Математическая модель капиллярных заборных устройств торового топливного бака Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

полей, распределенные по большой площади, могут нести информацию только об активизации эндогенных процессов в Земле. Медленность образования и эволюции протяженных связанных структур позволяет говорить о протекании в среднем детерминированного процесса, что оставляет возможность среднесрочного прогноза места вероятного очага по сейсмологическим данным. Представления об индуцированном шумовым силовым полем сейсмическом процессе дают основания для усиления работ в области краткосрочного прогноза времени сильных землетрясений.

Авторы выражают благодарность за обсуждение работы член-корр. РАН А.В. Николаеву и член-корр. РАН Г.А. Соболеву за критические замечания.

Библиографический список

1. Гуфельд, И.Л. Метастабильность литосферы как проявление восходящей диффузии легких газов / И.Л. Гуфельд, Г.А. Гусев, М.И. Матвеева // Доклады РАН. - 1998. - № 5. - Т. 362. - С. 677-680.

2. Газы радиогенной природы в динамике литосферы / И.Л. Гуфельд, М.И. Матвеева, РА. Лютиков и др. // Доклады РАН. - 1993. - Т 328. - № 1. - С. 39-42.

3. Дегазация Земли: геодинамика, геофлюиды, нефть и газ // Материалы конференции памяти академика П.Н. Кропоткина. - М.: Геос, 2002. - 472 с.

4. Николаев, А.В. Динамические процессы в геофизической среде // А.В. Николаев. - М.: Наука, 1994. - 255 с.

5. Зубков, С.И. Времена возникновения предвестников землетрясений / С.И. Зубков // Изв. АН СССР Физика Земли. - 1987. - № 5. - С. 87-91.

6. Моги, К. Предсказание землетрясений / К. Моги. - М.: Наука, 1988. - 382 с.

7. Николаевский, В.Н. Катакластическое разрушение пород земной коры и аномалии геофизических полей / В.Н. Николаевский // Физика Земли. - 1996. - №4. - С. 41-50.

8. Садовский, М.А. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс / М.А. Садовский, Л.Г. Болховитинов, В.Ф. Писаренко. - М.: Наука, 1995. - 100 с.

9. Сидорин, А.Я. Зависимость времени проявления предвестников от эпицентрального расстояния / А.Я. Сидорин // Доклады АН СССР - 1970. - Т 245. - № 4. - С. 825-828.

10. Соболев, Г.А. Основы прогноза землетрясений / Г.А. Соболев. - М.: Наука, 1993. - 313 с.

11. Трапезников, Ю.А. Вопросы пространственно-временного распределения землетрясений и их предвестников. Проявления геодинамических процессов в геофизических полях / Ю.А. Трапезников. - М.: Наука, 1993. -С. 139-150.

12. Bak Р, Tang C. Earthquakes as self-organized critical phenomenon // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. №11. P 1563515640.

13. Burridge R. Knopoff L. Model and theoretical seismisity // Seism. Soc. Am. Bull. 1967. V 57. P. 241-347.

14. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of non-linear problems. Los Alamos Report LA-1940 (1955). In collected papers of Enrico Fermi. Ed. Segre .University of Chicago. Chicago. 1965. V 2. P. 978-988.

15. Mogi K. Two kinds of seismic gaps // Pure and Appl. Geophys. 1979. V 117. P 101-109.

16. Van den Broeck C. Parrondo J.M.R. Toral R. Noise-induced non-equilibrium phase transition. Phys.Rev. Lett. 1994. V 73. №25. P. 3395-3398.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАПИЛЛЯРНЫХ ЗАБОРНЫХ УСТРОЙСТВ ТОРОВОГО ТОПЛИВНОГО БАКА

A. В. КОРОЛЬКОВ, проф. каф. прикладной математикиМГУЛ, д-р физ.-мат. наук,

B. А. МЕНЬШИКОВ, проф. НИИ КС ГКНПЦ им. М.В. Хруничева, д-р техн. наук, И.С. ПАРТОЛА, КБ «Салют» ГКНПЦ им. Хруничева,

В.Б. САПОЖНИКОВ, проф., АНОО «УЦ «Остров», д-р. техн. наук

Заборное устройство - внутрибаковое устройство, предназначенное для организации опорожнения топливного бака разгонного блока или ракеты-носителя с минимальными невырабатываемыми остатками топлива и допустимым содержанием газовых включений в выходном потоке (несплошностью) [1].

Заборные устройства распределенного забора топлива обеспечивают сбор жидкого топлива на достаточно большом удалении от расходной магистрали. Широкое применение получили капиллярные заборные устройства, которые представляют собой систему каналов, разветвленную по топливному баку. В результате обеспечивается

постоянный контакт заборного устройства с жидким топливом. Удержание жидкости внутри канала и сепарация газовых включений из входного потока жидкости обеспечивается капиллярным перепадом давления на мелкоячеистой сетке, из которой изготовлен канал. Капиллярные заборные устройства (КЗУ) распределенного забора топлива нашли широкое применение в двигательных установках космических аппаратов и вспомогательных двигательных установках многоразовых транспортных кораблей (МТКК) [1, 4, 6].

Как известно, принцип действия КЗУ (рисунок) основан на использовании капиллярных сил для удержания жидкого топлива внутри

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

35

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

пористого коллектора при окончании выработки торового топливного бака. Пористость обеспечивает поступление жидких компонентов топлива в КЗУ через погруженную часть коллектора. В то же время капиллярный перепад давления препятствует прорыву газа в расходный трубопровод через участки КЗУ, оказавшиеся в газовой полости вследствие отклонения вектора тяги двигателя от продольной оси изделия.

В работе рассматриваются КЗУ постоянного и переменного по длине диаметра. Диаметр трубок уменьшается по мере удаления от выхода КЗУ. В результате снижается гидравлический перепад давления, приводящий к прорыву газа в полость КЗУ. Часть боковой поверхности КЗУ выполнена непроницаемой для жидкости.

Работу такого заборного устройства описывает система уравнений, связывающая функции состояния системы (скорость жидкости вдоль КЗУ w, скорость жидкости через боковую стенку КЗУ v, давление в полости КЗУ р), физические свойства жидкости и КПСМ и конструктивные параметры схемы (рисунок).

При этом вводятся следующие допущения [7, 8]:

- прорыв газа в полость КЗУ не останавливает выработку жидкости из бака, жидкость

продолжает поступать в расходный трубопровод в составе газо-жидкостной смеси;

- суммарный секундный расход жидкости и газа через выходное сечение КЗУ есть постоянная по времени величина, не зависящая от функций состояния системы (в двигательных установках ракет-носителей и разгонных блоков он определяется параметрами турбонасосного агрегата (ТНА) маршевого двигателя);

- движение жидкости и газа происходит только по направлению из бака в полость КЗУ;

- течение жидкости через пористую стенку КЗУ КПСМ происходит по нормали к стенке, в результате отсутствует вязкое трение на внутренней поверхности пористой трубы в зонах КПСМ, прозрачных для жидкости;

- краевой угол смачивания жидкостью КПСМ равен 0 = 00 (возможность данного допущения обусловлена тем, что в модели будет использовано не фактическое значение размера ячейки пористой стенки, а его эффективное значение d3xe, определяемое на основе экспериментальных данных по величине капиллярной удерживающей способности (КУС) конкретного материала);

- течение в трубе стационарное, одномерное, изотермическое;

- фазовые переходы в системе отсутствуют.

Рисунок. Принцип действия КЗУ и расчетная схема [7, 8]: х - продольная координата, м; L - длина КЗУ, м; xu - текущая координата уровня жидкости, м; nxg - действующее ускорение, м/с2; v - скорость жидкости через боковую стенку КЗУ, м/с; w - скорость жидкости вдоль КЗУ, м/с; w0- скорость жидкости в выходном сечении КЗУ, м/с; p - давление в полости КЗУ, Па; рг - давление в газовой полости бака КЗУ, Па; рж- давление в жидкостной полости бака, Па

36

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Указанные допущения позволяют записать для расчетной схемы (рисунок) базовую систему обыкновенных дифференциальных уравнений сохранения импульса (количества движения) и массы жидкости, проходящей по трубе (неразрывности) [7, 8]. Допущение об отсутствии фазовых переходов в системе и изотермическом протекании процесса исключают из рассмотрения уравнение сохранения энергии в термодинамической форме. Уравнение сохранения импульса (количества движения) в проекциях на ось Ox имеет вид

pSdx = nxgpSdx - dpS -

-a (x)X———— S sgn (—),

(1)

D 2

где x - продольная координата, м; t - текущее время, с; р - плотность жидкости, кг/м3;

S - площадь сечения трубы, м2;

— - скорость жидкости вдоль КЗУ, м/с; ng - действующее ускорение, м/с2; p - давление в полости КЗУ, Па; a = a(x) - отношение площади непроницаемой для жидкости части поверхности участка КЗУ к полной площади боковой поверхности этого участка («перекрытие» поверхности);

X - коэффициент трения на внутренней поверхности КЗУ;

D - внутренний диаметр КЗУ, м.

Введение функции sgn(—) в уравнение (1) отражает факт противоположной направленности силы трения и скорости жидкости. Разделив обе части равенства (2.2) на pSdx, получим с учетом — = dx / dt

d— 1 dp , ^ , ч —2 , ч

— — = nxg---— -a(x )х(^Тр)— sgn (—), (2)

dx р dx 2D

где Re^ = —D / ц - число Рейнольдса для течения внутри трубы;

ц - кинематическая вязкость жидкости, м2/с.

Уравнение сохранения массы (неразрывности) для течения через пористую стенку в сечении с координатой x (рисунок) имеет вид:

pvnD (l - a (x))dx = pd—

nD1

4

(3)

где v - скорость жидкости через боковую стенку КЗУ, м/с.

После сокращений получим

- = (1 -a(x )) ^

dx D

(4)

Система уравнений (2), (4) замыкается уравнением связи давления внутри трубы со скоростью движения жидкости через пористую стенку p = f(v) и геометрическим соотношением для a(x).

Потери давления при проходе жидкости через пористую стенку трубы снаружи внутрь могут быть описаны зависимостью [3]

\Pv

- Р =^(V

(5)

где рж - давление в жидкостной полости бака, Па;

^(v) - коэффициент местного гидравлического сопротивления пористой стенки трубы с учетом поворота жидкости в трубе на 900 и изменения скорости жидкости от v до —.

Величина коэффициента местного гидравлического сопротивления определяется известной эмпирической формулой [1, 3]

в

S(v) = A + —, (6)

Ren

где Ren = vdэкв / ц - число Рейнольдса для течения через пористую стенку;

—экм - эквивалентный диаметр капиллярной ячейки КПСМ, м;

А, В - эмпирические параметры пористой стенки.

Давление в жидкостной полости бака рж определяется давлением в газовой полости бака и координатой (глубиной погружения) текущего сечения КЗУ

Рж = Рг + Pngx - xX (7)

где рг - давление в газовой полости бака КЗУ, Па; xu - текущая координата уровня жидкости, м.

Подставляя (6) и (7) в (5), получим с учетом предположения о движении жидкости только по направлению из бака в полость КЗУ

v ^ Р = Рг +Pnx g (x - * )-

f

A + -

B

\

V

Re

Pv

2

v = 0,

x > x

и

x < x

(8)

Контакт стенок трубы с жидкостью в формализованном виде может быть описан функцией a = a(x)

a (x) = 1,

a (x ) =

S

S

x ^ x

и

x > x

(9)

где a(x) - отношение площади непроницаемой для жидкости части поверхности участка

ж

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

37

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

КЗУ к полной площади боковой поверхности этого участка («перекрытие» поверхности);

S6ox - площадь боковой поверхности КЗУ, погруженной в жидкость, м2;

S„ep - площадь боковой поверхности КЗУ, непроницаемой для жидкости, м2.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2) и (4), замкнутая уравнениями связи (8) и (9), с учетом (6) может быть решена известными численными методами после задания граничных условий. Решение должно проводиться для каждого значения текущей координаты уровня жидкости x

Граничные условия (условия однозначности) для системы (2), (4) могут быть представлены в виде:

wL=o=wo; wL=l=0 (10)

где wQ - скорость жидкости в выходном сечении КЗУ, м/с:

w

0

2

nD2/ 4

(11)

где Q - объемный секундный расход через выходное сечение КЗУ, м3/с.

Рассмотрим изменение базовой системы дифференциальных уравнений после прорыва газа в полость КЗУ.

Условие прорыва газа в полость КЗУ имеет вид [1]

(

Р г - Р = С

11

—+ —

Л

V R

R

cos 0 .

(12)

■2 J

где с - коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела «жидкость-газ», Н/м; Рг- давление в баке, Па; p - давление в полости КЗУ, Па;

R R2 - капиллярные радиусы ячейки пористой стенки (поры КПСМ), м;

0 - угол смачивания (краевой угол).

Сложная пространственная структура КПСМ делает необходимым использование не фактических значений размера капиллярных радиусов ячейки пористой стенки R1, R2, а эффективное значение ее эквивалентного диаметра d определяемого на основе экспериментальных данных по величине капиллярной удерживающей способности (КУС) Аркус конкретного материала. При этом возможно положить, что краевой угол смачивания жидкостью КПСМ равен 0 = 00

p - p = 4с / d = Ар . (13)

Г г Г экв г кус 4 '

Если пренебречь массой газа, поступающего в полость КЗУ через не погруженную в жидкость поверхность, уравнения сохранения количества движения (2) и неразрывности (4) и уравнения связи (8) и (9) не претерпевают изменений после прорыва газа в полость КЗУ. Подстановка (4) в (2) и разрешение последнего относительно производной давления по координате dp /dx позволяет определить место прорыва газа в КЗУ

1 dp (л ( \\4V

-— = nxg-w (1-a(x ))—-

р dx D

-а (x)Я(Кетр )^ sgn (w) .

2D

(14)

Из уравнения (14) следует, что производная давления по координате dp /dx является положительной величиной (w ^ 0), следовательно, давление р - монотонно возрастающая функция. Это означает, что минимальное значение давления р и максимальное значение перепада давления между полостями бака и КЗУ соответствует значению координаты x = 0. Таким образом, прорыв газа происходит в районе выходного сечения КЗУ.

После прорыва газа на выходе КЗУ устанавливается давление, определяемое капиллярной удерживающей способностью КЗУ

pq = pz - (4с / dJ, (15)

Следовательно, граничные условия (условия однозначности) для системы (2), (4) после прорыва газа в полость КЗУ могут быть представлены в виде

pi, = 0 = p,.- (4с > dJ-

w\, = t = 0, (16)

Постоянная во времени величина давления в выходном сечении КЗУ позволяет (с учетом (5)) сделать вывод: объемный расход жидкости из бака снижается пропорционально величине площади погруженной поверхности КЗУ (v « const). Кроме того, сделано предположение (см. п.1), что суммарный секундный расход жидкости и газа через выходное сечение КЗУ есть постоянная по времени величина, не зависящая от функций состояния системы.

Таким образом, возможно определить секундный объемный расход газа через выходное сечение КЗУ

, пВ2

2 = 2 - wlx=o • —, (17)

При этом относительное газосодержание

Р равно

(18)

38

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для анализа подобия натурного и модельного процессов функционирования КЗУ и определения критериев подобия базовая система, состоящая из уравнения сохранения количества движения (2), уравнения неразрывности (4) и уравнений связи (8) и (9), приводится к безразмерному виду. Для этого используем следующие безразмерные переменные, константы и критерии подобия

We =

- x — x = —; w =

Pwo d a

Fr =

w — pd —; p = £-**-; w0 a

w0 cn gd L

—^; Bo =----;

nxSD У

— D x —

D = —; x = —; p L u L г

p d —

x г эке . /'У

a

где w0 - абсолютная величина скорости жидкости в выходном сечении КЗУ до прорыва газа в полость КЗУ, м/с;

L - длина КЗУ, м;

D - диаметр выходного сечения КЗУ, м.

После подстановок получим следующую систему уравнений

_ dw 11 dp

dx Fr D dx

—2 . w

-a(x )А,(Яетр )— We sgn (w), (19)

_ D _ dw , , чЧ 4v

dx=(1 -a(x)) D ’

v ^ p = рг + Bo (x - xu )-

f

A + -

V

B

Re

(20)

Л —2 v

We —, 2

v = 0,

x > x

и

x < x

и

a(x ) = 1, _ _

i . . S _ _u

a (x ) = -пр-, x > xu

Sбок

(21)

(22)

P= 1 - ^=0. (23)

Система уравнений (19)-(23) решается для следующих граничных условий (условий однозначности)

- до прорыва газа в КЗУ:

w = 1, w\ = 0 ^ p ^ p - 4 ;

- после прорыва газа в КЗУ:

p\^=о = pT - 4 = 0 ^ p|< pT - 4 . (24)

Из вышесказанного следует, что для обеспечения физического подобия натурного и модельного процессов функционирования КЗУ и

определения параметров опорожнения ДТБ путем модельных испытаний необходимо, в общем случае, соблюдение равенства для них следующих критериев подобия:

1. Число Вебера:

Pw2d

We = 0 эке .

a

2. Число Фруда:

Fr =

w

2

0

nxgD0

3. Число Бонда:

cn gd L

Bo = —экв .

У

4. Число Рейнольдса для течения внутри

трубы:

Re

тр

v

5. Число Рейнольдса для течения через пористую стенку:

Re

П

vd

эке

v

6. Геометрическое подобие натурного бака и модели.

В результате анализа современного состояния проектирования, отработки и эксплуатации заборных устройств торовых топливных баков использование капиллярных заборных устройств (КЗУ) признано наиболее оптимальным с функциональной и технологической точек зрения. Предложен метод проектирования КЗУ торового топливного бака, основанный на расчетно-экспериментальном определении параметров. Предлагаемый метод применен при разработке КЗУ дополнительных торовых топливных баков (ДТБ) разгонного блока (РБ) «Бриз-М» [6].

Проведены испытания геометрически подобных моделей торового топливного бака РБ «Бриз-М», в результате которых определены эмпирические коэффициенты содержания газа в расходном трубопроводе и влияния вибрации. Кроме того, выполнен расчет проектных значений невырабатываемых остатков жидкого топлива в баке и параметров газожидкостной смеси в конце опорожнения бака с учетом этих эмпирических коэффициентов.

Разработанный метод проектирования и лабораторно-стендовой отработки КЗУ торовых топливных баков РБ и верхних ступеней РН подтвержден успешной летной эксплуатацией КЗУ ДТБ разгонного блока «Бриз-М» (по состоянию на конец

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

39