CC BY
10
ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕ, ВЕНТИЛЯЦИЯ, КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА, ГАЗОСНАБЖЕНИЕ И ОСВЕЩЕВИЕ
УДК 532.5:621.694
С.Ю. Антонов - старший преподаватель
А.В. Антонова - кандидат физико-математических наук, доцент Тел.: (843) 519-42-83
Казанский государственный энергетический университет (КГЭУ)
Я. Д. Золотоносов - доктор технических наук, профессор Тел.: (843) 510-47-35, e-mail: zolotonosov@mail.ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет (КазГАСУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНФИГУРАЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПРУЖИННО-ВИТЫХ КАНАЛОВ ТЕПЛООБМЕННЫХ УСТРОЙСТВ
АННОТАЦИЯ
В работе предложена математическая модель широкого класса конфигураций пружинно-витых теплообменных каналов, изменение параметров уравнений которой позволяет исследовать и в дальнейшем оптимизировать внутреннюю геометрию проточной части таких каналов. Построенная модель может быть использована при разработке программного обеспечения для процесса компьютерного управления технологией намотки. Кроме того, проведена сравнительная оценка металлоемкости пружинно-витых каналов в зависимости от угла наклона проволоки и подъема намотки с известным гладкотрубным теплообменным элементом.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: гидромеханика, теплообменные аппараты, пружинно-витой канал.
S.Y. Antonov - senior lecturer
A.V. Antonova - candidate of physical-mathematical sciences, associate professor
Tel.: (843) 519-42-83
Kazan State Energy University (KSEU)
Ya.D. Zolotonosov - doctor of technical sciences, professor
Tel.: (843) 510-47-35, e-mail: zolotonosov@mail.ru
Kazan State University of Architecture and Engineering (KSUAE)
MATHEMATICAL MODEL OF THE CONFIGURATIONS ELLIPTICAL SPRING-CURLY CHANNELS OF HEAT EXCHANGE EQUIPMENT
ABSTRACT
In work the mathematical model of a wide class of configurations spring-curly heat exchange of channels is offered, the change of parameters of which equations allows to investigate and further to optimize internal geometry of a flowing part of such channels. The developed model can be used as the software during computer management of spring-curly technology of winding. Besides the comparative estimation of metal consumption of channels is carried out depending on a corner of rise of winding with known smooth pipes heat exchange by an element.
KEYWORDS: hydromechanics, heat exchange equipment, spring-curly channel.
Введение
Одним из путей интенсификации процессов теплообмена является создание малогабаритных теплообменных элементов, позволяющих обеспечивать требуемые значения коэффициентов теплопередачи в условиях высоких плотностей теплового потока.
Ранее в работах [1, 2] были предложены варианты геометрических конфигураций эллиптических пружинновитых каналов, отмечены перспективность их использования при разработке и проектировании современной теплообменной аппаратуры.
Данная работа является продолжением ранее проведенных теоретических исследований и посвящена разработке математических моделей широкого класса конфигураций эллиптических пружинно-витых каналов. При этом предлагаемая математическая модель за счет изменения параметров в уравнениях модели позволяет изменять внутреннюю геометрию канала, описывать трубы змеевиковой конфигурации с различным шагом и углом подъема навивки.
Теоретическая часть
Математическая модель строится на базе фундаментальных положений аналитической и дифференциальной геометрии.
Рассматриваемый нами канал представляет собой тугую пружину с жестко скрепленными витками, каждый виток которой является аналогом пружинной (гроверной) шайбы.
Процесс образования таких каналов может быть реализован путем намотки проволоки эллиптического сечения с большой полуосью c и малой полуосью d на подложку, выполненную в виде эллиптического цилиндра с большой полуосью a и малой полуосью b, причем угол наклона a проволоки к поверхности подложки и угол намотки g этой проволоки на подложку могут быть различны, но не меняются в течение всего процесса намотки (рис. 1).
Если при этом намотка плотная, то после микроплазменной или лазерной сварки витков и удаления подложки получается изолированный пружинно-витой канал.
Для описания витка такого канала выберем систему координат Oxyz так, чтобы ось Oz совпадала с осью симметрии канала, а оси Ox и Oy были направлены по большой и малой осям основания подложки соответственно.
Напомним, что параметрическое уравнение
2 2 y z
эллипса -—\-----= 1 (0 < d < c) в системе координат
d2 c2
O’y’z’ (рис. 2) имеет вид [3]:
d cos y ,
y =
d sin y
Если эллипс 1 повернуть вокруг своего центра O’ a-n
на угол p = —-a против часовой стрелки, то
полученный эллипс 2 (эл2) в координатах O’y’z’ записывается уравнением
22 (y sin a + z cos a) + (z sin a - y cos a) = 1
2
2
d2 c
причем явная зависимость y' от z’ имеет вид:
22
, (d - c )z'sina cos a
У 1,2_ 2-2 j2 2 _
c sin a + d cos a
± dc(c2sin2a + d2cos2a-z'2)1/2
_ 2 ■ 2 ~j2 2 .
c sin a + d cos a
(1)
Для нахождения координат точки касания К
используем условие I y'1 —y'2 |= 0. Отсюда
2 2 2 2 2 z' =c sin a \d cos a. Исходя из рис. 2,
заключаем, что
22
z'к = —(c2 sin2 a + d2 cos2 a)1/2 = -d 1—£2 °°S—a
1 1 -£ 2
Ук =
sin a cos a(c 2 - d 2)
,2-2 ,2 2 41/2
(c sin a\ d cos a)
d£22 sin a cos a ^(1 -£2)(1 -£2 cos2 a)
(2)
(3)
(1 -e2 sin2 y)1/2
(1 -e2 sin2 y)1/2
ye [0,2p], где £2 ^1—2 - эксцентриситет
эллипса. Обозначим его эллипс 1 (эл1).
Рис. 1. Намотка эллиптической проволоки на эллиптический цилиндр
Рис. 2. Поворот эллипса вокруг своего центра
2
При этом расстояние от прямой li до эллипса 2 равно:
l — c + z' к —
d
-d
і-є 2
1 - є2 cos2 a
i-є 2
Пусть М - произвольная точка эллипса 2, параметрическое уравнение которого в системе координат O у'Г' имеет вид:
y =
d cos y
(1 -є2 sin2 y)1/2 ;
d sin y
z = ^ 2 . 2 ч1/2 ; ye [0,2л] .
(1 -є2 sin2 y)1/2
Найдем координаты точки М в системе координат O ’y ’z’. Учитывая, что переход в эту систему координат осуществляется по формуле: y' = y" sin a - z" cos a ; z' = y" cos a + z" sin a, получаем:
y м =
d sin a cos y d sin y cos a d sin(a-y)
•Ji -є2 sin2 y tji -є 2 sin2 y -Ji -є 2 sin2 y
, _ dcosacosy d sinysina _ d cos(a-y)
zM = і +—і = і .
y/1 - є2 sin2 y -Ji - є2 sin2 y д/і - є2 sin2 y
Используя формулы (2), (З), получаем:
км = ом - ок =
h =
2d
-Ji-є2 cos2 a
(5)
Найдем теперь в системе координат Охун уравнение поверхности Ф, которую заметает эллипс 3, плоскость расположения которого остается все время перпендикулярной плоскости Оху, в случае, когда точка касания К движется по сложной траектории, определяемой следующим образом:
1) точка К движется по эллиптическому цилиндру
Ф\, параметрическое уравнение которого имеет вид:
x =
y =
b cos j
V2 2
1 - є1 cos j
b sin j
■\ji -є2 cos2
(б)
j
2=и, фе [0,2 л], и е Я ;
1) точка К движется в плоскости П, которая в свою очередь движется поступательно в направлении оси 02 с постоянной скоростью V, причем при V=0 плоскость П определяется следующими положениями
К на поверхности Ф1:
к = к (0) =
b
і
,0,0
1 -є2
- d sin(y-a) д/і-є2 sin2 y
dє 2 sin a cos a 7(1 -є2)(1 -є2 cos2 a)
к1 = к
/ \ P
, 2
v /
0, b,
1 -є2
d cos(y - a) 7i-є2 sin2 y
+ d
1 - є 22 cos 2 a
1 - є 22
а в системе координат Oyy’
к 2 = к (P) =
- b 0 2btg g
Vі-єі2 Vі-є2
км =
- d cos(y-a) д/і-є2 sin2 y
- d
1 -є2 cos2 a
1 - є 22
d sin(y-a) 7i-є2 sin2 y
dє 2 sin a cos a 7(1 -є2)(1 -є2 cos2 a)
(4)
Сделаем теперь параллельный перенос эллипса 2 вдоль оси Оу до точки касания с прямой /1, обозначив
новый эллипс через эллипс 3 (эл3), затем эллипс 3 сдвинем параллельно оси 02 так, чтобы полученный при этом эллипс 4 имел с эллипсом 3 единственную общую точку Т (рис. 3).
Используя формулу (4), легко показать, что расстояние И между точками К и К’ вычисляется по формуле:
ЭЛЗ
/ (\ \ \ \ 'Z' 77 f f ""ч. / , { эл4 /V \ . .
р\/ /\ / л \V \ \ \ \ \
0 к\ к-
\ ІУ \
Рис. З. Параллельное смещение эллипса вдоль оси Oz
где 7 - заданный угол подъема точки К. Уравнение этой плоскости П при скорости у=0 имеет вид:
/ \
Ь
г = tg у
Л
і-є2
(7)
Из уравнений (6), (7) и поступательного движения точки К в направлении оси Ог с постоянной скоростью V находим, что в системе координат Охуг траектория движения точки К описывается уравнениями вида:
х=
У =
Ь соє ф
7 2 2
1 - е1 соє ф
Ь єіп ф
^2 2 1 -е1 соє ф
Обозначим через , Бех, 5 площади
соответственно внутренней, внешней и полной поверхности Ф, определяемой параметрическими уравнениями (8). Элемент площади ёФ найдем по формуле:
СФ = л[ЕБ - Р 2 СфСу ,
где
Е = х(р + у(р + гф .
О = Ху + Уу + 2у ;
Р = хф ху + Уф У у + гфгу . Вычисляя соответствующие частные производные, мы найдем выражение для
БО - Р , которое представим в виде: 5о + 51 + 52, где
,2-2 >2/1 2 \ 2 2
Ь єіп ф + Ь (1 -е1) соє ф
2 2 3
(1 - Є} соє ф)
2 = Vф + Ьtg ф
соє ф
д/1 - Є2 д/1 - Є2 соє2 ф
2ЬС
(1 -є2соє2 ф)1/2
22
1 - Є2 соє а + соє(у - а)
1 -є2 (1 є2 єіп 2 у)1/2
фє Я (при ф = 0 луч ОК совпадает с лучом Ох). Учитывая эти уравнения, а также формулу (4) и то, что
у'м £ 0 в системе координат О ’уу’, получим, что параметрические уравнения одного витка поверхности Ф имеют вид:
Ь
д/1-^
2 2 Є1 соє ф
+ с 11 - є2 соє2 а + С соє(у - а)
1-Є 2
V1-
2 ■ 2 Є2 єіп у
У =
^1 - Є2 соє2 ф
+ с Д-є2 соє2 а+ Ссоє(у-а)
1 - Є22
^1 -є2 єіп2 у
соє ф .
єіп ф.
г = vф + Ьtg 7
/ \
1 соє ф
^ЛІ1 -Є12 \ (1 -є2 соє2 ф /
- С
є2 єіп 2а
(8)
єіп(у - а) +
д/1 -є2 єіп2 у 2д/(1 -є2)(1 -Є2 соє2 а)
ф, уе [0,2я].
Из формулы (5) следует, что для практической реализации намотки проволоки эллиптического
сечения на эллиптический цилиндр Ф1 с углом подъема
1 - є2 соє2 а + соє(у - а)
2
1 -є2
(1 -є2 єіп2 у)1/2
Є4Ь2С2 єіп2 фсоє2 ф(є2 єіп у соє а - єіп(у - а))2 (1 - є2 соє2 ф)3 (1 - є2 єіп2 у)3
51 = V
2 2 2 2 & С (є2єіп у єіп а- соє(у-а))
(1 -Є2 єіп2 у)3
22 vє1 ЬС єіп2ф
----------------------:-------1-------------х
(1 -є2 соє2 ф)3 2(1 -є2 єіп2 у)3
х (є 2 єіп у соє а - єіп(у - а))(є 2 єіп у єіп а - соє(у - а));
52 =-
tg27'Ь2С2 єіп2 ф)
(1 -Є]2 соє2 ф)3(1 -є2 єіп2 у)3
2 4 2 2
х (єіп (у - а) + є2 єіп у соє а + 2єіп у єіп а соє(у - а) +
+ 2є2Ь2С2 єіп2 фсоє ф tg у х
+ х
(1 -Є2 соє2 ф)3(1 -Є2 єіп2 у)3
х (є2 єіп у соє а - єіп(у - а))(є2 єіп у єіп а - соє(у - а)) +
О _ Я
7 и углом поворота р = — - а необходимо, чтобы
выполнялось неравенство: V > Vo =
/22 1 -є2 соє а
При этом если V = то , то получается плотная намотка (изолированный канал).
2
2ЬС єіп ф tg у-V
(1 - Є2 соє2 ф)3/2(1 - Є 2 єіп2 у)3
2 4 2 2
х (єіп (у - а) + Є2 єіп у соє а + 2 єіп у єіп а соє(у - а));
О =
С2 соє2 у + С2 (1 - є2)2 єіп2 у (1 -Є2 єіп2 у)3
х
1
+
х =
Ь
х
Тогда справедливы равенства:
Sin = JJVS0 + S1 + S 2 djdy ;
Sex = JJ л/S0 + Si + S 2 djdy;
P2
^ =|Р5'0 + ^ + ^2 фу .
Р
Пределы интегрирования для нахождения площади внутренней и внешней поверхностей найдем из рис. 3 и формулы (1). В системе координат О’у’х’ имеем, что
/ \
- ё
P = (Уі(0),0) =
T = ( y2 (0),0) =
д/і-є2 cos2 a
,0
д/і-є2 cos2 a
Тогда в системе координат О’у’^”
P=
T=
- d sin a
d cos a
д/і-є2 cos2 a /і-є2 cos2 a
d sin a - d cos a
1 -є2 cos2 a л/1 -є2 cos2 a
Vі
2
2 1А -у 1 — с 2 1
Ч /
Отсюда находим соответствующие им углы:
„ „ р
у р = р - аг^ ^ а = — + а ;
3я
Ут = 2р - агс/д с/д а = — + а. Тогда пределы интегрирования
Р1 =|(ф, у): фе [0,2л],у е Р + а,32р + а
P2 =і(ф, У): фє [0,2p], у є
pp
a—,— + a 22
Р = {(ф,у): фє [0,2л],ує [0,2л]}.
Заметим, что в случае, когда ві = V = у = 0. справедливо равенство:
S = 2pl
2p
/ b + d 1 \ 1 2 2 1 1 -є2 cos a
1 -є 2
V /
где I = Лу - длина движущегося эллипса.
0
На базе теоретических исследований была осуществлена проверка адекватности математической модели методом компьютерного эксперимента. На рис. 4 приведен общий вид пружинно-витого канала следующих геометрических размеров:
b=5, d=1, єі=0.8, є2=0.9, a = 0, g =
б
Сравнение металлоемкости. Для сравнения металлоемкости эллиптического гладкого и пружинновитого каналов заметим, что отношение масс материала, требуемого для изготовления труб одинаковой длины, равно отношению площадей поперечных сечений этих каналов (рис. 5):
Мгладкой _ Р1^гладкой _ ^АВСБ
М эллиптич Р1^эллиптич ^эллипса
Используя формулы (2), (3), (5), получим, что
4d2
SABCD :
V1-
а площадь эллипса ^эллипса
pd
1 -є 2
Сравнение соответствующих масс показывает, что их отношение не зависит ни от угла наклона проволоки к поверхности подложки, ни от угла намотки на подложку
М гладкой = 4 = і 27 __
и равно М ~ Р~ , что говорит о 27 %
Мэллиптич р
Рис. 4. Компьютерная реализация эллиптического пружинно-витого канала
Рис. 5. Сравнение поперечного сечения эллиптической проволоки и поперечного сечения аналога витка гладкого канала
d
0
p
экономии потребности металла при изготовлении пружинно-витых труб по сравнению с гладкими трубами. Этот же результат был получен в работе [2] р
для угла намотки —. Таким образом, металлоемкость
конструкции теплообменного элемента, выполненного в виде пружинно-витых труб, снижается на 27 %.
Заключение
Предложена математическая модель эллиптического пружинно-витого канала, виток которого представляет собой аналог пружинной (гроверной) шайбы, позволяющей описывать широкий класс каналов с различной геометрией проточной части.
Построенная модель позволит использовать ее при разработке программного обеспечения для процесса компьютерного управления технологией изготовления подобных каналов.
Расчеты показали, что разработанные нами пружинно-витые каналы позволяют снизить металлоемкость конструкций в среднем на 27 % по сравнению с гладким эллиптическим каналом.
Литература
1. Антонов С.Ю., Антонова А.В., Золотоносов Я.Д. Определение коэффициента теплопередачи эллиптических пружинно-витых каналов в теплообменных аппаратах // Сб. трудов XVII школы-семинара молодых ученых и специалистов “Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях”. - Жуковский: ЦАГИ, т. 1, 2009. - С. 280-283.
2. Антонов С.Ю., Антонова А.В., Золотоносов Я.Д. Определение коэффициентов теплопередачи через стенку эллиптических гладких и пружинно-витых каналов теплообменных аппаратов // Известия КазГАСУ, 2009, №> 1 (11). - С.158-164.
3. Воднев В.Т. Математический словарь высшей школы: Общ. часть. - М.: Изд-во МПИ, 1988. - 527 с.
