядка. Полученные в работе уравнения движения позволят изучить динамику чувствительных элементов нанодатчиков с учетом наноразмерных эффектов и ортотропности материала, что в свою очередь может приблизить создание и широкое распространение НЭМС датчиков.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ, проект 19-0800807
Литература
1. Постановление Правительства РФ от 2 августа 2007 г. N 498 "О федеральной целевой программе "Развитие инфраструктуры наноиндустрии в
Российской Федерации на 2008 - 2011 годы" (с изменениями и дополнениями) http: //b as e.garant .ru/191635/
2. Федеральный закон от 19 июля 2007 г. N 139-Ф3 "О Российской корпорации нанотехнологий" https://rg.ru/2007/07/25/nano-korporacia-dok.html
3. Асеев А.Л. Нанотехнологии: вчера, сегодня, завтра // Наука из первых рук. 2008. С. 25-41
4. Указ Президента РФ от 7 июля 2011 г. N 899 "Об утверждении приоритетных направлений развития науки, технологий и техники в Российской Федерации и перечня критических технологий Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) https: //base. garant.ru/55171684/
5. ГОСТ Р 56748.1 -2015/ISO/TS 12901-1:2012 Нанотехнологии. Наноматериалы. Менеджмент риска. Часть 1. Общие положения. http://docs.cntd.ru/document/1200127486
6. Gupta A., Akin D., Bashir R. Single virus particle mass detection using microresonators with nanoscale thickness // Applied Physics Letters. 2004. Vol. 84(11). P. 1976-1978
7. Single molecule mass spectroscopy enabled by nanoelectromechanical systems (NEMS-MS) https://patents.google.com/patent/US8227747B2
8. Pavelyev V.S., et al // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2020. Vol. 984. 012011
9. Huang W., Feng L., Wang G., Reichmanis, E. Wearable Organic Nano - sensors // In Flexible and Wearable Electronics for Smart Clothing (eds G. Wang, C. Hou and H. Wang). 2020. https://doi.org/10.1002/9783527818556.ch1
10. https://patents.google.com/patent/US20140355381A1
11. Barulina M. A., et al // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2020. Vol. 984. 012012
12. Ufuk Gul, Metin Aydogdu Vibration of layered nanobeams with periodic nanostructures // Mechanics Based Design of Structures and Machines. 2020. https://doi.org/10.1080/15397734.2020.1848592
13. Hossein Darban, Francesco Fabbrocino, Raimondo Luciano Size-dependent linear elastic fracture of nanobeams // International Journal of Engineering Science. 2020. Vol. 157. 103381. https: //doi.org/ 10.1016/j.ijengsci.2020.103381.
14. Pisano A.A., Fuschi P., Polizzotto C. Shear Effects in Elastic Nanobeams // Lecture Notes in Mechanical Engineering. 2020. P. 842-853. https://doi.org/10.1007/978-3-030-41057-5 68
15. Lu L., Guo X., Zhao J. A unified size-dependent plate model based on nonlocal strain gradient theory including surface effects // Applied Mathematical Modelling. 2019. Vol. 68. P. 583-602. https://doi.org/10.1016/j.apm.2018.11.023
16. Chen W., Li, X. A new modified couple stress theory for anisotropic elasticity and microscale laminated Kirchhoff plate model // Archive of Applied Mechanics. 2013. Vol. 84. P. 323-341. https://doi.org/10.1007/s00419-013-0802-1
17. Awrejcewicz J., Krysko A.V., Erofeev N.P., Dobriyan V., Barulina M.A., Krysko V.A. Quantifying Chaos by Various Computational Methods. Part 1: Simple Systems // Entropy. 2018. Vol. 20(3). 175. https://doi.org/10.3390/e20030175
18. Awrejcewicz, J., Krysko, A.V., Erofeev, N.P., Dobriyan, V., Barulina, M.A., Krysko, V.A. Quantifying Chaos by Various Computational Methods. Part 2: Vibrations of the Bernoulli-Euler Beam Subjected to Periodic and Colored Noise // Entropy. 2018. Vol. 20(3). 170. https://doi.org/10.3390/e20030170
19. Барулина М.А Уравнения движения чувствительного элемента НЭМС-датчика как прямоугольной размерно-зависимой нанопластины // Нано- и микросистемная техника. 2020. Т. 22. № 3. С. 164-171.
20. Reddy J. N. Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells. 2nd ed. CRC Press. Boca Raton. FL, 2007
