CC BY
27
Osipova Elena Vitalievna, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Larina Marina Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.983; 539.374
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КУПОЛООБРАЗНЫХ ОБОЛОЧЕК ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ В РЕЖИМЕ ПОЛЗУЧЕСТИ
С.Н. Ларин, С.С. Яковлев, В.И. Платонов, Я. А. Соболев
Предложена математическая модель изотермического деформирования куполообразных оболочек из анизотропных высокопрочных материалов в режиме ползучести. Изложены основные соотношения и уравнения для оценки кинематики течения материала, напряженного и деформированного состояний заготовки, силовых режимов, геометрических размеров изготавливаемой детали и предельных возможностей деформирования.
Ключевые слова: анизотропия, куполообразные оболочки, математическая модель, высокопрочные материалы, изотермическое деформирование, вязкость, повреждаемость, разрушение.
Сферические листовые оболочки являются корпусами емкостей для топлива и жидкого азота, которые применяются в авиакосмических аппаратах. Традиционные методы их изготовления представляют собой многопереходную прессовую вытяжку с промежуточными термообработками или молотовую штамповку в подкладных штампах, которые являются трудоемкими. Изотермическое формоизменение куполообразных оболочек газом из листовых высокопрочных алюминиевых и титановых сплавов имеет значительные преимущества перед традиционными методами обработки и весьма перспективно при использовании его в промышленности [1, 2].
Рассмотрено деформирование круглой листовой заготовки радиусом Яо и толщиной ^ свободным выпучиванием в режиме вязкого течения материала под действием избыточного давления газа р = ро + ®р1пр в сферическую матрицу (рисунок). Здесь ро,ар,Пр - константы нагружения.
По внешнему контуру заготовка закреплена. Материал заготовки принима-
168
ется трансверсально-изотропным с коэффициентом анизотропии Я; напряженное состояние оболочки - плоским, т.е. напряжение, перпендикулярное плоскости листа, равно нулю (а 2 = 0).
Рассмотрено деформирование в меридиональной плоскости оболочки как мембраны. В силу симметрии механических свойств материала относительно оси заготовки и характера действия внешних сил меридиональные, окружные и нормальные к срединной поверхности заготовки напряжения и скорости деформаций являются главными. Срединная поверхность заготовки на каждом этапе деформирования остается частью сферической поверхности. В любом меридиональном сечении оболочки реализуется радиальное течение материала по отношению к новому центру на каждом этапе деформирования.
Схема к расчету деформированного состояния срединной поверхности заготовки в меридиональной плоскости
В силу принятых допущений радиусы кривизны меридионального сечения рт срединной поверхности и сечения оболочки конической поверхностью, перпендикулярной дуге меридиана, р г определяются по формуле
’т
р г =р
Н2 + я2 2Н
(1)
где Н - высота купола в данный момент времени деформирования.
Так как траектории точек срединной поверхности ортогональны в данный момент образующемуся профилю, то в полюсе срединной поверхности (точка с) скорости деформаций в меридиональных сечениях будут определяться как
хС = 2НН ; х С = 2НН . х С = h (2)
Ые ~ __п ; Ътс ~ о о ; х2С = , , (2)
н 2+я0
Н2 + Я02
h
где Н = с1Н/А; /& = АН^г .
По контуру заготовка закреплена (точка к), т.е. скорость деформации вдоль контура равна нулю (X Ск = 0), и в соответствии с ассоциированным законом течения
Яа тк .
х гк = 0; а гк =
1 + Я
(3)
где Я - коэффициент нормальной анизотропии при вязком течении материала.
В дальнейшем не делается ограничений на изменение толщины оболочки вдоль дуги окружности в меридиональном сечении. В этом случае скорости деформации в меридиональном £, ^, окружном направлении
£* и деформации по толщине £,с2 оболочки определяются по следующим
выражениям соответственно: r sin 0 Л
V0 sin а
- ^а а ; Я t =
/
cos 0
vsm а
- ctgа
а;
(4)
где 0 - текущий угол между вертикальной осью симметрии заготовки и радиус-вектором, определяющим положение точки в сечении срединной поверхности диагональной плоскостью; а = йа /й* .
При деформации оболочки принималось, что на каждом этапе деформирования имеет место радиальное течение точки срединной поверхности в меридиональной плоскости относительно нового центра в момент * + &, т.е. в направлении 0 + й0 .
Связь между углом а и временем деформирования *, когда задана функциональная связь Н = Н( *), устанавливается следующим образом:
Н(*)
а = 2arctg-
R0
(5)
Толщина оболочки в куполе срединной поверхности оболочки (0 = 0) определяется по выражению
h
22
1 +
H 2 (t) R02
(6)
Изменение толщины оболочки в зависимости от времени деформирования t в месте ее закрепления (0 = а) оценивается по формуле
H(t)
R
1 +
H 2 (t) R02 ,
(7)
arctg
H
R
0
Вырезая из мембраны элементы меридиональными плоскостями и коническими поверхностями в окрестности рассматриваемой точки и принимая что напряжения равномерно распределены по толщине в элементе, запишем уравнение равновесия безмоментной оболочки, нагруженной равномерным давлением р, следующим образом [2]:
Р • ^ = РР *
И ’
m + t
Pm Pt
mx
Решая их совместно с учетом того, что р m
2h
= pt, найдем
а т = а г = ^ • (9)
2п
Эквивалентные скорость деформации % е и напряжение а е в вершине купола (точка с) и в точке закрепления оболочки по контуру (точка к) для анизотропного материала вычисляются соответственно по выражениям
% Сс = -2=^2+й % тс; асес = а тс; (10)
% С = Г 2 (2 + Я )(Я +1)1/2 % ; = Г 3 2Я +1 ]1/2 (11)
%ек =13 2Я +1 I %тк ’ аек = [ 2 (2 + Я)Я +1)} атк ■ ()
Рассмотрено медленное изотермическое деформирование оболочки
из материала, для которого справедливы уравнения состояния энергетической теории ползучести и повреждаемости [2, 3]
\п
В(*е/*е0 )\ © _ *ДС
AC
Й' 0 ; ©А _^е, (12)
r\m A /Iе
(i -©a ) acp
где B , n, m - константы материала, зависящие от температуры испытаний; © A - повреждаемость материала при вязкой деформации по энергетической модели разрушения; А^р - удельная работа разрушения при вязком течении материала; ©А _ d © А / dt; £, се и * е - эквивалентные скорость деформации и напряжение; * eQ - эквивалентное напряжение, разделяющее вязкое и вязкопластическое течение материала.
Величина удельной работы разрушения А^р при вязком течении анизотропного материала определяется по выражению
А^р _ D(bo + bi cos а + b2 cos в + Ьз cos у),
где D,bo,bi,b2,Ьз - константы материала; * _ (*i + *2 + *3) /3 - среднее напряжение; *1, *2 и *3 - главные напряжения; а, в, у - углы ориентации первой главной оси напряжений *1 относительно главных осей анизотропии х,у и z соответственно.
Так как величина давления p в каждый момент деформирования
равномерно распределена по поверхности оболочки, то будем находить его величину в вершине купола оболочки (точка с).
Подставив в первое из уравнений состояния материала (12) входящие в него величины *е и £,е, определяемые по формулам (10), с учетом соотношений (1), (4), (9) получим
pndt =
а По (l -ю cAc )m 22 n+2 (2 + R)
n+1
2 Hn+1 hndH
n+1
(1З)
n+1
3 2 2 + д2)
Толщина оболочки ^ определяется по выражению (6).
Найдем величину накопления повреждаемости ю А. Подставив во второе уравнение состояния (12) выражения (10) с учетом (1), (4) и (9), получим
г2'
p
1+
ю Ac
2
h0 Anp
H.
(14)
Это уравнение удобно использовать, если нагружение такое, что p = const.
Если подставить первое уравнение состояния во второе, то имеем другую форму уравнения для нахождения повреждаемости
ю Ac
а
eo
n + 1
n
Ac B1
np
n
(15)
Это уравнение удобно использовать, если £,°ec = ^ci = const. В последнем случае интегрирование уравнения (15) приводит к выражению вида
n
ю
Ac
n - m (Єі )n+1'
n
Ac B AnpB
1
n
n-m
(16)
1
Время разрушения определяется из условия ю А = 1:
(17)
ео(п - ^
Давление р, необходимое для реализации условий деформирования, будет вычисляться по соотношению
(18)
Зависимость ю А = ю А () находится согласно соотношению (16), а Н = Н() может быть определена из уравнения
, н 2 + я0
іп и!±4
_ 2у/2 + Я И02 + Я<2
' _ ^3 &
(19)
Предельную высоту купола Н* найдем по уравнению (19) при
t t*.
Аналогичным образом получены выражения для определения напряженного и деформированного состояний заготовки в точке закрепления оболочки (точка к), а также получены основные уравнения и соотношения для решения поставленной задачи в предположении, что поведение материала подчиняется уравнениям кинетической теории ползучести и повреждаемости при известном законе давления от времени р = р ^) и при постоянной эквивалентной скорости деформации в куполе заготовки £ е1.
Предложенная математическая модель изотермического деформирования куполообразных оболочек из анизотропных высокопрочных материалов в режиме ползучести позволяет оценить кинематику течения материала, напряженное и деформированное состояния оболочки, силовые режимы, геометрические размеры изготавливаемых куполообразных оболочек и предельных возможностей деформирования.
Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания №2014/227 на выполнение научно-исследовательских работ Министерства образования и науки Российской Федерации на 2014-2020 годы и гранта РФФИ № 14-08-00066 а.
1. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.П. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427 с.
2. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С. С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009.
позволяет найти ю А =ю А () из выражений (15) или (16), а функцию р = р(^) вычисляют по формуле (13).
Список литературы
352 с.
3. Теория обработки металлов давлением: учебник для вузов / В. А. Голенков [и др.]. под ред. В. А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.
Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Яковлев Сергей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Платонов Валерий Иванович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Соболев Яков Алексеевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Москва, ОАО «Вектор»
MATHEMATICAL MODEL OF ISOTHERMAL DEFORMATION DOMED SHELLS FROM ANISOTROPIC MATERIALS UNDER CREEP
S.N. Larin, S.S. Yakovlev, V.I. Platonov, Y.A. Sobolev
The paper presents a mathematical model of isothermal deformation -tion domed shells of anisotropic materials with high strength to run at creep. The basic relations and equations for estimating kinematics of material flow , stress and strain states of the workpiece , power modes , the geometric dimensions of manufactured parts and limit opportunities deformation.
Key words : anisotropy , domed shell mathematical model, high-strength materials , isothermal deformation, viscosity, in vrezhdaemost, destruction .
Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, docent,
[email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor,
[email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent,
[email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Sobolev Yakov Alekseevich, doctor of technical sciences, professor,
[email protected], Russia, Moskov, JSC “Vektor”
