CC BY
23
УДК 519.6
© С. В. Лутманов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПРОМИССНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ НЕСКОЛЬКИХ ЛИЦ
Вводится понятие компромиссного набора стратегий для дифференциальной игры нескольких лиц. Обосновывается способ его построения в классе позиционных стратегий. Рассмотрен модельный пример.
Ключевые слова: компромиссный набор стратегий, равновесие по Нэшу, дифференциальная игра, стабильный мост, экстремальное прицеливание.
Из определения равновесного по Нэшу набора стратегий следует:
1. Сообщество игроков не позволяет любому своему члену получить плату меньше (лучше), чем некоторая величина
О — П1Ш } и ) , г € К — {1,...,к}
иг£{иг}
2. Имеет место совпадение этих величин, с соответствующими значениями плат, которые получают игроки при применении равновесного набора стратегий
и — и (и°,..., и-1, и°, Ц+1,..., и°)
Отказ от выполнения условия 2 приводит к следующему определению. Пусть
С __ {о С ^ С* _______ /'С* С С* с С*
О* — (и1*,... , и к*) , О — (^1,... ,0^) , О*, О € Л , О* ^ О
Определение 1. Будем говорить, что ситуация Ш € {Ш} является компромиссной по отношению к векторам О*, О*, если для всех г € К справедливы неравенства
Пп} и (иь ...,и-1, и, и+1,..., и) < и (иь ...,и-1, и, и+1,..., и) < о* V* € к.
иг£{иг}
Принцип компромисса обобщает равновесие по Нэшу в том смысле, что при О* — О* набор компромиссных стратегий становится равновесным. Компромиссный набор стратегий сохраняет свойство устойчивости по отношению к игроку уклонисту (в ослабленном варианте). Фактором, обеспечивающим устойчивость компромиссного набора стратегий, является потребность игроков не допустить значительный выигрыш какого-либо одного игрока.
Рассмотрим дифференциальную игру к лиц, динамика которой описывается обыкновенным векторным дифференциальным уравнением
х — / (£, х, и1,..., ик) , £ € [£°,Т] , х € Лп, иг € Рг С Ег1
с функциями платы ог — ог (х (Т)), г — 1,..., к.
Пусть Ш#(г) С [£°,Т] х Кп — максимальный стабильный мост первого игрока см. [1] в игре, в которой множество игроков К (г) решает задачу наведения на множество Мгс против игрока с номером г в момент времени Т. Для всех г € К полагаем Шг — (Ш#(г ))С. Пусть М С {х € Лп | ог (х) ^ £*, г € К } и существует множество Ш С [£°, Т] х Лп, для которого
1) Ш (£) — 0, £ € [£°,Т] — замкнутое множество;
2) Ш (*) П Шг (£) — 0, £ € [£°, Т], г € К ;
3) Ш (т) — М;
4) для любой позиции {£*, х*} € Ш и момента времени £* € [£*,Т] существует набор программных управлений и1* (■),..., и,к* (■), иг* (£) € Рг, £ € [£*,£*], г € К всех игроков, такой, что для решения х (■) дифференциального уравнения
х — / (£, х, и1* (£),..., Щ* (£),..., ик* (£)), х (£*) — х*
выполняется включение x (t*) € W (t*)
Набор компромиссных стратегий U1,..., Ufc определим соотношениями
( ueK (t,x), x/ U Wj (t), W (t) = 0,
j€K
[•] = I u*K(j) (t, x) , x € Wj (t), j € K (i), t € [t°,T] , x € * € K
Здесь набор векторов (t, x), i € K удовлетворяет условию
s (t, x) • f (t, x, ulK (t, x), . . . , UeK (t, x), . . . , ukK (t, x)) =
= min s (t,x) • f (t,x,«i,... ,Uj,... ),
(ui,...,ui,...,uk)€ П Pj jeK
s (t,x) = x — x*, llx — x*|| = min llx — xll,
ik€W (t)
а набор векторов (j) (t, x), i € K (j), j € K — условию
max s(j) (t, x) • f ft, x, u^(j)e (t, x),..., Uj,..., U+j'^ (t, x),..., u^(j)e (t, x)^ = uj €pj V /
= min max s (t, x) • f (t, x,u1,..., Uj,..., uk) ,
(ui,...,uj-i,uj+i,...,ufc)e П Pj ujePj
jGK(j)
s(j) (t, x) = x — x*j), Имеет место следующее утверждение.
(j)
/у> ____ Гр' '
*
= min Hx — x|
xe(Wj (t))c
Теорема 1. Набор стратегий всех игроков ^1,..., является компромиссным относительно векторов Б*, Б*.
Список литературы
1. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.
Поступила в редакцию 15.02.2012
S. V. Lutmanov
Mathematical model of compromise management in differential game of several persons
The concept of a compromise set of strategy for differential game of several persons is entered. The way of its construction in a class of item strategy is proved. The modeling example is considered.
Keywords: a compromise set of strategy, Nash equilibrium, differential game, the stable bridge, an extreme aiming. Mathematical Subject Classifications: 91A23
Лутманов Сергей Викторович, доцент, кафедра процессов управления и информационной безопасности, Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Россия, г. Пермь, ул. Букирева, 15. E-mail: [email protected]
Lutmanov Sergei Viktorovich, Associate Professor, Department of Control Processes and Information Security, Perm State National Research University, ul. Bukireva, 15, Perm, 614990, Russia
