CC BY
12
УДК 519.8
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОДИКА АНАЛИЗА
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЁННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ОБЪЕКТОВ
О.В. Есиков, А.В. Кулешов, Ю.В. Чебурков
Предложена процедура построения графа технологии обработки данных функциональных задач (ФЗ) органов управления пространственно-распределённых информационных объектов. Определены численные оценки близости ФЗ по составу процедур и информационных элементов, позволяющих сформулировать задачу кластер-анализа. В качестве критерия выбран минимум суммы средних "расстояний" между ФЗ.
Ключевые слова: информационный объект, граф, функциональная задача, методика, модель.
Функциональные задачи (ФЗ), решаемые органами управления пространственно-распределённых информационных объектов, определяются путем установления соответствия между вариантами функционирования (ВФ) органов управления и выполняемыми ими функциями (Ф).
Множество процедур обработки данных, выполняемых при реализации п-й задачи определяется как
р„={1 > 1=Ю" }
Кп
где Q - количество вариантов реализации п-й процедуры обработки
данных, п = 1, N, N - общее число решаемых задач.
Каждой процедуре обработки данных , 1 = 1, QKn, п = 1, N соответствует набор входных информационных элементов ={суп/,и = 1,и} Размерность и структура информационного вектора является единой для всех процедур обработки данных:
Пщ = и, Зл>щ ={, и = 1и} ^ = Ри, 1 = 1, QKn, п = 1Ж
где РЩ - вероятность получения информации из состава на момент
решения задачи планирования.
Кроме того, каждой процедуре обработки данных а!1 ставится в соответствие информационный вектор = \£м?пи,и = 1,П}, содержащий выходные данные процедуры и удовлетворяющий требованию: существует единственный элемент вектора отличный от нуля. Это требование необходимо для построения графа технологии обработки данных функциональной задачи /п, п = 1, N.
Анализ содержания информационных векторов JV!1 и JWF и связей между ними позволяет построить граф технологии обработки данных для
каждой функциональной задачи (ФЗ) fn, n = 1, N органов управления пространственно-распределённых информационных объектов (ИО). К таким объектам относятся: автоматизированные системы управления (АСУ) сложными техническими объектами (СТО); территориально-распределённые неоднородные информационно-вычислительные сети (ИВС), компоненты которых - локальные вычислительные сети (ЛВС); системы управления газотранспортных систем (ГТС).
Наиболее распространенный подход предполагает следующий порядок построения графа технологии обработки данных. Исходными данными являются совокупности информационных элементов и процедур обработки данных. На первом этапе, исходя из матрицы смежности информационных элементов, строится граф информационных взаимосвязей. Путём включения в матрицу смежности процедур обработки данных формируется матрица смежности технологии обработки данных задачи и соответствующий ей граф.
Предлагается следующая процедура построения графа технологии обработки данных ФЗ fn:
- определяется множество процедур обработки данных
An = {П, i = ЦП,};
- определяется содержание информационных векторов
jvn = {jVin, i=\Jn} и JWn = {w, , i = 1Л};
- на основе анализа информационных элементов из состава JV и JW строится матрица смежности Mn процедур обработки данных и соответствующий ей граф Гпп;
- включением в матрицу смежности Mnn информационных элементов (элементов векторов Jvn и JWn) определяется матрица смежности технологии обработки данных Mmn и соответствующий ей граф Г^1.
Для анализа ФЗ fn, n = 1, N на уровень типовости необходимо построить матрицы M1 и M2, определяющие взаимодействия информационных элементов и процедур с множеством ФЗ органов управления пространственно-распределённых ИО.
Размерность матрицы M1 равна U*N. Информационный вектор JS совокупности ФЗ также имеет размерность U и определяется по формуле:
JS = {xu, u = 1U} Xu = max max(^vinu, уwinu)..
n=1, Ni=1,In
Элементы матрицы Ml = {mml, u = 1,U ; n = 1, N} определяются следующим образом:
- mut} = 1, если u-ый элемент вектора JS используется при решении
ФЗ fn;
- mun1 = 0 - в противном случае.
256
Для определения матрицы М2 строится множество А процедур обработки данных в следующей последовательности:
- в качестве исходных данных рассматривается вся совокупность процедур обработки данных N
0 N А0 = и Ап;
п=1
- на множестве А0 выделяются классы эквивалентности Е/, / = 1,1 в
Кп
соответствии со следующей процедурой обработки данных , которая
относится к классу эквивалентности Ei, i = 1, In , характеризующемуся общностью расчетов:
fnjKn e Ei ^
Rasnj = Rasni, i = 1, In, n = 1, N, j = 1, Q P( JVnj, JVm) <po,
Kn
где fni e Ei; po - величина, определяющая уровень типовости классов эквивалентности Ei, i = 1, In.
В результате определяется множество A = {a, i = 1, I} процедур обработки данных, с помощью которых возможна реализация всех ФЗ из множества F = {fn, n = 1, N}.
Размерность матрицы M2 равна I*N. Элементы матрицы M2 = {m^2, i = 1, I, n = 1, N} определяются следующим образом:
- min2 = 1, если i-я процедура обработки данных используется при решении функциональной задачи fn;
- min1 = 0 - в противном случае.
Конечной целью анализа является выделение подмножеств технологически близких ФЗ органов управления и определение их характеристик для синтеза интеллектуальной системы управления в целом и отдельных её частей. Выделение таких характеристик базируется на формировании и анализе характеристик элементов графов технологии обработки данных.
Каждой процедуре ai e A ставится в соответствие величина ti, называемая "толщиной" процедуры обработки данных на множестве F ФЗ органов управления пространственно распределённых ИО.
N 2 —
ti = Z min , i =11. n=1
Толщина процедуры ti характеризует мощность множества ФЗ, в которых используется i-я процедура обработки данных.
Каждому элементу %и е J ставится в соответствие величина ци, называемая "толщиной" информационного элемента на множестве ^ ФЗ органов управления пространственно-распределённых ИО
N 1 _
Пи = I ть\ и = 1,и. п=1
Толщина информационного элемента характеризует мощность множества ФЗ, для которых и-й элемент является общим.
В качестве производного параметра, определяющего основные свойства совокупностей элементов графов технологии обработки данных, используется показатель процедурной связности информационных элементов. Каждому информационному элементу ставится в соответствие множество процедурных цепочек П/, соединяющих с максимально достижимыми из неё информационными элементами для каждой ФЗ /п, п = 1, N, и = 1, и. Для каждого информационного элемента строится система векторов
Сип =(пГ, /г = йт) г = 1П, П = Уо/{ Пип),, г = \П ,П=Уо/ (Пп11) где ¥о!(Ппи) - мощность множества Ппи; ии1г - толщина процедуры, входящей в г-ю цепочку и-го информационного элемента.
Величина ^пи, рассчитываемая по зависимости
1 п ( 1 Ьг ^ и 1 п ( 1
1 п 1 Ьг ,
& и = ^ ^ и/г
= 1 Т
\ Ьг /г=1 ;
п г=1
является параметром процедурной связности графа технологии ФЗ /п. Для каждой ФЗ/п, п = 1,N определяются следующие величины: - средняя информационная толщина ФЗ /п
п = 1
бп деБп
пп =— I П
- средняя процедурная толщина ФЗ /п:
I = -1 X г-•
1 г
п -еип
- средняя связность графа технологии обработки данных ФЗ /п:
Ъп =IЪ
Ч
п
бп чеБп
где Бп - множество индексов информационных элементов ФЗ /п, причем Уо/(Бп) = бп, п = 1, N; ип - множество индексов процедур обработки данных ФЗ/п, причем Уо/(ип) = 1п, п = 1,N.
Каждая ФЗ /п, п = 1, N рассматривается как точка трехмерного ев-клидового пространства Ез с координатами:
1 пп ,1Дп 11п )
258
В пространстве Ез определяется взвешенное расстояние между двумя "точками"/ и/Ш:
Р/т =Р(//, /т) = (I «V (//у, Ш )2)12,
V=1
где fni = l/n n , fn2 = V, fn3 = 1/, n = l,w ; - вес v-й переменной, вве-
денной через квадратичное отклонение:
ю
1
2
1
'V
2
'V
'V
N -1
N
S ( fnv n=1
fv )2,V
1,2,3;
_ 1 N _ 1 N _ 1 N
f1 = T7 S fn1 , f2T7 S fn2' f3 =T7 Sfn3-
Nn=1
Nn=1
Nn=1
Технологическим шаром радиуса 5 в пространстве Е3 с центром в точке fo с условными координатами fn = 0, fo2 = 0, f)3 = 0 называется множество точек fn g F5, для которых выполняется условие:
fn g FÔ^P(fn,fo)
Технологическим слоем ширины y в пространстве Е3 вокруг шара радиуса 5 называется множество точек fn, для которых выполняется условие:
fn g FyHp(/n, f0 )-ô|^Y
Функциональные задачи fn, переменные fnv, v = 1,3 которых принимают минимальное значение, образуют 5-поверхность минимального радиуса. Тогда функциональные задачи, находящиеся в пределах у-слоя, обладают уровнем типовости в интервале (5 - у, 5 + у]. При ФЗ 50, 71, 72, ..., Y s множество ФЗ F разбивается на (s + 1) подмножеств - классов эквивалентности относительно уровня типовости. Данные классы эквивалентности характеризуются, согласно определениям, радиусом технологического шара 50' и шириной технологического слоя у0, s = 1, S .
Согласно введенной метрике в пространстве Е3 величины 5 s и у s определяются через значения 50, Y1, Y2, ..., Ys следующим образом:
si^ т1=7ь
S2 = S0 +Y1 + Y 2, Y2 =Y2;
s3 =s0 +Y1 + 2y 2 + Y 3, Y3 =Y3;
s-1
S's = S0 +Y1 + Y s + 2 S Yi, is = Y s ;
i=1
S -1
S's = S0 + Y1 + YS + 2 S Yi, YS = YS.
i=1
Множество Р ФЗ органов управления ИО разбивается на технологические слои Р? с РЛ= 0, ? = 1, Б, характеризующиеся определенным уровнем типовости, при этом
,/пе НР(/и , /о )-8'?| ^ , ?=1, Б
Если определить множество Ро как шар радиуса 5о - 71:
/п е Ро ^р(1п, /о) ^ 8о -11 = 81 - 71, то множество Р будет разбито на (Б + 1) классов эквивалентности:
^ Б '
р = Ро и
(1)
и
V ?=1 )
Отношение эквивалентности (1) не позволяет оценить степень общности (подобия) ФЗ относительно процедур обработки данных и информационных элементов. Метод определения общности ФЗ органов управления органов управления пространственно распределённых ИО заключается в следующем.
Каждой паре (/>, /д) элементов множества Р ставится в соответствие вещественное число Ъ, называемое показателем подобия и определяемое через показатель Жаккарда [1]:
& = Р11 + Ло + %' (2)
где Р11 - количество общих элементов (процедур обработки данных или информационных элементов) для ФЗ /р, Рю, Ро1 - соответственно количество элементов, присутствующих в/р и отсутствующих в/д, и наоборот.
Для определения степени близости ФЗ /п е Р по составу используемых в них процедур и информационных элементов строятся соответственно матрицы Мп и Ми размерности NXN, элементами которых являются показатели подобия Ъп(/р, /д) и £,и(/р, /д), р, Ч = 1, N, рассчитанные по формуле (2). В качестве интегрального показателя близости выбирается среднее арифметическое Ъп и Ъи
Ъ(/р, /д ) = (Ъп (/р, /д ) + Ъи (/р, /д ))/ 2.
Полученные численные оценки близости функциональных задач по составу процедур и информационных элементов позволяют сформулировать задачу кластер-анализа - разбиения множества Р на классы по их "типовости" (общности):
к
Р = иРк,Рк1р|Рк2 = 0Чкък2 = 1к,к1 Ф к2. к=1
Интегральному показателю общности Ъ ставится в соответствие величина V = 1 - характеризующая "расстояние" (меру различия) между ФЗ. Тогда мощность разбиения множества Р зависит от выбора критического значения меры различия Vкр:
к = а(Укр ) = а(1/&кр ).
Если в качестве критерия кластер-анализа выбрать минимум суммы средних "расстояний" между ФЗ, относимыми в один и тот же класс [2], то постановка задачи имеет следующий вид:
определить множество классов общности из условия
/ л
K (Z kp) min Z
Z kp
k=1
1
Y
Z v(fp, fq )
fp ,/q ^
p * q
(3)
при ограничениях
к
Z
k=1
F
k
= N;
Zкр ^ 0,23,
(4)
(5)
где |Fk| - мощность множества Fk; Yk - количество взаимосвязей между элементами подмножества Fk, Yk = CK2, k = 1, K.
Ограничение (5) согласуется со статистическими данными, в соответствии с которыми разработка типовых проектных решений для множества задач эффективна, если отношение числа совпадающих в них частей более 0,23 [3, 4].
Задача (3)-(5) является нелинейной относительно показателя ^-р. Таким образом, в результате решения задачи (3)-(5) определяются типовые подмножества Fk, k = 1, K . В дальнейшем, на этапе синтеза интеллектуальной системы управления ИО, на каждом подмножестве Fk определяется комплекс расчетных задач, основанных на формализованных, интеллектуальных или эвристических методах решения.
Список литературы
1. Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ. М.: Статистика, 1977.
170 с.
2. Статистические методы для ЭВМ / под ред. К. Энслейна, Э. Рэ-лстона, Г.С. Уилфа: Пер. с англ. / под ред. М.Б. Малютова. М.: Наука, 1986. 464 с.
3. Гринберг А.С., Колосков В.П., Михалев С.Б. Автоматизация систем управления предприятиями (методы создания): справочное пособие. М.: Энергия, 1978. 224 с.
4. Румянцев В.Л., Хомяков Д.А., Демин С.К., Семизоров Д.Ю. Методика интеллектуальной поддержки принятия решений в системе управления производственными подразделениями // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2012. Вып. 12. Ч. 2. С. 255-281.
Есиков Олег Витальевич, д-р техн. наук, профессор, главный специалист, cdhaeacdhae.ru, Россия, Тула, АО Центральное конструкторское бюро аппарато-строения,
Кулешов Андрей Владимирович, главный конструктор, infoa honeywell.ru, Россия, Москва, АО «Хоневелл»,
Чебурков Юрий Викторович, преподаватель, cdhae@cdhae.ru, Россия, Пенза, Пенза-5, филиал Военной академии материально-технического обеспечения
MATHEMATICAL MODEL AND METHODOLOGY FOR ANALYSIS OF THE FUNCTIONAL TASKS OF GOVERNANCE BODIES FOR SPATIALLY DISTRIBUTED INFORMATION OBJECTS
O.V. Esikov, A.V. Kuleshov, Yu.V. Chehurkov
A procedure has heen proposed for constructing a graph of data processing technology for functional tasks (FZ) of control hodies of spatially distrihuted information ohjects. The numerical estimates of the proximity of the Federal Law are determined hy the composition of the pro- cedure and information elements, which make it possihle to formulate the cluster analysis prohlem. As a criterion, the minimum of the sum of average "distances" he-tween the FZ is chosen.
Key words: information ohject, graph, functional prohlem, method, model.
Esikov Oleg Vitalyevich, doctor of technical sciences, professor, chief specialist, cdhae@cdhae.ru, Russia, Tula, Central Design Bureau of the Apparatus Building, JSC
Kuleshov Andrey Vladimirovich, chief designer, infoa honeywell.ru, Russia, Moscow, JSC Honeywell,
Chehurkov Yury Viktorovich, lecturer, cdhae@cdhae.ru, Russia, Penza, Penza-5, Branch of the Military Academy of Material and Technical Support
