CC BY
22
-►
МОДЕЛИРОВАНИЕ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
УДК 621.92
Н.В. Никитков
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗНОСА КОНТАКТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕРЕН АЛМАЗНЫХ КРУГОВ ПРИ ШЛИФОВАНИИ ТВЕРДЫХ ХРУПКИХ МАТЕРИАЛОВ
В литературе [1—4, 7, 8, 11] описаны виды разрушения контактных поверхностей алмазных зерен при резании металлов, стеклопластиков, хрупких материалов: тепловое, графити-зация, эвтектоидное оплавление, химическое, окислительное, диффузионное, абразивное, механическое разрушение и др. В конкретных условиях шлифования один вид износа может преобладать над другим. При упруго пластическом разрушении поверхности заготовок зерна круга оставляют риски-борозды с гладкими берегами и дном. При квазихрупком ихрупком — дно и берега покрыты выколами, ямками. Ямки заполнены диспергированным материалом, по которому скользят площадки износа зерен с контактным давлением, равным а3(рис. 1). Плотность теплового потока на контактной поверхности равна ю =/а3У, где /— коэффициент трения. У алмазов коэффициенты тепло- и температуропроводности равны соответственно 147,а = 83-10_6,укерамик-^= 1-20Вт/м-К, а = (1-10)-10-6 м2/с. Доля Ьа тепла, идущего в алмаз, равна 0,52—0,85, а в керамику — Ьк = = (1 —Ьа). При любом давлении а3 и скорости V алмазного круга оплавления керамики по дну борозды не может произойти, так как температура плавления исследуемых заготовок равна 2023— 2323 К, а снижение микротвердости поверхности алмаза со 100 до 20 ГПа происходит [2] при 1570 К, эвтектоидное оплавление [9] контактной поверхности — при 1370—1590 К, графитизация алмазной поверхности — при 1320 К [10]. Прежде, вероятно, произойдет образование площадки износа на зернах, нежели оплавление поверхности заготовок. Каждая точка поверхности заготовок, относительно которой со скоростью V
перемещается площадка износа, испытывает при шлифовании или доводке локальный нагрев [12, 14]. При установившемся процессе шлифования зерна круга перерезают выступы между рисками-бороздами от предшествующих проходов. В зависимости от глубины внедрения зерна в материал и его относительной скорости длительность непрерывного контакта площадки износа с материалом варьирует от Ю-5 до 10~2с. На поверхности площадок зерен, имеющих наибольшую глубину внедрения, устанавливается в пределах контакта с одним шероховатым выступом стационарное тепловое состояние [14]. Это состояние прерывается во впадинах борозд и промежутках между заготовками. Качественную картину возникновения высокой температуры на контактных поверхностях зерен наблюдали в следующих опытах. Находясь в темной комнате и чиркая со скоростью V~ 1 м/с алмазным зерном по шлифованным поверхностям заготовок из керамик — титаносодержащей и 22ХС, наблюдали свечение подвижной зоны контакта от красного до белого цвета в зависимости от силы прижима. На свечение не оказывает влияния мокрое или сухое состояние поверхности заготовки. Многократное чирканье по заготовке шириной 60 мм не вызвало образования заметной площадки износа. Видимо, требуется достаточный пройденный путь по поверхности заготовки. При шлифовании керамики 22ХС с хорошей теплопроводностью острым кругом с расходом смазочно-охлаждающей жидкости (СОЖ), равным 6 дм3/мин, при скорости 90 м/с и силе 120—250 Н наблюдали интенсивное свечение зоны контакта круга с заготовками в течении 10—60 с. Затем свечение прекращалось. Этот
момент соответствует зоне И^1 перегиба начального и нормального участков на кривых износа зерен кругов (рис. 1, в). Прямое измерение температуры поверхности площадки износа алмазных зерен кругов зернистостью 125/100—40/28 практически невозможно. Однако целесообразно получение зависимости температуры на контактной поверхности алмазных зерен с целью оценки значений давления а3 на задней поверхности, приводящих к их изнашиванию.
Анализ литературных источников [6, 7, 11, 13, 14 и др.] показал, что в них отсутствуют математические модели для вычисления износа вершин алмазных зерен в кругах при шлифовании твердых хрупких материалов, пригодные для определения критических, вызывающих интенсивный износ вершин алмазных зерен давлений и плотностей теплового потока на площадках контакта этих зерен с заготовкой.
Стационарная температура алмазных зерен, аппроксимированных эквивалентными цилиндрами радиусом р0, боковая поверхность которых охлаждается потоком СОЖ — воды с температурой 373,15 К, а торцовая поверхность, контактирует с заготовкой, получена при следующих граничных условиях:
0 —ограничена;
2 0;
дп Ха '^о
Т\2 + — ограничена;
а)
а, мкм 60
30
---------- ) к J ~ 7 ......./
7 <5 / К 1 N7
60 и с
15 30 45 60
т, с
Рис. 1. Износ зерен алмаза А10 в зависимости от времени скольжения по поверхности керамики 22ХС (состав керамики 22ХС, %: А1203 - 94,4, 8Ю2- 2,76, Сг203 - 0,49, МёО - 2,35):
а — режим Ру = 20 сН (сила резания), СОЖ — вода; б— режим Ру = 34 сН (сила резания), СОЖ — вода; в — графики износа, соответствующие режимам а (1) и 6(2)
дТ дг
г=0
"УТ"
При этих условиях температурное поле зерна [12] описывается дифференциальным уравнением
дТ дг
дТ г- +
д2т
= 0.
дг дг1
Уравнение имеет известное [12] решение в виде суммы
^ = ЕСлехР
п=1
где уп —положительные корни трансцендентно-
- / \
Г Упг ]
0
_ г0 _ 1 г0 )
го уравнения
а*-
Ь(у;) = у^1 (у;); у'п -
а у
приближенное значение корней уравнения, вычис-
ляемое по асимптотикам первого
г
п 4
и второго
Г А Г '1
У™+АУ™2 +
го " а — -У 8
г \\ п
— + пп # V
приближений.
Принимая п = 1, вычисляли второй корень трансцендентного уравнения. При вычислении
корней ошибка равна п п х О^я 21 или
0(п 31 если п>ю. Например, при п = 10 ошибка
0 = -у = 0,01, то есть 1 %./0(уп) и/1 (уп) -функ-п
ции Бесселя нулевого и первого порядка. Удов-
летворяя условию третьего рода, получим следующее уравнение:
да
ЕСи («/Г0 К (УиГ/Г0 ) = ®ра/К ■
п=1
Его решением согласно [12] является С„ = ( 2®^ ! (у„)/(у! [/ 02 (у„) + 1 !2 (у„)]).
Подставляя в уравнение температуры выражение С„, получили
да
Г(г, г) = (го/ 1 (Уп)1 о (Упг! го )х
и=1
хехр
Уп2
( [/0 (Уи ) + 'I (Уи )]
Интегрируя это уравнение от 0 до г0, получили значение средней температуры на контактной поверхности — торце — и внутри по оси г цилиндра
пгп 1 =
¡Т„{г)п1г/(
о
1)
= (2/ г* ) {г)Ыг,
о
где функция Тп(г) = /0 (у „г/ г0), а остальные члены в выражении Т(г, г), не зависящие от г, постоянны. Принимая во внимание, что
г0
¡г/0 (у^/г0) = ( г/у,,)) (у^Ао)
о
после интегрирования функции Тп(г) получим
г(1
Тср = (2/ >02 ) ) о (у пГ1 Г0 ) =
О
= (Д,2 )М Уи ) (У^/>о)) = (2 Уи (уи )•
Уравнение средней температуры после подстановки Тср в формулу Т(г, г) равно
Т(г,2) = (4ара г /Уа)х
хЕ7 I2 (У« )ехР
п=1
У
( ['0 (Уи ) + !2 (Уи )
Преобразовав трансцендентное уравнение к виду ¡0 (у„)/ 1Х (уп) = у„Ха1 (а*Го) и подставив в уравнение Т , получили окончательно
Г(*)ср = (4®раГо/К)Х
х ^ехр
и=1
Уп2
'0
Уи
1 + (У „К/я* го )
Анализ полученного выражения по-
казывает, что при коэффициентах теплопроводности алмазов = 147 Вт/(м-К), теплообмена а* = 104—105 Вт/(м2'К) в зависимости от скорости омывания зерен СОЖ, радиуса г0 = Ю-4— 10-6 м выражение ,г0 / изменяет свое значе-
ние от 0 до 1. При г 0 будет
у
+ 0. Из [14,
табл. 9.7], где приведены нули некоторых выражений, содержащих функции Бесселя) при
: 0— 1 первые пять корней имеют зна-
чения в интервалах: ух = 0—1,2558; у2 = 3,817— - 4,0795; у3= 7,0156-7,1558; у4= 10,1735-10,271;
у5= 13,3237-13,3984. При«= 1 на поверхности контакта (торец цилиндра, г = 0) с заготовкой
сумма
^ехр
И=1
/Гз
. г0 .
1 + (а/ («• >о ))
0
к единице, причем члены при я >100 имеют значащую цифру в четвертом знаке после запятой. Следовательно, достаточно вычислять сумму при п = 100. Наибольшее значение температуры на поверхности контакта равно
Т( 0 и = 'О/V (1)
0
рующего зерно, вычисляли из соображений равенства длин и объемов цилиндра и параболоида-зерна: г0 = /гн // + 3а,)) ^ , где гн — начальный
радиус вершины зерна, I и За, —средняя длина зерна и среднеквадратическая ошибка. Износ зерен на величину Ин незначительно изменяет значение г0 (менее 6 %).
Произведена опытная проверка адекватно сти зависимости (1) реальным условиям контак-
тирования алмазных зерен на установке резания единичными зернами. На рис. 2, б указан диапазон 0,05—1,6 ГПа давлений а^взоне Ид износа зерен, разрушавших материалы при условиях по рис. 1 и 2. Вычисленный г0 для испытанных заточенных зерен равен 71-10-6 м. Температуру на поверхности площадок износа
определяли по формуле Т( 0) = 4ba fa3Vr0 / Уа и получили: для случаев изнашивания алмазов по сталям — в диапазоне 900—1100, по керамикам — 1300—1500 К, а в среднем соответственно 1000 и 1400 К. В этих интервалах находятся ука-
занные выше температуры графитизации, эвтек-тоидного оплавления, уменьшения микротвердости (рис. 1, в — зона Ид) площадок износа
вершин зерен. Контактная поверхность (площадка) зерен является изнашиваемой границей. Х.Г. Ландау [6], исследуя теплофизические задачи трения с подвижной границей, т. е. абляцией (оплавлением и удалением оплавленного слоя), установил, что при давлениях больше критического температура контактной границы постоянна из-за непрерывного удаления тонкого слоя с ее поверхности. От давления изменяется лишь скорость движения фронта оплавления. Анало-
aq, ГПа
ГПа
100 V, м/с
0Х %
40/ 10 /28
63/ 80/ /50 /63
125/ А/ /100 /lh
а3, ГПа
"20
15
10
Рис. 2. Зависимости критического давления а3 (а) и плотности потока ыра (б), соответствующих снижению микротвердости алмаза на площадке износа примерно в 5 раз, а также плотности потока (б), необходимой для оплавления керамики 22ХС под зерном, от скорости шлифования (а) и зернистости кругов (б) (г0 — радиус эквивалентного цилиндра, соответствующий зернистости 1)1/1)2; а3 (5/3) — давление на поверхности контакта зерна размером 5/3):
а — при г0 = 17 мкм (7) и г0 = 54 мкм (2); а3 5/з(^ ПРИ го = 3 мкм (3); б — а3(г0) при V = 15 мкм (7); «^(гд) (2); юпл(г0) при 5 мкм (3)
гично описанному в [6,8] можно предположить, что в зоне и'н износа зерен из-за давления, которое больше критического, происходит постоянное высокотемпературное изменение твердости тонкого поверхностного слоя на площадке износа и истирание его о поверхность керамических заготовок. В зоне И" давление снижается до критического и скорость изнашивания замедляется; в зоне И'нп давление становится меньше критического и изнашивание почти прекращается (рис. 1, в). Видимо, можно считать, что при шлифовании сталей средняя критическая температура, при которой происходит перемещение фронта (площадки) изнашивания зерен, равна 1000 К, а керамики — 1400 К. В работах [11, 14] показано, что адгезионное взаимодействие углеродистых сталей с алмазом начинается при температуре (0,4—0,5) Тш = 710— 1000 К, а керамик -0,7ТШ= 1500-1700 К. В зоне И"1 нормального износа зерен расчетная температура на площадке износа в зависимости от давления и скорости равна 400—900 К. Значения критического давления а3 (рис. 2, а) и плотности потока р (рис. 2, б), вызывающие снижение твердости алмаза примерно в пять раз и продвижение контактной поверхности зерен вдоль координаты износа, вычислены по формулам
°* = Т(0)сРТЙй/ (°)срW(4г°)• (2)
Исходя из условия движения плоского источника по адиабатической поверхности [13] заготовки оценивали плотность потока необходимую для начала оплавления тончайшего поверхностного слоя материала под зерном, по
формуле®^ = 133ГПЛ iJ-Jот, где Т( 0)ср — средняя температура движения фронта — контактной поверхности — вдоль координаты износа; Тш — температура плавления керамики;
т = 2r0 / V — время действия источника. На ось абсцисс (см. рис. 2, б) нанесены значения радиу-
сов г0 цилиндров, эквивалентных зернам основной фракции алмазных кругов. Все кривые на графиках имеют вид обратно экспоненциальных зависимостей. Чем меньше зернистость алмазов в кругах, тем большие требуются давление и плотность потоков для возникновения описанных процессов. При шлифовании керамики 22ХС со скоростями 30—80 м/с критическое давление а3 для кругов зернистостью 5/3 равно 10-2,5; 40/28 — 1,5-0,8; 125/100 - 0,5-0,2 ГПа. Чем меньше размеры зерен, тем лучше они охлаждаются, следовательно, при более высоком значении давления
возникает Т (0) . Чем больше скорость шлифования, тем больше требуется плотность потока юр пд для начала оплавления поверхности заготовки под зерном (рис. 2,6). Плотность потока юр пд в 3,3—20 раз больше плотности ю[— для условий по рис. 2, б, следовательно, оплавление поверхности заготовки при шлифовании невозможно. Величины юрпл и ю^ становятся равными при скорости шлифования меньше 0,1 м/с.
Полученные зависимости (1) и (2) критического давления а3, плотности теплового потока
ю^д и температуры Г(0)ср на поверхности контакта алмазного зерна с поверхностью заготовки позволяют управлять режимными параметрами процесса алмазного шлифования хрупких твердых материалов по критерию величины износа вершин зерен в круге.
Формулы (1), (2) включают в себя параметры круга — зернистость г0 и марку алмаза, технологические условия шлифования — вид смазки (/), скорость шлифования (V), силы резания, площадь контакта, плотность зерен (Р , 5Н, ЛГ(0_д)идр.
В работе [11] приведены зависимости для вычисления в пакете Ма1Сас1 плотности (шт/см ) зерен для кругов зернистости (160/125)—(50/40) и числа зерен на площади Лк, см2, контакта круга с заготовкой. Износ вершин зерен алмазных кругов существенно влияет на глубину поверхностных трещин и размеры сколов краев у заготовок.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абразивная и алмазная обработка материалов [Текст]: Справочник / Под ред. А.Н. Резникова,— М.: Машиностроение, 1977,— 391 с.
2. Алмаз [Текст]: Справочник / Под ред. Н.В. Новикова,— Киев: Наукова думка, 1981. 121 с.
3. Ваксер, Д.Б. Алмазная обработка технической керамики / Д.Б. Ваксер, Н.В.Никитков [и др.].— Л.: Машиностроение, 1976,— 160 с.
4. Балакин, В.А. Трение и износ при высоких скоростях скольжения [Текст] / В.А. Балакин,—
М.: Машиностроение, 1980,— 136 с.
5. Безруков, Г.Н. Оценка термостойкости синтетических алмазов по термографическим данным [Текст] / Г.Н. Безруков, Г.О. Пилоян, Л.А. Сан-жарлинская // Синтетические алмазы,— 1976.— М? 6,- С. 7-11.
6. Алешин, В.Г. / В.Г. Алешин, Г.П. Богатырева [и др.] // Сверхтвердые материалы,— 1987. № 2,- С. 12-14.
7. Гаргин, В.Г. Влияние условий нагрева на прочность синтетических алмазов [Текст] / В.Г. Гаргин // Сверхтвердые материалы,— 1981.— № 4. С. 9-11.
8. Гукаеян, М.А. Метод снятия с поверхности алмаза тонких слоев контролируемой толщины [Текст] / М.А. Гукаеян, Е.А. Конорова // Алмазы,- 1973. № 1,- С. 1-5.
9. Лоладзе, Г.Н. Износ алмазов и алмазных кругов [Текст] / Г.Н. Лоладзе, Г.В. Бокучава,— М.:
Машиностроение, 1967,— С. 112—116.
10. Лыков, A.B. Теория теплопроводности [Текст] / AB. Лыков,— М.: Машиностроение, 1967,— 268 с.
11. Никитков, Н.В. Математическое моделирование процессов алмазной абразивной обработки хрупких керамических материалов [Текст] / Никитков Н.В. // Сб.: Математическое моделирование в машиностроении. Труды СПбГПУ,— М>466. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 1997,- 40 с.
12. Резников, А.Н. Теплофизика процессов механической обработки материалов [Текст] / А.Н. Резников,— М.: Машиностроение, 1981,— 279 с.
13. Рыжик, И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений [Текст] / И.М. Рыжик, И.С. Грандштейн .- М.: Наука, 1971. 1108 с.
14. Сипайлов, В.А. Тепловые процессы при шлифовании и управление качеством поверхности [Текст] / В.А. Сипайлов,— М.: Машиностроение, 1978,- 167 с.
УДК 621.318:621.313
A.C. Адалев, В.Г. Кучинский, E.H. Попков, А.И. Фильчков, В.М.Чайка
ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ШЕСТИФАЗНОЙ ВЕНТИЛЬНОЙ МАШИНЫ С ВОЗБУЖДЕНИЕМ ОТ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ
Поскольку вентильная машина всегда работает вместе с преобразователями, то ее модель следует разработать в фазных координатах. Значительный вклад в разработку теоретических основ математического моделирования вращающихся машин переменного тока в фазных координатах внес А.И. Важнов [1]. Применительно к цифровому моделированию машинно-вентильных систем эта теория получила дальнейшее развитие в работах [2—4] и др. Были получены математические модели идеализированных машин переменного тока различного конструктивного исполнения для исследования электромагнитных и электромеханических процессов в ряде электроэнергетических систем. Многолетний успешный опыт использования полученных цифровых моделей машин переменного тока подтвердил высокую степень их достоверности.
Представляется, что разработанная и достаточно хорошо себя зарекомендовавшая теория моделирования вращающихся машин перемен-
ного тока, позволяющая получить эквиваленты машин относительно внешних соединений как силовой электрической, так и механической подсистем, может найти свое дальнейшее развитие в направлении моделирования вентильных машин с возбуждением от постоянных магнитов.
Магнитное поле вентильной машины, возбуждаемое постоянными магнитами, весьма неоднородно вследствие сложной конфигурации границ сердечников, своеобразного расположения проводников с токами и нелинейности магнитной характеристики магнитопровода. В этих условиях строгое определение поля представляет собой сложную задачу. Поэтому в зависимости от характера исследуемых явлений задача расчета поля решается с различными исходными допущениями [5—7].
Моделирование электромагнитных и электромеханических переходных процессов основано на решении алгебро-дифференциал ьных уравнений, описывающих вращающиеся машины
