Математическая модель импульсного поршневого пневматического привода с продолжительным перемещением поршня Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.542

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИМПУЛЬСНОГО ПОРШНЕВОГО ПНЕВМАТИЧЕСКОГО ПРИВОДА С ПРОДОЛЖИТЕЛЬНЫМ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ПОРШНЯ

А.А. Гненный

Представлена уточненная математическая модель импульсного поршневого пневматического привода с продолжительным перемещением поршня, перемещение которого встречает нарастающее сопротивление. Подобные пневматические приводы широко используют в качестве привода ручного механизированного инструмента, в частности, гвоздезабивных пистолетов. Приводятся результаты компьютерного моделирования рабочего процесса импульсного пневматического привода на основе предложенной уточненной математической модели.

Ключевые слова: импульсный пневматический привод, гвоздезабивной пистолет, математическое моделирование.

Введение. Импульсные поршневые пневматические приводы (далее - пневмоприводы) с продолжительным перемещением поршня, перемещение которого встречает нарастающее сопротивление, используют достаточно широко, как в составе стационарного технологического оборудования, так и в качестве привода ручного механизированного инструмента, например, пневматических монтажных гвоздезабивных пистолетов.

Динамика ударного пневматического поршневого привода и методика его автоматизированного расчета рассматривалась в работах М.И. Перельцвайг [1, 2].

Одним из наиболее авторитетных авторов в области теории пневмоприводов является Е.В. Герц, труды которой стали основой нового направления в теории механизмов и машин - динамики и синтеза пневматических систем машин [3 - 5].

Динамическому анализу ударных пневмоприводов со встроенным резервуаром, используемых в агрегатах для клеймения металлических деталей в металлургии и машиностроении, были посвящены работы Ю.Л. Атаманова, Г. А. Крутикова, М.Г. Стрижак [6 -10].

Постановка задач исследования. Впервые математическая модель рабочего цикла импульсного поршневого пневмопривода, используемого в пневматических монтажных гвоздезабивных пистолетах, была предложена А.Н. Дроздовым [11 - 13].

Анализ разработанной А.Н. Дроздовым математической модели показал, что она имеет ряд недостатков, обусловленных наличием ряда неучтенных факторов, которые могут оказать весьма существенное влияние на точность результатов расчетов технических характеристик импульсных поршневых пневмоприводов.

К таким неучтенным факторам следует отнести:

- утечки воздуха в атмосферу через штоковое отверстие пневмопривода;

- динамику открытия впускного клапана в начальный момент выстрела, особенно для пневмопривода с подвижным поршнем большой массы;

- отсутствие достоверных данных о качественном и количественном характере изменении силы сопротивления при внедрении крепежных элементов (гвоздей) различных размеров в древесину;

- неточное определение силы трения при перемещении поршня.

В связи с вышеизложенным, для повышения точности и достоверности расчетов при разработке параметрического ряда импульсных поршневых пневмоприводов [14], используемых в гвоздезабивных пистолетах, требуется дополнение и уточнение известной математической модели.

Расчетные схемы импульсного поршневого пневмопривода, используемого в гвоздезабивных пистолетах, представлены на рис. 1.

а б

Рис. 1. Расчетные схемы импульсного поршневого пневмопривода: а - при прямом ходе поршня; б - при обратном ходе поршня

252

Учет динамики управляющего клапана. При учете переходного процесса, возникающего при открытии впускных отверстий камеры прямого хода (см. рис. 1, а), начальная высота рабочей камеры Но и коэффициент расхода воздуха ^01 будут зависеть от времени. Данные зависимости могут быть определены из уравнения движения клапана, описываемого линейным дифференциальным уравнением второго порядка

d2 хкл ( ч

dt2 ткл

где ткл - масса клапана, кг; ро - давление в магистрали, Па; ^кл - площадь рабочей поверхности клапана, м2; спр - жесткость рабочей пружины, Н/м;

Хкл - ход клапана, м.

Общее решение уравнения (1)

■ f

sin

r = Р0 ^кл гкл

спр

V

1

Спр t+-'

2

кл

+1

у

(2)

В результате решения уравнения (2) были получены зависимости:

- начальной высоты рабочей камеры

Но(*) = х кл + Но, если хкл < Ькл, иначе Н0(*) — "кл + Н о, (3) где Иш - максимальный ход клапана, м; Н0 - высота рабочей камеры при закрытом клапане, м.

- коэффициента расхода в камеру прямого входа

/ \ X кл х

т 01 (*) — Т-т 01, если < 1, иначе т01(*) — т01, (4)

" кл "кл

где ц01 - коэффициент расхода при полностью открытом клапане, определяемый согласно [15] по диаграммам коэффициентов сопротивления.

Учет утечек из камеры обратного хода. Учет утечек из камеры обратного хода в атмосферу в месте контакта штока и отверстия амортизатора (см. рис. 1, б) можно реализовать за счет введения расхода G24 (здесь индексом 4 пронумерована окружающая среда с давлением воздуха равном атмосферному давлению ратм).

Как известно, зависимость расхода воздуха, вытекающего через отверстие и щель, определяется разными выражениями из-за разной степени влияния силы трения и других факторов. При этом разница между щелью и отверстием определяется соотношением их размеров (длины, ширины, глубины).

В рассматриваемом случае, учитывая размеры отверстия и его протяженность можно применить формулы Сен-Венана

G24(t) = m 24 fp(t)

— 2 k+11

2k ( Pa ] k - ( Pa ] k

k -1 I P(t) J I P(t)

RT

если 0,528<-Pa- <1, (5)

а

P(t)

Gg (t)=m24 fp(t)

1

k

2

k+1

k-1

, если 0 < 0,528, (6) RTa V k +1j P(t) w

где m24 - коэффициент расхода при определении утечек из камеры 2 в атмосферу в месте контакта штока и отверстия амортизатора.

Результаты экспериментального определения функции расхода G24, представленные в работе [16], подтвердили возможность использования формул (5) и (6) для вычисления расхода при утечке воздуха из аккумулирующей камеры импульсного поршневого пневмопривода.

Учет силы сопротивления при внедрении крепежа. Практически во всех случаях моделирования импульсного пневматического привода силу сопротивления приходится определять опытным путем [17].

На основании полученных опытных данных методом множественной регрессии была получена следующая зависимость для определения силы сопротивления при внедрении крепежа в древесину

Л2

= 2 • 104 p-

3,5 • 10

d

гв

2

+

( d гв ^ 2

гв

(7)

где dгв, 1гв - соответственно диаметр стержня гвоздя и его длина, м.

При этом точность полученной зависимости оценивалась множественной корреляцией и критерием Фишера, которые соответственно составили 0,95 и 45,9.

Учет силы трения при перемещении поршня. Для определения силы трения при перемещении поршня воспользуемся решением задачи о ламинарном течении в кольцевой трубе [18]. Если боковая поверхность трубы есть поверхность цилиндра, то естественно допустить существование ламинарного течения с линиями тока в виде прямых, параллельных образующим цилиндра.

Выбрав ось г параллельно образующей боковой поверхности, в силу прямолинейности линий тока получим их = иу = 0; иг = и. Пренебрегая действием массовых сил, представим уравнения Навье - Стокса и неразрывности в виде

-1 ¿P = 0;

р do

-1 дР = 0;

р дУ

1 dp

——+ v

2 d u

р dz

д 2u

2 д u

dx dy dz2

du du Л u—; — = 0. dz dz

(8)

(9)

1

Из уравнения (9) следует, что скорость и зависит только от координат х и у, а первые два уравнения свидетельствуют, что давление р есть функция только переменной г. Поэтому приведенная система уравнений (8) - (9) сводится к одному уравнению, в котором левая часть не зависит от г, а правая зависит только от этой переменной

Э 2и Э 2и 1 dp

Эх 2 Эу 2 М dz

+

2

(10)

Следовательно, каждая из частей уравнения (10) равна постоянной

22 Э и Э и

Эх2 Эу2

Из второго уравнения находим линейный закон падения давления на участке трубы длиной I: Ар = р1 - р2 = цА0/, откуда А0 = —.

т

Следовательно, для отыскания скорости имеем уравнение Пуассона с постоянной правой частью и граничным условием, для которого является равенство нулю скорости на стенке трубы

Э 2и Э 2и Ар

= -Ао и = -И).

dz

2

Эх2 Эу2 ^

Ввиду осевой симметрии этого течения используем цилиндрическую систему координат, расположив ось г вдоль оси трубы (рис. 2).

Рис. 2. Схема решения задачи о ламинарном течении в кольцевой трубе

Используя выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах для осесимметричного течения, представим уравнение (11) и уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости следующим образом:

1

Э ( Эи ^ Э ( Эи

— г— +--г—

Эг V Эг ) Эг V Эг

Ар .

= о,

Эг

откуда следует

г

1 Э ( диЛ

г

V эг у

Ар

ц/

г ЭгV Эг,

Интегрируя дважды выражение (12), получаем

du _ Ар г + С1 ; dг

(12)

и

ц/ 2

Ар г2 + С11пг + С2.

4ц/

(13)

(14)

В общем случае рассматриваемое течение может быть обусловлено как перепадом давления Ар, так и осевым движением одного из цилиндров.

Допустим, что внутренний цилиндр перемещается в направлении оси г со скоростью и0. Такому движению соответствуют граничные условия и = 0 при г = а, и = и0 при г = Ь. Используя эти граничные условия для определения постоянных С1 и С2, получим уравнения (13) и (14) в виде

и

_ Ар

4ц/

а

- г2-(а2 - Ь2 )■

Ар

du dг 4^/

- 2г +

2) 1п(а/ г) 1п(а/Ь) _

(а 2 - Ь 2)'

+ и0

1п(а / г)

г1п(а / Ь)

1п(а / Ь) и0

г1п(а / Ь)

(15)

(16)

В общем случае, решая систему уравнений (15) - (16) можно получить следующее уравнение касательных напряжений в слое жидкости:

du dг

Ар

4/

2г-

(а - Ь)(а + Ь) г1п(а / Ь)

т и0

г1п(а / Ь)

(17)

где Ь £ г £ а.

Согласно рис. 2: а - Ь = 5 - величина зазора в сопряжении поршень-цилиндр; и0 = V - скорость поршня; г = Ь = гп - радиус поршня. Примем

' 5Л

что а + Ь @2гп, а = Ь +5 = гп + 5. Тогда 1п(а/Ь) _ 1п уравнение (17) можно записать в следующем виде:

1 + —

. В результате

'и У

гп-Ар

2/

5

гп1п

А Я Л 1

V

г

п

гп1п

А Я Л '

1 -Д

V

г

(18)

п

Таким образом, используя выражение (18), можно записать следующее выражение для силы трения при перемещении поршня в цилиндре пневмопривода:

т

1

т

Ртр = 2гп/ -Т = я Гп Ар

1

5

Гп 1П

/1 Л V Гп У

2/кп т

1п

1 +

5

(19)

V Гп У

где т - динамическая вязкость смазочного масла; / - высота поршня (высота металлического поршневого кольца).

Уточненная математическая модель рабочего процесса импульсного пневмопривода. Допущения, положенные в основу уточненной математической модели:

- рабочее тело - идеальный газ;

- теплоемкость рабочего тела не зависит от температуры;

- теплоотдачей между рабочим телом и элементами конструкции пневмопривода в виду ее малости пренебрегаем.

С учетом вышесказанного уточненная математическая модель рабочего процесса импульсного пневмопривода будет включать следующие уравнения:

- уравнение скорости изменения давления в камере прямого хода

'ят0с01 (ро ,Р1 ,то) - яВДз (Р1 ,рз ,Т1) -

к

Щр\ =_

Ш ^[х + Но (г)] + КСОпз11

Шх

ЯВД о(Р1, Ратм ,Т1) -

ш

; (20)

да

уравнение скорости изменения температуры в камере прямого хо-

шт

1 _

Т,

Ш Р^[х + Но (г)] + ^сопви)

í г \

к - т1 V то У

К^о1( Ро ,Р1 ,то)

-(к - 1)яВДз (Р1 ,Рз )-- (к -1) ДВДо(Р1, Ратм Т)

шх

-(к -1) Р1^1"7" Ш

; (21)

уравнение скорости изменения давления в камере обратного хода

к

сР2 =_

Ш (¿1 - ¿2 )(х* -х) + ^сопв12

ЯТзОз2 (Рз ,Р2 ,Т3 )-- ^Т2^24(Р2 ,Ратм,Т2 )-

шх

-КТ2в2з(Р2,Рз,Т2)-Р2(¿2 -¿1 ) —

ш.

уравнение скорости изменения температуры в камере обратного

хода

2 _

Т2

ж

(¿1 - ¿2 )(х* - х)+ V

00^12

С

к - — . Тзу

Щ032 (Рз ,Р2 ,Тз )-

(23)

- (к - 1)^Т2^24 (Р2 - Ратм ,Т2 ) " -(к - 1)^Т2^23 (Р2 -Р3 ,Т2 ) -

Ох

-(к - 1)Р2 (^2 - ¿1

М

уравнение скорости изменения давления в аккумулирующей каме-

ре

ф

з _

к

"ЯВДз(Р1 ,Рз Т) + ЯТ2в23(Р2 -Р3 Т) " - RT3G32 (Р3 -Р2 ,Т3 )

(24)

уравнение скорости изменения температуры в аккумулирующей

камере

ЖТ3

Тз

Г

к - Тз

Т1 У

г

ЯВДз(Р1-Р3 ,Т1) +

+

Тз

V

Л к

Т2 У

^Т2°23 (Р2 -Р3 ,Т2 )' (к - 1)^ТзСз2 (Рз ,Р2 ,Тз )

(25)

уравнение движения поршня 1

Ж 2 х

Жг

тп +§1

/

Жх

х, —

V Ж у

т

- Р2 - ¿2 ) - sign

V Ж у

К

тр

гв

(26)

■б.

г

х,

Жх ск

К -5"

1 вн

х,

Жх Жг

К

где х = /гв + / + А, м (см. рис. 1); /гв - длина гвоздя, м; / - ход амортизатора, м; А - толщина поршня (и координата столкновения штока со шляпкой гвоздя), м; Но (г) - высота рабочей камеры, м; т м - масса поршня, кг; тгв - масса гвоздя, кг; ^ - площадь поршня, м2; ¿2- площадь штока, м2; Ктр - сила трения поршня о цилиндр, Н; Ка - сила амортизатора, Н;

Квн - сила внедрения, Н; ¿у, цу, Оу - соответственно площади отверстий

[м2], коэффициенты расхода и функции расхода [м3/с] при перетекании воздуха из камеры i в камеру j (0 - магистраль; 1 - рабочая камера; 2 - камера обратного хода; 3 - амортизационная камера, 4 - атмосфера); Pi - давление в камерах или в магистрали, Па; T - температура в камерах или в магистрали, К; к - показатель адиабаты; R - газовая постоянная, Дж/(кг К); Fconsü - постоянная составляющая объема камеры прямого хода, м3; Vconst2 - постоянная составляющая объема камеры обратного хода, м3; Vconst3- объем амортизационной камеры, м3; хкл - координата положения

клапана, м; §12- операторы, каждый из которых за время цикла может

иметь по два значения (1 при А £ х < х * в случае х > 0; 5i = 0 при других значениях х в случае х > 0 и при любом х в случае X < 0 ; 1 при А + /гв < х < х *; 5 2 = 0 при других значениях х).

Интегрирование системы уравнений (20) - (26) было реализовано с помощью встроенной функции решения жестких дифференциальных уравнений Radau в среде MathCAD.

В таблице представлены результаты компьютерного моделирования в виде графиков зависимостей от времени: перемещения и скорости поршня; давлений и температур в камерах прямого, обратного хода и аккумулирующей камере.

Результаты компьютерного моделирования процессов в импульсном поршневом пневмоприводе

0 2.6x10 3 5.2x10 3 7.8x10 3 0 2.6x10 3 5.2x10 3 7.8*10 3

Т Т

Перемещение поршня x(t), м Скорость поршня dxldt, м/с

Давление в рабочей камере, Па Температура в рабочей камере, °C

Окончание

Давление в камере обратного хода, Па

Температура в камере обратного хода, °C

Давление в амортизационной камере, Па

Температура в амортизационной камере, °C

Анализ результатов компьютерного моделирования, представленных в таблице, и их сопоставление с результатами, полученными ранее А.Н. Дроздовым, показывают существенное расхождение между ними, достигающее 25...30 %. Это свидетельствует о значимости сделанных изменений и дополнений в математической модели пневматического привода монтажного пистолета. Однако насколько уточнения в математической модели повлияли на точность расчетов термодинамических процессов можно оценить только на основе экспериментальных исследований.

Список литературы

1. Перельцвайг М.И. Исследование динамики ударного пневматического поршневого привода // Анализ и синтез машин-автоматов. М.: Наука. 1965. С. 164 - 170.

2. Перельцвайг М.И. К расчёту ударного пневматического поршневого привода // Теория машин-автоматов и пневмогидроприводов. М.: Машиностроение. 1966. С. 203-211.

3. Герц Е.В., Долженков Б.С. Исследование динамики импульсного пневмопривода со спусковыми механизмами // Машиностроение. 1974. № 2. С. 29-34.

4. Герц Е.В., Долженков Б.С. Выбор параметров быстродействующего пневмопривода // Станки и инструмент. 1977. № 4. С. 15-17.

5. Герц Е.В. Динамика пневматических систем машин. М.: Машиностроение. 1985. 256 с.

6. Атаманов Ю.Л., Крутиков Г.А., Стрижак М.Г. Использование пневмоагрегата со встроенным резервуаром в ударных механизмах клеймения металлопроката // Схщно-Свропейський журнал передових технологи. 2013. № 4/7(64). С. 32-35.

7. Атаманов Ю.Л., Крутиков Г.А., Стрижак М.Г. Инженерная методика расчёта кинематических параметров ударного пневмоагрегата со встроенным резервуаром // Схщно-Свропейський журнал передових технологи. 2013. № 5/7(65). С. 54-58.

8. Атаманов Ю.Л., Крутиков Г.А., Стрижак М.Г. Анализ энергетических характеристик ударных пневмоагрегатов со встроенным резервуаром // 1нтегроваш технологи та енергозбереження. 2014. № 1. С. 82-91.

9. Атаманов Ю.Л., Крутиков Г.А., Стрижак М.Г. Влияние структуры и параметров ударного пневмоагрегата на его кинематические и динамические характеристики // Автоматизация и современные технологии. 2014. № 12. С. 3-8.

10. Атаманов Ю.Л., Крутиков Г.А., Стрижак М.Г. Выбор структуры и параметров ударного пневмоагрегата со встроенным резервуаром // Технологический аудит и резервы производства. 2014. № 3/2(17). С. 2328.

11. Дроздов А.Н. Ручные машины для строительно-монтажных работ, устройство и основы расчета. М.: МГСУ. 1999. 252 с.

12. Дроздов А.Н., Степанов В.В. Математическое моделирование рабочего процесса гвоздезабивного пистолета // Механизация строительства. 2015. № 11. С. 12 - 17.

13. Дроздов А.Н., Степанов В.В. Математические модели ручных машин для строительно-монтажных работ с примерами реализации: учебное пособие / под ред. Б.Г. Гольдштейна. М.: МГСУ. 2016. 149 с.

14. Гненный А. А., Дроздов А.Н., Степанов В.В. Разработка типо-размерных рядов строительных монтажных пистолетов // Механизация строительства. 2016. № 11. С. 41-45.

15. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / под ред. М.О. Штейнберга. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992. 672 с.

16. Гненный А. А., Степанов В.В., Дроздов А.Н. Уточнение рабочих параметров математической модели цикловых пневматических машин и проверка её адекватности (на примере строительных монтажных пистолетов) // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». 2017. Т. 9. № 1. [Электронный ресурс]. URL: http://naukovedenie.ru/PDF/62TVN117.pdf (дата обращения: 10.08.2018).

17. Гненный А. А. Экспериментальное определение рабочего усилия пневматического монтажного пистолета // Механизация строительства. 2016. № 11. С. 50-53.

18. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. М.: Машиностроение, 1987. 440 с.

Гненный Андрей Александрович, инженер, agnennyy@gmail. com, Россия, Москва, Московский государственный строительный университет (научно-исследовательский университет)

A MA THEMA TICAL MODEL OF IMP ULSE PISTON PNEUMA TIC DRIVE WITH A LONG MOVEMENT OF THE PISTON

A.A. Gnennyi

A refined mathematical model of a impulse piston pneumatic drive with a long piston displacement, the displacement of which meets the increasing resistance, is presented. Such pneumatic drives are widely used as a manual drive mechanized tool, in particular, nail guns. The results of computer simulation of impulse pneumatic drive performance on the basis of the proposed refined mathematical model are presented.

Key words: impulse pneumatic drive, nail gun, mathematical modeling.

Gnennyi Andrey Aleksandrovich, engineer, [email protected], Russia, Moscow, Moscow State Construction University (Research University)