CC BY
27
Паньков А.А. Математическая модель импульсного сканирования давления по длине пьезоэлектролюминесцентного оптоволоконного датчика // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2018. -№ 1. - С. 73-82. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.1.06
Pan'kov A.A. Mathematical model of pulse scanning of pressure along a piezo-electro-luminescent fiber-optical sensor. PNRPU Mechanics Bulletin, 2018, no.1, pp. 73-82. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.1.06
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 1,2018 PNRPU MECHANICS BULLETIN
http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/inf/
Б01: 10.15593/регш.шесЬ/2018.1.06 УДК 531.787.5
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИМПУЛЬСНОГО СКАНИРОВАНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПО ДЛИНЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРОЛЮМИНЕСЦЕНТНОГО ОПТОВОЛОКОННОГО ДАТЧИКА
А.А. Паньков
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
О СТАТЬЕ АННОТАЦИЯ
Разработана математическая модель локации неоднородностей давления по длине оптоволоконного пьезоэлектролюминесцентного датчика с использованием локационного сканирующего электрического видеоимпульса с пошаговым изменением его величины. Разработан алгоритм нахождения функции распределения давления по локальному участку и по всей длине датчика по результатам замеряемой на торцевом сечении датчика интенсивности исходящего из оптоволокна света для случая нелинейной «функции свечения» - зависимости интенсивности света от действующего на электролюминесцентный элемент электрического напряжения; задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с разностным ядром, зависящим от управляющего и информативного передаточных коэффициентов датчика и заданной функции свечения электролюминесцентного элемента. Получены аналитические решения для функций распределения давления по длине датчика для частных случаев, когда ядро или сама функция плотности распределения выражаются через дельта-функцию и интегральное уравнение Фредгольма сводится к алгебраическим. Определены области допустимых значений управляющего напряжения датчика для различных режимов диагностики распределения давления. Представлены результаты численных решений прямой и обратной задач для неоднородного распределения давления посредством «точечного» сканирования этого давления предельно узким импульсом управляющего электрического напряжения. В прямой задаче найдены функции свечения на выходе из оптоволокна для различных моментов времени и значений величины импульса управляющего электрического напряжения с учетом заданной функции свечения электролюминесцентного элемента; в обратной задаче найдено распределение давления по значениям функции интенсивности свечения в различные моменты времени .
©ПНИПУ
Получена: 20 декабря 2017 г. Принята: 26 февраля 2018 г. Опубликована: 30 марта 2018 г.
Ключевые слова:
пьезоэлектроупругость, механолюминесцентный эффект, оптоволокно, датчик давления, импульсное сканирование, численное моделирование.
© Паньков Андрей Анатольевич - доктор физико-математических наук, доцент, e-mail: a_a_pankov@mail.ru
Andrey A. Pan'kov- Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mail: a_a_pankov@mail.ru
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
MATHEMATICAL MODEL OF PULSE SCANNING OF PRESSURE ALONG A PIEZO-ELECTRO-LUMINESCENT FIBER-OPTICAL SENSOR
Andrey A. Pan'kov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
ARTICLE INFO ABSTRACT
The mathematical model is developed aimed at locating pressure non-uniformity along a fiber optic-piezo-electro-luminescent sensor using the location scanning electrical video pulse with a step by step change of its value. The algorithm of finding the function of pressure distribution along a local section and the whole length of the sensor is developed based on the results of the intensity of light proceeding from a fiber optic phase measured on the edge section of the sensor for a case of nonlinear "luminescence function", which is a dependence between the intensity of light and voltage acting on the luminescent element. The problem is reduced to the solution of the Fredholm integral equation of the 1st kind with the differential kernel depending on the operating and informative transfer coefficients of the sensor and on the set luminescence function of the element. Analytical solutions for the pressure distribution functions along the sensor are obtained for special cases, when the kernel or the function of distribution density is expressed via delta function, and the Fredholm integral equation becomes algebraic. Domains of admissible values of the operating voltage for various modes of diagnostics of pressure distribution are defined. Results of numerical solutions of direct and reverse problems for non-uniform distribution of pressure by means of "pointed" scanning of this pressure are presented by an extremely narrow impulse of the operating voltage. Luminescence functions at the exit from the optical fiber at various time points and values of the impulse of the operating voltage taking into account the set luminescence function of an electroluminescent element are found in the direct problem. The distribution of pressure depending on the values of the luminescence intensity function at various time points is found in the reverse problem.
©PNRPU
Received: 20 December 2017 Accepted: 26 February 2018 Published: 30 March 2018
Keywords:
piezo-electro-elasticity, mechanical-luminescent effect, optical fiber, sensor of pressure, pulse scanning, numerical modeling.
Введение
Сенсорика за последние годы сформировалась в самостоятельную высокотехнологичную ветвь измерительной техники [1], одной из центральных задач которой является разработка все более совершенных датчиков для диагностирования различных физико-механических параметров исследуемых объектов. К новым датчикам предъявляются все более высокие требования. В частности, наряду с высокими метрологическими характеристиками особое значение придается их высокой надежности, долговечности, стабильности, малым габаритам, массе и энергопотреблению, возможности встраивания в объекты и системы мониторинга, совместимости с микроэлектронными и компьютерными устройствами обработки информации, низкой себестоимости, что в наибольшей степени характеризует именно оптико-электронные волоконные датчики. В [1] рассмотрены классификация, принципы действия, конструкции, параметры и характеристики оптико-электронных и волоконно-оптических датчиков, дан анализ влияния различных факторов на характеристики датчиков и приведены принципиальные схемы построения электронных и оптических датчиков для решения различных промышленных, технологических и медицинских задач. Различие между активными и пассивными датчиками обусловлено различием принципов их функционирования, отражающих, в свою очередь, фундаментальные отличия: активные датчики сами являются генераторами информативного выходного сигнала различной физиче-
ской природы, пассивные - имеют лишь информативное воздействие на процесс, в частности, через изменение удельного сопротивления изменяется сила электрического тока в проводнике или через изменение показателя преломления оптоволокна (световода) изменяются выходные характеристики светового потока. В активном пьезоэлектрическом датчике параметр измерения, в частности внешнее давление, воздействует на пьезоэлектрический элемент, что приводит к деформации и появлению на его гранях электрических зарядов противоположного знака, величина которых связана с измеряемым давлением. Световод может использоваться в качестве линии передачи информативного сигнала и/или чувствительного элемента, в частности, в виде участка световода с дифракционной решеткой Брэгга [2-6]; механолюминесцентный эффект использован в конструкциях датчиков [7]. В [8-11] представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований по оценке механических свойств и деформаций полимерных композиционных материалов с помощью интегрированных в структуры материалов оптических волокон с решетками Брэгга. В [12] найдено распределение деформации по длине оптоволоконного датчика, и установлена минимально допустимая длина датчика для различных случаев нагружений в результате численного моделирования деформационных процессов в системе «подложка-клей-оптоволоконный датчик» в рамках линейной теории термовязкоупругости. Возможность измерения градиентных полей деформаций волоконно-оптическими датчиками с решетками Брэгга продемонст-
рирована в [13] на примере пластины с вырезами в сравнении с результатами, полученными при использовании трехмерной цифровой оптической системы, и с результатами численного моделирования методом конечных элементов. Оценки технологических деформаций в полимерных композиционных образцах с использованием внедренных волоконно-оптических датчиков с решетками Брэгга даны в [14]. Другим перспективным решением проблемы диагностирования неоднородных полей деформаций и наличия дефектов в элементах композитных конструкций являются сенсорные пьезоэлектрические сети [15-17], внедренные в структуру конструкции. Моделирование процессов в пьезоэлектрических чувствительных элементах датчиков проводится на основе решений соответствующих связанных краевых задач электроупругости аналитическими [18-21] или численными [22-26] методами механики сплошной среды. В [27-30] предложены новые конструкции пьезоэлектролюминесцентных оптоволоконных датчиков для уточненного диагностирования давления [27-29] и сложного объемного напряженно-деформированного состояния композитных конструкций [30] с использованием алгоритмов [28, 29] обработки приемником-анализатором интегральных оптических сигналов на выходе из световода датчика. Информативный световой сигнал возникает на локальном участке датчика в силу механолюминесцентного эффекта, обусловленного взаимодействием пьезоэлектрического и электролюминесцентного слоев датчика, и передается по световоду к приемнику-анализатору; наличие управляющих электродов позволяет диагностировать локации неоднородностей давления по длине датчика.
Цель - разработка математической модели импульсной локации неоднородностей давления по длине оптоволоконного пьезоэлектролюминесцентного датчика [27] с использованием локационного сканирующего электрического видеоимпульса на управляющих электродах по результатам замеряемой на торцевом сечении волоконного датчика интенсивности исходящего из оптоволокна света для различных моментов времени; для частного случая - сканирования предельно узким импульсом - получить аналитическое решение для диагностируемого неоднородного давления, что значительно упростит известный алгоритм [29] обработки светового сигнала на выходе из оптоволокна датчика.
1. Оптоволоконный пьезоэлектролюминесцентный датчик
Датчик давления (рис. 1) [27-29] представляет собой составное слоистое волокно, состоящее из оптоволокна 1, электролюминесцентного 2 и с радиальной поляризацией пьезоэлектрического 3 цилиндрических концентрических слоев с внутренним фотопрозрачным, в частности, перфорированным или сеточным 4 и внешним 5 непрерывными управляющими электродами. Действие радиального напряжения (давления) ст. на некотором локальном участке внешней боковой поверхности датчика приводит к соот-
ветствующим деформациям участка пьезоэлектрического слоя 3 и появлению в нем и в смежном с ним локальном участке электролюминесцентного слоя 2 электрического поля, приводящего к свечению локального участка электролюминесцентного слоя внутрь (через фотопрозрачный электрод 4) оптоволокна 1; управляющие электроды 4, 5 с напряжением ^упр дают возможность изменять, в частности, однородно или неоднородно по длине датчика электрическое напряжение на электролюминесцентном слое 2 и как результат величину интенсивности света I на выходе из оптоволокна.
ст.
1Г 1Г
Л \
—<\ \
4 2 3 5
J 1
и.
упр
Рис. 1. Датчик давления ст. с управляющим напряжением иупр и интенсивностью света I на выходе из световода Fig. 1. Sensor of pressure ст. with the operating voltage иупр and intensity of light I at the exit from the light guide
2. Математическая модель сканирования
Рассмотрим процесс сканирования неоднородного давления ст(z) по оси датчика z е (0; l) локационным
электрическим управляющим напряжением иупр (z, t)
на электродах, которое представим в виде суммы некоторого постоянного по длине значения U0 и локационного электрического видеоимпульса прямоугольной формы Ü1(z, t), распространяющегося в положительном направлении оси z .
иупр (z, t) = Uo + Ui(z, t) (1)
В произвольный момент времени t1 е (0; T) импульсная функция U1(z, t1) отлична от нуля и равна значению U1 лишь на локальном участке lj с координатами z с (z1 -11 / 2; z1 +11 / 2) и длиной l1 с центром в точке z1 = z0 + ct1, где координаты начального и конечного положений центра импульса z0 = l1 /2 и l -11 /2 соответственно, координата z е (0; l); длина электрода l; время прохождения центром одиночного импульса от начального до конечного положений T = (l -11)/ c; скорость распространения импульса c .
Таким образом, для диагностики давления ст.1 на участке l1 с центром z1 имеем (после проведенных в n циклах диагностики замеров интенсивностей света
на выходе оптоволокна) функцию I = I(иупр1), заданную через узловые значения интенсивности света 1(к) = I(Ч) на выходе оптоволокна и управляющего напряжения на участке 11 и цк) = и0 + С/1(к), где моменты времени прохождения импульсом этого участка % = (21 - 20) / с + (к - 1)Т. Однородная составляющая и0 и величина импульса и1(к) =-и1а +АП1(к -1)
постоянны в течение каждого цикла к = 1, п диагностики и варьируются, в частности увеличиваются на некоторую малую величину Ди1 лишь при начале следующего цикла для случая и1 е [-и1а ;и1а ], где минимальное и максимальное значения и^1п) = +и1а; амплитуда импульса и1а ^ 0; п - число циклов диагностики.
Рассмотрим вероятностную модель, в которой распределение действующего на боковую цилиндрическую поверхность волоконного датчика внешнего давления ст(2) по координате 2 описываем непрерывной случайной величиной ст., реализациями которой являются различные значения действующего давления ст(2), где 2 е (0; I); аналогично для случайной величины ст1ф реализациями являются различные значения ст(2) на соответствующем локальном участке 2 е 11 датчика. Электрическое напряжение на электролюминесцентном локальном участке 11 датчика
Рис. 2. Заданная функция I и производная I' интенсивности свечения электролюминесцентного элемента от значений приложенного напряжения U Fig. 2. The set function I and derivative I' of luminescence intensity of the electroluminescent element on the values of the enclosed voltage U
где границы интегрирования
Clmin -Cl(0) = (U(0) - axUynpl ) / «2, Clmax = Cl (^max ) = (U(Imax ) - «P упр1) / a2
(4)
U1. = a1U упр1 + a2CT1.
(2)
с учетом (2). В каноническом виде интегральное уравнение Фредгольма (3) имеет вид
также является случайной величиной, связанной с давлением ст1ф параметрами датчика а1, а2. Найдем функции плотности (^1) распределения этого давления ст1ф по анализу интенсивности света I на выходе из оптоволокна датчика. Считаем, что свойства электролюминесцентного элемента заданы «8-образной» кривой зависимости интенсивности свечения I = I (и) от приложенного напряжения и с характерными точками заданных пороговых напряжений: итт для начала свечения и итах для начала
насыщенного свечения электролюминесцентного элемента (рис. 2).
Алгоритм расчета функции плотности распределения /1, (^1) давления на локальном участке оптоволоконного датчика рассмотрен в [29], согласно которому искомая функция (^1) является решением интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода
Ы
да
л 1 C1max
al m i U),
упр1
l
fi. (Ci)d Cl, (3)
Clm
f (x) = j K(x - s)y(s)ds .
где разностное ядро
K (x - s) = ^ I'(x - s) a2l
(5)
(6)
с учетом новых переменных
x = a1Uyпp1 , s = -a2Cl
известная f (x) = мая y(s) = fl. (Cl)|
' dI ^
dU,
упр1
(7)
с учетом (7) и иско-
Рупр^Ч
функции, границы интегрирова-
ния: «т„ = * - и(Imаx), «тах = * - й(0) или «тт ^,
«тах = Х с учетом (4), й(0) = 0 , и(7тах ) . Различные аналитические и численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма (5) даны в [31-35]. В частном случае, когда зависимость I = I (и) - ступенчатая функция (пунктирная линия на рис. 2), произ-
s
s
водная в ядре (6) уравнения (5) выражается I '(и) = 1шах8(П - ишт) через дельта-функцию Дирака и из (3) получим решение для искомой функции плотности распределения
( ^ Л
/1. (Ci) = К
dl
KdUупр1 /
(8)
|иупр1=(иш|^ -a2C1)/a1
где константа к - a2 /(a1/1max); максимальная интенсивность свечения I1max - Imax l1 /l участка электролюминесцентного элемента оптоволоконного датчика длиной l1.
Для случая, когда на рассматриваемом участке z' e диагностируемое давление стх. = const или когда ширина l1 сканирующего импульса является предельно малой величиной (l1 = Az хх l) и давление ст> (z') « const для z' e (z; z + Az), функция плотности распределения вырождается к виду
/i.(Ci ) = S(Ci-ai.) (9)
и из интегрального (3), (5) получим алгебраическое уравнение
dl
a1l1 — — -_-JL! i '(U),
dUупр1 l |и=а1иупр1+а2а1.
(10)
функция интенсивности свечения i на выходе из оптоволокна
I (Uупр-) = i0 + 1-гi (U)|
l I ^^^упр^^^«
(11)
где 10 = 10 (и0) обусловлено возможным свечением участка 1с = l \ l1. В частности, значение и0 в (1) может быть подобрано из условия 10 = 0 отсутствия свечения на выходе из световода в отсутствие импульса. В результате получим искомое решение для величины диагностируемого давления
a1. =(I -1(Л) - alUyпр1)/ a2
(12)
где I - функция, обратная известной I = I (U) (см. рис. 2) величина
Л-l (I (Uупр1) -10)
l1
(13)
выражается через экспериментально измеренную интенсивность I (иупр1) для соответствующего значения
управляющего напряжения иупр1. Отметим, что в (12) Ст]. = ст. (г) - это давление в малой окрестности внешней границы сечения датчика с координатой г ; величина Л рассчитывается через интенсивность света I на выходе из световода в момент времени t = 2г / с, где
с - скорость распространения электрического импульса (света), начальный момент времени t = 0 соответствует моменту входа импульса в датчик.
з. Области допустимых значений параметров управляющего напряжения
Для диагностики оптоволоконным датчиком значений давления ст. из всего рабочего диапазона (стшт; стшах) необходимо выполнение условий: во-первых, минимальное значение управляющего сигнала и (щ^ должно
приводить к прекращению свечения (и. х иш1п) даже на участке, где действует максимальное давление стшах,
и, во-вторых, максимальное значение управляющего сигнала иупр (шах) должно приводить к максимальному «насыщенному» свечению (и. ^ ишах ) даже на участке, где действует минимальное давление ст ш1п. Эти условия с учетом того, что напряжение на электролюминесцентном элементе, например на участке ^ действия импульса, имеет вид ) = аи^^) + а2стф1 (2), запишем как систему неравенств
I а1иупр1(шт) + а2 СТ1(шах) ^ ишт, I а1иупр1(шах) + а2 СТ1(шт) ^ ишах
(14)
с использованием заданных пороговых напряжений
U „
для начала свечения и Umax для начала насыщен-
ного свечения электролюминесцентного элемента. Для случая, когда величина импульса и1 е (-и1а ;и1а), систему (14) преобразуем к виду
I а1 (и0(ш1п) - и1а ) + а2СТ1(шах) ^ ишт , I а1(и0(шах) + и1а ) + а2СТ1(ш1п) ^ ишах
(15)
с учетом равенств иуПрЦш1п) = и0(ш1п) - и1а, иупр1(шах) =
= и0(шах) + и1а (1), амплитуды импульса и1а ^ 0 и допуская для общего случая вариации однородной составляющей управляющего напряжения и0 на интервале
значений (и0(ш1п); и0(шах)). Таким образом, область допустимых значений параметров управляющего сигнала найдем из решения системы
U,
0(min) U1a Х b1, «) -
U1a У 0,
U0(max) + U1a У ^
(16)
где коэффициенты
b =(Umin - a2a1(max) ) / «1, b2 = (Umax - a2a1(min) ) / a1
с учетом того, что a12 У 0 .
(17)
Для случая, когда U0 = const, в (15), (16) полагаем Равенства U0(min) = U0(max) = U0 :
U0 -Ula X bi,
U0 + U1a ^ b2 , Uia ^ 0.
(18)
В частности, при и0 = 0 амплитуда импульса выбирается из области допустимых значений (16)
У Л,
и1а У Ъг, (19)
I и1а У 0.
Для случая, когда и1а = 0 импульс отсутствует, область допустимых значений границ и^^, и0(тах) для
варьирования величины однородной составляющей управляющего напряжения и0 находим из системы
U,
0(min)
I U0(max) У b2 ■
4. Результаты численного моделирования
(20)
Численный расчет области допустимых значений параметров: и0, и1а управляющего напряжения на рис. 3 проведен (18) для значений границ: Стцтп) = 70кПа, ст1(тах) = 80 кПа действующего на участке ^ давления ст1ф, пороговых напряжений для начала ит1п = 3 В и насыщенного итах = 6 В свечений электролюминесцентного элемента (см. рис. 2), параметров датчика ах = 0,972, а2 = 0,235 -10-4 В/Па [28, 29] и рассчитанных значений коэффициентов Ь « 1,152 В, Ь2 ~ 4,480 В (17). Вертикальным красным отрезком на рис. 3 обозначены допустимые значения и1а У Ь2 амплитуды импульса для случая (19) отсутствия (и0 = 0) однородной составляющей в управляющем напряжении (1).
На рис. 4, а построены зависимости интенсивности света I = I (иущй) (с учетом !0(0) = 0, где интенсивность свечения ^ = ^(и^ участка 10 = 1 /11, который светится лишь при значении и0 > и1 = 0,91 В) и производной I' = Л / с1иупр1 на выходе из оптоволокна от управляющего напряжения иупр1 при заданном равномерном законе распределения ((^) действующего давления ст1ф е (ст ст '2) на участке 11 в границах ст 1 = 70кПа, ст '2 = 80 кПа с параметрами датчика а1 = 0,972, а2 = 0,235 -10-4 В/Па, относительной длиной 11 /1 = 0,01 участка ^. Значение амплитуды им-
пульса Ula = 5 В (U0 = 0) было выбрано с учетом области допустимых значений параметров управляющего напряжения (см. рис. 3). Пунктирные графики (см. рис. 4, а) зависимостей интенсивности света I и производной I' от управляющего напряжения U 1 на участке ll построены для случая, когда функция I = I (U) задана в виде ступенчатой функции (см. рис. 2) с параметрами Imax = 4,5 Вт/м2, U min = 3В.
Рис. 3. Область допустимых значений параметров
U 0 , U1a управляющего напряжения Fig. 3. Domain of admissible values of parameters: U0, U1a of operating voltage
На рис. 4, б для случая наличия лишь однородной по длине датчика составляющей варьируемого управляющего напряжения U0 в отсутствие импульса (U1a = 0) построены зависимости интенсивности света I и производной I' = dl / dU0 (5) на выходе из оптоволокна от управляющего напряжения U0 при заданном равномерном законе распределения f (С) действующего давления ст. е (ст1; ст2) по всей длине l в границах ст1 = 30 кПа, ст2 = 90кПа. Допустимые значения границ U0(min), U0(max) варьирования величины управляющего напряжения U0 е (U0(min); U0(max))
найдены из решения (20). Пунктирные графики на рис. 4, б рассчитаны для случая, когда функция I = I (U) задана в виде ступенчатой функции (см. рис. 2). Граничные значения давлений ст12 связаны с соответствующими характерными
значениями U12 управляющего напряжения U0 зависимостью ст12 = (Umin - a1U21) / a2 с учетом (2); для рассматриваемого случая (см. рис. 4, б) имеем значения U1 = 0,91 В,
U2 = 2,36 В.
Рис. 4. Рассчитанная функция свечения I из оптоволокна и производная I' для диагностирования давления на локальном участке (а) и по всей длине (б) датчика Fig. 4. The calculated function of luminescence I from optical fiber and derivative I' for diagnosing of pressure on the local segment (а) and along the whole length (b) of the sensor
Рис. 5. Распределение давления a.(z) (а) и функция свечения I из оптоволокна для различных величин U упр1 электрического импульса сканирования (б) Fig. 5. Distribution of pressure a. (z) (а) and luminescence function I from the optical fiber for various values U упр1 of an electric impulse of scanning (b)
Для неоднородного распределения давления ст. (г) (рис. 5, а) были решены прямая (11) и обратная (12), (13) задачи для заданной на рис. 2 функции I (и) свечения, где время Т = I / с прохождения импульсом всей длины I = 1м датчика со скоростью с = 3 -108 м/с, ширина импульса /1 = 1 мм, начальный момент времени t = 0 соответствует моменту входа импульса в датчик, момент выхода t света из световода. В прямой задаче найдены (рис. 5, б) функции свечения I(^ на выходе из оптоволокна для различных численных значений:
иупр1 = 1,576 В (о), 2,241 В (Д), 2,907 В (□), 3,572 В
(◊), 4,244 В (□), 5,106 В электрического импульса сканирования; предел насыщенного свечения наступает при значении и 1 = 6,658 В (пунктирная
линия). В обратной задаче найдено распределение давления ст. (г) (см. рис. 5, а) по значениям функции интенсивности свечения I ^), в частности для значения управляющего напряжения и 1 = 3,572 В (◊), для
которого отсутствуют «неинформативные зоны» из участков с «нулевыми» (I = 0) и «насыщенными»
(I = Cj Imax) значениями интенсивности свечения I (t) (см. рис. 5, б), где относительная ширина импульса cj = lj /1. Отметим, что если для некоторого значения
Uynp1 есть неинформативные зоны для функции интенсивности свечения I (t), то необходимо дополнительно провести измерения I (t) для другого значения иупр1
уже с информативными участками в этих зонах, в частности взаимодополняющие графики (□), (□) на рис. 5, б. Таким образом, сканирование неоднородного давления ст. (z) предельно узким видеоимпульсом позволяет получить аналитическое решение (12), что значительно упрощает известный алгоритм [29] обработки светового сигнала на выходе из оптоволокна.
Заключение
Разработаны алгоритм и математическая модель локации неоднородностей давления по длине l оптоволоконного пьезоэлектролюминесцентного датчика с использованием локационного сканирующего электрического видеоимпульса U1 с пошаговым изменением величины импульса U 1 на каждом цикле прохождения исследуемого локального участка l1 с l. Показано, что расчет функции плотности f. (0 распределения давления ст1. на локальном участке внешней боковой цилиндрической поверхности оптоволоконного датчика по результатам замеряемой на торцевом сечении датчика интенсивности света из оптоволоконной фазы для случая нелинейной зависимости I = I (U ) интенсивности света I от действующего на электролюминесцентный элемент напряжения U (см. рис. 2) сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода (5) с разностным ядром K (x - s) (6), зависящим от передаточных коэффициентов a1 , a1 датчика, относительной длины lj /1 исследуемого локального участка lj и производной I '(U) (см. рис. 2) заданной функции свечения электролюминесцентного элемента.
Библиографический список
1. Козлов В. Л. Оптоэлектронные датчики. - Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 2005. - 116 с.
2. Окоси Т. Волоконно-оптические датчики. - Л.: Энер-гоатомиздат, 1990. - 256 с.
3. Guemes A., Femandez-Lopez A., Soller B. Optical fiber distributed sensing - physical principles and applications // Structural Health Monitoring. - 2010. - Vol. 9. - No. 3. - P. 233-245.
4. Suresh R., Tjin S.C., Hao J. Fiber Bragg Grating // Smart Materials in Structural Health Monitoring, Control and Biome-chanics. - Berlin: Springer, Heidelberg, 2012. - P. 413-439.
5. Prabhugoud M., Peters K. Efficient simulation of Bragg grating sensors for implementation to damage identification in composites // Smart Materials & Structures. - 2003. - Vol. 12. -No. 6. - P. 914-924.
Определены области допустимых значений управляющего напряжения U 1 датчика для различных режимов диагностики распределения давления (см. рис. 3). Для случая, когда ширина (^ « l ) сканирующего импульса является предельно малой величиной, функция плотности распределения fl. (Q выражается
через обобщенную дельта-функцию Дирака (9) и из интегрального уравнения Фредгольма (3), (5) получено аналитическое решение для величины диагностируемого давления с^. = (I -1(Л) - аЦ^)/ a^ (12) по результатам измерений интенсивности света I (t) на выходе из оптоволокна в различные моменты времени t и управляющего напряжения U 1.
Представлены результаты численных решений прямой (11) и обратной (12), (13) задач для неоднородного распределения давления ст. (z) (см. рис. 5, а) посредством «точечного» сканирования этого давления предельно узким импульсом управляющего электрического напряжения U ^ В прямой задаче найдены (см. рис. 5,
б) функции свечения I (t) на выходе из оптоволокна для различных моментов времени t и значений U упр1
с учетом заданной на рис. 2 функции свечения I (U) электролюминесцентного элемента; в обратной задаче найдено распределение давления ст. (z) (см. рис. 5, а) по значениям функции интенсивности свечения I (t).
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 16-41-590726.
Acknowledgments
The work has been carried out with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research (Grant No. 16-41-590726).
6. Методы исследования свойств материалов при интенсивных динамических нагрузках / под общ. ред. д-ра физ.-мат. наук М.В. Жерноклетова; ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ. - Саров, 2003. - 403 с.
7. Татмышевский К.В. Механолюминесцентный чувствительный элемент: математическая модель и динамические свойства // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2005. - № 4. - С. 35-39.
8. Матвеенко В.П., Федорова В.А., Шардаков И.Н. Теоретическое обоснование возможности построения волоконно-оптической системы мониторинга деформаций земной поверхности // Изв. РАН. МТТ. - 2013. - № 5. - С. 46-52.
9. Шардаков И.Н., Созонов Н.С., Цветков Р.В. Экспериментально-теоретические основы автоматизированных систем деформационного мониторинга с использованием волоконно-
оптических элементов // Вестн. Перм. науч. центра. - 2016. -Окт.-дек. - С. 91-95.
10. К вопросу об интеграции оптоволокна в ПКМ и измерении деформации материала с помощью волоконных брэг-говских решеток / М.А. Зуев, В.В. Махсидов, М.Ю. Федотов, А.М. Шиенок // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2014. - Т. 20, № 4. - С. 568-574.
11. Применение оптического волокна в качестве датчиков деформации в полимерных композиционных материалах / Е.Н. Каблов, Д.В. Сиваков, И.Н. Гуляев, К.В. Сорокин, М.Ю. Федотов, Е.М. Дианов, С.А. Васильев, О.И. Медведков // Все материалы. Энцикл. справ. - 2010. - № 3. - С. 10-15.
12. Наймушин И.Г., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Численный анализ деформационных процессов в оптоволоконном датчике // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2012. - № 1. - С. 104-116.
13. Измерение неоднородных полей деформаций встроенными в полимерный композиционный материал волоконно-оптическими датчиками / А.Н. Аношкин, А.А. Воронков, Н.А. Коше-лева, В.П. Матвеенко, Г.С. Сероваев, Е.М. Спаскова, И.Н. Шардаков, Г.С. Шипунов // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - № 5. - С. 42-51.
14. Матвеенко В. П., Шардаков И. Н., Кошелева Н. А. Оценка технологических деформаций в полимерных композиционных образцах на основе использования внедренных волоконно-оптических датчиков деформаций // XX Зимняя школа по механике сплошных сред: тез. докл. / РИО УрО РАН. -Пермь, 13-16 февраля 2017 г. - Екатеринбург: 2017. - С. 219.
15. Patent US 20060254366 A1. Sensor and sensor array for monitoring a structure / Caroline Williamson, Lisa Fixter (nee Humberstone), Andrew Clarke; published on November 16, 2006.
16. Patent US 7458266 B2. Method and apparatus for detecting a load change upon a structure and analyzing characteristics of resulting damage / Shawn J. Beard, Xinlin Qing, Hian Leng Chan, Chang Zhang, Fuo-Kuo Chang; published on December 2, 2008.
17. Patent US 6399939 B1. Sensor array system / Mannur J. Sundaresan, Anindya Ghoshal, Mark J. Schulz; published on June 4, 2002.
18. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. - Киев: Наукова думка, 1989. - 280 с.
19. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупру-гость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
20. Дианов Д.Б., Кузьменко А.Г. Расчет цилиндрического пьезокерамического преобразователя, совершающего ради-ально-симметричные колебания // Акуст. журн. - 1970. -Т. 16, № 1. - С. 42-48.
21. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамическо-го радиально поляризованного цилиндра // Изв. РАН. МТТ. -2009. - № 1. - С. 73-81.
References
1. Kozlov V.L. Optoelektronnie datchiki [Optoelectronic sensors]. Bel.gos.universitet, 2005, 116 p.
2. Okosi T. Volokonno-opticheskie datchiki [Fiber-optical sensors]. Leningrad: Energoatomizdat, 1990, 256 p.
3. Guemes A., Fernandez-Lopez A., Soller B. Optical fiber distributed sensing - physical principles and applications. Structural Health Monitoring, 2010, vol. 9, no. 3, pp. 233-245.
4. Suresh R., Tjin S.C., Hao J. Fiber Bragg Grating / In Book «Smart Materials in Structural Health Monitoring, Control and Biomechanics». Springer Berlin Heidelberg, 2012, pp. 413-439.
22. Finite Element Analysis of Functionally Graded Piezoelectric Spheres / A. Ghorbanpour Arani, R. Kolahchi, A.A. Mosalaei Barzoki, A. Loghman, F. Ebrahimi // Finite Element Analysis - Applications in Mechanical Engineering. Ed. Farzad Ebrahimi. - InTech, 2012. - 380 p.
23. Numerical determination of effective properties of voided piezoelectric materials using BNM / H. Wang, G. Tan, S. Cen, Z. Yao // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2005. -Vol. 29. - P. 636-646.
24. Li Z.H., Wang C., Chen C.Y. Effective electromechanical properties of transversely isotropic piezoelectric ceramics with microvoids // Comput. Mater. Sci. - 2003. - Vol. 27. - No. 3. - P. 381-392.
25. Bishay P.L., Dong L., Atluri S.N. Multi-physics computational grains (MPCGs) for direct numerical simulation (DNS) of piezoelectric composite/porous materials and structures // Computational Mechanics. - 2014. - Vol. 54. - No. 5. - P. 1129-1139.
26. Kondaiah P., Shankar K., Ganesan N. Pyroeffects on multiphase magneto-electro-elastic sensor patch bonded on mild steel plate // International Journal on Smart Sensing and Intelligent Systems. - 2014 September. - Vol. 7. - No. 3. - P. 1134-1155.
27. Пат. РФ № 2630537. Волоконно-оптический датчик давления / Паньков А.А., опубл. 11.09.2017 г.; заявка RU № 2016136058 от 06.09.2016 г.
28. Паньков А.А. Математическое моделирование пьезо-электролюминесцентного эффекта и диагностика распределения давления по длине оптоволоконного датчика // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 4. - С. 259-272.
29. Pan'kov A.A. Piezoelectroluminescent optical fiber sensor for diagnostics of the stress state and defectoscopy of composites // Mechanics of Composite Materials. - 2017. - Vol. 53. -No. 2. - P. 229-242.
30. Пат. РФ № 2643692. Волоконно-оптический датчик объемного напряженного состояния / Паньков А.А., опубл. 05.02.2018 г.; заявка № 2017111405 от 04.04.2017 г.
31. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. -М.: Наука, 1965. - 384 с.
32. Верлань А. Ф. Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. - Киев: Наук. думка, 1986. - 543 с.
33. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. - М.: Физматлит, 2002. - 360 с.
34. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. - М.: Физматлит, 2003. - 608 с.
35. Латыпов А.Ф. Численные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода // Обратные и некорректные задачи математической физики: материалы междунар. конф., посвященной 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г. - Новосибирск, 2007.
5. Prabhugoud M., Peters K. Efficient simulation of Bragg grating sensors for implementation to damage identification in composites. Smart Materials & Structures, 2003, vol. 12, no. 6, pp. 914-924.
6. Metody issledovaniya svojstv materialov pri intensivnyh dinamicheskih nagruzkah [Methods of a research of properties of materials at intensive dynamic loadings] / Pod obshch. red. d-ra fiz.-mat. nauk M.V. ZHernokletova. Sarov: FGUP RFYAC-VNIIEHF, 2003, 403 p.
7. Tatmyshevskij K.V. Mekhanolyuminescentnyj chuvstvitel'nyj ehlement: matematicheskaya model' i dinamicheskie svojstva [Mechanoluminescent sensitive element: mathematical model and
dynamic properties], Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol', diagnostika, 2005, no, 4, pp, 35-39,
8, Matveenko V.P., Fedorova V,A,, SHardakov I.N. Teoreti-cheskoe obosnovanie vozmozhnosti postroeniya volokonno-opticheskoj sistemy monitoringa deformacij zemnoj poverhnosti [Theoretical substantiation of a possibility of creation of fiber-optical system of monitoring of deformations of the land surface], Izvestiia rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, 2013, no, 5, pp, 46-52,
9, SHardakov I,N,, Sozonov N,S,, Cvetkov R,V, Ehksperi-mental'no-teoreticheskie osnovy avtomatizirovannyh sistem deformacionnogo monitoringa s ispol'zovaniem volokonno-opticheskih ehlementov [Experimental and theoretical bases of the automated systems of deformation monitoring with use of fiber-optical elements], VestnikPermskogo nauchnogo centra, 2016, pp, 91-95,
10, Zuev MA,, Mahsidov V,V,, Fedotov M,YU,, SHienok AM K voprosu ob integracii optovolokna v PKM i izmerenii deformacii materiala s pomoshch'yu volokonnyh brehggovskih reshetok [To a question of integration of optical fiber into PKM and measurement of deformation of material by means of fiber Bragg grating], Mekhanika kompozicionnyh materialov i konstrukcij, 2014, vol, 20, no, 4, pp, 568-574,
11, Kablov E,N,, Sivakov D,V,, Gulyaev I,N,, Sorokin K,V,, Fedotov M,YU,, Dianov E,M,, Vasil'ev S,A,, Medvedkov O,I, Primenenie opticheskogo volokna v kachestve datchikov deformacii v polimernyh kompozicionnyh materialah [Use of optical fiber as deformation sensors in polymeric composite materials], Vse materialy. EHnciklopedicheskij spravochnik, 2010, no, 3, pp, 10-15,
12, Najmushin I,G,, Trufanov N,A,, SHardakov I,N, CHislennyj analiz deformacionnyh processov v optovolokonnom datchike [The numerical analysis of deformation processes in the fiber-optical sensor], Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika, 2012, no, 1, pp, 104-116,
13, Anoshkin A,N,, Voronkov A,A,, Kosheleva N,A,, Matveenko V,P,, Serovaev G,S,, Spaskova E,M,, SHardakov I,N,, SHipunov G,S, Izmerenie neodnorodnyh polej deformacij vstroennymi v polimernyj kompozicionnyj material volokonno-opticheskimi datchikami [Measurement of non-uniform fields of deformations by the fiber-optical sensors which are built in polymeric composite material], Izvestiia rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, 2016, no, 5, pp, 42-51,
14, Matveenko V,P,, SHardakov I,N,, Kosheleva N,A, Ocenka tekhnologicheskih deformacij v polimernyh kompo-zicionnyh obrazcah na osnove ispol'zovaniya vnedrennyh volokonno-opticheskih datchikov deformacij [Estimation of technological deformations in polymeric composite samples on the basis of use of the embed fiber-optical sensors of deformations], Perm'XX Zimnyaya shkola po mekhanike sploshnyh sred, 13-16 fevralya 2017g, Tezisy dokladov,, 2017, 393 p,, p, 219,
15, Patent US 20060254366 A1, Sensor and sensor array for monitoring a structure / Caroline Williamson, Lisa Fixter (nee Humberstone), Andrew Clarke; published on November 16, 2006,
16, Patent US 7458266 B2, Method and apparatus for detecting a load change upon a structure and analyzing characteristics of resulting damage / Shawn J, Beard, Xinlin Qing, Hian Leng Chan, Chang Zhang, Fuo-Kuo Chang; published on December 2, 2008,
17, Patent US 6399939 B1, Sensor array system / Mannur J, Sundaresan, Anindya Ghoshal, Mark J, Schulz; published on June 4, 2002,
18, Grinchenko V,T,, Ulitko A,F,, SHul'ga N,A, Elektro-uprugost' [Electroelasticity], Kiev, Naukova dumka, 1989, 280 p,
19, Parton V,Z,, Kudryavcev B,A, Ehlektromagnitouprugost' p'ezoehlektricheskih i ehlektroprovodnyh tel [Electromagneto-elasticity of piezoelectric and electroconductive bodies], Moscow, Nauka, 1988, 472 p,
20, Dianov D,B,, Kuz'menko A,G, Raschet cilindricheskogo p'ezokeramicheskogo preobrazovatelya, sovershayushchego radial'no-simmetrichnye kolebaniya [Calculation cylindrical piezoceramic converter making radial and symmetric fluctuations], Akust. zhurn,, 1970, vol, 16, no, 1, pp, 42-48,
21, SHlyahin D,A, Nestacionarnaya osesimmetrichnaya zadacha ehlektrouprugosti dlya anizotropnogo p'ezokeramicheskogo radial'no polyarizovannogo cilindra [Non-stationary axisymmetric problem of electroelasticity for the anisotropic piezokeramichesky radially polarized cylinder], Izvestiia rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, 2009, no, 1, pp, 73- 81,
22, Ghorbanpour Arani A,, Kolahchi R,, Mosalaei Barzoki A,A,, Loghman A,, Ebrahimi F, Finite Element Analysis of Functionally Graded Piezoelectric Spheres / In book "Finite element analysis -Applications in mechanical engineering", Edited by Farzad Ebrahimi. InTech, 2012, 380 p,
23, Wang H,, Tan G,, Cen S,, Yao Z, Numerical determination of effective properties of voided piezoelectric materials using BNM, Engineering Analysis with Boundary Elements, 2005, vol, 29, pp, 636-646,
24, Li Z,H,, Wang C,, Chen C,Y, Effective electromechanical properties of transversely isotropic piezoelectric ceramics with microvoids, Comput. Mater. Sci., 2003, vol, 27, no, 3, pp, 381-392,
25, Bishay P,L,, Dong L,, Atluri S,N, Multi-physics computational grains (MPCGs) for direct numerical simulation (DNS) of piezoelectric composite/porous materials and structures, Computa-tionalMechanics, 2014, vol, 54, no, 5, pp, 1129-1139,
26, Kondaiah P,, Shankar K,, Ganesan N, Pyroeffects on multiphase magneto-electro-elastic sensor patch bonded on mild steel plate, International Journal on Smart Sensing and Intelligent Systems, vol, 7, no, 3, September 2014, pp, 1134-1155,
27, Patent RU №2630537, Volokonno-opticheskij datchik davleniya [Fiber-optical sensor of pressure], Pan'kov A,A,; opubl, 11,09,2017 g,; zayavka № 2016136058 ot 06,09,2016 g,
28, Pan'kov A,A, Mathematical modeling of piezo-electro-luminescent effect and diagnostics of distribution of pressure longwise fiber optic sensor, PNRPU Mechanics Bulletin, 2016, no, 4, pp, 289-302, DOI: 10,15593/perm,mech/2016,4,17
29, Pan'kov A,A, Piezoelectroluminescent optical fiber sensor for diagnostics of the stress state and defectoscopy of composites, Mechanics of Composite Materials, 2017, vol, 53, no, 2, pp, 229-242,
30, Patent RU № 2643692, Volokonno-opticheskij datchik ob"emnogo naprjazhennogo sostojanija [Fiber-optical sensor of volume stress state] / Pan'kov A,A,, opubl, 05,02,2018 g,; zajavka № 2017111405 ot 04,04,2017 g,
31, Mihlin S,G,, Smolickij X,JI, Priblizhennye metody resheniya differencial'nyh i integral'nyh uravnenij [Approximate methods of the solution of the differential and integral equations], Moscow, Nauka, 1965, 384 p,
32, Verlan' A,F, Sizikov V,S, Integral'nye uravneniya: metody, algoritmy, programmy [Integral equations: methods, algorithms, programs], Kiev, Nauk, Dumka, 1986, 543 p,
33, Vasil'eva A,B,, Tihonov A,N, Integral'nye uravneniya [Integral equations], Moscow, FIZMATLIT, 2002, 360 p,
34, Polyanin A,D,, Manzhirov A,V, Spravochnik po integral'nym uravneniyam [Reference book on the integral equations], Moscow, FIZMATLIT, 2003, 608 p,
35, Latypov A,F, CHislennye metody resheniya linejnyh integral'nyh uravnenij Fredgol'ma i Vol'terra 1-go roda [Numerical methods of the solution ofthe linear integral equations of Fredholm and Voltaire of the 1st kind], Mezhdunarodnaya konferenciya «Obratnye i nekorrektnye zadachi matematicheskoj Novosibirsk, fziki», posvyashchennaya 75-letiyu akademikaMM.Lavrent'eva, 20-25 avgusta 2007.
