Математическая модель интеллектуальной системы автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.724.4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Г.В. Абрамов, И.В. Желтоухов

В статье исследуется актуальность энергосбережения в мире и России в частности. Также говорится о математическом моделировании работы регулятора интеллектуальной системы автоматического управления, в котором производится очистка буфера входящих пакетов во время работы. В итоге можно сделать вывод о достоинствах приведенного алгоритма очистки очереди буфера входящих пакетов регулятора интеллектуальной системы автоматического управления в сравнении с алгоритмом работы буфера регулятора интеллектуальной системы автоматического управления

Ключевые слова: интеллектуальная система, алгоритм, граф состояний

Энергосберегающие технологии в последнее время стали особенно востребованы. Для России вопросы энергосбережения имеют особую актуальность, поскольку по климатическим условиям затраты топлива на обеспечение населения теплом в России наиболее высоки. Снижение энергоемкости процесса теплопотребления за счет совершенствования систем и алгоритмов управления может быть достигнуто на пути создания энергосберегающих систем автоматизированного и автоматического управления, оптимизирующих тепловые режимы зданий, что является одним из наиболее перспективных направлений развития систем управления [1].

В предлагаемой интеллектуальной системе автоматического управления из отдельных модулей с взаимодействием через сеть Ethernet отсутствует разделение устройств на простые и интеллектуальные - все устройства являются интеллектуальными [2]. Такая структура дает возможность облегчить конфигурирование сети, уменьшить количество рассылаемых пакетов и уменьшить общую стоимость системы.

Опишем математическую модель работы системы, состоящей из регулятора, объем памяти которого составляет W элементарных единиц (например, байтов), УМС, с помощью которого память регулятора может расширяться, и нескольких внешних устройств (обозначим их число через m), присылающих пакеты с информацией, которая обрабатывается системой во время нахождения в памяти регулятора. Примем следующие допущения: во-первых, все внешние устройства идентичны; во-вторых, пакеты, по-

Абрамов Геннадий Владимирович - ВГУИТ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 255-25-50 Желтоухов Иван Владимирович - ВГУИТ, аспирант, тел. (473) 255-25-50, e-mail: [email protected]

сылаемые каждым устройством, имеют одинаковый размер; в-третьих, входящий в регулятор поток сообщений от каждого внешнего устройства является простейшим марковским потоком. В силу второго и третьего условий суммарный входящий поток, порождаемый всеми т внешним устройствами, также является простейшим.

Исходящий поток определяется тем, что система обрабатывает сообщения, находящиеся в памяти регулятора. Рассмотрим такой режим работы, при котором использование дополнительной памяти, имеющейся в УМС, крайне нежелательно, так что в случае почти заполнения памяти регулятора происходит сброс избыточных пакетов. В силу того, что информация пакетов частично дублируется, необходимыми являются лишь каждый -й пакет; остальными пакетами система может пожертвовать.

Опишем работу системы более подробно. Поскольку мы считаем, что все входящие пакеты имеют одинаковый размер, и поскольку в памяти имеет смысл хранить лишь целое число пакетов, введем приведенный объем памяти регулятора, положив его равным

[ — 1

N = — (1)

_ и _

где W — объем памяти регулятора, выраженный в элементарных единицах, и — размер одного пакета информации в элементарных единицах, [ ] — целая часть числа.

Интенсивность суммарного входящего потока, приведенную к новой единице измерения, обозначим через А, а интенсивность исходящего потока (потока обработки сообщений) — через ц. Обозначая через Ак состояние системы, при котором в памяти регулятора находится ровно к пакетов ( к = 0,1,...,Н ), получаем, что при к < N — 1 интенсивность перехода из состояния Лк в состояние Ак+1 равна А , а при

состояние Ак _1 рав: поток очистки: по] автоматически (с I

состояние Ам, где

в действительност дится в состоянии тенсивностью X пе Таким образо] стемы имеет вид:

'"в V* / 7 ' у ^

"л I

Рис. 1.

Система урав вающих вероятное

Р} = хр} _1 _ (X■

( _ X и 0 ... ... 0 >

X _(X + и ) и0 ... 0

0 X _( X + и) и ... 0

0 0 0 X _( X + и ) и 0 0 0

0 0 00 X _(X + и ) и ... X

0 0 0 м 0 X _( X + и ) '•. 0

'•. и

V 0 0 0 .. 0 X _(X+и);

перехода из состояния А а и. Остается учесть толь ав в состояние АМ, систе фоятностью 1) переходи

М = . Это означает, *

1_/ Я А

система никогда не на N, а из состояния АМ_1 с I >еходит в состояние Ам . , граф рассматриваемой <

г Ч-*

х

... - у N

I

:ист

1

юний Колмогорова, опис и р0,р1,...,рМ_1 пребыван шях А0,А1,...,АМ_1 соотв

образо

_Хро + ир,

—Аро + РР1 = 0

Ар—! — (А + р)р} + №]+1 = 0, ] = 1,...,М — 1

АРм—1 — (А + Р )Рм + РРм+1 + ^N—1 = 0 (17) Ар]—1 — (А + р)р] + №]+, = 0, ] = М +1,...,М — 2

АРN —2 — (А + Р )РN —1 = 0 Отдельно рассмотрим первые М уравнений (с нулевого по (М-1) - е):

рр1 = Ар0

РР2 =— АР0 + (А + Р )Рг рр3 = — Ар1 + (А + р )р2

(18)

. РРм = — АРм—2 + (А + Р )Рм—1 Введем фиктивную величину pN, положим ее равной нулю и перепишем последнее уравнение в виде

АРь—2 — (А + Р)РN—1 + РРN = 0. (19) Для удобства переименуем величины РN,...,РN , положив дк = РN—k, к = 0,...,ь — м . Тогда для величин д0,...,дN—м справедливо рекуррентное соотношение

Адк+2 — (А + р )дк+1 + Рдк = 0.

Как известно [ссылка], общий вид последовательности, удовлетворяющей этому соотношению, таков:

дк = С1 х1 + С2 х2, (21)

корни характеристического

где Хг, Х2 уравнения

АХ2 - (А + Р)Х + Р = 0 . Решая уравнение, находим

= 1 = — Х1 = 1, Х 2 = А

Таким образом,

(22) (23)

Из

дк = С1 + с2—

начальных

д0 = РN = 0, 41 = Рь С1,С2:

(24) условий: определим константы

С1 + С2 = 0

Г А- г — — С1 + С2 А ~ РЬ—1

С =

А

С2 = —

А — р

А

Таким образом,

Рь—к = 4к =

А

А — р

А

Рь—1 -Рь—1

(25)

Р

А — р

А

А — р

РЬ—1 , РЬ—1 к

А — р А

1—а I Рь—1

(26)

Для к = 1,...,Ь — м . Таким образом, вероятности рь—2,...,рм выражены через рь—1.

Приравняем выражения Рм через Р0 и через Рм—1 :

= =

рм = мр0 = ,

р А — р

1—

Р

N —м ^N—1

(27)

Отсюда

рн 1 = Ь—ъ. \1—Р

N—м

А \ Аь—м

Аь—1( А — Р ) . м / м—м

=

' рмР0 = :Ро

м / "¡ь —м N —м \ 1 0 (28) Р (А — р )

Теперь все координаты собственного вектора выражены через рв:

Рк = 1

Р^Р0, к = 0,...,м,

Ак( —к — р ь—к)

(29)

м / гь —м ь —м I Ро, р (А — р )

к = м + 1,...,ь—1.

А/

Введем параметр ф = у и перепишем по/ р

лученные соотношения. При к= м + 1,...,ь — 1 получаем рк = фк р0; при к= м + 1,...,ь — 1 :

Ак (Аь—к— рь—к)

Рк =-

м / ль —м ь —м \ Р ( А — р )

Р0

—фк

ф

—1

Р0

(30)

Остается пронормировать собственный вектор, чтобы сумма его координат была равна 1 (то есть чтобы это был именно вектор вероятностей): из условия

м

к=0

получаем, что

X фк Р0 + X

N

ф — ф

к=м+1 ф

— 1

Р0 = 1 (31)

/ м N—1

р* =\X фк + X

ь—1 ь

ф —ф

_ ,„ь—м 1

к=м+1 ф — 1

(ф — 1)( фь—м — 1)

(ь—мф+1 — фь — фь—м — N + м + 2 Таким образом, формулы

(ф —1)( фь—м — 1)

(32)

Р0 =-

(ь — м )ф"+1 — ф" — ф" —м — N + м + 2

Р* = фк р'о' к = 1,...,м

N — к

р* = р'о, к = м + 1,...,ь — 1 ф — 1

(33)

полностью и явно описывают предельное стационарное состояние системы.

Рассмотрим задачу о вероятности обработки произвольного конкретного пакета, попадающего в память регулятора. Будем считать, что мы «пометили» один пакет в момент его прихода. Всего имеется две возможности: либо этот пакет достигнет начала очереди и будет обрабо-

1

к

к=0

к

тан, либо он будет уничтожен в результате заполнения очереди.

Понятно, что вероятность обработки пакета зависит от состояния, в котором система находилась в момент его прихода. Обозначим через Чк вероятность обработки пакета, приходящего в систему, находящуюся в состоянии Ак, к = 0,...,Ы _ 1. Прежде всего, заметим, что

уничтожаются пакеты с (М+1)-го по (N-1)-й: если входящий пакет занимает места с 1-го по М-е, то он гарантированно будет обработан. Это означает, что

% = =... = Чм _1 = 1 (34)

Если же в момент прихода пакета система находится в состоянии Аы _1, то при появлении помеченного пакета память регулятора автоматически очищается, и, в частности, уничтожается помеченный пакет. Следовательно,

= 0 (35)

Рассмотрим теперь ситуацию, когда пакет приходит в систему, находящуюся в одном из состояний АМ,...,АМ_2 . Обозначим исследуемое состояние через А(м_1)+,, где 1 < s < N _ М _ 1 .

Обработка помеченного пакета зависит от того, какое из двух событий наступит раньше: пакет достигнет «безопасного» М-го места (в этом случае он будет обработан), или система получит пакет, находясь в состоянии Аы _1 (в этом случае помеченный пакет будет уничтожен). Обозначим через т1з случайную величину, равную времени, за которое помеченный пакет достигнет М-го места (считая от момента его прихода, когда система находится в состоянии А(М_1)+,), а через т0, случайную величину, равную времени, за которое система, из состояния А(М+,), в которое ее приводит приход помеченного пакета, придет в состояние Аы _1 и получит в этом состоянии пакет. Тогда вероятность Ч(М_1)+, обработки пакета равна вероятности того, что случайная величина т, окажется меньше случайной величины т0,:

Ч(М_1)+, = Р(Т1, < Т0,) (36)

Эту вероятность можно вычислить по формуле

Р( Ь, < т„.) = ] (0(1 _ =-'(<))* (37)

(заметим, что случайные величины т, и т0, не являются независимыми: это приводит к

появлению под интегралом условного распределения К^к ==<( г) .

Рассмотрим случайную величину т, . По определению, — время, за которое происходит 8 событий при условии, что поток событий — простейший с интенсивностью и . Эта случайная величина имеет распределение Эрланга порядка з, ее плотность распределения имеет вид

¡„(г) = ^—е-и

(38)

(, _ 1)!

Выясним теперь вид условного распределения =г(г) . Поток, определяющий случайную величину т0,, складывается из двух потоков: входящего с интенсивностью X и исходящего с интенсивностью и . Однако условие т1з = г полностью определяет число событий исходящего потока (оно равно 8), так что условная случайная величина т0, \т0х = г принимает значение и в случае, если входящий поток дает за время и ровно , + (М _ (М + ,)) = N _М событий. Таким образом, здесь мы имеем дело с распределением Эрланга порядка N _ М (не зависящего от з). Плотность этого распределения имеет вид

N _м ^ _М _1

¡т0,\т„ =г(г)

(39)

(N_М _ 1)!

а функция распределения К \ =г(г) не выражается через элементарные функции (она может быть записана с использованием гамма-функции). Окончательно мы можем написать

¥ з.з_1 (¥ N_M _1 Л

ЧгМ = ¡—-е-и I -и-е-1ис1и IсСг (40)

Ч(М~1}+' Г(, _ 1)! ^^ _ М _ 1)! ) У '

Эти формулы имеют смысл для , = 1_ М _ 1.

Для конкретных значений параметров величины Ч(М-1)+з могут быть вычислены с любой

разумной точностью.

Если рассматривать судьбу произвольного пакета при условии, что система работает в стационарном режиме, то можно найти общую вероятность обработки пакета, используя вычисленные выше вероятности пребывания системы в каждом из состояний.

Вероятность обработки пакета (обозначим ее Р0бр) оказывается равна

X Р*кЧк

(41)

где вероятности р* вычисляются по формулам (33), а вероятности чк при к >М — по

е

к=0

формулам (40). Суммир]ование проводится до N — 2 , поскольку равенство дн—1 = 0 уничтожает последнее слагаемое.

Формулы (1) позволяют дать ответ на вопрос о наиболее вероятной длине очереди при стационарном режиме работы системы. Выделяются два случая: 0 < ф < 1 и ф > 1.

При 0 < ф < 1 множитель фк меньше единицы, поэтому р* = фкр0 < р0 для к = 1,...,м . Для к = м + 1,...,ь — 1 имеем:

„ь ,-к к N к-м N-м -м

ф — ф ф — ф м ф — ф . ф — ф . ,

~ ■ = ф —,—<—,—< 1 (42)

ф«-м — 1 1—ф'-м ' 1—фь-м 1—фь

(поскольку к>м, первое слагаемое числителя меньше единицы). Таким образом, множи-

тель

Рк

— фк

ф

— 1

тоже меньше единицы, так что

ф — ф

-р* < р** для к = м + 1,...,ь — 1

фь —м — 1

Следовательно, наиболее вероятная длина очереди в случае 0 < ф < 1 (то есть когда поток обработки мощнее входящего потока) равна нулю. При ф > 1 имеем

Р* < фР* = Р* < 92Р° = Р*2 <... < фмР* = Р*м , а для

к = м + 1,...,ь — 1 множитель ф ,, ф— очевид-

(рн—м — 1

ным образом убывает по к: поэтому в случае ф > 1 наиболее вероятная длина очереди равна

м.

Сравним описанную систему с системой, в которой не организовано уничтожение пакетов при заполнении. В этом случае уравнения Колмогорова имели бы вид

р0 =— АР0 + РР1 ■ Р] = АР]—1 — (а + Р)Р] + рР]+1, ] = 1,...,Ы — 1 (43)

рь = АРь—1 — РРь Пакет, приходящий в систему, которая находится в состоянии Ль, получает отказ и не обрабатывается. Матрица этой системы имеет вид

л =

( —А А 0

0 0 0

Р

—(А + Р )

Р

—(А — Р )

0 0 0

0 0 0

—(А — Р )

А 0

0 0 0

Р

—(А — Р )

А

(44)

Стационарное распределение вероятностей для этой системы ищется легко: вероятности удовлетворяют соотношениям

Ак

Рк = —Р0,к = 0,...,ь Р

Воспользуемся прежним ф = А / р . Тогда

Рк = фкР0,к = 0,...,ь Из условия нормировки

обозначением:

(46)

XфкРо =-

-1

ф — 1

Ро = 1

находим:

Ро =■

ф—1

ф

Рк = ф Ро,

'+1—1 к = 1,...,Ы

(47)

(48)

то наиболее а при ф > 1

Очевидно, что если 0 < ф < 1 вероятное состояние — это Л0 , наиболее вероятная длина очереди равна N.

Средняя длина очереди в этом случае равна

ф — 1 * -к (49)

X кфкр0 =-

^ кфк

к=0 ф 1 'к=1 Вероятность обработки пакета равна вероятности его попадания в систему, поскольку из системы пакеты уже не удаляются. Но в систему пакет попадает ровно в том случае, если в момент его прихода система не находится в состоянии Ль (то есть в ней есть свободные места). Таким образом, вероятность обработки произвольного пакета для системы без уничтожения (если система уже достигла стационарного режима) равна

N—1 N—1 „ь — 1

=1—р*ь = X р** = X фкр"* =

ф_

N+1 7 ф — 1

. ..... (50)

к=0 к=0

Можно сделать вывод о том, что уравнение компенсации дает хорошие результаты, но лишь в том случае, когда определен класс функций, среди которых мы восстанавливаем либо саму функцию предпочтения (ценности), либо зависимость между изменениями.

Сравним эффективность описанного режима работы системы с режимом без уничтожения пакетов, который мы назовем «простым»: при этом режиме работы пакет, заставший систему в состоянии (полностью загруженной), получает отказ. При простом режиме на эффективность работы системы можно влиять, регулируя количество показаний в одном пакете. Исследуем работу системы при следующих параметрах: размер пакета равен 400 байт, размера буфера коммутатора 32 кбайт (соответственно, размер буфера, выраженный в пакетах, равен 80). Показателем эффективности, по которому будет производиться сравнение, является вероятность обработки пакета.

к=0

0

На рис. 2 и рис. 3 представлены зависимости вероятностей обработки произвольного пакета от приведенной нагрузки р при изучаемом режиме с уничтожением пакетов (синий) и при простом режиме (зеленый) Первый график соответствует диапазону 0 < р < 1, второй — диапазону 1 < р < 4 .

0.9990.9980.997 0.996-

II TI-_,_,_,_

0 02 0.4 06 0.8

I*

Рис. 2. Вероятности обработки произвольного пакета при 0 <j< 1

15 2 25 3 35 4

рй

Рис. 3. Вероятности обработки произвольного пакета при 1 <(< 4

Полученная математическая модель позволяет проводить исследование интеллектуальной систе-

мы автоматического управления и определять ее основные вероятностные характеристики: производительность сети, пропускную способность, вероятность простоя канала и т.п.

Литература

1. Желтоухов И.В. Исследование времени доставки пакетов в интеллектуальной системе автоматического управления энергопотреблением в зданиях и сооружениях. В мире научных открытий. № 6.1 (42). Красноярск, 2013. С. 199-210.

2. Абрамов, Г. В. Анализ функционирования системы управления энергопотреблением [Текст] / Г. В. Абрамов, И.В. Желтоухов // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. - 2013. -С. 76-78.

3. Структурная идентификация системной модели при проектировании АСНИ свойств полимеров в растворе [Текст] / В. К. Битюков, С. Г. Тихомиров, И. А. Хау-стов, А. Г. Ашков // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т. 7. - № 5. - С. 10-14.

4. Дорофеев, Д. В. Синтез многомерного модального регулятора в АСУТП полимеризации бутадиен-стирольных каучуков [Текст] / Д. В. Дорофеев, С. Л. Подвальный // Промышленные АСУ и контроллеры. - 2002. -№ 6. - С. 24.

5. Подвальный, С. Л. Сопряженные системы и градиент при оптимизации динамических систем [Текст] / С. Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т. 8. - № 12.1. -С. 57-62.

6. Барабанов, В. Ф. Интерактивные средства моделирования сложных технологических процессов / В. Ф. Барабанов, С. Л. Подвальный. - Воронеж, 2000.

7. Подвальный, С. Л. Интеллектуальные системы моделирования: принципы разработки [Текст] / С. Л. Подвальный, Т. М. Леденева // Системы управления и информационные технологии. - 2013. - Т. 51. - № 1. - С. 4-10.

8. Подвальный, С. Л. Концепция многоальтернативного управления открытыми системами: истоки, состояние и перспективы [Текст] / С. Л. Подвальный, Е. М. Васильев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. - № 2. - С. 4-20.

9. Нужный, A.M. Анализ факторов выбора системы управления данными [Текст] / A.M. Нужный, Н.И. Гребенникова, А.В. Барабанов, А.Д. Поваляев // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. - Т. 9. - № 6-2. - С. 25-31.

Воронежский государственный университет инженерных технологий

MATHEMATICAL MODEL OF INTELLECTUAL AUTOMATIC CONTROL SYSTEM

G.V. Abramov, I.V. Zheltoukhov

The article talks about the relevance of power saving in the world and Russia in particular. Also refers to the mathematical modeling of the controller of intellectual automatic control system, which clears the buffer of incoming packets during operation. As a result, we can conclude about the merits of the algorithm of clearing of the buffer of incoming packets queue of regulator of intellectual automatic control system in comparison with the algorithm of the buffer controller of intellectual automatic control system

Key words: intellectual system, algorithm, state graph