CC BY
81
УДК 621.317.727.1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНДУКТИВНОГО ДЕЛИТЕЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ С ЭЛЕКТРОННОЙ КОМПЕНСАЦИЕЙ
А.И. Заревич, С.В. Муравьев
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]; [email protected]
Приведены результаты математического моделирования декадного индуктивного делителя напряжения с электронной компенсацией тока в первичной обмотке. Показано, что использование метода компенсации сокращает длительность переходных процессов в индуктивном делителе напряжения, снижает ток в первичной обмотке, что уменьшает погрешности в области нижних частот связанные с потерями на намагничивание сердечника.
Ключевые слова:
Индуктивный делитель напряжения, линейные преобразования, переходные процессы, динамические характеристики, метрология. Key words:
Inductive voltage divider, linear transformations, transient, dynamic characteristics, metrology.
Введение
Во многих областях науки и техники необходимо выполнение масштабных линейных преобразований электрических сигналов. В этой связи, в частности, широкое применение находят индуктивные делители напряжения (ИДН), обладающие наиболее приемлемыми метрологическими характеристиками в диапазоне частот от десятков Гц до ед. МГц. Основные преимущества ИДН обусловлены их высокой точностью, помехозащищенностью, временной и температурной стабильностью. Широкое применение ИДН обуславливает постоянное возрастание требований к их метрологическим характеристикам.
Наиболее существенное влияние на метрологические характеристики ИДН оказывает амплитудная погрешность. В области нижних частот амплитудная погрешность обусловлена потерями на намагничивание сердечника (током возбуждения), в то время как на высоких частотах основной вклад в амплитудную погрешность вносят индуктивности рассеяния и распределенные емкости между витками обмоток, вызывающие рассогласование их импедансов.
Одним из перспективных методов снижения амплитудной погрешности в области нижних частот является метод электронной компенсации тока первичной обмотки [1]. Данный метод основан на отборе части выходного тока с выхода первичной обмотки трансформатора и передачи его через вспомогательную обмотку на вход делителя в про-тивофазе с входным сигналом.
В статье обсуждаются результаты моделирования ИДН с электронной компенсацией, которая приводит к уменьшению длительности переходных процессов и снижению погрешностей. Это обеспечивает возможность создания компактного программируемого ИДН.
Электронная компенсация тока
в первичной обмотке делителя
Блок-схема метода электронной компенсации тока в первичной обмотке ИДН представлена на рис. 1 [1].
Рис. 1. Блок-схема предложенного метода компенсации тока в первичной обмотке ИДН
Усилитель тока компенсации подключен последовательно первичной обмотке Ъ и представляет собой двухкаскадный усилитель. На выходе первого каскада (ОУ1) имеем напряжение, пропорциональное току первичной обмотки I. Второй каскад усилителя (ОУ2) питает компенсирующую обмотку Ьк. Напряжение на выходе усилителя, создающее ток в компенсирующей обмотке, определяется соотношением:
1 + -
R
(1)
где - импеданс обмотки компенсации.
Заметим, что для качественных рассуждений, демонстрирующих эффект электронной компенсации, импедансом компенсирующей обмотки можно пренебречь. Это допустимо, поскольку для усилителя тока компенсации, построенного с использованием операционных усилителей по схеме
на рис. 1 ток в обмотке компенсации прямо пропорционален току в первичной обмотке. С учетом сказанного можно пренебречь реактивной составляющей импеданса 2к и считать малым ее активное сопротивление (Лк). Тогда, преобразуя (1), ток на выходе усилителя может быть записан как:
К =- Коу1„ (2)
где Коу - коэффициент усиления по току, который для идеального операционного усилителя имеет вид: Коу=Яос/Яд.
Параметры схемы усилителя тока компенсации выбираются исходя из следующих соображений. Известно, что магнитодвижущая сила, необходимая сердечнику, зависит главным образом от входного напряжения и определяется как
А = N1 - ЫК1К - Ы212, (3)
где 12, Иг,1к, Ык - ток и количество витков в первичной обмотке и обмотке компенсации соответственно.
Тогда, выражая из (2) и (3) ток первичной обмотки 11, получаем, что
А - N212
цепи отрицательной обратной связи может существенно сократить это время. Таким образом, представляет интерес рассмотрение влияния цепи компенсации на динамические характеристики ИДН.
Переходные процессы в ИДН обусловлены, преимущественно, двумя факторами. Во-первых, это процессы, протекающие при подаче сигнала на вход прибора. Во-вторьа, это процессы, вызванные коммутацией делительных обмоток.
Напряжение, наведенное в первичной обмотке током вторичной обмотки 12 при сильной индуктивной связи обмоток, может быть записано как
V = N.
21 N. 2 Ж
(5)
N1(1 + KоуNк|Nl)
Откуда следует, что при малых значениях тока и числа витков во вторичной обмотке, для уменьшения тока первичной обмотки при заданном напряжении сигнала на входе, необходимо, чтобы
Коу^Т > °- (4)
Максимальное значение коэффициента (4) определяется устойчивостью стационарного состояния цепи ИДН и ограничено самовозбуждением схемы в случае, когда энергия, вносимая сформированной цепью компенсации обратной связью, превышает потери в ней.
Другие ограничения на значения коэффициента (4) связаны с частотными свойствами используемых операционных усилителей. Для учета их влияния, традиционно, операционный усилитель моделируют как фильтр нижних частот с последующим расчетом амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик. В то же время, сегодня разработаны и широко доступны операционные усилители с шириной полосы единичного усиления, достигающей 10 МГц и более [2]. Поэтому рассмотрение частотных свойств КОУ выходит за рамки данной работы и сводится, фактически, к анализу имеющейся элементной базы.
Динамические характеристики ИДН
Длительность переходных процессов в традиционных ИДН может достигать нескольких секунд [3]. Этот фактор определяет быстродействие прибора и ограничивает его использование в составе автоматизированных измерительных комплексов. Схема компенсации, за счет значительного входного сопротивления усилителя и сформированной
где Ьг - индуктивность вторичной обмотки.
Традиционно, при расчете ИДН, эффекты, связанные наведенным напряжением У21 не учитываются. Это объясняется малым значением тока /2при малых значениях коэффициента передачи делителя по напряжению К=Уеых/Ув,»Ы2/Ы1. Однако, необходимо заметить, что при значениях К~1 этими эффектами пренебрегать нельзя.
Для анализа динамических характеристик запишем с учетом (1) и (5) уравнения движения представленной на рис. 1 схемы. С учетом фазировки обмоток они имеют следующий вид:
N г аи N..
+ Я111 - Vex - -^ Ь2^ +-.
1 Ж N1 Л N
+ = 0;
ь2 ^+я212 + уеы1 + Ь ^ -
2 аг еы N2 1 аг
а1к
аг
-N2Ь (-Nк к I аг
= 0,
(6)
где Увх - напряжение на входе ИДН; Увых=Ян12 - напряжение на нагрузке, Ьъ Ь2и Ьк - индуктивности первичной обмотки, вторичной обмотки и обмотки компенсации соответственно; Л2 - соответ-
ственно активные сопротивления первичной и вторичной обмоток; Яоу - входное сопротивлении усилителя тока компенсации.
Знак «-» перед Лк/М во втором уравнении в (6) отражает разнонаправленность первичной обмотки и обмотки компенсации.
Записанные уравнения движения являются однородными дифференциальными уравнениями первого порядка. Их решение будем проводить численными методами в системе МАТЬАВ [4].
Адекватность представленной модели была подтверждена близким соответствием результатов расчета и результатов известных экспериментальных исследований [1]. Для чего в модель были подставлены приведенные в данной работе значения параметров. При использовании цепи компенсации расхождение полученных результатов и результатов опубликованных экспериментов не превышало 10 %, а без цепи компенсации - 30 %. Имеющиеся расхождения объясняются прибли-
женностью модели и неполнотой сведений об использованном авторами [1] экспериментальном оборудовании.
Для расчета, параметры модели были выбраны соответствующие таковым в реальных ИДН [5]. Значения выбранных параметров приведены в табл. 1.
Таблица 1. Расчетные параметры модели индуктивного делителя напряжения с компенсацией тока первичной обмотки
Значение
Сердечник Параметр
Материал Пермаллой
Магнитная проницаемость 2'105
Форма Тороид
Площадь поперечного сечения 3'10-4м2
Диаметр средней линии кольца 5'10-2м
Общие параметры обмоток
Материал провода Медь
Удельное сопротивление 0,0172'10-60м'м
Первичная обмотка
Количество витков N 1000
Диаметр провода 2,510-4 м
Индуктивность и 480 Гн
Активное сопротивление ^ 35,039 Ом
Вторичная обмотка
Количество витков N 100
Диаметр провода 2,510-4 м
Индуктивность 12 48 Гн
Активное сопротивление Я2 3,5 Ом
Компенсирующая обмотка
Количество витков Мк 100
Диаметр провода 7'10-4м
Индуктивность ик 48 Гн
Активное сопротивление Як 0,447 Ом
Усилитель тока компенсации
Входное сопротивление Коу 1060м
Кос 103Ом
К 103Ом
Коэффициент усиления КОУ 1
Первичная и вторичная обмотки в рамках текущего расчета считались изготовленными из медного провода одинакового диаметра. Также выбраны равными индуктивности вторичной обмотки и обмотки компенсации.
В расчете не учитывались зависимость магнитной проницаемости сердечника от частоты и паразитные емкости между витками обмоток, поскольку, как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, эти эффекты становятся значимыми только в области верхних частот [6, 7].
Выбранное значение коэффициента усиления КОУ=1 позволяет исследовать влияние цепи компен-
сации изолированно от параметров операционного усилителя, исключая малозначащие параметры.
Результаты математического моделирования
В расчете определялись отклики системы на входное напряжение Увх и на напряжение переходного процесса коммутации У2к в виде функции включения и в виде 5-функции. Для расчета была выбрана 5-функция в форме прямоугольника единичной площади с основанием, стремящимся к нулю.
Нагрузкой реальных ИДН, чаще всего, являются прецизионные вольтметры, обладающие входным сопротивлением порядка сотен МОм и более. Поэтому характеристики цепи должны быть исследованы в режиме холостого хода, то есть когда Лн^<х>. Однако в результате вычислительных экспериментов сопротивление нагрузки было выбрано равным 10 МОм. Заметим, что режим холостого хода, будучи физически корректным, не изменяет картину качественно, но в то же время значительно снижает точность и увеличивает время расчета из-за значительного расхождения порядков входящих в (6) величин и ограниченной разрядности компьютера. Данное ограничение является распространенным при численном интегрировании жестких дифференциальных уравнений и является справедливым для уравнений (6). Это можно показать, решив их относительно производных токов в обмотках и записав получившийся якобиан:
д(а11/аг) д(ат1/аг)
J (Л, 12 , t) =
dIj
d(dI2/ dt) . dl,
dl2 d(dI 2/ dt)
dl,
(7)
Полное аналитическое выражение для якобиана здесь не приводим в силу его громоздкости. Решая (7) для выбранных параметров модели получаем, что различие между элементами матрицы может достигать 10 порядков. Это и определяет жесткость уравнений движения (6), которая увеличивается при сближении параметров обмоток и увеличении сопротивления нагрузки.
Дальнейший выбор оптимальных расчетных параметров должен осуществляться путем минимизации целевой функции
max J (I1, 12, t)
min J (I1, 12, t)
AR,, AR„
где max/ (/b I2, t) и min/ (/b I2, t) - максимальный и минимальный элементы матрицы Якоби (7), ARH и ARoy - соответственно разницы между сопротивлением нагрузки и входным сопротивлением операционного усилителя в модели и в выбранном для экспериментов прототипе реального ИДН. При этом составляющие целевой функции оптимизируются по следующим условиям:
max J (I,, 12, t)
min J (I,, 12, t)
Традиционная схема
Схема с использованием электронной компенсации
Время, мс Напряжение на нагрузке
Рис 2. Реакция ИДН входное напряжение Vв!х в форме функции включения
Ниже приведены реакции рассматриваемой цепи на внешние воздействия в виде функции включения (рис. 2) и 5-функции (рис. 3).
Анализ реакции схемы на входное напряжение Уех в форме функции включения (рис. 2) демонстрирует, что происходит существенное уменьшение тока в первичной обмотке. Этот эффект позволит снизить намагничивание сердечника. В результате, как известно из экспериментов, описанных в работе [1], на 2 порядка и более может быть уменьшена погрешность делителя, связанная с потерями энергии на перемагничивание сердечника в области нижних частот.
Таким образом, исчезает необходимость в традиционно используемой для уменьшения амплитудной погрешности двуступенчатой технологии изготовления ИДН, при которой необходимы сдвоенные сердечники [8], что позволяет уменьшить габариты и вес прибора, а также снизить паразитные емкости между витками обмоток и индуктивности рассеяния.
Из рассмотрения приведенных на рис. 2 и 3 графиков видно, что цепь электронной компенсации на несколько порядков сокращает длительность пе-
реходных процессов. Это проявляется как уменьшение постоянной составляющей тока первичной обмотки. Как известно из теории цепей [9], уменьшение длительности переходных процессов обусловлено постоянной времени цепи, которая характеризует инерционность процесса рассеяния энергии в системе. Следовательно, уменьшение тока повышает быстродействие прибора и снижает его чувствительность к внешним помехам.
Следует заметить, что в приведенном расчете реакции ИДН на 5-функцию (рис. 3) значения входного сигнала могут быть довольно значительными. Однако реально существующие напряжения сигналов в подобных схемах обычно не превышают напряжения пробоя транзисторов.
Заметим, что учет конечного сопротивления нагрузки в расчете увеличивает длительности переходных процессов в области частот до 300 кГц пропорционально постоянной времени цепи. Тем не менее, во многих случаях, применение электронной компенсации уменьшает их по сравнению с традиционной схемой. Однако анализ влияния нагрузки ИДН на его динамические характеристики выходит за рамки настоящей статьи.
Традиционная схема
Схема с использованием электронной компенсации Ток первичной обмотки
Время, мс
Рис. 3. Реакция ИДН на входное напряжение Vex в форме 8-функции
Дальнейшие исследования будут направлены на количественное определение потерь на намагничивание сердечника и изучение влияния цепи компенсации на этот процесс, а также на моделирование частотных характеристик цепи.
Заключение
Использование метода электронной компенсации тока первичной обмотки позволяет существенно (на порядок и более) уменьшить длительность переходных процессов в индуктивном делителе напряжений в области частот до 300 кГц. Также происходит уменьшение постоянной составляющей
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Slomovitz D. Electronic Compensation of Inductive Voltage Dividers and Standard Voltage Transformers // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. - 1998. - V. 47. - № 2. -P. 465-468.
2. Перебаскин А.В., Бахметьев А.А. и др. Интегральные схемы: Операционные усилители. Т. 1. - М.: Физматлит, 1993. - 240 с.
3. Ройтман М.С., Ким В.Л., Калиниченко Н.П. Кодоуправляемые прецизионные делители напряжения // Измерения, контроль, автоматизация. - 1986. - Вып. 1 (57). - С. 3-17.
4. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е изд.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. - 720 с.
тока первичной обмотки, что приводит к уменьшению погрешности деления напряжения, обусловленной потерями на намагничивание сердечника. В результате появляется возможность уменьшить габариты индуктивных делителей напряжения и увеличить их быстродействие при сохранении метрологических характеристик.
Работа проведена в соответствии с грантом № НК-566П/13 по направлению «Создание электронной компонентной базы» в рамках мероприятия 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
5. Ким В.Л. Методы и средства повышения точности индуктивных делителей напряжения. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009. -214 с.
6. Skubis T. Optimal Multifilar Winding Connection for Inductive Voltage Dividers // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. - 1998. - V. 47. - Iss. 1. - P. 204-208.
7. Иыерс Р.Р. Модели и характеристики многопроводного жгута // Труды Таллинского политехн. ин-та. - Таллин: Изд-во Таллинского политехн. ин-та, 1977. - № 432. - С. 77-88.
8. Deacon T, Hill J., Two-stage inductive voltage dividers // Proc. Inst. Elect. Eng. - 1968. - V. 115. - № 6. - P. 888-892.
Поступила 11.10.2010 г.
