CC BY
67
УДК 666.1.05
А. А. Шрам
Запорожский национальный технический университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИОННО-ПЛАЗМЕННОЙ МОДИФИКАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ СТЕКЛА
В статье разработана математическая модель ионно-плазменной модификации поверхности стекла при атмосферном давлении.
Ключевые слова: плазма, математическая модель, поверхностная модификация, стекло, ионно-плазмен-ная обработка.
Введение модифицирующих элементов в поверхностный слой стекла позволяет повысить его эксплуатационные свойства, механическую прочность, обеспечить регулирование оптических свойств, а также получить возможность окрашивания стекла в различные цвета.
Качество модифицированного поверхностного слоя стекла зависит от таких параметров, как вид исходного материала внедрения, состав обрабатываемого стекла, расход и вид плазмообразующего газа, геометрических и энергетических параметров плазмотрона.
Возможность предварительного определения оптимальных диапазонов изменения технологических параметров процесса для обеспечения внедрения элементарных частиц модифицирующего материала (атомов и ионов) и равномерного их распределения в диффузионном слое приводит к снижению удельного расхода материала внедрения при формировании высококачественных проникающих покрытий на поверхности стекла с одновременным повышением производительности процесса обработки.
Распределение температуры Т(г) в сечении цилиндрического дугового столба описывается уравнением баланса энергии, известным как уравнение Эленбааса-Хеллера [1-3]:
-11 ——— | = aE2 -у r I dr dr
(1)
где напряженность электрического поля Е=Е (г)=сош1 имеет только аксиальную составляющую, не зависящую от радиальной координаты. Уравнение (1) описывает установившийся процесс, при котором выделяющееся джоулево тепло стЕ за вычетом потерь на излучение у переносится к охлаждаемым стенкам теплопроводностью.
Необходимые для решения задачи свойства плазмы X, ст , у при постоянном давлении являются функциями только температуры [1-3]. Реальные зависимости Х(Т), ст(Т), у(Т) (рис. 1) существенно нелинейные,
7
I 6
и
<хГ
5 4 В
К
ltd S2
I,
♦ A, Dots
X Manual
• у
/ \1 Jty у
¿Ы- .....
Температура '1', 10 К
Рис. 1. Зависимости теплопроводности X и теплового потенциала 0 воздуха от температуры
что затрудняет аналитическое рассмотрение (1). Его вид можно несколько упростить известным приемом введения новой независимой переменной - потенциала теплового потока (рис. 1)
9 = |Х(— )d—
(2)
являющегося при p = const однозначной функцией температуры.
При этом уравнение (1) записывается следующим образом:
—9 = Х(— )d— ,
1 ( d d9\ ,„ч ^2 1 -r— | = a(9)E2 -у(9). (3)
r I dr dr
Полный ток дуги I определяется интегральным законом Ома
R
I = 2nE Jardr
(4)
© А. А. Шрам, 2011
Каналовая модель Штеенбека-Райзера основана на сильной зависимости электрической проводимости плазмы от температуры [3, 4]. При температурах ниже
3000 К ст(Т) = 0 и существенно возрастает при температурах выше 4000 К. Таким образом электрическую дугу можно представить в виде двух областей - проводящей и непроводящей (рис. 2).
Нелинейная зависимость электропроводности от функции теплопроводности представляется в виде
а(9) =
\ь 2(е-е*)
I 0
для е* < е < е0; для е < е*,
где Ь - постоянная; 60 - максимальное значение 6 (на
оси); 6* - значение на границе зоны проводимости плазмы.
Благодаря этой аппроксимации сечение канала разбивается на две области: область проводимости (ст Ф 0)
и непроводящую область (ст = 0).
В области проводимости уравнение (3) принимает следующий вид.
Введем переменную
х = ге4ь , ёх = Е^Ьёг , ёГ = 2 ,.
Е • Ь
e 2. ь^ + e^l dk+e 2. ь. (е7-е*) = 0,
dx
2
x
dx
+1. dk+(е7-е*) = 0
dx2 x dx
(5, a)
В непроводящей области уравнение (3) преобразуется в
1' d.rd^L 1 = 0
r l dr dr
(5, б)
Общее решение уравнения (5, б) можно представить в виде
6ц = С + С • 1п| Г |. Используя граничные условия
dQj
е1 (0) = е0> ЦТ
= 0.
r=0
еи (R) = 0, еи (r0) = е*,
получаем Ci = -C2 • ln | R |,
е7 =-C2 • ln|R | +C2 • ln|r* |
C2 =-
ln
r*
R
е ii (r) = --
ln r*
R
ln | R | +-
ln r*
R
ln | r | ^
ln r
R
ln r*
R
^ е II (r) = е*
Решением уравнения (5, а) является функция Бесселя первого рода нулевого порядка. С учетом граничных условий решение можно записать в виде:
67 (г) =6* + (60 -6*) • 30(х),
где 30(х) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Таким образом, решения уравнения (3) в проводящей и непроводящей области записываются в следующем виде:
е1 (r) = е*+(е0-е*) • j 0( x) е11 (r) = е* •
ln r
R
ln r*
R
Учитывая, что диаметр проводящей области электрической дуги намного меньше диаметра разрядного канала, распределение температуры на срезе сопла плазмотрона можно записать в виде:
T (r) = Tm
Рис. 2. Каналовая модель электрической дуги
/ \1/и+1
lnr
r0
е
е
е
*
*
70
ISSN 1607-6761
«Електротехнiка та електроенергетика» .№2, 2011
Температура на оси столба электрической дуги определяется [3]:
Тт = ю
1,
8пХт
Температура Т по оси турбулентной струи определяется следующей зависимостью [5]:
T - T
± ± те
T - T
т те
1 -
I г ^
7
\ ^ ш у
РгТ
поле будет одномерным. Температурные градиенты вдоль остальных осей координат равны нулю, следовательно,
д 2Т д 2Т
5у2 дг 2
= 0
С учетом этого дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки будет иметь вид
ё 2Т ёх2
= 0
где Тш - осевое значение температуры на срезе сопла
плазмотрона; Тте - температура окружающей среды,
Тте = 300 К ; 7ш - ордината внешней границы струи; РгТ - турбулентное число Прандтля, для осесимметрич-ных струй РгТ = 0,8.
Процесс накопления диффундирующего вещества в различных точках среды как функцию времени описывает второй закон Фика:
дс
И
= Б
д2с дх2 :
где Б - коэффициент диффузии, с - концентрация диффундирующего вещества, х - координата.
Для диффузии в полубесконечное твердое тело:
с( х,/) =
с0
л/л • Б •,
=■• ехр
..2 Л
х
4 • Б • /
Т (г ) = Тт
\ г Л
1п—
Г0
1/ я+1
Тш = -'ю'
Т - Тте
8пХ„
Т - Т
т те
с( х, /) =
1 -
Г г л1.5
7
\ ^т у
Б • /
Беи = 1.91 •Ю-2 • ехр|-
• ехр
д2Т д2Т
ду2 йг2
= 0.
РгТ
..2 Л
4 • Б • /
27000 Я •Т
где с - концентрация диффундирующего вещества при данных / и х; с0 - концентрация вещества при /=0 и х=0.
Зависимость коэффициента диффузии атомов и ионов меди от температуры описывается следующим выражением [6]:
БСи = 1.9110-2 • ехр| -
27000
Я • Т
Для определения температурного поля и теплового потока при стационарной теплопроводности рассмотрим поверхность стекла как однородную плоскою стенку толщиной 5.
Стенка имеет одинаковый по всей толщине коэффициент теплопроводности X ст. Температура на границах стенки - Т №1 и Т №2 , а изотермические поверхности имеют форму плоскостей, параллельных поверхностям стенки.
При рассматриваемых условиях тепло может распространяться только вдоль оси х, и температурное
Решение полученной системы уравнений позволяет установить связь между технологическими характеристиками процесса плазменной модификации поверхности стекла (величиной тока, геометрическими размерами разрядной камеры, теплофизическими свойствами материала внедрения) и распределением материала внедрения в поверхностном слое обработанного изделия.
Концентрация материала внедрения в поверхностном слое стекла описывается следующим уравнением:
с( х, /) =-
0
I т ^ 1Л-2 I 27000 , /п• 1.91 • 10 2 • ехр|--!• /
Я • Т (г )
х ехр
44.9Ь10 • ехр| -
27000 Я •Т (г )у
2
1
2
с
0
х
2
х
г
Т (г) = Тт
/ \1/я+1
1пг
г0 V
Профили температуры плазменного потока представлены на рис. 3, 4. Распределение материала внедрения в поверхностном слое стекла показано на рис. 5 (время обработки t = 20 сек).
Разработанная математическая модель ионно-плаз-менной модификации поверхности стекла позволяет установить связь технологических параметров ионно-плазменного процесса с характеристиками поверхности обработанных изделий и выбрать оптимальные диапазоны изменения рабочих параметров процесса.
Рис. 3. Профили температуры плазменного потока при работе плазмотрона на воздухе:1 - 2 = 10 мм, О = 0.0021 кг/с; 2 - 2 = 30 мм, О = 0.0021 кг/с; 3 - 2 = 50 мм, О = 0.0021 кг/с; 2 - 2 = 70 мм, О = 0.0021 кг/с.
Рис. 4. Температурное поле плазменного потока на срезе сопла плазмотрона
72
КВЫ 1607-6761 «Електротехтка та електроенергетика» №2, 2011
3D concentration of the diffusing material as function of penetration depth and relative radius of the plasmatrori
Рис. 5. Распределение материала внедрения в поверхностном слое стекла (/ = 20 сек)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Теория столба электрической дуги / В. С. Энгельшт, В. И. Гурович, Г. А. Десятков и др. - Новосибирск : Наука, 1990. - 376 с.
2. Физика и техника низкотемпературной плазмы / [С. В. Дресвин, А. В. Донской, В. М. Гольдфарб, В. С. Клубникин]; под общ. ред. С. В. Дресвина. -М. : Атомиздат, 1972. - 352 с.
3. Fridman, A. Plasma chemistry / Alexander Fridman . -New York: Cambridge University Press, 2008. - 978 p.
4. Грановский, В. Л. Электрический ток в газе (установившийся ток) / В. Л. Грановский. - М. : Наука, 1971. - 544 с.
5. Петров, С. В. Плазменное газовоздушное напыление / С. В. Петров, И. Н. Карп. - К.: Наук. думка, 1993. - 495 с.
6. Евстропьев, К. К. Диффузионные процессы в стекле / К. К. Евстропьев. - Л. : Стройиздат. - 1970 . - 168 с.
Стаття надтшла до редакцп 25.06.2011.
Шрам О. А.
Математична модель юнно-плазмовоЧ модифшацй поверхш скла
У cmammi розроблено математичну модель юнно-плазмовог модифжацп поверхт скла при атмосферному тиску.
Ключов1 слова: плазма, математична модель, поверхнева модифiкацiя, скло, iонно-плазмова обробка.
Shram A. А.
Mathematical model of glass surface ion-plasma modification
The paper describes the mathematical model of glass surface ion-plasma modification at atmospheric pressure. Keywords: plasma, mathematical model, surface modification, glass, ion-plasma treatment.
