МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНЕРЦИОННОГО ВКЛЮЧАТЕЛЯ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК: 621.316.54

doi:10.21685/2307-4205-2022-1-4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНЕРЦИОННОГО ВКЛЮЧАТЕЛЯ

В. Н. Китаев1, Р. Л. Афанасьев2, М. В. Петров3

1 2' 3 Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт

технической физики имени академика Е. И. Забабахина, Снежинск, Челябинская область, Россия

1 2 3 kb2@vniitf.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Инерционные включатели используются в беспилотных летательных аппаратах для коммутации электрических цепей их систем. Срабатывание подобных приборов происходит в основном при наборе интеграла линейного ускорения, с которым аппарат перемещается в пространстве. Материалы и методы. Для интегрирования линейного ускорения традиционно используются магнитоиндук-ционные и гидравлические демпферы. В ряде случаев гидравлические демпферы как упрощающие конструкции инерционных включателей более предпочтительны. Результаты и выводы. В работе представлены результаты разработки математической модели инерционного включателя - составленные дифференциальные уравнения, описывающие движения подвижных конструктивных элементов, а также условия начала движения. Разработана математическая модель, позволяющая получать расчетные оценки параметров функционирования и срабатывания инерционного включателя.

Ключевые слова: инерционный включатель, гидравлический демпфер, магнитная система, инерционное тело, контактная система, математическая модель, дифференциальные уравнения

Для цитирования: Китаев В. Н., Афанасьев Р. Л., Петров М. В. Математическая модель инерционного включателя // Надежность и качество сложных систем. 2022. № 1. С. 30-40. <1ог10.21685/2307-4205-2022-1-4

MATHEMATICAL MODEL OF A THRESHOLD INERTIA SWITCH

V.N. Kitaev, R.L. Afanasyev, M.V. Petrov

1 2' 3 Russian Federal Nuclear Center - All-Russian Scientific Research Institute of Technical Physics named after Academician E.I. Zababakhin, Snezhinsk, Chelyabinsk region, Russia

1 2 3 kb2@vniitf.ru

Abstract. Background. Inertia switches serve in pilotless vehicles for electrical switching. The switches triggering takes place generally when reached the integral of linear acceleration at which the vehicle travels in the space. Materials and methods. For integration of the linear acceleration both magnetic and hydraulic dampers are customary used. In several cases hydraulic dampers are more suitable in the view of inertia switchers design simplification. Results and conclusions. The work presents the results of developed mathematical model of the inertia switch: formulated differential equations describing movement of mobile design elements and motion start conditions, as well. A mathematical model is worked up to estimate the parameters of both functioning and triggering the inertia switch.

Keywords: inertia switch, hydraulic damper, magnetic system, inertia body, contact system, mathematical model, differential equation

For citation: Kitaev V.N., Afanasyev R.L., Petrov M.V. Mathematical model of a threshold inertia switch. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sistem = Reliability and quality of complex systems. 2022;(1):30-40. (In Russ.). doi:10.21685/2307-4205-2022-l-4

Введение

При выполнении опытно-конструкторских работ по разработке электромеханических приборов для беспилотных летательных аппаратов целесообразно создание математических моделей приборов, позволяющих уже на начальных стадиях разработки оптимизировать технические решения, заложенные в их конструкции.

В работе представлены результаты разработки математической модели порогового инерционного прибора.

© Китаев В. Н., Афанасьев Р. Л., Петров М. В., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Конструкция прибора в исходном состоянии показана на рис. 1 (продольный разрез).

Рис. 1. Конструкция прибора в исходном состоянии

В герметичном корпусе размещено инерционное тело, выполненное в виде полого цилиндра с фланцем, в котором равномерно по окружности размещены три радиальных штифта, входящие в пазы корпуса. Инерционное тело выполнено из «тяжелого» вольфрамового немагнитного сплава типа ВНМ3-2. Внутренняя полость инерционного включателя заполнена демпфирующей полиметилси-локсановой жидкостью по ГОСТ 13032-77. Фланец и корпус сопряжены по диаметру с малым зазором. Фланец инерционного тела поджат цилиндрической пружиной. На торце инерционного тела закреплен постоянный магнит, намагниченный в поперечном направлении.

Контактная система, отделенная от внутренней полости корпуса кожухом, состоит из размещенных на токовыводах упругих контактов и поворотного перемыкателя с токопроводящими ножами. Токопроводящие ножи, закрепленные на перемыкателе, взаимодействуют с упругими контактами, закрепленными на токовыводах, формируя требуемые электрические цепи. Токовыводы установлены на изоляторах. Исходное состояние контактной системы обеспечивается спиральной пружиной, удерживающей ось перемыкателя в исходном угловом положении.

На оси перемыкателя закреплена подложка с размещенным постоянным магнитом, намагниченным в поперечном направлении.

Постоянные магниты инерционного тела и контактной системы развернуты относительно друг друга, как в исходном, так и в переключенном состоянии контактной системы на определенный угол (рис. 2).

Рис. 2. Расположение магнитов инерционного тела и контактной системы

Переключение контактной системы магнитной системой через герметичную стенку заимствовано из ранее разработанных технических решений [1, 2].

Принцип действия инерционного включателя

При ускорении а (рис. 2) в направлении оси чувствительности прибора действует сила инерции с величиной, обеспечивающей превышение усилия предварительного поджатия цилиндрической пружины, инерционное тело начинает перемещаться, сжимая цилиндрическую пружину. Демпфирующая жидкость перетекает через дроссельное отверстие, кольцевой зазор между корпусом и фланцем, а также через зазоры между штифтами и стенками пазов.

Радиальные штифты, установленные во фланце, перемещаются по наклонным Г-образным пазам в корпусе и поворачивают инерционное тело на некоторый угол р.

При приближении постоянного магнита инерционного тела к постоянному магниту контактной системы резко возрастающее усилие взаимодействия полюсов магнитов переключает контактную систему прибора. Переместившись до конца Г-образных пазов, штифты инерционного тела фиксируют переключенное состояние контактной системы.

Д

1

Рис. 2. Схема изменения пространственного положения магнитов при срабатывании инерционного включателя

На схеме изменения пространственного положения магнитов при срабатывании инерционного включателя: 1 - исходное положение магнита инерционного тела; 1-2 - поступательно-вращательное движение магнита инерционного тела по винтовой линии; 2-3 - вращательное движение магнита инерционного тела в перемещенном положении; 4 - исходное положение магнита контактной системы; 4-5 - поворот магнита перемыкателя контактной системы; фтах - угол между магнитами в исходном состоянии инерционного включателя; фтт - угол между магнитами в сработанном состоянии инерционного включателя; - угол поворота магнита инерционного тела на участке 1-2; - угол поворота магнита инерционного тела (ИТ) на участке 2-3; А - угол поворота перемыкателя.

Система координат

Введем прямоугольную правую систему координат ОХУХ, связанную с прибором. Начало О системы координат - в центре начального положения центра поверхности инерционного тела. Направления осей показаны на рис. 3. Орты осей являются правой тройкой векторов, т.е. ось ОХ направлена от нас.

Рис. 3. Ориентация прибора в системе координат ОХУХ

Перемещение ИТ от начального положения по оси ОХ обозначим через Хит. Если инерционное тело переместилось в конечное положение, то Хит = Хкон (рис. 3).

Дифференциальные уравнения

При составлении дифференциальных уравнений были приняты следующие допущения [3, 4]:

- силами трения в контактной системе пренебрегаем (подшипники на оси перемыкателя, взаимодействие токопроводящих ножей и упругих контактов);

- жидкость считаем несжимаемой;

- изменения размеров деталей прибора за счет отклонения температуры жидкости от номинальной (Тж = 20 °С) не учитываются;

- взаимодействие цилиндрической поверхности штифтов с угловым элементом в месте изменения направления каждого паза не учитывается. Принимается условие о прохождении штифтами всего наклонного участка паза.

Силы, действующие на подвижные части инерционного включателя

Опишем силы, действующие на подвижные части инерционного включателя - инерционное тело и перемыкатель контактной системы.

Сила инерции Еиа определяется следующим образом:

Кин =-тша , (1)

где тит - приведенная масса инерционного тела; а - ускорение носителя в месте положения инерционного тела прибора:

а = (ах; ау; аг), (2)

ах, ау, а2 - проекция а на оси системы координат 0ХУ2.

Выражение (1) с учетом соотношения (2) перепишем в следующем виде:

Кн = -тит (; ау; а )• (3) Приведенная масса инерционного тела определяется по формуле

т

т = т + т + 3т +—— ,• (4)

ит цил маг шт 3 ' V /

где тцил - масса полого цилиндра с фланцем; тмаг - масса постоянного магнита инерционного тела; тшт - масса штифта; тдр - масса пружины.

Сила Архимеда КА определяется следующим образом:

КА = тжит (ж - Й ), (5)

где аж - ускорение прибора в месте положения центра тяжести жидкости, вытесненной инерционным телом (в упрощенной постановке аж = а ); й - ускорение свободного падения; тжит - масса жидкости, вытесненной инерционным телом:

т

т = т + т + 3т +—^^, (6)

жит жцил жмаг жшт 3 ' V /

тжцил, тжмаг, тжшт, тжпр - масса жидкости, вытесненная полым цилиндром с фланцем, магнитом инерционного тела, штифтом, пружиной соответственно.

Масса жидкости, вытесненная полым цилиндром с фланцем, определяется следующим образом:

тжцил =РЛил , (7)

где рж - плотность жидкости (ГОСТ 13032-77); Уцил - объем полого цилиндра с фланцем, определяется из конструкторской документации.

Аналогичным образом определяются массы тжмаг, тжшт, тжпр:

тжмаг = Рж^маг , (8)

тжшт = Рж^шт , (9)

тжпр =Рж^пр , (10)

где Кмаг, Ушт, Упр - объемы магнита инерционного тела, штифта, пружины соответственно.

Сила упругости цилиндрической пружины

Величина силы упругости цилиндрической пружины Кц определяется следующим образом [5, 6]:

Кц = Кцо + Сц (ХиТ - *ито), (11)

где Кц0 - начальное усилие пружины:

Кцо = Сц ( -^), (12)

Спр - коэффициент упругости пружины (жесткость):

F

C _ _ЦК

(No - К2 )

^цк - контрольное усилие пружины; Иц0 - высота пружины в свободном состоянии; Иц1 - высота пружины в исходном состоянии; Иц2 - контрольная высота пружины; Хит 0 - Хит в начальном положении инерционного тела.

Величина силы трения ^тр трех штифтов о стенки в пазах определяется следующим образом:

ах п

если-ф 0 , то

Ж

dX

если-_ 0 , то

dt

Ftp _-sign^dX)(N + N + N,):

Fl <Ци (Ni +N 2 + Nз ),

(14)

(15)

где цс, цп - коэффициент трения скольжения и покоя соответственно; N1, N2, N3 = F^ cos в

(при Pi = p2 = p3) - нормальные составляющие реакций, действующих со стороны пазов на штифты (рис. 4).

Силы, действующие со стороны паза на штифт, показаны на рис. 4.

маг_вр

^ß

Рис. 4. Силы, действующие на штифт инерционного тела: ■Рмаг вр - сила от момента вращения взаимодействующих магнитов инерционного тела и контактной системы

Величину силы гидравлического сопротивления будем определять по следующей формуле

^ =ЛА,Т , (16)

где Ар - перепад давления жидкости на инерционном теле (перед и за ним); ^ит - площадь торцевой поверхности инерционного тела:

с .

(17)

Жит - диаметр инерционного тела.

Перепад давления жидкости на инерционном теле будем определять из следующих соображений. При перемещении инерционного тела с площадью поверхности ^ит на величину АХит происходит вытеснение жидкости объемом АУ [7]:

AV = S AX , (18)

ит ит ' V /

которая перетекает за промежуток времени At через кольцевой зазор между корпусом и фланцем, через зазоры между штифтами и стенками пазов и через дроссельное отверстие. С другой стороны, имеем

AV = QAt, (19)

где Q - суммарный расход жидкости через зазоры и дроссельное отверстие.

Приравнивая соотношения (18) и (19), после ряда преобразований получаем следующее соотношение:

AX Q

-2L = — . (20)

At S„ 1 '

После предельного перехода в выражении (20) при At ^ 0 с учетом того, что

AX

lim ^^ = I i, (21)

At^0 At 11

имеем следующее соотношение для определения величины суммарного расхода жидкости:

Q = klSm , (22)

где vHX - скорость движения инерционного тела.

С другой стороны, суммарный расход Q жидкости можно определить следующим образом:

Q = Qд + Qз, (23)

где Qд - расход жидкости через дроссельное отверстие; Q-i - расход жидкости через зазоры между корпусом и фланцем и между штифтами и стенками пазов.

Расход жидкости через дроссельное отверстие [2] будем определять следующим образом:

а=м®.,ЭР, (24)

V "ж

где ц - коэффициент расхода; 1д - площадь дроссельного отверстия:

1д = (25)

ёд - диаметр дроссельного отверстия.

Коэффициент расхода жидкости ц через дроссельное отверстие будем задавать как функцию числа Рейнольдса Яе:

^ = Ц(Яе). (26)

Число Рейнольдса определяется выражением

V ё

Яе = (27)

Уж

где Уц - средняя скорость течения жидкости через дроссельное отверстие:

О

Уд = I1, (28)

уж - коэффициент кинематической вязкости жидкости:

Уж =—; (29)

Рж

Пж - коэффициент динамической вязкости жидкости, задается как функция температуры жидкости Тж:

Пж = пж (Тж). (30)

RELIABILITY AND QUALITY OF COMPLEX SYSTEMS. 2022;(l) Расход жидкости через зазоры [2] определяется выражением

о £2 О

Q =—-—Ар+—v I (31)

где S3 - площадь зазора, определяется по З^модели прибора или упрощенно:

Sз =п (к2 - ¿ф); (32)

dK - диаметр корпуса; dФ - диаметр фланца; 5 - величина зазора, определяется по 3d модели прибора или упрощенно:

d — d,

& = -Lj±- (33)

К - коэффициент несоосности, К = 0,4^1; L3 - длина боковой поверхности фланца диаметром d^

После подстановки выражения (22) в формулу (23) с учетом соотношений (24), (31) имеем следующие уравнения для определения перепада давления Ар на инерционном теле:

„ 2Ар S„ 52 ....

+T^ntKLT Ар+-2v-l=v-l . (34)

Выражение (34) перепишем в следующем виде:

Пж + UnK

S^ Sз62 Гит|I 2

u 2 + IW^u + Mvi — лит I = 0, (35)

где

u = JAp. (36)

Выражение (35) перепишем в следующем виде:

u2 + 2 Bu + C = 0, (37)

где

6n KLlS V2

B = _[ж—зИ^ , (38)

C = ^if — I. (39)

з

Решение уравнения (38) выглядит следующим образом:

и = -В ±у1 В2-С . (40)

После подстановки в выражение (36) соотношения (40), выбора знака «-», так как Ар > 0, и ряда преобразований получаем следующее выражение для определения перепада давления Ар:

Лр = (>/В2 - С - В)2. (41)

Моменты сил, действующие на инерционное тело

Магнитный момент Ммаг определяется следующим образом:

Ммаг = Ммаг (*ит > Фмаг X (42)

определяется методами конечно-элементного анализа.

Момент сил MN, действующих со стороны Г-образных пазов на штифты инерционного тела, определяется следующим образом:

Mn = R,N N2, N3), (43)

где Rp - внутренней радиус корпуса инерционного включателя.

Моменты сил, действующие на контактную систему

Момент упругости спиральной пружины контактной системы Момент упругости спиральной пружины Мсп определяется следующим образом:

Мсп = Мсп (Фсп ) (44)

определяется из конструкторской документации.

Уравнения движения подвижных частей инерционного включателя

Уравнение поступательного движения инерционного тела относительно корпуса прибора запишем в следующем виде:

mAr=+F+F+F,+F+fL , (45)

где аш - ускорение инерционного тела относительно корпуса прибора.

Уравнение вращательного движения инерционного тела

Уравнения вращения инерционного тела запишем в следующем виде:

/тБит = Ммаг + MN , (46)

где /ит - осевой момент инерции инерционного тела; еит - угловое ускорение инерционного тела, вращающегося вокруг своей оси.

Уравнения вращения перемыкателя контактной системы запишем в следующем виде:

/Ас = Ммаг + Мсп , (47)

где /кс - осевой момент инерции перемыкателя; екс - угловое ускорение перемыкателя вокруг своей оси.

Система дифференциальных уравнений, описывающих поступательное и вращательное движение подвижных частей прибора вдоль и вокруг оси ОХ:

итх = (( - F - FA - ^р COSР - ^гс + ^аг_пр ) / «V,

dv d2X„„

dt dt2 '

--(Ммаг - МN )/ /и

_d Юит _ d 2фит

dt dt2 '

--(Ммаг - М сП )//

_d Юкс _ d2фкс

(48)

£С Л Л2

где юит - угловая скорость инерционного тела вокруг оси ОХ; фит - угол поворота инерционного тела вокруг оси ОХ; фит = ;ЦХШ), а в простом случае (Р1 = р2 = р3) фит = —; Юкс - угловая скорость пе-

ремыкателя контактной системы вокруг оси О—; фкс - угол поворота перемыкателя контактной системы вокруг оси О—.

Система (48) решается численно при начальных условиях: Хит = 0, фкс = 0 (^ = 0). Таким образом, полученное решение математической модели инерционного прибора позволяет оптимизировать процесс его производства.

1. Патент 2762663 РФ, МПК Н 01 Н 1/42. Концевой выключатель / Китаев В. Н., Филиппов М. А., Екимов Н. В., Тенетилов Г. В. ; № 2021111093 ; заявл. 19.04.2021, зарег. 21.12.2021.

2. Патент 2552349 РФ, МПК Н 01 Н 1/42. Контактная система / Китаев В. Н., Китаева Е. Н., Новоселова Н. В. ; № 2013112091 ; заявл. 18.03.2013, зарег. 10.06.2015.

3. Семенов А. Д., Юрков Н. К. Моделирование систем управления. СПб. : Лань, 2022. 328 с.

4. Юрков Н. К. Технология производства электронных средств : учебник. СПб. : Лань, 2014. 480 с.

5. Петелин К. С., Рыбаков И. М., Юрков Н. К. Модели и метод организации концептуального мультипроект-ного управления // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 2014. № 3. С. 10-18.

6. Гришко А. К., Горячев Н. В., Юрков Н. К. Математическое моделирование системы обеспечения тепловых режимов конструктивно-функциональных модулей радиоэлектронных комплексов // Проектирование и технология электронных средств. 2015. № 3. С. 27-31.

7. Жаднов В. В., Юрков Н. К. Особенности конструирования бортовой космической аппаратуры : учеб. пособие. Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. 112 с.

1. Patent 2762663 Russian Federation, MPK N 01 N 1/42. Limit switch. Kitaev V.N., Filippov M.A., Ekimov N.V., Tenetilov G.V.; No. 2021111093; appl. 19.04.2021, reg. 21.12.2021. (In Russ.)

2. Patent 2552349 Russian Federation, MPK N 01 N 1/42. Contact system. Kitaev V.N., Kitaeva E.N., Novose-lova N.V.; No. 2013112091; appl. 18.03.2013, reg. 10.06.2015. (In Russ.)

3. Semenov A.D., Yurkov N.K. Modelirovanie sistem upravleniya = Modeling of control systems. Saint Petersburg: Lan', 2022:328. (In Russ.)

4. Yurkov N.K. Tekhnologiya proizvodstva elektronnykh sredstv: uchebnik = Technology ofproduction of electronic means: textbook. Saint Petersburg: Lan', 2014:480. (In Russ.)

5. Petelin K.S., Rybakov I.M., Yurkov N.K. Models and method of organization of conceptual multiproject management. Prikaspiyskiy zhurnal: upravlenie i vysokie tekhnologii = Caspian Journal: Management and High Technologies. 2014;(3):10-18. (In Russ.)

6. Grishko A.K., Goryachev N.V., Yurkov N.K. Mathematical modeling of the system for providing thermal modes of constructive and functional modules of radioelectronic complexes. Proektirovanie i tekhnologiya elektronnykh sredstv = Design and technology of electronic means. 2015;(3):27-31. (In Russ.)

7. Zhadnov V.V., Yurkov N.K. Osobennosti konstruirovaniya bortovoy kosmicheskoy apparatury: ucheb. posobie = Design features of onboard space equipment: textbook. Penza: Izd-vo PGU, 2012:112. (In Russ.)

Список литературы

References

Информация об авторах / Information about the authors

Владимир Николаевич Китаев

начальник конструкторского отдела, Российский федеральный ядерный центр -Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики имени академика Е. И. Забабахина (Россия, Челябинская область, г. Снежинск, ул. Васильева, 13) E-mail: kb2@vniitf.ru

Vladimir N. Kitaev

Head of the design department, Russian Federal Nuclear Center -All-Russian Scientific Research Institute of Technical Physics named after Academician E. I. Zababakhin (13 Vasilieva street, Snezhinsk, Chelyabinsk region, Russia)

Роман Львович Афанасьев

заместитель начальника отдела прикладных исследований, Российский федеральный ядерный центр -Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики имени академика Е. И. Забабахина (Россия, Челябинская область, г. Снежинск, ул. Васильева, 13) E-mail: kb2@vniitf.ru

Roman L. Afanas'ev

Deputy head of the applied research department,

Russian Federal Nuclear Center -

All-Russian Scientific Research

Institute of Technical Physics

named after Academician E. I. Zababakhin

(13 Vasilieva street, Snezhinsk,

Chelyabinsk region, Russia)

Максим Владимирович Петров

инженер-исследователь отдела прикладных исследований, Российский федеральный ядерный центр -Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики имени академика Е. И. Забабахина (Россия, Челябинская область, г. Снежинск, ул. Васильева, 13) E-mail: kb2@vniitf.ru

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию/Received 15.11.2021 Поступила после рецензирования/Revised 20.12.2021 Принята к публикации/Accepted 10.02.2022

Maksim V. Petrov

Research engineer of the applied research department,

Russian Federal Nuclear Center -

All-Russian Scientific Research

Institute of Technical Physics

named after Academician E. I. Zababakhin

(13 Vasilieva street, Snezhinsk,

Chelyabinsk region, Russia)