Математическая модель и численный метод исследования электрических полей высоко- вольтных воздушных линий электропередач Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.316.98

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫИ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ВЫСОКОВОЛЬТНЫХ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ

© 2008 г. А.Н. Потапенко*, Е.А. Канунникова*, О.В. Донева**

"Belgorod State Technological University

"North-Caucasian branch of Belgorod State Technological University

*Белгородский государственный технологический университет "Северо-Кавказский филиал Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова, г. Минеральные воды

Рассмотрены возможности модифицированного метода инверсии для полубезграничных сред (МИПБС) при моделировании электростатических полей линий электропередач (ЛЕП) и современных систем молниезащит. Представлены результаты расчета особенностей электростатических полей ЛЕП на примере высоковольтной биполярной линии постоянного тока напряжением ±555 вК Кохора Баса. Установлена закономерность для исследуемых молниеотводов активного типа с учетом применения электромагнитных устройств на стержневых электродах. Приведен сравнительный анализ результатов расчета модифицированного МИПБС с известными методами.

Ключевые слова: внешняя краевая задача, численное моделирование, метод инверсии для полубезграничных сред, высоковольтные линии электропередач.

The capabilities of modified inversion method for semi-infinite mediums (IMSIM) for modeling electrostatic fields of high-voltage power lines and modern lightning protection systems are considered/ The calculation data for electrostatic fields of high-voltage overhead power lines by the example of the 533 kV DC Cahora Bassa lines is presented. The regularity for investigated active lightning protectors with electro-magnetic devices on its rods is induced. The modified IMSIM results are compared with data obtained by mean of existent methods.

Keywords: exterior boundary value problem, numerical modeling.inversion method for semi-infinite mediums, highvoltage power lines.

Введение

Электрические сети нашей страны интенсивно развиваются и по данным Ю. Н. Кучерова1 до 2020 г. планируется построить примерно 30 тысяч километров линий электропередач (ЛЭП) 500 кВ и выше. При существующих подходах к проектированию воздушных ЛЭП километр ЛЭП-500 обойдется в 2-2,5 раза дороже, чем километр ЛЭП-110, а километр ЛЭП-750 еще в 5-7 раз дороже, потому что сама линия как инженерное сооружение становится при этом более металлоемкой и сложной. Существенное внимание уделяется различным факторам влияния ЛЭП и электрических подстанций на человека и окружающую среду, что связано как с вхождением высоковольтных ЛЭП в инфраструктуру городов при их развитии, так и с проектированием ЛЭП сверхвысокого напряжения для передачи энергии на дальние расстояния. При исследованиях этих объектов одним из основных показателей, определяющих степень влияния высоковольтных ЛЭП на биологические объекты, является уровень напряженности электрического поля вблизи поверхности земли [1-3].

С учетом возможности передачи электроэнергии на сверхдальние расстояния рассматриваются проекты не только линий электропередач переменного тока,

1 Ю.Н. Кучеров, доктор технических наук, профессор, руководитель Департамента научно-технической политики и развития РАО "ЕЭС России" (2002 г.).

но и перспективные для России линии постоянного тока. В бывшем СССР проводились важные исследования линий электропередач постоянного тока и было установлено, что потери от коронного разряда и уровень радиопомех существенно ниже, чем при переменном, а также выявлено их основное преимущество -это возможность связи несинхронно работающих электрических систем.

В связи с этим необходимо развитие математических моделей и численных методов для проведения вычислительных экспериментов по исследованию особенностей воздушных ЛЭП, как с определением уровня напряженности электрического поля вблизи поверхности земли, так и с возможностью проектирования этих инженерных сооружений.

Учитывая, что задачи расчета электрических полей высоковольтных воздушных линий электропередач с проводами расщепленных фаз (полюсов) относительно поверхности земли относятся к классу внешних краевых задач, поэтому в данной работе развивается метод инверсии внешней бесконечной области [4] в виде модифицированного метода инверсии для полубезграничных сред (МИПБС) [5]. В работе [4] показывается, что при моделировании применяется переход от исходной области D к составной из D' и D с помощью метода инверсии и с учетом сохранения шаблона расчетной схемы в силу свойства конформных отображений сохранения углов и постоянства растяжений.

1. Постановка задачи

Исследуется внешняя краевая задача: расчет высоковольтных линий электропередач на примере ЛЭП (Cahora Bassa) [2] в виде высоковольтной биполярной линии постоянного тока мощностью 1920 МВт и длиной 1420 км, состоящей из двух линий напряжением +533 кВ и -533 кВ, расположенных на расстоянии 1 км, т.е. их электрические поля не влияют друг на друга.

Исходная схема высоковольтной линии постоянного тока показана на рис. 1 а и схема для ее моделирования - на рис. 1 б. При этом определяется электростатическое поле (ЭП) одной линии ЛЭП с расщеплённым полюсом Ар, состоящим из четырех проводов бесконечной длины, расположенным в полубезграничной области над проводящей поверхностью земли Zk, причем грозозащитный провод находится над центральной частью полюса (см. рис. 1 а).

R2

Ri

/

+

+

+

'//////////////////

жения грозозащитного провода над центральной частью расщепленных проводов Н2 = 2, 45 м, радиус грозозащитного провода Я2 = 0, 0088 м. При этом границы на схеме моделирования обозначены в виде Г,- (см. рис. 1 б).

Внешняя краевая задача сводится к решению уравнения Лапласа [6] в некоторой области D(x, у):

д V + = 0.

дх2 ду2 '

(x, у) е D(x, у),

(1)

б

Рис. 1. Исходная схема высоковольтной линии постоянного тока Сакота Еаяяа (а) и схема для ее моделирования (б)

Исходные условия и обозначения следующие: высота подвеса до центральной части расщепленных проводов линии электропредачи относительно земли Н1 = 8, 55 м, расстояние между проводами I = 0, 45 м, радиус расщепленного провода Я1 = 0, 0159 м, их эквивалентный радиус Яэ = 0, 215 м, высота располо-

с учетом симметрии этой задачи и граничных условий:

- на поверхности плоскости Zk. (граница Г!):

¥(х, у) = 0, (х, у) е Г1; (2)

- на границе Гм:

¥ («О = 0; (3)

- на расщепленных проводах (границы Г21, Г22):

¥(х, у) = ¥ а, (х, у) е Г21, Г22; (4)

- на грозозащитном проводе (граница Г23):

¥(х, у) = 0, (х, у) е Г23; (5)

- на границе Г4:

&¥/дп = 0, (х, у) е Г4; (6)

где D(x, у) - расчетная область, ограниченная границами Г1, Г21, Г22, Г23, Г4, Гм; Г3 - внутренняя граница в области D(x, у) (искусственная граница для внешней краевой задачи при использовании метода МИПБС); Гм - условная граница на бесконечности; уА - потенциал расщепленных проводов (см. рис. 1 б).

С учетом применения модифицированного МИПБС на основе [4] для плоскопараллельных задач исследуемая область D(x, у) для полубезграничных областей может быть в виде квадрата, прямоугольника и др. (с возможностью упрощения применяемого численного метода решения задачи). Пусть, например, некоторая искусственная область Dk(x, у), входящая в состав области D(x, у), имеет форму четверти круга с радиусом Я с исходными границами Г1, Г21, Г22, Г23, Г3, Г4. Для реализации предлагаемого метода необходима дополнительная область D к(х, у) такого же размера как и Dk(x, у), причем граница Г3 - общая для этих областей. Согласно [4], часть исходной области D(x, у), находящейся между границами Г3 и Гм, отображается на область D к(х, у) с учетом метода инверсии. В узлах на границе области D к(х, у), расположенной по ее диаметру, присваивается нуль, что совпадает со значением потенциала ¥ на границе Г1 области Dk(x, у) и на бесконечности Гм.

2. Дискретная модель и численный метод исследования

Для внешней краевой задачи с учетом уравнения (1) и граничных условий (2) - (6) для дискретной области Dd уравнения в операторной форме при определении поля электрического потенциала ¥ в узле (,, /) имеют вид:

¥„ + Lyy¥„ = а (х,-,у3) е С'а;

LnY- = 0, (xi У-) е Г 4. Yj = Y A , (xi У] ) е Г 21 ,Г 22 ' Y,, = 0, (x,У-) е Г 1,Г23,Г»

l

а

Здесь Ljx = д2/dx2, Lyy = d2/dy2, Ln = д/дп, производные потенциала представляются конечно-разностными аппроксимациями. Исследуемая область Dd , включающая области Dkd(x, y) и D kd(x, y), является дискретной, причем из основных вариантов многомерных эйлеровых сеток выбрана универсальная регулярная сетка в виде прямоугольной с учетом того, что исследуемая область - часть круга с расположенными в нем проводами круглого сечения (см. рис. 1 б).

В узлах областей Dkd(x, y) и D и(х, y) значения рассчитываются методом конечных разностей и с учетом метода инверсии внешней бесконечной области [4]. В граничных узлах этих областей (граница Г3) расчет ведется по формулам, аналогично как для внутренних узлов, а значения в них, не входящих в основную область, берутся из дополнительной области, и наоборот. При этом основная и дополнительная области оказываются как бы склеенными по границам. В связи с этим условие на границе Г3 отсутствует в постановке задачи.

На оси симметрии Г4 с учетом того, что относительно вертикальной оси yI+1, j = y¿-1,, тогда потенциал y¿, j рассчитывается по формуле

V¡, J =-

2Yi+ij + V,, ж + V

i, j+1

Г i, j-1

4

4

(8)

V S j = V fj1 +«(V S0

-V

', i

1),

,.S-1

3. Результаты численных расчетов

3.1. Тестирование применяемого метода на примере одиночного провода относительно поверхности земли дано в [5], при этом использовались методы инверсии и зеркальных изображений. Потенциал произвольной точки М на основе метода зеркальных изображений определялся с учетом выражения [6]:

т , Ь

Vм =~-Ь- + с ,

2пее 0 а

где е0 - электрическая постоянная; е - относительная диэлектрическая проницаемость среды; т - линейная плотность заряда; а - расстояние от точки М до геометрической оси провода; Ь - расстояние от точки М до зеркального отображения геометрической оси провода.

На основе метода инверсии внешней бесконечной области [4] и с учетом модифицированного МИПБС определялось поле потенциала для внешней краевой задачи относительно дискретных областей Drd и D rd из системы уравнений, которые в операторной форме для V в узле (г,]) имели вид:

Lxx V, + Lyy V j = 0.

Так как во внутренних узлах сетки выполняется условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя, то во всех расчетных внутренних узлах области Dkd(x, y) u D ¡Jx, y) потенциал y¿,j рассчитывается с помощью численного метода, например экстраполяционного метода Либмана [7] по формулам:

V i+i,j + V i-i,j + V i, j+1 + V i, j-i

LhV(h) -

yyY'J

где а - ускоряющий коэффициент (1 < а < 2); у ,,] значение в узле у, ;, вычисленное на предыдущей итерации; у г - значение в узле у, ;, вычисленное в текущей итерации согласно (8); V ,- - новое значение.

Модуль напряженности поля | Е | в каждой 1-й точке исследуемой области определяется следующим образом:

Компоненты напряженности электрического поля Ех и Еу с использованием центрально-разностной аппроксимации определяются в виде

Е,- = - (дут,- - дум,) / 2к; Ег,- = - (ду,,+1 - ду,,-1) / 2к,

где г - изменение по координате х; ] - изменение по координате у.

(,У}) е Drd u D*d; VJ = 0 (x, У j ) е Г i; Vj = ° (x,,yj) е Г»; V j = V A , (xi y,) е Г 2.

Здесь 1 -е уравнение - это уравнение Лапласа, 2 - 4 уравнения - это граничные условия на поверхности земли, на бесконечности (с учетом дополнительной области D гс1 по аналогии с задачей для ЛЭП) и на проводе.

При численных расчетах напряженности поля вблизи проводника и на некотором удалении от земли установлено [5], что средние погрешности при расчете поля потенциала проводника, например, вблизи поверхности земли находятся в пределах от 0,410 до 5,258 % при изменении расстояния от проводника до поверхности земли.

3.2. Для анализа результатов расчета на основе существующей математической модели с условием эквивалентного радиуса [1, 3], которая использовалась как в 70-е гг., так и применяется в настоящее время при расчетах электрических полей высоковольтных воздушных ЛЭП с проводами расщепленных фаз (полюсов), и на основе модифицированного МИПБС были выполнены численные расчеты этими методами с учетом задания условия на бесконечности с использованием подхода, как в [4].

Результаты расчета плоскопараллельного электростатического поля с учетом расщепленных проводов ЛЭП, но без грозозащитного провода (ГП) для

высоковольтной линии постоянного тока Сакота Bassa представлены на рис. 2, причем на рис. 2 а показан характер распределения поверхностей равных напряженностей электростатического поля с заданным шагом ЛЕ с условием эквивалентного радиуса Rэ для полюса ЛЭП, а на рис. 2 б - распределение этих же поверхностей поля для расщепленных проводов ЛЭП, причем в окрестностях этого полюса (для выявления особенностей ЭП).

а б

Рис. 2. Распределение поверхностей равных напряженностей поля с шагом ЛЕ для ЛЭП постоянного тока Сакота Еаяяа без ГП: а - с условием Яэ; б - для расщепленных проводов

Анализ результатов расчета поля с эквивалентным радиусом Rэ показывает, что модуль максимальной напряженности поля в виде линии 1 (см. рис. 2 а) направлен от центра полюса в сторону проводящей поверхности Zk.

Из результатов расчета ЭП для расщепленных проводов без ГП следует (см. рис. 2 б), что линия 1 модуля максимальной напряженности поля (Етах) относительно поверхности земли находится вначале под углом порядка 45°, а затем, описав некоторую дугу в сторону оси симметрии полюса, направляется к проводящей поверхности Zk, начиная приблизительно с радиуса Rk = 1, 24 м. В этом случае можно условно представить полюс с некоторым эквивалентным радиусом Rэ = Rк, из центра которого выходит линия 1 модуля напряженности Етах (см. рис. 2, б) и направляется в сторону поверхности Zk. Согласно математической модели расчета поля с условием Rэ [1, 3] для ЛЭП [2] его величина Rэ = 0, 215 м, при этом на основе полученных расчетов с использованием модифицированного МИПБС, чтобы линия модуля напряженности поля Етах была направлена от центра полюса в сторону проводящей поверхности Zk, необходим некоторый эквивалентный радиус Rэ = Rk, отличающийся от расчетного более чем в 5 раз.

Полученные результаты расчетов (см. рис. 2 б) согласуются с данными [2], которые выполнялись с помощью метода зеркальных изображений и согласно которым Етах находятся на нижних проводах расщепленного полюса строго под углом 45°, а не в вертикальной плоскости, как на основе модели расчета поля

с условием Rэ. Из полученных результатов расчета следует, что в окрестностях расщепленных проводов по модели с эквивалентным радиусом получаются расчеты с относительно большой погрешностью.

Аналогичные результаты расчета плоскопараллельного ЭП с учетом расщепленных и грозозащитного проводов для ЛЭП постоянного тока Сакота Еassa показаны на рис. 3, причем на рис. 3 а показан характер распределения поверхностей равных напряженно-стей электростатического поля с заданным шагом ЛЕ между ГП и поверхностью земли, а на рис. 3 б показан характер распределения этих же поверхностей поля вблизи верхней части полюса в увеличенном масштабе. Анализ результатов расчета показывает (рис. 3 а), что линия 1 модуля напряженности Етах направлена аналогично от центра полюса в сторону проводящей поверхности Zk, как и в случае без грозозащитного провода (см. рис. 2 б). При этом для верхнего провода полюса (рис. 3 б) линия 1 модуля напряженности Етах вначале направлена под углом порядка 45° (относительно грозозащитного провода), а затем, описав некоторую дугу в сторону оси симметрии, направляется вверх. Полученные результаты соответствуют данным работы [2], так как экстремальные значения напряженности Е находятся на нижних и верхних проводах расщепленного полюса строго под углом 45°.

а б

Рис. 3. Распределение поверхностей равных напряженностей поля с шагом ЛЕ с учетом грозозащитного провода для разных масштабов

Результаты численных расчетов для количественной оценки распределения напряженности поля для ЛЭП постоянного тока Сакота Еassa на разных уровнях относительно поверхности земли, показаны на рис. 4, причем эти результаты представлены в относительных величинах

Е = - ду / дs ; = / уА; si = Si / I ,

где I - расстояние между проводами; уА - потенциал расщепленных проводов.

Из полученных результатов расчета следует (рис. 4), что на разных уровнях к относительно поверхности земли и с удалением от оси симметрии полюса величина напряженности поля изменяется по некоторому колоколообразному закону. При этом вблизи полюса максимальная величина Е находится под крайними расщепленными проводами, а на уровне земли нахо-

1

1

дится под центральной частью полюса ЛЭП Сакога Bassa. С удалением от расщепленных проводов от к 3 до к 2, т.е. с изменением уровня в 1, 3 раза, максимум напряженности поля резко уменьшается (более чем в 4 раза), а затем при дальнейшем уменьшении к максимум Е также уменьшается, но с существенно меньшим градиентом.

E*

Рис. 4. Зависимость напряженности поля Е* = Д^) на разных уровнях к относительно поверхности земли: 1 - к* 1= 4, 44; 2 - к*2= 13, 33; 3 - к*3= 17, 78

Выводы

Анализ результатов численных расчетов показал возможность применения модифицированного метода инверсии для полубезграничных сред для исследования особенностей ЭП высоковольтных ЛЭП постоянного тока, а также для определения одного из важных показателей степени влияния высоковольтных ЛЭП на биологические объекты в виде распределения напряженности ЭП на уровне земли. При этом установлен

Поступила в редакцию

закон изменения модуля максимальной напряженности поля относительно поверхности земли для расщепленных проводов на примере ЛЭП Сакога Bassa, причем характер изменения напряженности поля соответствует колоколообразному закону. С удалением от расщепленных проводов, например с изменением уровня в 1, 3 раза, максимум Е резко уменьшается (более чем в 4 раза), а затем при дальнейшем уменьшении к максимум Е уменьшается, но с существенно меньшим градиентом.

Литература

1. Дальние электропередачи 750 кВ. В 2 ч. Ч. 1: Воздушные линии / Под общ. ред. А.М. Некрасова и С.С. Рокотяна. М., 1974.

2. Holtzhausen J.P., Hendricks H., Pieterse P.J. Corona On The Cahora Bassa DC Line: Theory And Tests On A Scale Model // SAUPEC 2002, Vanderbijlpark, January 2002. P. 283287.

3. Цицикян Г.Н. Расчет электрического поля высоковольтной линии на уровне земли // Электричество. 2005. № 6. С. 59-63.

4. Потапенко А.Н., Дыльков М.И., Штифанов А.И. Элементы доказательства метода инверсии внешней бесконечной области // Вестн. БГТУ им. В.Г. Шухова. Белгород, 2003. №6. С. 186-188.

5. Потапенко А.Н., Канунникова Е.А., Дыльков М.И. Особенности метода численного исследования воздушных линий электропередач, его тестирование и результаты расчетов // Вестн. БГТУ им В.Г. Шухова. 2007. №4. С. 111-121.

6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебник. М., 2001.

7. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. М., 1970.

17 апреля 2008 г.

Потапенко Анатолий Николаевич - канд. техн. наук, доцент, профессор кафедры электротехники и автоматики Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. Тел. 8(4722)55-63-03.

Канунникова Елена Александровна - аспирант кафедры электротехники и автоматики Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. Тел. 8-920-561-12-52. E-mail: postgraduate@hotbox.ru.

Донева Ольга Викторовна - ст. преподаватель кафедры естественно-научных и технических дисциплин Северо-Кавказского филиала Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова, г. Минеральные воды. Тел. 8(879-22)6-38-10.