Математическая модель компромиссного управления в дифференциальной игре нескольких лиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

© С. В. Лутманов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПРОМИССНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ НЕСКОЛЬКИХ ЛИЦ

Вводится понятие компромиссного набора стратегий для дифференциальной игры нескольких лиц. Обосновывается способ его построения в классе позиционных стратегий. Рассмотрен модельный пример.

Ключевые слова: компромиссный набор стратегий, равновесие по Нэшу, дифференциальная игра, стабильный мост, экстремальное прицеливание.

Из определения равновесного по Нэшу набора стратегий следует:

1. Сообщество игроков не позволяет любому своему члену получить плату меньше (лучше), чем некоторая величина

О — П1Ш } и ) , г € К — {1,...,к}

иг£{иг}

2. Имеет место совпадение этих величин, с соответствующими значениями плат, которые получают игроки при применении равновесного набора стратегий

и — и (и°,..., и-1, и°, Ц+1,..., и°)

Отказ от выполнения условия 2 приводит к следующему определению. Пусть

С __ {о С ^ С* _______ /'С* С С* с С*

О* — (и1*,... , и к*) , О — (^1,... ,0^) , О*, О € Л , О* ^ О

Определение 1. Будем говорить, что ситуация Ш € {Ш} является компромиссной по отношению к векторам О*, О*, если для всех г € К справедливы неравенства

Пп} и (иь ...,и-1, и, и+1,..., и) < и (иь ...,и-1, и, и+1,..., и) < о* V* € к.

иг£{иг}

Принцип компромисса обобщает равновесие по Нэшу в том смысле, что при О* — О* набор компромиссных стратегий становится равновесным. Компромиссный набор стратегий сохраняет свойство устойчивости по отношению к игроку уклонисту (в ослабленном варианте). Фактором, обеспечивающим устойчивость компромиссного набора стратегий, является потребность игроков не допустить значительный выигрыш какого-либо одного игрока.

Рассмотрим дифференциальную игру к лиц, динамика которой описывается обыкновенным векторным дифференциальным уравнением

х — / (£, х, и1,..., ик) , £ € [£°,Т] , х € Лп, иг € Рг С Ег1

с функциями платы ог — ог (х (Т)), г — 1,..., к.

Пусть Ш#(г) С [£°,Т] х Кп — максимальный стабильный мост первого игрока см. [1] в игре, в которой множество игроков К (г) решает задачу наведения на множество Мгс против игрока с номером г в момент времени Т. Для всех г € К полагаем Шг — (Ш#(г ))С. Пусть М С {х € Лп | ог (х) ^ £*, г € К } и существует множество Ш С [£°, Т] х Лп, для которого

1) Ш (£) — 0, £ € [£°,Т] — замкнутое множество;

2) Ш (*) П Шг (£) — 0, £ € [£°, Т], г € К ;

3) Ш (т) — М;

4) для любой позиции {£*, х*} € Ш и момента времени £* € [£*,Т] существует набор программных управлений и1* (■),..., и,к* (■), иг* (£) € Рг, £ € [£*,£*], г € К всех игроков, такой, что для решения х (■) дифференциального уравнения

х — / (£, х, и1* (£),..., Щ* (£),..., ик* (£)), х (£*) — х*

выполняется включение x (t*) € W (t*)

Набор компромиссных стратегий U1,..., Ufc определим соотношениями

( ueK (t,x), x/ U Wj (t), W (t) = 0,

j€K

[•] = I u*K(j) (t, x) , x € Wj (t), j € K (i), t € [t°,T] , x € * € K

Здесь набор векторов (t, x), i € K удовлетворяет условию

s (t, x) • f (t, x, ulK (t, x), . . . , UeK (t, x), . . . , ukK (t, x)) =

= min s (t,x) • f (t,x,«i,... ,Uj,... ),

(ui,...,ui,...,uk)€ П Pj jeK

s (t,x) = x — x*, llx — x*|| = min llx — xll,

ik€W (t)

а набор векторов (j) (t, x), i € K (j), j € K — условию

max s(j) (t, x) • f ft, x, u^(j)e (t, x),..., Uj,..., U+j'^ (t, x),..., u^(j)e (t, x)^ = uj €pj V /

= min max s (t, x) • f (t, x,u1,..., Uj,..., uk) ,

(ui,...,uj-i,uj+i,...,ufc)e П Pj ujePj

jGK(j)

s(j) (t, x) = x — x*j), Имеет место следующее утверждение.

(j)

/у> ____ Гр' '

*

= min Hx — x|

xe(Wj (t))c

Теорема 1. Набор стратегий всех игроков ^1,..., является компромиссным относительно векторов Б*, Б*.

Список литературы

1. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.

Поступила в редакцию 15.02.2012

S. V. Lutmanov

Mathematical model of compromise management in differential game of several persons

The concept of a compromise set of strategy for differential game of several persons is entered. The way of its construction in a class of item strategy is proved. The modeling example is considered.

Keywords: a compromise set of strategy, Nash equilibrium, differential game, the stable bridge, an extreme aiming. Mathematical Subject Classifications: 91A23

Лутманов Сергей Викторович, доцент, кафедра процессов управления и информационной безопасности, Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Россия, г. Пермь, ул. Букирева, 15. E-mail: [email protected]

Lutmanov Sergei Viktorovich, Associate Professor, Department of Control Processes and Information Security, Perm State National Research University, ul. Bukireva, 15, Perm, 614990, Russia