Математическая модель измельчения старого асфальтобетона в шаровой мельнице Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.926

В.А. Бадоев, М.Ю. Таршис, А.И. Зайцев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ СТАРОГО АСФАЛЬТОБЕТОНА

В ШАРОВОЙ МЕЛЬНИЦЕ

(Ярославский государственный технический университет) e-mail: mutarshis@yahoo.mail

Приводится модель измельчения старого асфальтобетона в шаровой мельнице с использованием функций измельчения. Результаты численных расчетов сопоставлены с экспериментом.

Ключевые слова: измельчение, асфальтобетон, математическая модель, шаровая мельница

В данной работе описание процесса измельчения осуществляется с использованием функций измельчения. При этом сами функции измельчения определяются на основе эксперимента.

Процесс порционного измельчения в общем случае может быть описан следующим кинетическим уравнением [1]:

dF(y,t)

I

dF( x, t)

S(x)B(y,x)dx, (1)

соответствующая приращению размера частиц dx будет равна

dF * (x, t)

w = ■

dx

■• dx.

(5)

дt у дх

где Ну, 0 - интегральная функция распределения частиц по размерам; ^(х) - селективная функция измельчения; В(у, х) - распределительная функция измельчения.

Распределительная функция измельчения должна удовлетворять следующим условиям

В (у ,0) = 0, В( у, у) = 1. (2)

Для решения интегро-дифференциального уравнения (1) поставим начальные и граничные условия из следующих соображений. В начальный момент времени распределение частиц по размерам задается некоторой функцией от аргумента у Н ( у ,0) = р( у ). (3)

Интегральная функция распределения частиц по размерам удовлетворяет двум граничным условиям, которые вытекают из ее определения

Н(0, 0 = 0 , Н^, 0 = Ь (4)

где утах - максимальный размер измельчаемых частиц.

В настоящей работе при определении функций измельчения будем считать, что в процессе измельчения каждая фракция ведет себя независимо от других. В соответствии с этим постулатом в ходе эксперимента изучалось измельчение отдельных фракций, полученных путем ситового анализа.

Пусть Н*- весовая доля материала, крупность которого меньше размера отверстия сита х, который является нижней границей крупности данной фракции. Тогда весовая доля материала,

-• dx .

(6)

Соответственно доля материала, подвергшегося измельчению за единицу времени, будет равна

^ = д2 Н * (х, I)

Ш дxдt Согласно определению, селективная функция ^(х) является весовой долей частиц размером х, измельченных за единицу времени. Тогда

5(х) = „ = д2Е(хА /ЁПхЛ . (7)

^ дxдt дх

В работе [2] показано, что выражение (7) может быть приведено к более простому и удобному для вычислений виду

5ф • t = -2,3 • ^ АН* (х, t)], (8)

где х - средний размер частиц данной фракции; АН * (х, t) - весовая доля материала, остающегося на сите с размером, соответствующим нижней границе крупности данной фракции; t - время измельчения.

В соответствии с выражением (5), весовая доля материала, измельченного за время Л, будет равна

д2 Н * (х, г)

dw = ■

dx

■ • dxdt.

(9)

Пусть дН*(у, ^ является весовой долей измельченного материала за время t, которая приходится на фракцию с нижней границей крупности, соответствующей ситу с размером у. Тогда в соответствии с определением распределительной функции получим

B( y, x) J-Fisyn / ?2 F •(x,t)

dt

dxdt

(10)

в (y, x) =

(12)

В работе [2] показано, что выражение (10) может быть приведено к более простому и удобному для вычислений виду

В (у, X) - X = ^ (у, X) /(1 - №(X, X)), (11)

где х - средний размер частиц данной фракции; Р*(у, X) - весовая доля измельченного материала, которая приходится на фракцию с нижней границей крупности, которая соответствует ситу с размером у.

Анализ полученных экспериментальных данных показал, что в общем случае, функции измельчения могут быть описаны выражениями

[((1 -е-)/(1 -е->))к,у < х,

[0, у > х

Б(х) = ах ; 0 < Б(х) < 1. (13)

где к, а - некоторые константы, которые определяются технологическими параметрами процесса измельчения. Для решения интегро-дифферен-циального уравнения (1) относительно ^(у, X) для значений уе[утт, утах] и Хе[0, Т] методом сеток [3], сделав разбиения у и X с шагами:

К = ( утах -у«.*)/", К =Т/ш, (14) где п, т - соответственно число точек для переменных у и X. Время измельчения Т определяется степенью измельчения:

¡изм = уо/уГ , (15)

где у0 - средний размер частиц до измельчения;

уТ - средний размер частиц после измельчения.

В результате получим область решения, представленную совокупностью точек, которые показаны на рис 1.

Y

dF (У,, tj) F(y, t+i)-F(y, t.)

dt

j+i'

t.+, -t.

j+1 .

J

Рис. 1. Область решения задачи Fig. 1. Area of solurion of task

T t

В соответствии с численным анализом используем приближенные выражения для производных:

(/=0, 1, 2, ..., n; j=0, 1, 2, ..., m); F (x,, tj+1) - F (x,, f.)

d( Ft),, j =-h-

(/=0, 1, 2, ..., n; j=0, 1, 2, ..., m-1); F (x*+l, tJ) - F (x*, tJ)

d( Fx) * - = -h-

(17)

(18)

(к=0, 1, 2, ..., п-1;7=0, 1, 2, т). В формуле (18) учитывается тот факт, что 5(^'х)г>;- в уравнении (1) стоит под знаком интеграла, а интегрирование ведется по переменной х, значения которой определяются индексом к.

Подставляя формулы (16)-(18) в уравнение (1) получим:

V (у,, X+1) = V ( у,, X ) +

+К ± (V (хк, X) - V (хк-1, X)) 5 (хк) В( у, хк)

/=0=, 1, 2, ..., п;7=0, 1, 2, ..., т-1); (19) Для удобства введем обозначения

= V(у,,х1), 5 = 5(хк), В, = В(у,,хк). (20) В результате получаем уравнение

V, 7+1 = V, ^ + К (¥к, ^ - ¥к-1, ^) - 5к - В,,к

к = 7

(7=0, 1, 2, ..., п; 7=0, 1, 2, ..., т-1). (21) Используя начальные и граничные условия: 0 = ф(х,) и 7 = 0 V,-, т = 1, методом сеток [3] находятся значения массива ^ 1 , ^ 2 ..., ^ т (,=0, 1, 2, ..., п).

На рис. 2 представлены результаты экспериментальных исследований процесса измельчения и сопоставление их с численными расчетами по предложенной модели (а=102 м-1; к=1,01).

Щх)

4 3

1,0 А

0,80,60,4 0,2 0,0

0 2 4 6 8 10

х, мм

Рис. 2. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных по гранулометрическому составу измельченного материала: 1 - t = 0, с; 2 - t = 30, с; 3 - t = 60,с; 4 - t = 90,с Fig. 2. Comparison of calculated and experimental data on the granulometric composition of grinded material. 1 - t = 0 s; 2 - t = 30 s; 3 - t = 60 s; 4 - t = 90 s

У

max

У

0

Эксперименты проводились при следующих параметрах шаровой мельницы: диаметр барабана: D6ap=0,4 м; число оборотов барабана пбар=38 об/мин отношение объемов мелющих тел и измельчаемого материала Ь=Умел/Уизм=2.

Статистическая проверка соответствия экспериментальных данных теоретическому распределению проводилась по критерию Пирсона [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Brozek M., Maczka W., Tumidajski T. Model matema-tyczne procesow rozdrabniania. Krakow: 1995. 75 s.

Brojek M., Majska W., Tumidajski T. Mathematical models of grinding. Krakov: 1995. 75 p. (in Poland).

2. Гарднер Р.П. Исследование измельчения в мельнице периодического действия // Труды Европейского совещания по измельчению. М.: Изд-во литературы по строительству. 1966. С. 219-232.;

Gardner R.P. Research of grinding in a mill of periodic action // European conference on grinding. М.: Izdat. literatury po stroitelstvu. 1966. P. 219-232. (in Russian).

3. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика. К.: Выща школа. 1989.559 с.;

4. Митропольский, А.К. Техника статистических вычислений. М.: Наука. 1971. 576 с.

Mitropolskiy A.K. Technique of statistical calculations. M.: Nauka. 1971. 576 p.(in Russian).

Кафедра теоретической механики

УДК 621.929.6:531.3

М.Ю. Таршис, М.В. Волков, А.И. Зайцев

К РАСЧЕТУ БАРАБАННЫХ СМЕСИТЕЛЕЙ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ РАБОЧИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

(Ярославский государственный технический университет) e-mail: mutarshis@yahoo.com

Изложены теоретические основания к расчету барабанного смесителя с дополнительными перемешивающими лопастями. Данные экспериментов по исследованию влияния параметров лопастей на однородность смеси сопоставлены с результатами расчета.

Ключевые слова: смеситель, барабан, расчет, однородность

Барабанные смесители относятся к группе наиболее распространенных устройств, использующихся в различных отраслях химической технологии, энергетики, строительства сельского хозяйства и многих других для приготовления сыпучих смесей. Экспериментальные исследования и анализ механизмов процессов, происходящих в смесителях этого типа (с постоянным профилем рабочей поверхности), позволяет установить в поперечном сечении сыпучего материала две области его характерного поведения [1]. Это область обрушения 1, в которой наблюдается хаотическое движение частиц и проскальзывание слоев сыпучего материала и транспортирующая область 2, прилегающая к рабочей поверхности смесителя, в которой отсутствует относительное движение слоев и частиц. Дополнительные рабочие элементы (например, лопасти) в этих устройствах используются для подавления сегрегации материала. Лопасти осуществляют возврат частиц, локализующихся в центре циркуляции материала, в область активного смешивания 1. При небольших

значениях скоростей точек рабочих поверхностей (и лопастей) вышеописанный механизм процесса в таких смесителях сохраняется. Данный механизм на уровне микрообъемов можно моделировать случайным блужданием частиц ключевого компонента на отрезке линии обрушения [1, 2]. Рассматриваемый процесс может быть описан кинетическим уравнением типа Фоккера - Планка в изотропном приближении, без учета эффектов сноса [1, 2]

дс ^ д2с — =< D > —7 dtx д

(1)

В работе [3] получено общее решение этого уравнения и выражено как функция комплексов:

х=а/®1+х2 =< б > ^ /12. (2)

При этом критерий качества смеси (коэффициент неоднородности):

Гс (у) = 100(Ф2( у) -Ф(у>/2)/ (ул/Л) + , (3) (42ПФ (у )/у ) ехр (-у 72 ))0,5