Математическая модель кольцевого резонатора микроволнового гироскопа при возбуждении импульсным сигналом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.37, 531.383

Б.К. Сивяков, Ю.П. Слаповская

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА МИКРОВОЛНОВОГО ГИРОСКОПА ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ

ИМПУЛЬСНЫМ СИГНАЛОМ

Построена математическая модель и проведен анализ переходных процессов в микроволновом резонансном гироскопе с пассивным резонатором. Исследовано влияние длительности и частоты импульса, угловой скорости вращения резонатора на переходные процессы.

Получены оценки чувствительностей напряжения, а также смещения узла стоячей волны к изменению угловой скорости вращения резонатора.

Микроволновый резонансный гироскоп, кольцевой резонатор, математическая модель, переходные процессы, резонансные характеристики.

B.K. Sivyakov, Yu.P. Slapovskaya MATHEMATICAL MODEL OF THE RING RESONATOR OF THE MICROWAVE GYROSCOPE WITH EXCISTEMENT BY PULSED SIGNAL

The article presents a mathematical model and analysis of the transition processes in the microwave resonance gyroscope with passive resonator. The influence of the impulse duration and frequency, of the resonator rotation angular velocity on the transition processes is researched. The article estimates sensitivities to the voltage and also to the standing wave node displacement for the resonator rotation angular velocity.

Microwave resonance gyroscope, ring resonator, mathematical model, transition processes, resonance characteristics.

Известны и применяются на практике гироскопы, основанные на эффекте Саньяка в оптическом диапазоне: кольцевые нерезонансные, лазерные, волоконно-оптические [1]. Развитие СВЧ-техники: продвижение в область миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов длин волн, появление эффективных генераторов и технологий изготовления схем открывает новые возможности по созданию гироскопов в СВЧ-диапазоне. В настоящей работе разработана математическая модель и проведен анализ переходных процессов и резонансных характеристик микроволнового резонансного гироскопа с пассивным резонатором.

Рассмотрим волновод, свернутый в виде кольца и замкнутый сам на себя (рис. 1 а). Плоскость осевой линии кругового резонатора лежит в плоскости рисунка и перпендикулярна измерительной оси прибора, направленной в сторону наблюдателя. В резонатор подается импульс напряжения длиной ти с амплитудой Um (рис. 1 б):

u(t) = Um •sin[®'t + Ф0]. (1)

В резонаторе возбуждаются две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях от точки возбуждения. Тогда при средней длине кольца Ь, составляющей целое число длин волн Л, в рассматриваемой линии будет наблюдаться резкое увеличение напряженностей электрического и магнитного полей (резонанс).

Резонансная длина волны кольцевого полого резонатора определяется условием

[2]:

Ь = п - Л, (2)

где Ь - периметр кольцевого резонатора по средней линии, м; п - число длин волн в рассматриваемом резонаторе, п = 1, 2, 3...; Л - резонансная длина волны кольцевого резонатора, м.

До момента окончания действия импульса ти в резонаторе происходит процесс накопления энергии. После окончания действия импульса в резонаторе наблюдается затухание электромагнитных волн (электромагнитного колебательного процесса).

Платформа, на которой установлен резонатор, вращается с угловой скоростью ш2. Обозначим напряжение волны, распространяющейся в направлении, совпадающем с направлением вращения (прямая волна), и (1,0, а напряжение волны, распространяющейся в противоположном направлении (встречная волна), ЦГ(Г,(), где /± -линейная координата вдоль осевой линии резонатора, I - текущее время. Соответственно, все обозначения, относящиеся к первой волне, будут иметь индекс «+», ко второй волне -индекс «-». При вращении платформы появляется разность времен хода волн А1, так как волны будут проходить разные расстояния и, следовательно, обладать различными фазовыми скоростями Уф, фазовыми постоянными в± и коэффициентами затухания а±

относительно резонатора. Запаздывание одной волны относительно другой приводит к смещению интерференционной картины на величину А/ вдоль периметра кольца.

б

и

У

Рис. 1. Схематическое изображение СВЧ-резонансного гироскопа - а; импульс напряжения, подаваемый в резонатор - б

Выражение, описывающее процесс распространения волны, имеет вид для прямой

волны:

для встречной волны:

и + (+, г) = и+т • е~“+' + • 81и[ш • г - р+ • I + + ф+ ], и (і(,г)= ит • е-“ 4 • 8Іи[ш • г-р- • I- + ф-]

(3)

(4)

В (3), (4) ф± - начальная фаза волн при г = 0. При синфазном возбуждении волн Ф+ = Ф- = Ф0, при противофазном ф- = ф+ + п . Возможны и иные варианты возбуждения,

X

и

определяемые устройством элемента связи. Амплитуды волн Um и Um также зависят от способа возбуждения резонатора, например при параллельном подключении входного тракта к волноводной линии резонатора U+m = Um = Um .

Для анализа перейдем от линейных координат t и Г к одной угловой.

Г=у R, /“=£•R , (5)

где у и £ - угловые координаты, соответствующие t и Г (рис. 1 а).

С учетом цикличности угол у:

у = 2 • п • n + у', (6)

где n - число полных оборотов; у' - угол на текущем (п+1)-м обороте. Обороты начинаем отсчитывать с момента времени t = 0. Для встречной координаты £ имеем:

£ = 2 • п • n + £', (7)

где £' = 2-я-у' - угол на текущем (п+1)-м обороте £. Выразим £ через n и у':

£ = 2 -тс-(п +1) —у'. (8)

Следовательно,

I + = (2 • п • n + у' )• R, (9)

I— = [2-тс-(п +1)—у']-R . (10)

Таким образом, пути t и Г выражены через количество полных оборотов n и угол у' на текущем (п+1)-м обороте. Для каждой из волн получим в новой координате:

U +(n, у', t) = Um • e(фп+у) • sin[ю • t — Р+ • (2 • п • n + у') R + ф+], (11)

U (п,у',t) = Um • e<2п<п+1)—у>я • sin[сю t — Р— ^[2• п• (n +1)—у7]• R + ф—]. (12)

В силу цикличности распространения происходит интерференция как прямых, так и встречных волн:

U£(у',t) = £ Um(t+ )• e)R • sin[(B • t — р+ • [2• п• n + у' ]• R + ф+], (13)

n=0

Uе(( у^ t)= jT Um(t0—) e"“ [2п(П+1)_у ]R -sin [ю • t — p— •f2-п-(« + 1)— у'] + ф—], (14)

n=0

где ) - амплитуда напряжения на входе резонатора у = 0 в момент времени ; # -

число циклов сложения волн.

Интерференция волн происходит в сечении резонатора с координатой п, у' в

данный момент времени *. Интерферирующие волны поступают в резонатор в разные

, +

моменты времени *0 , которые определяются следующими выражениями:

*0± = *- , (15)

где - время, затрачиваемое прямой и встречной волнами для достижения

рассматриваемого сечения (п, у'). Соответственно,

*+=(2п + У')'К/К ; *+ = [2‘п'(п + 1)-У']-к/уф . (16)

Очевидно, что граничные условия для амплитуды напряжения:

, , Ц,, если 0 < 1 < ти;

(*±)=\ ± и; (17)

10, если ти < 1о < 0.

Таким образом, учтен импульсный характер входного напряжения. Um(t0) -определяется законом изменения амплитуды импульса, т.е. его видом, например, Um(t0) = const - прямоугольный импульс.

Суммарная (стоячая) волна является результатом интерференции прямых и встречных волн:

U (п, у', t ) = U£(n, у', t) + UT(n, у', t). (18)

Полученное выражение позволяет вычислить напряжение стоячей волны на любом обороте и при любых значениях у' и t.

Поскольку обороты начинают отсчитывать с момента времени t = 0, то время можно выразить через число оборотов nt и фазовую скорость прямой волны V+ :

tn = 2 n ■ RIVф . (19)

В этом случае выражение для стоячей волны примет следующий вид:

U(п,у',nt) = T Um(t0+)e-“ (п'п+у ) • sin[в+ • 2•пnt • R — в+ •[пп + у'RR + ф+]+

n=0

N

+ T Um(t0—)e~“ [(п+1)у ]r 2^n •R — p—•f2'п-(п +1)— у'] + ф— ] =

n=0

T kfe )•e •(п+у)R • sin[p+ •R •I2 •п •(—п)—у' ]+ф+]-

n=0

+ е-”"[“1)-у1я -зт[р* • К-|2-п-(п, -Р7Р* -(п + 1))-р7р* -у']-К + Ф-| (20)

Следовательно, задавая время дискретно, как время, необходимое прямой волне на совершение п( оборотов, для каждого оборота по полученной формуле можно построить распределение напряжения стоячей волны в резонаторе по координате у' У. Для получения полной картины стоячей волны потребуется взять несколько значений времени в пределах периода Т = 2тс/ш:

*т = *п + Т/М • т , где т = 0, 1, 2, ... М-1. (21)

Это позволит определить максимальное значение напряжения в пучности стоячей волны. Подстановка в выражение для стоячей волны дает следующую добавку к начальным фазам ф±:

Ф± + 2 • п/М • т . (22)

Принцип действия резонансного микроволнового гироскопа основан на смещении узла стоячей волны при вращении спустя некоторое время после окончания возбуждающего входного импульса напряжения, определяемого добротностью резонатора и чувствительностью регистрирующего устройства. Для определения положения узла необходимо вычислить напряжение стоячей волны на интервале изменения у', задаваемом значениями у'мин и у'макс, а также числом точек Ь на этом интервале:

у! = умин + (у'макс - у'мин )- 11Ь , где 1 = 0 1 2 . Ь-1. (23)

Поскольку узлы отстоят друг от друга на расстоянии половины длины волны, то интервал должен быть не менее этого расстояния:

у'макс - у'мин > пУф/®К . (24)

Рассмотрим вопрос о выборе числа циклов N. Если п = N > п*, то имеем расстояние, до которого волна еще не успела распространиться, и амплитуда ее напряжения ит = 0.

Действительно, в этом случае = * - *0 < 0. Поэтому следует выбирать N = п*.

На основании результатов проведенного анализа можно записать следующее выражение, описывающее переходный процесс в кольцевом резонаторе микроволнового гироскопа при импульсном возбуждении - математическая модель переходного процесса:

и (у! , п, т) = X {ит(*0+>е ~а+( п-п+у' )й •8т [р+ •[ • [2 • п •( - пУ- у' ] + ф+ + 2 •п • ЧМ ]+

и=0

+ итк)-е~а-'[2'л'(и+1)^:]Я • (25)

• 8т[р+ • К-[2-п-(п*-в /р+-(п + 1))-в /р+-у']• К + ф0+ 2-п-т/М_}.

При вращении платформы со скоростью ш2 фазовые скорости электромагнитных волн относительно резонатора равны:

Уф= ГФ + ш* - К . (26)

Фазовые постоянные волн:

в± = 2 - п±- / = 2-п-/ . (27)

^ Кф + ш* • К ^ '

Путь, проходимый прямой волной за один оборот по средней линии резонатора, равен Ь = 2пК + А/, обратной волной - Ь = 2пК - А', где А/ - приращение пути за счет вращения резонатора с абсолютной угловой скоростью ш*.

Разность хода волн А/ на одном обороте [2]:

4 - ш - ^

А/ = А*-Гф = * . (28)

Ф К,

Ф

В режиме установившихся гармонических колебаний в произвольной однородной передающей линии векторы электрического и магнитного полей бегущей волны могут быть представлены в виде [3]:

Е = Ет (г, ф) - е~аг - е}{ш-в*], (29)

И = Ит (г, ф) - е^-е' ^). (30)

При появлении абсолютной угловой скорости а* в выражениях (29) и (30)

-а* ~ -а(/+А') -а' (1+А'/') ~

множитель е для прямой волны становится равным е к ! = е к 1 !, а для встречной волны е-а('-А'^ = е~а'(-А'/'\ Соответственно введем обозначения для постоянных затухания прямой и встречной волн:

а± = а • Г1 ± —1 = а •

І I J

(31)

Моделирование переходного процесса в кольцевом резонаторе микроволнового гироскопа при возбуждении импульсным сигналом проводилось с помощью методов объектно-ориентированного программирования в среде ВБЬРИІ. Волновод с радиусом

7 —1 —1

г = 2,4 см, внутренние стенки которого покрыты золотой пленкой ост= 4,1-10 Ом • м , возбуждается на волне типа Н01 на частоте 30 ГГц, радиус кольца Я = 10 см, амплитуда напряжения возбуждающего импульса ит = 1 В, начальная фаза ф±=тс/2, процесс рассматривается в сечении резонатора у' = п.

На рис. 2 а приведены графики переходного процесса в кольцевом резонаторе при различной длительности возбуждающего импульса, соответствующей: 1 - 3000 оборотов прямой волны, 2 - 1500 оборотов прямой волны, 3 - 750 оборотам прямой волны. Рост напряжения в резонаторе и его затухание (спад) происходят по экспоненциальному закону. Процесс накопления энергии завершается при длительности импульса 3000 оборотов (напряжение в резонаторе выходит в насыщение, рис. 2 а, кривая 1), при дальнейшем

увеличении длительности импульса энергия, поступающая в резонатор, будет рассеиваться в резонаторе.

На рис. 2 б приведены графики переходного процесса в резонаторе при его возбуждении на различных частотах: 1 - 30 ГГц, 2 - 29,999975 ГГц, 3 - 29,99995 ГГц, 4 -29,9999 ГГц. На резонансной частоте 30 ГГц происходит синфазное сложение прямых и встречных волн. При изменении частоты наблюдается сдвиг фаз между колебаниями. С некоторого момента времени эти колебания складываются в противофазе, а переходный процесс в целом приобретает колебательный характер.

На рис. 2 в приведены графики переходного процесса при различных угловых скоростях вращения резонатора: 1 - = 0, 2 - = 700 рад/с, 3 - = 2500 рад/с. При

появлении вращения изменяются фазовые скорости прямой и встречной волн, соответственно сложение волн происходит с разными фазами. При больших угловых скоростях переходный процесс приобретает колебательный характер.

Рис. 2. Переходный процесс в кольцевом резонаторе микроволнового гироскопа

На резонансной характеристике (рис. 3 а) отображены мгновенные значения напряжения в точке у) = п кольцевого резонатора в фиксированный момент времени. При

уходе от частоты 30 ГГц на периметре резонатора укладывается нецелое число длин волн, а так как характер напряжения определяется суперпозицией прямых и встречных волн, наблюдается изрезанность резонансной характеристики. В широкой полосе (рис. 3 б) наблюдается последовательность резонансов, соответствующих частотам, при которых на периметре резонатора укладывается целое число длин волн.

Чувствительность микроволнового гироскопа оценивалась по изменению напряжения в точке минимума стоячей волны в резонаторе (рис. 4) и смещению этого минимума вдоль периметра резонатора (рис. 5) при появлении абсолютной угловой скорости вращения. На рис. 4 а приведены графики зависимости изменения напряжения в точке минимума стоячей волны от вращения при прохождении волнами разного количества оборотов: 1 - 4000 оборотов, 2 - 5000 оборотов, 3 - 6000 оборотов. Из графика видно, что чувствительность по напряжению в определенной точке возрастает при

б

приближении к концу импульса, что объясняется большой амплитудой колебаний в резонаторе. На рис. 4 б приведены значения напряжения в точке минимума стоячей волны при угловой скорости ш2 = 1 рад/с для разного количества оборотов прямой волны.

На рис. 5 а приведен график зависимости напряжения в резонаторе от угловой координаты у при щ = 6000 для различных скоростей: 1 - ш2=0, 2 - = 1 рад/с, 3 - =

10 рад/с. Информационным параметром здесь является смещение минимума стоячей волны вдоль периметра резонатора. На рис. 5 б приведены значения смещения минимума при угловой скорости ш2 = 1 рад/с с увеличением числа оборотов щ. Как видно из графика, эта зависимость носит практически линейный характер.

а б

Рис. 3. Резонансные характеристики кольцевого резонатора микроволнового резонансного

гироскопа

Рис. 4. Изменение напряжения в точке минимума стоячей волны

б

а

б

Рис. 5. Смещение минимума стоячей волны в зависимости от числа оборотов и абсолютной угловой скорости вращения

Из сравнения чувствительностей по напряжению и смещению узла стоячей волны к угловой скорости вращения резонатора следует, что с точки зрения практической реализации более перспективным представляется измерение скорости вращения по изменению напряжения стоячей волны.

Построена теория переходных процессов в протяженных кольцевых резонаторах при возбуждении импульсным сигналом с учетом эффекта Саньяка. Предложена математическая модель и разработана программа в среде объектно-ориентированного программирования БЕЬРШ, позволяющие осуществлять математическое моделирование переходных процессов при различных параметрах резонатора и импульсного сигнала. Исследованы переходные и резонансные характеристики кольцевого резонатора на основе волновода с круглым поперечным сечением, получены оценки чувствительностей по напряжению, а также смещению узла стоячей волны к угловой скорости вращения резонатора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бороздин В.Н. Гироскопические приборы и устройства систем управления / В.Н. Бороздин. М.: Машиностроение, 1990. 272 с.

2. Математическое моделирование работы СВЧ-резонансного гироскопа / П.К. Плотников, Б.К. Сивяков, Ю.П. Слаповская, И.Б. Яковлева // Сб. материалов XIV Санкт-Петерб. Междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб: Гос. науч. центр Рос. Федерации ЦНИИ «Электроприбор», 2007. С. 44-46.

3. Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ: в 3 т. / И.В. Лебедев. М.: Высшая школа, 1970. Т. 1. 440 с.

а

Сивяков Борис Константинович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электротехника и электроника» Саратовского государственного технического университета

Слаповская Юлия Петровна -

аспирант кафедры «Электротехника и электроника» Саратовского государственного

Sivyakov Boris Konstantinovich -

Doctor of Technical Sciences,

Professor, Head of the Department of «Electrical Engineering and Electronics» of Saratov State Technical University

Slapovskaya Yulia Petrovna -

Post-graduate Student of the Department

of «Electrical Engineering and Electronics»

технического университета of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 11.12.09, принята к опубликованию 25.03.10