Математическая модель комплекса программ развития для оценки принимаемых в них решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

H =1 -(0 ()/(^ ))к-1

B ’

где t —текущее время

a = , Ь = -—.

01 - ЯГ0

Учитывая влияние угла атаки на S, можно задать центровочные характеристики ЛА.

При реальных расчетах эта модель будет несколько сложнее за счет более подробного учета тех факторов, которые здесь приведены в упрощенном или неявном виде.

Рассмотренная выше методика представляет баллистическое обоснование реактивного движения ГЛА и позволит в дальнейшем провести согласование внешне- и внутрибал-листических характеристик ГЛА и ДУ, что поможет оптимально разработать предлагаемую конструкцию ГЛА.

БИБЛИОГРАФИЧЕСИЙ СПИСОК

1. Колготин О. В. Исследование реактивного движения для создания новых классов реактивных двигателей// Сб. научных трудов университ. семинара по системному анализу управления и обработке информации. Пенза: Пенз. гос. ун-т, 2001. 7 с.

2. ФеодосьевВ. И. Основы техники ракетного полета. М.: Наука, 1979. 496 с.

3. Колготин О. В. Механическая модель движения тела переменной массы в среде. Пенза: Пензенский центр научно-технической информации, 2000. 3 с.

4. Курзинер Р. И. Реактивные двигатели для больших сверхзвуковых скоростей полета. М.: Машиностроение, 1989. 264 с.

Поступила 21.07.2004 г.

УДК 519.6

С. Н.Савельев, Н. Г.Яговкин

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ РАЗВИТИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПРИНИМАЕМЫХ В НИХ РЕШЕНИЙ

Предлагается математическая модель для анализа комплекса программ развития отрасли (предприятия) на основе построения графа задач для выбора наиболее приоритетных программ по различным критериям.

Развитие любой отрасли невозможно без ее организационно-технического совершенствования, при этом необходимо решить ряд общих задач, таких, как совершенствование структуры, системы управления, внедрение новых информационных технологий в процессы производства и управления и т.д. в связи с изменяющимися внешними условиями. В условиях ограниченного финансирования создания системы одновременное выполнение всей требуемой совокупности программ практически невозможно. В связи с этим возникает необходимость определения совокупности приоритетных программ развития, выполнение которых на данном этапе позволит получить максимальный эффект при ограниченном объеме затрачиваемых средств.

С этой целью возникает необходимость в создании математической модели и основанной на ней методики по оценке программ развития и принимаемых в них решений, предназначенной для выработки оптимальной стратегии исследований в условиях ограниченных ресурсов (финансовых, временных и др.).

Необходимым шагом для оценки программ развития (далее — программ) является их ранжирование по различным критериям в зависимости от требований заказчика: важностному, важностно-стоимостному, важностно-временному и важностно-стоимостно-временному. Под ранжированием понимается присвоение элементам а, Ь, с, ё... некоторого множества порядковых номеров 1, 2, 3, 4... в зависимости от убывания (возрастания) какого-либо количественного или качественного признака, при этом присваиваемый элементу порядковый номер называется рангом этого элемента.

При этом целесообразно рассматривать предметную область (отрасль, предприятие и т.п.) в целом как определенную систему. Представление ее (предметной области) возможно с использованием идеи альтернативно-графового подхода, состоящего в представлении сложного объекта (системы, процесса) в виде совокупности взаимосвязанных элементов различного уровня детализации. Указанный подход базируется на допущении о том, что закон функционирования сложной системы является композицией законов функционирования составляющих ее элементов и позволяет реализовать принципы последовательного синтеза допустимых вариантов построения отдельных элементов, частей и системы в целом с последующим выбором на синтезируемой модели наилучшего варианта ее структуры.

Для формального представления структуры системы используется понятие «функциональный элемент» 7, 7 е 7 , которым называется входящий в одну из возможных структур проектируемого объекта типовой элемент а из множества А, каждому контакту которого присвоено обозначение связи 5, 5 е S, осуществляемой элементом а посредством заданного контакта в соответствии с законом его функционирования в составе рассматриваемой структуры. Каждый функциональный элемент характеризуется именем 7, вектором параметров или характеристик X = X (?), множеством входных аъ и выходных Ръ связей, типом связей а и отношением их согласования р.

В общем виде задача построения исходного описания структурной схемы системы (предметной области) как объекта заключается в определении И-ИЛИ графа

0(7.) = ( 2, ^ П ), (1)

где 7 и S — множества элементов (вершин) и связей (дуг) графа; П — система правил или ограничений, определяющих какие структуры являются допустимыми (П объединяет тип связей а (структуру) и отношения связей р между элементами 7^ и 7,).

Кроме того, в формировании совокупности параметров X ^), характеризующих каждый элемент графа 7, в заданный момент времени t, и построении моделей алгоритмов их функционирования (переработки входной информации) А( XI ^), 7І ), по результатам которых должны

проводиться оценка эффективности функционирования системы, и принимаются решения по ранжированию программ на момент времени t. Параметр времени t задается из тех соображений, что в разные моменты времени приоритетность различных программ может меняться (например, в зависимости от изменения приоритетности задач предметной области, этапов завершения программ с получением промежуточных результатов и т.п.).

Чтобы обеспечить в рамках принятого методологического подхода требуемый анализ свойств системы, ее структуру целесообразно представить в виде следующего альтернативного И-ИЛИ графа (рис. 1).

Данный граф задает в иерархической системе типа «дерево» взаимосвязи множества задач различного ранга: предметной области (70), общих задач (71), частных задач (72) и подзадач (73). Его структура в общем виде выражается через пропозиционное предложение или «цепочку слов»: «в текущий момент времени t в предметной области 70 для решения общей задачи 71 и частной задачи 72 проводится (планируется) решение подзадачи 73». При этом вершинами графа являются элементы системы 7, а дугами — взаимосвязи между элементами верхнего (/го) и нижнего (/+1-го) уровней SJkl. Элементам (дуги и вершины) графа 0(7) приписываются

коэффициенты их значимости или важности. В частности, дугам SJkl соединяющим 7к элемент/го ранга с элементами 71 }+ 1-го ранга могут ставиться в соответствие числа ц/ (веса),

0 < д/ < 1, ^ = 1, которые характеризуют отношение значимости (вклада, важности) реше-

1=1

ния 1-й задачи (/+1) ранга для достижения к-й задачи/-го ранга. На практике ц-1 определяется исходя из значимости решения подзадач для решения конкретной задачи, что возможно оценить путем опроса экспертов. Элементы графа характеризуются важностью, а также стоимостными характеристиками и временем проведения, соответствующими данному элементу.

7! - общие задачи

22 - частные задачи

23 - подзадачи

При построении структуры системы целесообразно установить не только весовые коэффициенты дк1 значимости дуг, выходящих из вершину-го ранга, но и коэффициенты значимости элемента внутри каждого ранга. Вводится вектор весовых коэффициентов значимости элементов ранга

V =(<,^.^у{^), (2)

Ь

так что 0 < VI < 1, ^ = 1.

к=1

Компоненты вектора значимости элементову-го ранга V' будут равны весовым коэффициентам дуг дку-1), выходящих из вершин (элементов) ранга у—1,

VI = дк!-1),1 < к < Ьу (3)

Автоматизация процесса исследования структуры системы (предметной области) требует кодирования ее исходного описания с использованием формальных правил. Для кодирования структурных свойств системы можно использовать списковые или логические формы.

Представление в виде списковых или г-форм базируется на использовании рассмотренного выше понятия функциональный элемент 7 е 2 и его описания в виде = а (а7), где а — типовой элемент, а7 — входные, а в7 — выходные контакты функционального элемента 7, соответствующего типовому элементу а. Вводятся также определения: проектируемой системы в виде функциональной пары ио = (Бвх,^ЪвЬ1Х}, где SBX — множество входных, БВЬ]Х — множество выходных связей системы, причем SВХ с S, SВЬХ с S и SВХ л SВЬХ = 0 ; и функциональной пары элемента 7, входящего в систему и2 = ,а^ .

В принятых обозначениях структура проектируемой системы представляется как композиция функциональных элементов:

с = 7172...7п = {°с,иЛ , (4)

где ис = и7-^72..И7п — композиция функциональных пар элементов 71,/ = 1,п; Ос — структура из элементов а = уА (7), 7 с С, соответствующая структуре композиции функциональных пар и7-Р72..и7п; {7} — множество функциональных элементов, процедура формирования которых изложена выше.

Рассмотренное представление как самостоятельное практически не используется, оно является исходным для последующих логических форм, в частности булевой.

Булевой называется функция, принимающая значения на множестве {0,1} и определенная на множестве наборов булевых переменных, каждая из которых принимает значения также на множестве {0, 1}.

Принято считать все 7 є 2 булевыми переменными: г і = 1 тогда и только тогда, когда функциональный элемент гі включен в состав некоторой структуры. Вводится в рассмотрение характеристическая булева функция / (г) = / (г1, г2,..., гп) такая, что Дг) = 1 тогда и только тогда, когда 7 соответствует правильному варианту структуры, т.е.:

простых импликант, называемой сокращенной дизъюнктивной нормальной формой (сокр. д. н. ф.).

Представление структуры с помощью сокр. д. н. ф. базируется на существующем изоморфизме между импликантами Д7) и соответствующим (входящим в импликанту) набором элементов 7 е 2 , при котором конъюнкции булевых переменных С7 = 71, 72,..., 7т соответствует

операция композиции элементов С7 = {71,72,...,7т}. В соответствии с этим для импликантД(7) и набором с е М в дальнейшем используется одно и то же обозначение, а именно

С =7,, 72 , ..., 7„ .

7 1 ’ 2 ’ ’ V

Характеристическая функцияД7), представленная в виде сокр. д. н. ф., задает в явном виде все множество альтернативных вариантов структуры. Аналитическая запись этой формы осуществляется следующим образом. Для функциональной пары ^^п} в структурной схеме выбираются все цепи, соединяющие «полюса» S1 и Sn. Каждой цепи сопоставляется конъюнкция букв — элементов структуры 71, 72,..., 7ш, составляющая эту цепь.

Рассмотрим следующий пример, структура которого представлена на рис. 2. Здесь 70 — предметная область, 71 - 76 — различные задачи предметной области.

Для данного примера сокр. д. н. ф.

В правой части формулы каждая из двух простых импликант представляет собой один из возможных вариантов, по которому в данный момент времени проводиться исследование.

В дальнейшем требуется создать способ преобразования характеристической функции Д7), представленной в виде сокр. д. н. ф., в целевую функцию ¥, позволяющую выбрать наиболее предпочтительную (в зависимости от различных критериев) подзадачу, вносящую наибольший вклад в достижении цели функционирования системы.

Под вариантом структуры системы, представленной в виде графа 0(2) (см. рис. 1), понимается конкретная подзадача 73, решаемая в интересах частной задачи 72 и общей задачи 71 в предметной области 70. Каждый конкретный вариант структуры оценивается набором показателей У = (Ур...,Ут). Набор показателей У варианта структуры с зависит от набора параметров Хс

элементов 7, составляющих с. Как правило, для каждого показателя У. (г = 1, т), можно указать направление желательного изменения и допустимые пределы изменения.

Если желательно увеличение (уменьшение) показателя Уг, то такой показатель называется

максимизируемым (минимизируемым). Любой максимизируемый показатель У+ > 0 можно преобразовать в минимизируемый положительный, например, если взять У = У. +МАХ - У.+, где У +МАХ — достаточно большое число, или Уг = 1/У.+ . В дальнейшем будем считать, что все показатели максимизируемые и положительные.

Обычно в задачах проектирования вводят допустимые значения каждого показателя У. доп,

(5)

где М — множество всевозможных правильных вариантов структуры.

Она является монотонной и может быть представлена в виде дизъюнкции Д (7) = vC7 всех

/ ( 70, г1,..., 76 ) = г0 г5 V г0 г2 г4

'0П^3^5

0^2^4^6

(6)

причем Уі < Уі доП ^ =1, т.

Удобно ввести нормированные показатели у, = У. / У. доп. Тогда, поскольку у. доп = 1, ограничения технического задания на значения показателей можно записать в виде

у еПу, пу = {у\ 0 £ у,- £ 1. = 1 т} . (7)

Отношение предпочтения заказчика (проектировщика) на множестве П можно выразить

с помощью целевой функции П(у), которая должна удовлетворять основному требованию: если набор у' лучше набора у", то П(у') < П(у"). В случае П(у') = П(у") наборы у' и у" считают-

ся равноценными. Таким образом, целевая функция позволяет создать совершенный квазипорядок на множестве допустимых вариантов проектируемого объекта.

Общую постановку задачи выбора оптимальной структуры можно разделить на две части. В первую часть входит целевая функция П(у) совместно с множеством П , т. е. пара

(у) ® тп у еПу(, (8)

которая определяет отношение предпочтения для всех значений у, поскольку у' е Пу заведомо предпочтительней у" йНу.

Во второй части общей постановки должно быть задано множество альтернативных вариантов структуры объекта (системы), причем для каждого варианта с е М должны быть определены:

1) функциональные зависимости

у = Гс (Х), (9)

где Хс — вектор параметров элементов, составляющих структуру с;

2) ограничения на Хс, вытекающие из физических или других объективных законов и определяющие область Пс допустимых значений Хс, т. е.

Хс еПс . (10)

Для каждого варианта структуры совокупность данных формул можно рассматривать как

задачу отыскания вектора Хс , доставляющего экстремальное значение целевой функции

п (/с (Хс)):

П(/с(Х*)) = типП(X (Хс)), П(/с (Хс))ЕПу, Хс еПс . (11)

Тогда задачу оптимизации структуры можно сформулировать как задачу отыскания подмножества М множества М:

М* = {с*|шшП(/с (Х*)) = П(/, (Х*.));с,с* еМ}. (12)

Таким образом, задача оптимизации структуры состоит в том, чтобы для каждого варианта структуры с е М определить и зафиксировать оптимальное значение набора параметров Хс , а затем выбрать вариант структуры с наименьшим значением целевой функции.

Основываясь на приведенном выше математическом аппарате, ранжирование программ проводится в следующем порядке. Сначала определяется предметная область проводимых программ г0. Данная предметная область является верхним узлом графа (ранг графау = 0), значимость этого элемента v0 = 1. Далее определяется набор К общих задач 7к, необходимых для решения в рамках данной предметной области. Общие задачи являются узлами графа ранга у = 1 и имеют коэффициенты значимости пк, совпадающие с коэффициентами значимости

связных дуг между элементами нулевого и первого рангов. Далее аналогичным образом определяется ряд Ьк частных задач (подзадач), необходимых для решения каждой к-ой общей задачи ги . Частные задачи являются узлами графа ранга у = 2 и имеют коэффициенты значимости пи, совпадающие с коэффициентами значимости связных дуг между элементами первого и второго рангов. Далее проводится выделение М проводимых программ по конкретным решаемым в них /к-ым частным задачам, в результате чего все программы будут являться узлами графа ?Ит ранга у = 3 с весовыми коэффициентами пИт , совпадающими с коэффициентами значимости связных дуг между элементами второго и третьего рангов.

В результате получается граф системы (предметной области) в виде, представленном на рис. 3.

Каждый из элементов 7 системы имеет набор характеризующих его параметров Х, при этом все эти элементы можно разбить на две группы:

элементы, имеющие один параметр — важность (такие элементы как предметная область, общие задачи, частные задачи (подзадачи));

элементы (конкретные программы), имеющие три параметра — важность, стоимость и время проведения программы.

При этом на такие параметры программы как стоимость и время выполнения накладываются ограничения.

Таким образом, наименования показателей системы и параметров элементов системы совпадают, т. е. показатели и параметры являются одноименными, причем важность является мультипликативным показателем, а стоимость и время выполнения — аддитивными показателями.

Под вариантом с = 2к1т структуры системы, представленной в виде графа 0(2), понимается конкретная программа т, выполняемая в интересах частной задачи / и общей задачи к в предметной области 70. Под правильными (рациональными) вариантами структуры системы понимаются те программы, параметры стоимости и времени выполнения которых не превышают допустимых, заданных заказчиком. Под оптимальным вариантом структуры системы (предметной области) понимается конкретная программа из числа рациональных, «лучшая» среди других по заданному заказчиком критерию.

Для рациональных вариантов структуры (таких программ, характеристики которых по стоимости и по времени выполнения не превышают предельно допустимые) вычисляются:

1) нормированные максимизированные показатели, характеризующие важности вариантов структуры системы с*, т.е. фактически величины, отражающая значимость рассматриваемых рациональных т-ых программ (с*-ых вариантов структуры системы) для всей системы (предметной области) в целом:

у(с* ) = / (с* )= ^к1т^к1^к^0 , (13)

причем запись в виде (13) предполагает, что конкретная программа предназначена для решения одной частной задачи (подзадачи). В случае если одной программой решается несколько частных задач, показатели важности рассчитываются отдельно для каждой импликант, в которых присутствует данная программа, а затем эти показатели суммируются;

2) нормированные максимизированные показатели, характеризующие стоимость рациональных вариантов структуры системы с*:

С - C

Уст (с* ) = -^С---^ , (14)

max

З) нормированные максимизированные показатели, характеризующие время проведения рациональных вариантов структуры системы с*:

Увр (с* ) = ^ , (15)

max

где С, —стоимость рационального варианта структуры системы (измеряется в тыс. руб., $ и т. п.); Cmax — максимально возможная стоимость программы; Т* — время проведения программы, соответствующее рациональному варианту структуры системы (измеряется в сутках,

человеко-часах и т.п.); Tmax — максимально возможное время проведения программы.

Перед вычислением показателей уеаж (с), уст (с) и увр (с), характеризующих важность, стоимость и время разработки с-го варианта структуры системы, необходимо выделить из всего возможного набора вариантов системы С множество М рациональных (правильных) вариантов с е М , т. е. такие программы, характеристики которых по стоимости хСТ и по времени выполнения хВР не превышают предельно допустимые значения Стах и Ттах.

Так как данные показатели вычисляются для рациональных вариантов структуры системы с*, они удовлетворяют условию у е Оу, где Оу ={у |0 < у < 1} является областью допустимых значений у.

Целевая функция для заданной в формулах совокупности показателей может задаваться следующим выражением:

П (у) = Кт у+ КСт уст + квр увр , (16)

где Ksax — вес показателя ув K + K + K = 1.

Kcm — вес показателя уст; K — вес показателя ув

Значение величин Кеаж , Кст и Кр задаются экспертным путем и определяют, что предпочтительнее при данной оценке программы: минимизация затрачиваемых средств или минимизация времени (достижение желаемого эффекта как можно быстрее).

Данное представление целевой функции позволяет оценить один конкретный вариант системы. Для оценки всей системы (ранжирования программ) используется представление системы в виде сокр. д. н. ф, при этом операция дизъюнкции заменяется взятием максимума, а каждая из простых импликант - значением функции П(у). Таким образом

где М — множество всевозможных рациональных (правильных) вариантов структуры; с* — рациональный (правильный) вариант структуры.

При анализе программ возможны три предельных случая:

Кст = 0 — оценка производится без учета стоимостных характеристик;

Квр = 0 — оценка производится без учета временных характеристик;

Кеаж = 1, Квр = 0, Кст = 0 — оценка производится только по важности ИС.

Рассмотренная выше методика позволяет ранжировать различные программы развития по следующим критериям:

- важность;

- важность-стоимость;

- важность-время;

- комбинированный (важность-стоимость-время).

Кроме того, по заданию заказчика возможно введение дополнительных показателей и кри-

рактеризующий текущую (по времени) степень выполнения программы и позволяющий исключить из рассмотрения работы, близящиеся к завершению, где ґ, — время, в течение которого работа уже выполняется; Т* — запланированное время выполнения программы.

В данной модели рассмотрено разбиение предметной области на три уровня детализации (по общим задачам, частным задачам и конкретным программам). Однако предложенный математический аппарат позволяет произвести разбиение предметной области на большее (меньшее) число уровней, а также производить ранжирование программ по ряду предметных областей (в этом случае верхним узлом графа будет предметная область высшего уровня).

Р ( К-ж У “ ( С ) + Кт У" (с') + КрУ - (с' )),

(17)

териев. Например, одним из дополнительных показателей может стать