CC BY
9
удк 539.3
в.и. гнитько, кг. дегтярев, вв. науменко, e.a. стрельникова
Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ УРОВНЕМ ЗАПОЛНЕНИЯ ЖИДКОСТЬЮ
В работе предложен метод расчета свободных колебаний оболочек вращения с жидкостью, уровень которой меняется во времени. Метод основан на сведении задачи об определении давления жидкости на оболочку к системе сингулярных интегральных уравнений. Строятся системы базисных функций. Для их нахождения решаются краевые задачи с использованием методов конечных и граничных элементов. Определение частот свободных колебаний с переменным уровнем заполнения сведено к решению проблемы собственных значений для несимметричной матрицы.
Ключевые слова: свободные колебания, гидроупгугое взаимодействие, методы граничных и конечных элементов.
V. GNITKO, K. DEGTIAREV, V. NAUMENKO, E. STRELNIKOVA
A.N. Podgorny Institute of Mechanical Engineering Problems
MATEMATICAL MODEL OF VIBRATIONS FOR FLUID-FILLED SHELL OF REVOLUTION WITH
A LIQUID CHANGING LEVEL
Annotation
In this paper we present a method for fluid-structure interaction analysis of a shell of revolution partially filled with a liquid. The main aim was to formulate the mathematical model and to elaborate the effective numerical method for evaluation modes and frequencies of the fuel tank partially filled with liquid that allows us to include elasticity of shell walls, different liquid properties, effects of gravity force and to estimate influence of these factors on frequencies of tank vibration.
The main idea was to reduce the problem under consideration to eigenvalue problem for non-symmetrical matrix. For this purpose three systems of basic functions were elaborated. First of them was the system of own modes of empty shell, the second was correspond to free vibration of elastic shell with liquid but without including the force of gravity, and the third was connected with free vibration of liquid in corresponding rigid tank under non-zero gravity. These basic systems were implemented in the mathematical model. The latter was developed in following suppositions. The shell of revolution was a simplified model of a fuel tank. The shell was considered to be thin and Kirghoff - Lave linear theory hypotheses were applied. The liquid is ideal and incompressible. The filling levels may be different and will change with the time. The gravity force is including into analysis.
The coupled problem was solved using a coupled BEM and FEM in-house solver. During its solution the above-mentioned basic system of functions were obtained. The tank structure was modelled by FEM and the liquid sloshing in fluid domain was described by BEM. The method relies on determining the fluid pressure from the system of singular integral equations. For its numerical solution the boundary element method was applied. The natural frequencies were obtained for the cylindrical double tank with two compartments.
The outcomes ofproposed theoretical study will be implemented into numerical procedure based on a coupling finite element formulation and the boundary element method developed for computational analysis offluid-structure interaction for a fuel tank.
Key words: free vibrations, hydro-elastic interaction, finite and boundary element methods, different filling level.
Актуальность проблемы и анализ публикаций по теме исследования. По подсчетам специалистов, изношенность оборудования в различных отраслях экономики Украины составляет 50-70 процентов и имеет тенденцию к возрастанию [ 1]. Это привело к необходимости проектирования новой техники, что требует значительного усложнения расчетных схем. В частности, решение задач теории оболочек, возникающих при проектировании тонкостенных конструкций, сопряжено со значительными математическими трудностями и во многих случаях может быть выполнено только с помощью приближенных методов. Решение таких актуальных задач, как снижение массы тонкостенных конструкций и уменьшение расходов материала, обеспечение надежности в условиях эксплуатации и сокращение сроков проектирования тесно связано с развитием численных методов расчета напряженно -деформированного состояния (НДС) и динамических характеристик конструкций.
Динамический анализ НДС оболочечных конструкций часто выполняется при помощи конечно-элементных программ [2-6]. Но трехмерный анализ с учетом взаимодействия жидкости и конструкции является сложной и чрезвычайно трудоёмкой задачей. Поэтому для проведения исследования прочности и устойчивости оболочек при импульсных и сейсмических нагрузках принимаются упрощенные гипотезы. Предполагается, например, что жидкость состоит из двух частей: движущейся вместе с емкостью как жесткое целое и части, движущейся со своей собственной частотой. Определение границ этих частей жидкости производится эмпирически. Не учитывается также упругость стенок резервуара,
влияние уровня заполнения, действие сил гравитации. Следует отметить, что в большинстве работ рассматриваются цилиндрические оболочки; для численного моделирования применяется метод конечных элементов.
Данная работа посвящена динамике оболочек вращения, частично заполненных жидкостью. Здесь рассмотрен вопрос о свободных колебаниях оболочки вращения с произвольным меридианом. Предложенная математическая модель дает возможность анализа колебаний как упругих стенок, так и содержащейся в резервуаре жидкости с учетом меняющегося уровня заполнения и действия гравитационных сил. Это позволяет моделировать динамику топливных баков аэрокосмических аппаратов в условиях полета.
Постановка задачи и цели исследования. Рассматривается динамическая задача для оболочки вращения, частично заполненной жидкостью. Систему уравнений движения символически запишем в
виде
Ч(Ц) + М(Ц) = Р, (1)
где Ь, М - операторы упругих и массовых сил; Р - давление жидкости на смоченные поверхности конструкции; и=(щ, и2, и3) - вектор-функция перемещений.
Для связанной задачи гидроупругости представим вектор и в форме и=ие,п\ где О - частота, а и - собственная форма гидроупругих колебаний.
Будем искать собственные формы оболочечной конструкции с отсеками, частично заполненными жидкостью, в виде ряда
N
искик > (2)
к=1
где ик - собственные формы колебаний оболочечной конструкции, незаполненной жидкостью; ск -неизвестные коэффициенты. В работе применяется теория оболочек Кирхгофа- Лява.
Ч(пк) = О2кМ(ик), (М(щ), ^) = 8Щ . (3)
Таким образом,
(Ч(щ), п}) = 0^ , (4)
где О к - к-а частота собственных колебаний незаполненной конструкции
Предполагается, что жидкость идеальная, несжимаемая, а ее движение, индуцированное колебаниями оболочки и начавшееся из состояния покоя, является безвихревым. В этих условиях существует потенциал скоростей Ф
дФ _дФ _д Ф
' х= ^ ; ' у=^ ; ' 2= ^ '
дх ду д2
который удовлетворяет уравнению Лапласа. В случае гармонических колебаний, в предположении, что собственная скорость жидкости задана как функция только от времени У§ (') и направлена по оси 02 (т.е. является гармонической функцией), в соответствии с интегралом Коши-Лагранжа величина р имеет вид
(дФ , \дФ Л
Р — Ро =-р2| — + У0
где рг - плотность жидкости, g - ускорение.
Отметим, что составляющая — р2давления является статической и не входит в систему (1)
при решении задачи о свободных колебаниях.
Требуется определить частоты колебаний оболочки с жидкостью в зависимости от уровня заполнения с учетом гравитационной силы и упругости стенок оболочки.
Метод решения. Обозначим смоченную поверхность оболочки через 51, а свободную поверхность - (рис. 1). Пусть декартова система координат 0хух связана с оболочкой, свободная поверхность жидкости 50 совпадает с плоскостью хОу в состоянии покоя. Считаем, что резервуар с жидкостью подвергается динамическому воздействию. На смоченной поверхности упругой оболочки требуется выполнение условия непротекания, на свободной поверхности задаются динамическое и кинематическое граничные условия. Динамическим граничным условием является равенство давления на свободной поверхности атмосферному, а кинематическое условие заключается в том, что частицы жидкости, первоначально находившиеся на свободной поверхности, остаются на ней во все время последующего движения.
Рис. 1. Оболочка вращения, частично заполненная жидкостью На свободной поверхности должны быть выполнены следующие условия
дФ
дп
д7.
дл'
р -Ро\с = 0
где функция С описывает форму и положение свободной поверхности. Для потенциала скоростей имеем следующую краевую задачу
дм _ дФ
дл ' дп
? дФ У2Ф = 0; -
дп
дС I п д^ п дФ
=17; р^ = о; -т+V (0-г+&
дл 1ео дл ч / д2
= 0.
Будем искать потенциал скоростей в виде суммы двух потенциалов ф = фх + ф2. Представим потенциал Ф1 в виде
N
Ф1= Е дк Ф1к .
(5)
к=1
Здесь зависящие от времени коэффициенты определены в (2). Для функций фк имеем следующие краевые задачи [7-8]:
дФ1к
У2ф1к = 0,
Представим потенциал Ф 2 в виде
дп
=мк; Ф1кк =0.
м
Ф 2 = Е с1к Ф2к . к=1
Для функций ф2к имеем следующие краевые задачи [7-8
^2ф2к = 0,
дФ 2к
дп
= 0;
дФ2к
дп
дФ2к
При этом имеем на свободной поверхности
дл
дФ2к Х2 т —;— = — Ф2к .
дп я
Для свободной поверхности получено выражение
с-Ек ^дФ2к
дл
+ я7 = 0 .
(6)
(7)
(8)
к=1 дп к=1 Рассмотрим суммарный потенциал Ф. Имеем
дп
(9)
ДФ=0; -
дФ дп
дм
дФ
Выполнено также равенство -
дп
дС
= — вследствие (9).
дл
0
0
п дФ т_/чдФ Потребуем выполнения условия--h Vq (t)--h gÇ
dt dz
= 0 с учетом соотношений (8)-(9).
s0
Объединяя полученные соотношения и уравнение движения (1), имеем
( N аФ M Л N ^ M
Z dk 92k + V0 (t ) Z ck + Z dk ifalk + g Z ck + Z dk /^2k = 0 ;
M
z
k=1
Vk=1 dn k=i
dn
k=1
= "P:
У k=1
A ЛГ Л i N \
+M\J^ck(t) uk
\k=1 У V ¿=1 У
ЛГ M .. A ЛГ ^ j M . ftA \\
Zct(/M*+2И(0 "
(10)
&
&
\k=1 ifc=l ^ ¿=1 ^ У y
Первая группа соотношений выполнена на свободной поверхности, вторая - на смоченных поверхностях оболочечной конструкции.
Найдем скалярное произведение первой группы соотношений на функцию Ф2 j, а второй
группы на на функции u j. Воспользуемся соотношениями (3)-(4) и условием ортогональности
собственных форм колебаний жидкости в жестком сосуде [9]. Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
dj (t) + Vo (ofc (tj^, 92j ] + Vo (tj (t) + gjfk , 92j ) + j (t)= 0 (11)
f N M Л
P2V0 (t )
1
k=1
5XC0 ^ +5X<o
Вф,
2k
dz
a. "
.¿=1 V ^ У ¿=1 Ее решение ищем в виде
ck (') = Скеа'; dk (') = Пке(; Соотношения (11) с учетом (12) приводят к проблеме собственных значений
(12)
ш
EC + QC + ш p2PC + ш2р2BlD + шp2V0 (t)A2C + ш p2V0(t)B2D = 0
ш2 ED + ш V0 (t )Hx D + ш V0 (t )A1C + gA1C + H, D = 0 Здесь введены матрицы
P = Wji Pj = U,Uj); A2 = } ~2 -(d91k
ajk =
dz
j '
b1 = j j = Uuj); b2 = j j =
n=jnj bkj } H/ = '5k }
Вводим вектор X = (C d) размерности N + M и квадратные матрицы размерности ( N + M )х( N+M )
(a o Л
M =
fE + P2 P P2 Bn v 0 E У
H = Vq (t )
(P2 A2 P2B2 Л A1 Hw
G =
gA1 H,
/У
Приходим к проблеме собственных значений
(ш2м + аИ + о)х = 0 (13)
Приведем (13) к стандартной форме проблемы собственных значений. Сначала придадим (13) вид
(ш2е + аМ ~1И + М ~10>Х = 0
Из этого равенства получаем
<»2EX = -(coM ~lH + M _1G|X = 0
Введем вектор Y = (С D шС шD)T размерности 2( N + M) и матрицу размерности 2( N + M )х2( N + M)
^ 0 E Л
-M~lG -M~lH ,
A =
Получаем
0
E Y X W шХ Л
-M G -M~lH
шХ
ш2 X
или
Л7 = ®7
Таким образом, задача определения частот и форм свободных колебаний оболочки с меняющимся уровнем заполнения сведена к проблеме собственных значений для несимметричной матрицы.
Выводы и перспективы дальнейших исследований. Построена математическая модель и разработаны теоретические основы построения численного метода анализа динамического поведения произвольных оболочек вращения, частично заполненных жидкостью. Предполагается, что уровень заполнения оболочки жидкостью меняется во времени. Потенциал скоростей представлен в виде суммы двух слагаемых, соответствующих задачам определения частот и форм свободных колебаний жидкости в жесткой оболочке и упругой оболочки с жидкостью без учета гравитационной составляющей. Задача сводится к решению проблемы собственных значений для каждого уровня заполнения. В результате получаем комплексные частоты колебаний как функции времени.
Литература
1. Концепция державно! програми забезпечення технолопчно! безпеки в основних галузях економши: Розпорядження кабшету мiнiстрiв Укра!ни № 351 вщ 11 червня 2003 р. - Киев, 2003.
2. Мокеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных элементов/ В.В Мокеев. — Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1998. - № 6. - С.166-174.
3. Слепян Л.И. Метод граничных интегральных уравнений в гидроупругости / Л.И.Слепян, С.В. Сорокин — Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1989. - №4. - С.166-177.
4. Celebi, M.S., Kim, M.H., Beck, R.F.,. Fully Non-linear 3-D Numerical Wave Tank Simulation. / M.S Celeb, M.H Kim, R.F Beck. — J. of Ship Research. - 1998. - Vol.42, No.1. - Р. 33-45.
5. Selmane A. Vibration analysis of anisotropic open cylindrical shells subjected to a flowing fluid / A. Selmane, A.A. Lakis / Selmane A J. — Fluids Struct. - 1997. - V. 11. - P. 111-134.
6. Zhang,Y.L. A finite element method for modelling the vibration of initially tensioned thin-walled orthotopic cylindrical tubes conveying fluid / Y.L. Zhang, D.G. Gorman, J.M.Reese — J. Sound Vib. -2001. - V. 245. №1. - P. 93-112.
7. Gnitko V. Multi-domain BEM and FEM for fluid-structure interaction analysis / V. Gnitko, V. Naumenko, U. Ogorodnyk, E Strelnikova, -WIT Transactions on Modelling and Simulation. - 2013. - 54.- Р. 33-45.
8. Ventsel E. /Free vibrations of shells of revolution filled with a fluid. E Ventsel., V Naumenko, E Strelnikova., E Yeseleva, - Engineering analysis with boundary elements.-2010. - 34. - Р. 856-862.
9. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику жестких оболочек с полостями, заполенными жидкостью / И.А. Луковский. - Киев: Наукова думка, 1990. - 296 с.
