Математическая модель ионно-плазменной модификации поверхности стекла Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 666.1.05

А. А. Шрам

Запорожский национальный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИОННО-ПЛАЗМЕННОЙ МОДИФИКАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ СТЕКЛА

В статье разработана математическая модель ионно-плазменной модификации поверхности стекла при атмосферном давлении.

Ключевые слова: плазма, математическая модель, поверхностная модификация, стекло, ионно-плазмен-ная обработка.

Введение модифицирующих элементов в поверхностный слой стекла позволяет повысить его эксплуатационные свойства, механическую прочность, обеспечить регулирование оптических свойств, а также получить возможность окрашивания стекла в различные цвета.

Качество модифицированного поверхностного слоя стекла зависит от таких параметров, как вид исходного материала внедрения, состав обрабатываемого стекла, расход и вид плазмообразующего газа, геометрических и энергетических параметров плазмотрона.

Возможность предварительного определения оптимальных диапазонов изменения технологических параметров процесса для обеспечения внедрения элементарных частиц модифицирующего материала (атомов и ионов) и равномерного их распределения в диффузионном слое приводит к снижению удельного расхода материала внедрения при формировании высококачественных проникающих покрытий на поверхности стекла с одновременным повышением производительности процесса обработки.

Распределение температуры Т(г) в сечении цилиндрического дугового столба описывается уравнением баланса энергии, известным как уравнение Эленбааса-Хеллера [1-3]:

-11 ——— | = aE2 -у r I dr dr

(1)

где напряженность электрического поля Е=Е (г)=сош1 имеет только аксиальную составляющую, не зависящую от радиальной координаты. Уравнение (1) описывает установившийся процесс, при котором выделяющееся джоулево тепло стЕ за вычетом потерь на излучение у переносится к охлаждаемым стенкам теплопроводностью.

Необходимые для решения задачи свойства плазмы X, ст , у при постоянном давлении являются функциями только температуры [1-3]. Реальные зависимости Х(Т), ст(Т), у(Т) (рис. 1) существенно нелинейные,

7

I 6

и

<хГ

5 4 В

К

ltd S2

I,

♦ A, Dots

X Manual

• у

/ \1 Jty у

¿Ы- .....

Температура '1', 10 К

Рис. 1. Зависимости теплопроводности X и теплового потенциала 0 воздуха от температуры

что затрудняет аналитическое рассмотрение (1). Его вид можно несколько упростить известным приемом введения новой независимой переменной - потенциала теплового потока (рис. 1)

9 = |Х(— )d—

(2)

являющегося при p = const однозначной функцией температуры.

При этом уравнение (1) записывается следующим образом:

—9 = Х(— )d— ,

1 ( d d9\ ,„ч ^2 1 -r— | = a(9)E2 -у(9). (3)

r I dr dr

Полный ток дуги I определяется интегральным законом Ома

R

I = 2nE Jardr

(4)

© А. А. Шрам, 2011

Каналовая модель Штеенбека-Райзера основана на сильной зависимости электрической проводимости плазмы от температуры [3, 4]. При температурах ниже

3000 К ст(Т) = 0 и существенно возрастает при температурах выше 4000 К. Таким образом электрическую дугу можно представить в виде двух областей - проводящей и непроводящей (рис. 2).

Нелинейная зависимость электропроводности от функции теплопроводности представляется в виде

а(9) =

\ь 2(е-е*)

I 0

для е* < е < е0; для е < е*,

где Ь - постоянная; 60 - максимальное значение 6 (на

оси); 6* - значение на границе зоны проводимости плазмы.

Благодаря этой аппроксимации сечение канала разбивается на две области: область проводимости (ст Ф 0)

и непроводящую область (ст = 0).

В области проводимости уравнение (3) принимает следующий вид.

Введем переменную

х = ге4ь , ёх = Е^Ьёг , ёГ = 2 ,.

Е • Ь

e 2. ь^ + e^l dk+e 2. ь. (е7-е*) = 0,

dx

2

x

dx

+1. dk+(е7-е*) = 0

dx2 x dx

(5, a)

В непроводящей области уравнение (3) преобразуется в

1' d.rd^L 1 = 0

r l dr dr

(5, б)

Общее решение уравнения (5, б) можно представить в виде

6ц = С + С • 1п| Г |. Используя граничные условия

dQj

е1 (0) = е0> ЦТ

= 0.

r=0

еи (R) = 0, еи (r0) = е*,

получаем Ci = -C2 • ln | R |,

е7 =-C2 • ln|R | +C2 • ln|r* |

C2 =-

ln

r*

R

е ii (r) = --

ln r*

R

ln | R | +-

ln r*

R

ln | r | ^

ln r

R

ln r*

R

^ е II (r) = е*

Решением уравнения (5, а) является функция Бесселя первого рода нулевого порядка. С учетом граничных условий решение можно записать в виде:

67 (г) =6* + (60 -6*) • 30(х),

где 30(х) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Таким образом, решения уравнения (3) в проводящей и непроводящей области записываются в следующем виде:

е1 (r) = е*+(е0-е*) • j 0( x) е11 (r) = е* •

ln r

R

ln r*

R

Учитывая, что диаметр проводящей области электрической дуги намного меньше диаметра разрядного канала, распределение температуры на срезе сопла плазмотрона можно записать в виде:

T (r) = Tm

Рис. 2. Каналовая модель электрической дуги

/ \1/и+1

lnr

r0

е

е

е

*

*

70

ISSN 1607-6761

«Електротехнiка та електроенергетика» .№2, 2011

Температура на оси столба электрической дуги определяется [3]:

Тт = ю

1,

8пХт

Температура Т по оси турбулентной струи определяется следующей зависимостью [5]:

T - T

± ± те

T - T

т те

1 -

I г ^

7

\ ^ ш у

РгТ

поле будет одномерным. Температурные градиенты вдоль остальных осей координат равны нулю, следовательно,

д 2Т д 2Т

5у2 дг 2

= 0

С учетом этого дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки будет иметь вид

ё 2Т ёх2

= 0

где Тш - осевое значение температуры на срезе сопла

плазмотрона; Тте - температура окружающей среды,

Тте = 300 К ; 7ш - ордината внешней границы струи; РгТ - турбулентное число Прандтля, для осесимметрич-ных струй РгТ = 0,8.

Процесс накопления диффундирующего вещества в различных точках среды как функцию времени описывает второй закон Фика:

дс

И

= Б

д2с дх2 :

где Б - коэффициент диффузии, с - концентрация диффундирующего вещества, х - координата.

Для диффузии в полубесконечное твердое тело:

с( х,/) =

с0

л/л • Б •,

=■• ехр

..2 Л

х

4 • Б • /

Т (г ) = Тт

\ г Л

1п—

Г0

1/ я+1

Тш = -'ю'

Т - Тте

8пХ„

Т - Т

т те

с( х, /) =

1 -

Г г л1.5

7

\ ^т у

Б • /

Беи = 1.91 •Ю-2 • ехр|-

• ехр

д2Т д2Т

ду2 йг2

= 0.

РгТ

..2 Л

4 • Б • /

27000 Я •Т

где с - концентрация диффундирующего вещества при данных / и х; с0 - концентрация вещества при /=0 и х=0.

Зависимость коэффициента диффузии атомов и ионов меди от температуры описывается следующим выражением [6]:

БСи = 1.9110-2 • ехр| -

27000

Я • Т

Для определения температурного поля и теплового потока при стационарной теплопроводности рассмотрим поверхность стекла как однородную плоскою стенку толщиной 5.

Стенка имеет одинаковый по всей толщине коэффициент теплопроводности X ст. Температура на границах стенки - Т №1 и Т №2 , а изотермические поверхности имеют форму плоскостей, параллельных поверхностям стенки.

При рассматриваемых условиях тепло может распространяться только вдоль оси х, и температурное

Решение полученной системы уравнений позволяет установить связь между технологическими характеристиками процесса плазменной модификации поверхности стекла (величиной тока, геометрическими размерами разрядной камеры, теплофизическими свойствами материала внедрения) и распределением материала внедрения в поверхностном слое обработанного изделия.

Концентрация материала внедрения в поверхностном слое стекла описывается следующим уравнением:

с( х, /) =-

0

I т ^ 1Л-2 I 27000 , /п• 1.91 • 10 2 • ехр|--!• /

Я • Т (г )

х ехр

44.9Ь10 • ехр| -

27000 Я •Т (г )у

2

1

2

с

0

х

2

х

г

Т (г) = Тт

/ \1/я+1

1пг

г0 V

Профили температуры плазменного потока представлены на рис. 3, 4. Распределение материала внедрения в поверхностном слое стекла показано на рис. 5 (время обработки t = 20 сек).

Разработанная математическая модель ионно-плаз-менной модификации поверхности стекла позволяет установить связь технологических параметров ионно-плазменного процесса с характеристиками поверхности обработанных изделий и выбрать оптимальные диапазоны изменения рабочих параметров процесса.

Рис. 3. Профили температуры плазменного потока при работе плазмотрона на воздухе:1 - 2 = 10 мм, О = 0.0021 кг/с; 2 - 2 = 30 мм, О = 0.0021 кг/с; 3 - 2 = 50 мм, О = 0.0021 кг/с; 2 - 2 = 70 мм, О = 0.0021 кг/с.

Рис. 4. Температурное поле плазменного потока на срезе сопла плазмотрона

72

КВЫ 1607-6761 «Електротехтка та електроенергетика» №2, 2011

3D concentration of the diffusing material as function of penetration depth and relative radius of the plasmatrori

Рис. 5. Распределение материала внедрения в поверхностном слое стекла (/ = 20 сек)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Теория столба электрической дуги / В. С. Энгельшт, В. И. Гурович, Г. А. Десятков и др. - Новосибирск : Наука, 1990. - 376 с.

2. Физика и техника низкотемпературной плазмы / [С. В. Дресвин, А. В. Донской, В. М. Гольдфарб, В. С. Клубникин]; под общ. ред. С. В. Дресвина. -М. : Атомиздат, 1972. - 352 с.

3. Fridman, A. Plasma chemistry / Alexander Fridman . -New York: Cambridge University Press, 2008. - 978 p.

4. Грановский, В. Л. Электрический ток в газе (установившийся ток) / В. Л. Грановский. - М. : Наука, 1971. - 544 с.

5. Петров, С. В. Плазменное газовоздушное напыление / С. В. Петров, И. Н. Карп. - К.: Наук. думка, 1993. - 495 с.

6. Евстропьев, К. К. Диффузионные процессы в стекле / К. К. Евстропьев. - Л. : Стройиздат. - 1970 . - 168 с.

Стаття надтшла до редакцп 25.06.2011.

Шрам О. А.

Математична модель юнно-плазмовоЧ модифшацй поверхш скла

У cmammi розроблено математичну модель юнно-плазмовог модифжацп поверхт скла при атмосферному тиску.

Ключов1 слова: плазма, математична модель, поверхнева модифiкацiя, скло, iонно-плазмова обробка.

Shram A. А.

Mathematical model of glass surface ion-plasma modification

The paper describes the mathematical model of glass surface ion-plasma modification at atmospheric pressure. Keywords: plasma, mathematical model, surface modification, glass, ion-plasma treatment.