Математическая модель гидравлической магистрали ЖРД для определения амплитудно-фазовых частотных характеристик Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 681.518.54

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ МАГИСТРАЛИ ЖРД ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И.А. Музалёв, Г.И. Скоморохов

В работе изложена методика составления математических моделей гидравлической магистрали ЖРД для расчёта амплитудно-фазовых частотных характеристик, а также приводится пример расчёта АФЧХ гидравлической магистрали в определённом диапазоне частот

Ключевые слова: ракетный двигатель, магистрали, частотные характеристики

На жидкостный ракетный двигатель (ЖРД) при работе воздействуют различные возмущения внешнего и внутреннего характера. Они возникают вследствие взаимосвязи двигателя с ракетой.

В агрегатах двигателя могут происходить колебательные процессы, которые определяются динамическими свойствами агрегатов, такими как собственная частота колебаний.

В колебаниях, которые могут возникать в ракете, роль двигателя может быть различной. Если возникают колебания давления в камере сгорания, то двигатель служит источником вынужденных колебаний ракеты. В свою очередь, колебания ракеты могут усиливаться двигателем из-за вынужденных колебаний поступления топлива в камеру, которые приводят к колебаниям давления в камере и тяги. Причин для возникновения колебаний много. Запуск двигателя начинается резким открытием пускового клапана, который до момента запуска отделяет компонент в баке и трубопроводе от полости двигателя. При резком открытии клапана жидкость устремляется из бака вниз, при этом в вышележащих слоях образуется разрежение. Волна разрежения со скоростью звука по магистрали распространяется к баку и, отражаясь от него, в виде волны повышенного давления возвращается в расходную магистраль. Магистраль и жидкость обладают упругостью и при изменении давления образуют колебательную систему. При образовании тяги двигателя происходит динамическое нагружение корпуса ракеты и возникают продольные колебания корпуса и топливной системы. Аналогичный процесс происходит и при выключении двигателя.

На активном участке траектории на двигатель воздействуют различные возмущения, которые имеют периодический характер.

Частоты вынужденных колебаний могут совпадать с частотами собственных колебаний агрегатов, при этом возникают резонансные явления.

Таким образом, желательно знать частотные свойства агрегатов двигателя, которые характеризуются частотными характеристиками.

Музалёв Игорь Александрович - КБХА, инженер-программист, ВГТУ, аспирант, тел. (473)2346409, e-mail: iorikis@freemail. ru

Скоморохов Геннадий Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473)2346108

В случае неблагоприятных сочетаний динамических свойств агрегатов возмущения внешнего и внутреннего характера могут привести к неустойчивым режимам работы двигателя.

Неустойчивые режимы работы характеризуются колебаниями параметров рабочего процесса с разной амплитудой и частотой и являются основными причинами возникновения аварийных ситуаций двигателя.

Колебания параметров рабочего процесса вызывают вибрации элементов конструкции, что приводит к поломкам деталей и агрегатов, обрыву трубопроводов, разрушению оболочек и другим отказам. Особенно опасны резонансные колебания, которые возникают при совпадении собственных частот механических колебаний элементов конструкции с частотой колебаний параметров рабочего процесса.

Для анализа устойчивости и реакции двигателя на входные возмущения применяются комплексные передаточные функции или амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФЧХ).

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) в теории линейных стационарных систем характеризуют зависимость модуля передаточной функции системы от частоты. АЧХ показывает, во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот. Таким образом, АЧХ показывает, как передаются отдельные гармонические составляющие входного сигнала, и даёт возможность оценить искажения его спектра. Построенные по результатам расчёта графики амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и фазово-частотных характеристик (ФЧХ) позволяют определить области частот, на которых происходит резонанс.

Частотные характеристики используют для исследования устойчивости систем автоматического управления и качественных показателей переходных процессов в них. Совокупность значений параметров ЖРД, при которых система устойчива, называется областью устойчивости. Близость системы к границе области устойчивости оценивается запасами устойчивости по фазе и по амплитуде, которые определяют по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой системы автоматического управления (САУ).

Частотные характеристики любых сколь угодно сложных систем можно построить посредством

графических и алгебраических операций. Поэтому при исследовании и проектировании линейных стационарных систем удобнее пользоваться частотными методами. Амплитудно-фазовые частотные характеристики позволяют установить связь между агрегатами, их роль в динамических процессах.

Также, зная АФЧХ агрегатов двигателя, можно рассчитать функции переходных процессов отдельных элементов ЖРД, построить границу устойчивости по критерию Найквиста [1].

Согласно методике расчета АФЧХ жидкостный ракетный двигатель рассматривается как линейная динамическая система с распределенными параметрами и запаздывающими аргументами. Методы расчета частотных характеристик параметров двигателя основаны на определении периодических решений уравнений, описывающих динамические процессы в двигателе. Задача расчета АФЧХ двигателя сводится к решению системы алгебраических уравнений, коэффициенты которой зависят от конструктивных и режимных параметров и от частоты колебаний [2].

Гидравлические магистрали ЖРД являются основными элементами, связывающими между собой узлы и агрегаты ЖРД, агрегаты подачи компонентов топлива, регулирующие агрегаты двигателя, стендовые или ракетные баки с двигателем и т.д. Параметры (давление, расход, температура компонентов топлива) на входе и выходе из гидромагистралей одновременно служат входными и выходными параметрами для узлов и агрегатов ЖРД. В замкнутой системе возмущения в гидромагистрали действуют одновременно с обоих концов.

Существуют две математические модели рассмотрения гидравлической магистрали двигателя: 1) модель гидравлической магистрали с сосредоточенными параметрами, которая описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями; 2) модель гидравлической магистрали с распределёнными параметрами, которая описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

При описании моделей будем исходить из того, что гидравлическая магистраль рассматривается как простой трубопровод постоянного сечения с распределенным сопротивлением.

Рассмотрим гидравлическую магистраль с сосредоточенными параметрами.

В гидравлических магистралях с сосредоточенными параметрами при описании процессов раздельно учитываются инерционные (уравнение движения компонентов топлива) и емкостные свойства жидкости (уравнение неразрывности).

На рис. 1 представлена схема гидравлической магистрали, учитывающая инерционные свойства жидкости.

С учётом сопротивления гидравлической магистрали уравнение движения записывается в виде

Лп

Л

ь

(

■ 2 \ т

Рж

(1)

где т - массовый расход, — ;

с

/ - время, с ;

Р - давление на входе в магистраль, Па ;

Р - давление на выходе из магистрали, Па ;

кг

р - плотность рабочей жидкости, —- ;

м

^ - проходная площадь гидравлической магистрали, м2;

Ь - длина гидравлической магистрали, м ;

£ - коэффициент сопротивления гидравлической

магистрали,

1

м

На рис. 2 представлена схема гидравлической магистрали, учитывающая емкостные свойства жидкости.

Рис. 2

С учётом того, что объем является постоянным, уравнение неразрывности имеет вид

ЛР а / . . \

-Г=-^-\т вх - твых ) ,

т V

где Р - давление в элементарном объёме, Па ;

(2)

твх - массовый расход на входе в магистраль, — ;

с

т

вых - массовый расход на выходе из магистрали,

кг

с

а - скорость распространения возмущений в рабом

чей жидкости, —;

с

V - объём гидравлической магистрали, м3.

При расчёте АФЧХ гидравлической магистрали по модели с сосредоточенными параметрами для достижения приемлемой точности вычисления необходимо магистраль разбивать на несколько участков. При этом будет возрастать количество уравнений, описывающих данную гидравлическую магистраль.

Схематически разбиение рассматриваемой гидравлической магистрали представлено на рисунке 3. Данная гидравлическая магистраль описывается следующими обыкновенными дифференциальными уравнениями:

Рис. 1

кг

кг

dm F ■ n

dt L

P_1 _ Pi _

i = 1,2,...,n , (3)

^ = а2 -(п-1) \щ - т1+1), ' = 1,2,...,п-1, (4)

Л Vх' '+1'

где п - количество отрезков разбиения гидравлической магистрали;

- массовые расходы на участках разбиения гид-

кг

равлической магистрали, —;

с

Р - давления на участках разбиения гидравлической магистрали, Па .

Рис. 3. Схема разбиения гидравлической магистрали

Линеаризовав обыкновенные дифференциальные уравнения (3), (4) и записывая периодические решения для отклонений в виде

dni = тi 1 ■ cos at + тi 2 ■ sin at, dmj +1 = mj +1, 1 ■ cos at + mi+12 ■ sin at, SPi = Pj ■cosat + p2 ■sinat,

dPj_1 = P_11 ■ cos at + P_1 2 ■ sin at,

(5)

(6)

(7)

(8)

получим

F^n F ■n n

OTi, 2 ■ a - —j— ■ Pi_1, 1 + —j~ ■ Pi, 1 +

2 ■ F ■£

+---------— ■mi 1 = 0 , i = 1, 2,...,n ,

L■ P ’

F^n F ■ n

_ m i,1 ' a -—j~ ■ Pi_1,2 + —j~ ■ Pi,2 +

(9)

2-F ■£

+-------£ - т12 = 0, ' = 1,2,..., п, (10)

ь■ Р ’ а 2

Р',2 '®- у -(п - 1)-'И ',1 +

а 2

+ —-(п -1)-гП'+и = 0, ' = 1,2,..., п-1, (11)

а2

- Р',1 -®-У-(п -1)-т ',2 +

+ 07 ■ (п -1)-^'+1,2 = 0, ' = 1,2,..., п-1, (12)

Рассмотрим гидравлическую магистраль с распределёнными параметрами.

На рис. 4 представлена схема гидравлической магистрали с распределёнными параметрами.

Рис. 4. Схема гидравлической магистрали с распределёнными параметрами

Уравнения в частных производных, описывающие данную гидравлическую магистраль и записанные в отклонениях, имеют вид

ддр 1 dSm 2-b

1 1 -от = 0,

где

• +------ ---------------+ -

dx F dt

ddp a2 ddm

-*- +-------------------------= 0,

dt F dx

ь =APmp 'F

F

'mp T

L-m

dp - отклонение давления, Па ;

(13)

(14)

dm - отклонение расхода,

кг

с

х - координата длины, м ;

^ - проходная площадь гидравлической магистрали, м2;

Ь - длина гидравлической магистрали, м ;

а - скорость звука в рабочей жидкости, М ;

с

p - плотность рабочей жидкости,

кг

м

кг^м

g - ускорение свободного падения,

с2

I - время, с ;

АРтр - потери давления на трение, Па ;

кг

т - номинальный расход жидкости, — .

с

Линеаризовав дифференциальные уравнения в частных производных (13) и записывая периодические решения для отклонений в виде

(15)

(16)

получим

¿т = щ ■ cos at + т2 ■ sin at, dP = P1 ■cosat + P2 ■sinat,

L1 ■ pb,1 + L2 ■ pb,2 + L3 ■ tn6,1 + +L4 ■ m6,2 _ Pa,1 + bBX ■ ma,1 = 0 ,

_L2 ■ pb,1 + L1 ■ pb,2 _ L4 ■tnb,1 +

+L3 ■ mb,2 _ pa,2 + b]

ВХ ma,2

= 0,

L5 ■ pb,1 + L6 ■ pb,2 + L7 ■ ^b,1 + +L8 ■ ™b,2 _ ™a,1 = 0 , _L6 ■ pb,1 _ L5 ■ pb,2 _ L8 ■'nb,1 +

+L7 ■*" b,2 _ ™ a,2 = 0 ,

(17)

(18)

(19)

(20)

где

Li = bi,

L2 = b3 ,

L3 = b1 - ^ЫГХ + z - b6 , L4 = b3 • ЬвыХ + z-b5 ■ L5 = z3 - b4 ,

L6 = z3 - b2 ,

L7 = b1 z3 - b4 - ^ЫК ,

L8 = b3 + z3 - b2 - ^ЫК ,

2- AP_

bBX =

m

2- AP6X m

k =

q =

2-a 2

и 2 2

b - w

итр ry

w

w4 +bmp2 ■w2

4-a 4 a

a 2

z =

4

z, =-

F-w F

z-A

A 2 =

.^4-bmp +w2

F

4 b + w2

^ ump 1 ^

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

b1 = ch (k - L) - cos(q - L) , b2 = k - sh(k - L) - cos(q - L) + q-ей (k - L) - sin(q - L) , (32)

b3 = sh(k-L)-sin(q -L), (33)

b4 = k - ch(k - L) - sin(q - L) - q - sh(k - L) - cos(q - L) , (34) b5 = q-ch (k-L)-sin(q-L) - k - sh(k - L) - cos(q - L), (35) b6 = q - sh(k - L) - cos(q - L) - k-ch(k - L) - sin(q - L) , (36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

Мы получили алгебраические уравнения, которые будем решать методом Гаусса с выбором главного элемента [3].

Метод заключается в том, что при прямом ходе в алгоритме метода Гаусса на каждом шаге исключения производится выбор наибольшего по модулю элемента в качестве ведущего. Этого достигают перестановкой строк или столбцов матрицы коэффициентов. Наиболее распространённой в вычислительной практике является стратегия выбора глав-

ного элемента столбца - нахождение максимального

по модулю элемента k-го столбца матрицы [aj) J и

использование его в качестве ведущего элемента на k-м шаге исключения. В этом случае для невырожденных систем гарантируется, что ведущие элементы не равны нулю, и уменьшается погрешность при последующих преобразованиях. Рекомендуется также масштабировать предварительно каждое уравнение исходной системы, разделив на его наибольший по абсолютной величине коэффициент. Это делает рост элементов промежуточных матриц ограниченным.

Расчёт АФЧХ производился в программной среда Microsoft Excel и на языке программирования Microsoft Visual Basic [4].

Для примера был проведен расчет гидравлической магистрали, которая имеет следующие параметры (табл. 1).

Таблица 1

Параметры гидравлической магистрали

Наименование параметра Числовое значение

Номинальное давление на входе в магистраль Рвх, Па 588399

Номинальное давление на выходе из магистрали Рвых, Па 98066,5

Номинальный расход через магистраль т, кг/с 60

Длина магистрали Ь, м 4

Площадь сечения Г, м2 0,001963495

Скорость распространения возмущений в рабочей жидкости а, м/с 800

Теоретическую частоту резонанса для данной магистрали можно определить по формуле

^рет 2-L

800

2-4

= 100 Гц.

(42)

Для определения АФЧХ гидравлической магистрали задавались следующие возмущения по давлению на входе в гидравлическую магистраль (амплитуда возмущения АРвх = 98066,5 Па, фаза

(РРвх = 0°). Диапазон рассматриваемых частот - от 0,1 до 150 Гц.

Графики АЧХ и ФЧХ массового расхода на выходе магистрали с сосредоточенными параметрами:

при 5 участках разбиения магистрали; при 20 участках разбиения магистрали; при 50 участках разбиения магистрали; при 100 участках разбиения магистрали приведены на рис. 5 - 8.

На рис. 9 показаны графики АЧХ и ФЧХ массового расхода на выходе магистрали с распределёнными параметрами.

1)

2)

3)

4)

b

2

4

w

w

+

4

a

a

+

1

- 0 - -20

- -40

- -60 - -80

- -100

- -120 § І

- -140 & -160 І

- -180 - -200 - -220

- -240

- -260 - -280

Рис. 5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика массового расхода на выходе магистрали с сосредоточенными

параметрами при 5 участках разбиения магистрали

- -40

- -60 - -80

- -100

- -120 § я

- -140 Ц

-160 |

- -180 - -200 - -220

- -240

- -260 - -280

Рис. 6. Амплитудно-фазовая частотная характеристика массового расхода на выходе магистрали с сосредоточенными параметрами при 20 участках разбиения магистрали

- 0

- -20

- -40

- -60

- -80

- -100

- -120 § >

- -140 £

«Т

- -160 и -180 -200 -220 -240 -260 -280

Рис. 7. Амплитудно-фазовая частотная характеристика массового расхода на выходе магистрали с сосредоточенными параметрами при 50 участках разбиения магистрали

Частота, Гц

Частота, Гц

Частота, Гц

Амплитуда массового расхода на выходе, кг/с Амплитуда массового расхода, кг/с

Частота, Г ц

Рис. 8. Амплитудно-фазовая частотная характеристика массового расхода на выходе магистрали с сосредоточенными параметрами при 100 участках разбиения магистрали

Частота, Гц

Рис. 9. Амплитудно-фазовая частотная характеристика массового расхода на выходе магистрали с распределёнными параметрами

Фаза, градусы Фаза, градусы

0.1 20.1 40.1 60.1 80.1 100.1 120.1 140.1

Частота, Г ц

Рис. 10. Графики АЧХ магистралей с сосредоточенными и распределёнными параметрами

0.1

10.1 20.1

30.1

40.1 50.1

60.1 70.1

80.1 90.1 100.1 110.1 120.1 130.1 140.1

. ФЧХ распред ФЧХ сосредот п=5

\ ФЧ Х сосредот п=20 Х сосредот п=50

\ ФЧ

\ ФЧХ сосредот п=100

\

\ \\

V

1 1 1

1 1

1 1

1

1 1

1 1

1

V

4

-10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 _-110 ¿120 55-130 £-140 ет 150

53-160

°-170

-180

-190

-200

-210

-220

-230

-240

-250

-260

-270

-280

Частота, Гц

Рис. 11. Графики ФЧХ магистралей с сосредоточенными и распределёнными параметрами

Сравнение АЧХ и ФЧХ магистрали с сосредоточенными параметрами и АЧХ и ФЧХ магистрали с распределёнными параметрами приведено на рис. 10, 11 и в табл. 2. В табл. 2 также приведено затраченное время на выполнение расчёта (расчёт производился на процессоре Intel Core 2 Duo E8400).

Таблица 2

Сравнение результатов расчёта_____________

Модель рассматриваемой магистрали Время выполнения расчёта, с Частота резонанса, Гц

Сосредоточ. параметры n=5 1 88

Сосредоточ. n=20 18 97,4

Сосредоточ. n=50 260 99

Сосредоточ. n=100 2018 99,5

Распред. 10 100

п - количество участков разбиения магистрали.

Из графиков на рис. 10 и 11 видно, что в диапазоне частот от 0,1 до 55 Гц вид кривых и значения практически совпадают.

По результатам исследования можно сделать следующие выводы:

1) наибольшая точность при расчёте АФЧХ гидравлической магистрали достигается с использованием модели с распределёнными параметрами (теоретическое значение частоты резонанса полностью совпадает с расчётным);

2) применение математической модели с сосредоточенными параметрами возможно в зависимости от рассматриваемого частотного диапазона при надлежащем количестве участков разбиения гидравлической магистрали;

3) по данным АФЧХ можно определить частоты, на которых амплитуды колебаний достигают наибольших значений, что может быть использовано для дальнейшего анализа.

Таким образом, применение для расчёта гидравлической магистрали ЖРД модели с сосредоточенными или распределёнными параметрами выбирается в зависимости от исследуемого частотного диапазона. По результатам расчёта АЧХ и ФЧХ выдаются рекомендации по выбору параметров при проектировании ЖРД.

Литература

1. Шеляков А.А., Калнин В.М., Науменкова Н.В., Дятлов В.Г. Теория автоматического управления ракетными двигателями. - М.: Машиностроение. 1978 - 288 с., ил.

2. Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей. - М.: Машиностроение. 1974. - 396 с.

3. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 254 с.

4. Роман С. Использование макросов в Excel. 2-е изд. - СПб: Питер, 2004. - 507 с.: ил.

Открытое акционерное общество «Конструкторское бюро химавтоматики», г. Воронеж

Воронежский государственный технический университет

MATHEMATICAL MODEL OF HYDRAULIC HIGHWAY OF THE LIQUID ROCKET ENGINE FOR DEFINITION OF PEAK -PHASE FREQUENCY CHARACTERISTICS I.A. Muzalev, G.I. Skomorohov

In work the technique drawing up of liquid rocket engine hydraulic highway mathematical model for peak-phase frequency characteristics calculation is resulted, and as the example of peak-phase frequency characteristics calculation for hydraulic highway in the certain range of frequencies is also resulted

Key words: the rocket engine, highways, frequency characteristics