Математическая модель формирования кластеров деформационного рельефа на поверхности плакирующего слоя конструкционных алюминиевых сплавов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 620.179.1:519.24(045)

С.Р. Игнатович, М.В. Карускевич, Е.Ю. Дорошенко

Национальный авиационный университет, Украина

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ КЛАСТЕРОВ ДЕФОРМАЦИОННОГО РЕЛЬЕФА НА

ПОВЕРХНОСТИ ПЛАКИРУЮЩЕГО СЛОЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ

Процесс формирования деформационного рельефа (ДР) на поверхности плакирующего слоя алюминиевых сплавов описывается с позиций образования и объединения кластеров вторичной фазы (ВФ) на плоских решетках с заданным координационным числом. Предложенная вероятностная модель описывает количество кластеров разной «массы» от общей концентрации ячеек ВФ. Теоретические результаты подтверждаются данными численного эксперимента. Обоснован критерий предельной концентрации кластеров, при которой процесс их накопления выходит на стадию насыщения. Расчетные оценки предельной концентрации хорошо согласуются с экспериментальными данными по насыщению ДР на поверхности плакирующего слоя при циклическом нагружении.

Ключевые слова: деформационный рельеф, поверхность, циклическое нагружение, кластеры, усталость, слияние кластеров.

Введение

В авиационных конструкциях, например, для обшивки самолета, в качестве материала используются листовые алюминиевые сплавы, покрытые тонким плакирующим слоем из технически чистого алюминия. При циклическом нагруже-нии поверхность такого слоя испытывает интенсивное знакопеременное пластическое деформирование, что приводит к формированию на нем деформационного рельефа (ДР). Возникновение ДР обусловлено локальными изменениями шероховатости поверхности из-за эволюции дислокационной структуры плакирующего слоя и при регистрации оптическими средствами проявляется в виде темных участков на контрастных черно-белых фотографиях (рис. 1).

D = -,

A '

(1)

где 8 — площадь поверхности со следами ДР (суммарная площадь темных пятен на фотографии).

Как показывают экспериментальные исследования, формирование и распространение локального пластического деформирования на поверхности плакирующего слоя осуществляется с первых циклов нагружения. С увеличением числа циклов нагружения площадь поверхности, занятая следами ДР, возрастает (рис. 2). При этом наблюдается три стадии изменения насыщенности ДР: на начальном этапе наработки скорость изменения параметра Б относительно небольшая, затем происходит увеличение интенсивности накопления ДР с последующим ее уменьшением. Последний этап развития ДР можно трактовать как стабилизацию насыщения поверхностного пластического деформирования.

Рис. 1. Фотография (х500) участка поверхности со следами ДР (темные участки) с наложением сетки квадратных ячеек

Количественная оценка нагруженности и по-врежденности участка поверхности площадью а производится по критерию насыщенности ДР [1]

0,3

&

С 0,2 0,1 0

0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 К, щшив

Рис. 2. Изменение насыщенности ДР с наработкой для циклического нагружения при различных асимметриях цикла нагружения [2]

© С.Р. Игнатович, М.В. Карускевич, Е.Ю. Дорошенко, 2011

ISSN 1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2011

Особенности эволюции ДР при циклическом нагружении достаточно полно изучены экспериментально [2-5]. В настоящей работе изложена теоретическая трактовка данного процесса на основании вероятностной модели формирования кластеров вторичной фазы в двухфазной системе.

1. Исходные предпосылки

Рассмотрим задачу о формировании кластеров ДР по механизму развития двухфазной системы, где первичная фаза (ПФ) — поверхность без следов ДР (светлый фон на черно-белых фотографиях) , а в качестве вторичной фазы (ВФ) выступают области локального пластического деформирования, проявляющиеся на фотографиях черным цветом.

Как показывают экспериментальные исследования, эволюция такой двухфазной системы характеризуется постепенным увеличением суммарной площади ВФ, что свидетельствует о постепенном процессе ее образования и развития. Предполагаем, что процесс формирования ДР реализуется как образование первичных носителей поверхностной пластической деформации с линейным размером а, их накоплением на поверхности с последующим объединением и образованием ассоциаций — кластеров .

Рассмотрим поверхность площадью А, на которой формируется ДР. Разобьем данную поверхность на N (К >> 1) плотно упакованных ячеек с линейным размером а (рис.2). Параметры А, N и а связаны очевидным соотношением А = Ка2. В каждой ячейке может быть размещен только один первичный носитель ДР и она считается представителем ВФ. Если две или более таких ячеек оказываются рядом, они образуют кластер с «массой», равной количеству входящих в него ячеек. Массу кластера будем характеризовать параметром 8 (8 = 1, 2, ...), равным количеству ячеек ВФ в кластере, а количество кластеров массой 8 обозначим п8.

Каждая ячейка в области А окружена соседними, примыкающими к ней ячейками. Количество ближайших «соседей» ъ назовем координационным числом сетки, которое будет определяться формой ячеек и способом их упаковки. Например, для треугольных ячеек с компоновкой по сторонам (по вписанной окружности) х = 3, а с компоновкой по сторонам и по вершинам (по описанной окружности) х = 12. Для квадратных, соответственно, х = 4 и х = 8. Следует отметить, что принятая схема дискретизации ячейками области А может быть трансформирована в классические системы связей или узлов [6,7].

2. Вероятностная модель

Пусть среди N ячеек на однородно деформируемой поверхности случайным образом рассея-

но п ячеек ВФ (п < N), концентрация которых определяется как х = пЖ . При случайной выборке ячеек объемом ъ вероятность нахождения ровно 8 ячеек ВФ в такой выборке описывается биномиальным распределением:

Pz(s) = CZxs(1 - x)z

(2)

где СЪ - число сочетаний из ъ элементов по 8.

При малых значениях х (х < 0,1) распределение (2) асимптотически приближается к распределению Пуассона, а при ъх(1 - х) > 9 — к нормальному [8]. Для распределения Пуассона запишем

Pz(s) = -(ZX^exP(-zx) • s!

(3)

Используя приближение pz ® ns /Nz , где Nz = N/z — максимальное количество групп по z ячеек в совокупности N, на основании (3) получим

ns zs 1 s

—^ =-x exp(- zx)

N s!

xp(- zx).

(4)

Формула (4) определяет зависимость количества кластеров п8 (8 < ъ) от концентрации ячеек ВФ х и полностью соответствует вероятностной модели формирования ассоциаций из 8 рассеянных невзаимодействующих повреждений [9].

Из формулы (3) следует, что максимальная вероятность наличия кластера массы 8 реализуется при концентрации

xm = •

z

(5)

Согласно (4) с увеличением общей концентрации ячеек ВФ с фиксированным значением ъ количество кластеров увеличивается до максимального значения при хт , после чего происходит уменьшение п8. Уменьшение количества

кластеров при х > хт может быть обусловлено только их объединением и образованием новых кластеров большей массы.

Вполне очевидно, что образование кластера представляет собой случайное событие. В связи с этим формула (4) определяет усредненную функциональную зависимость количества кластеров от общей концентрации повреждений. При х<<1 наличие ассоциаций из нескольких повреждений маловероятно, и имеет место система из единичных (8 =1) рассредоточенных ячеек ВФ. Если х

s

настолько мало, что ехр(хх) »1, то из формулы (3) следует п1 /К ® х . Это определяет линейный характер зависимости п1 (х).

Отклонения зависимости п1(х) от прямой линии при некотором значении концентрации ха означает начало объединения ячеек ВФ и образование первых кластеров. Параметры ха и хт, характеризующие основные этапы процесса формирования и развития кластеров, в терминологии теории перколяции называются, соответственно, порог агрегации и критическая концентрация агрегации [10]. Кроме этих характеристических показателей концентрации используется параметр хс — порог перколяции, при котором образуется бесконечный кластер, пронизывающий всю область ячеек (связей).

Отметим, что рассматриваемая теоретическая модель не описывает образование бесконечного кластера, так как в ней масса конечных кластеров 8 ограничивается координационным числом решетки х. В то же время известно, что порог протекания хс при нарушении связей наиболее чувствителен к числу ближайших соседей х и значительно менее чувствителен к другим параметрам решеток (табл. 1).

Таблица 1 Основные характеристики перколяции различных типов плоских решеток [7]

Тип решеток X хс ххс * га х*

Треугольная 3 0,65 1,95 1,86 0,35

Квадратная 4 0,5 2,0 2,15 0,3

Шестиугольная 6 0,35 2,1 2,63 0,25

Из представленных в табл. 1 данных следует, что для плоских решеток произведение ххс близко к 2. Согласно (5) это значение соответствует

максимуму зависимости п2(х) при хт » хс. Следовательно, формирование пронизывающего кластера осуществляется при концентрации ячеек ВФ, соответствующей максимуму концентрации кластеров с 8 = 2.

3. Результаты численного эксперимента

Для подтверждения адекватности выражения (4) был проведен численный эксперимент по моделированию процессов случайного появления, накопления и формирования кластеров ВФ различной массы на плоской сетке ячеек с заданными значениями х [11]. Участок поверхности представлялся в виде совокупности N плотно упакованных ячеек. Для различных значений координационного числа х выбиралась форма ячеек и принималось, что их объединение реализуется

по соприкасающимся сторонам. Так, для треугольников х = 3, для квадратов х = 4 и т.д.

В процессе моделирования поэтапно часть ячеек переводились в категорию ВФ. Расположение таких ячеек на исследуемом поле N являлось случайным. В автоматизированном режиме регистрировалось количество кластеров различной массы п8 при текущем значении концентрации ячеек ВФ х .

Результаты численного эксперимента показывают, что на начальной стадии формирования ВФ формула (4) достаточно точно описывает зависимости концентрации кластеров различной массы (8 < х) от х (рис. 3). При х = 3 и х = 4 для п1 соответствие теоретических и экспериментальных результатов имеет место при х < 0,15 , а для п2 при х < 0,1 . Для п3 имеем х < 0,3 (г = 3) и х < 0,25 (х = 4) (рис. 3).

п8/К 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

0,08 0,06 0,04 0,02 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,1

0,2

0,3

0,4

б

Рис. 3. Зависимости концентрации кластеров ВФ различной массы: пх(х)/К (1); п2(х)/К (2); п3(х)/К = 3 (3);

п4(х)/К (4) для плоских ячеек с х = 3 (а) и х = 4 (б). Линии — расчет по формуле (4), точки — результаты моделирования с различным значением общего количества ячеек N

Отклонение результатов имитационного моделирования от теоретической зависимости (4) объясняется тем, что при больших значениях концентрации х интенсивно начинают формировать-

х

0

а

х

0

1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2011

- 225 -

ся кластеры с массой 8 >> ъ . Численный эксперимент показал, что для решеток с х = 3 и х = 4 за счет массового объединения ячеек ВФ даже при сравнительно малых значениях общей концентрации (х > 0,1) образуются кластеры большой массы: п10 , п20 и даже п50 .

При моделировании получено, что размер ячеек и, следовательно, общее количество ячеек на исследуемой поверхности N практически не влияет на процессы образования и роста кластеров (рис. 3).

4. Критерии насыщенности кластеров

Результаты экспериментальных исследований изменения насыщенности ДР при циклическом нагружении показывают наличие стадийности процесса (рис. 2). Аналогичная стадийность имеет место и при формировании кластеров ВФ в зависимости от х. Для п8(х) (8 > 1) на начальном этапе скорость кластерообразования плавно увеличивается с последующей стабилизацией и даже уменьшением (рис. 3). Рассмотрим явление стабилизации роста ВФ в рамках предложенной теоретической модели с целью обоснования соответствующих характеристических соотношений.

Общее количество кластеров с 8 < ъ на поле из N ячеек при фиксированном х определяется на основании (4) как

п8 ехр(- ъх) (ъх)8

= Ъ Е 8! 8=1 8=1

(6)

Е ^ @ ехр(ъх) -1.

8=1

8!

(7)

В качестве критерия насыщения можно использовать среднее расстояние между кластерами г , которое определяется через их концентрацию са на площади а соотношением

1

1

(

V

.2

(10)

V 8=^

Объединив выражения (10) и (8), запишем 1

га = - =

а

(ъ ч\

, N

V 8 =1

1 - ехр(-ъх)

(11)

Сумма в правой части выражения (6) с достаточным приближением для х < 1 может быть записана в виде

где га — расстояние между кластерами, нормированное к характерному размеру ячейки.

Отметим, что из формулы (11) при условии

формирования пронизывающего кластера ъхс @ 2

[8] следует предельное значение га1 (табл.1), близкое по значению к концентрационному критерию к » е [12]. Данный критерий, равный среднему расстоянию между соседними рассеянными дефектами и нормированный к их размеру, характеризует переход от стадии рассеянного к стадии локализованного разрушения.

Результаты численного эксперимента по развитию ВФ, в ходе которого определялось количество кластеров различной массы, а по формуле

(10) — среднее расстояние между ними, подтверждают адекватность теоретического выражения

(11) (рис. 4). Однако, как показывает моделирование, при относительно небольших значениях общей концентрации х формируются достаточно большие кластеры с массой 8 > ъ . Следовательно, при описании кластерообразования помимо расстояния между отдельными кластерами необходимо учитывать и их размеры (массу).

С учетом (7) формула (6) примет вид

Е п8 = - ехР(- ъх)].

ъ

8 =1

(8)

Из выражения (8) следует, что на поле из N ячеек предельное количество кластеров ВФ п8 с массой 8 < ъ при х < 1 ограничено значением:

12

^т 8

6

4

2

хххххзо5^оосмзооа^

0,1

0,2

0,3

0,4

Е п8 < К [1 - ехр(- ъ)].

8 =1

(9)

Таким образом, насыщение процесса формирования кластеров вполне обосновано и описывается формулой (8).

Рис. 4. Зависимости га (1) и 8т (2) от х,

полученною при численном моделировании (светлые точки) и рассчитанные по формулам (11) и (12) (линия) при х = 4

Средняя масса кластера 8т является одной

из ключевых характеристик в теории перколя-

2

п

г=

2

ъ

г

0

0

х

ции. Параметр 8т определяется суммой всех ячеек, входящих в кластеры, деленной на общее количество кластеров. Для кластеров с массой 8 < х запишем

Nx

s=1

(12)

Подставив в (12) выражение (8), получим

1 - exp(-zx)

(13)

Результаты расчетов параметра 8т по формуле (13) хорошо согласуются с данными численного эксперимента для различных х на начальной стадии формирования кластеров (рис. 4). Отклонение экспериментальных значений средней масса кластеров от зависимости (13) имеет место при повышенных значениях х, что обусловливается появлением кластеров с массой 8 > х , которые не учитываются формулой (13).

При малых значениях концентрации ВФ (х << 1) из (13) следует очевидное приближение

8т ® 1. С увеличением х (х < 0,3) для различных х зависимость (13) можно описать функцией

1

1 - bx "

(14)

где коэффициент ь соответствует интенсивности роста средней массы кластера в точке х = 0. По данным численного эксперимента для различных х получено (коэффициент регрессии Я2 = 0,985):

b = 0,3322z + 0,5583 .

(15)

Принимаем, что предельное состояние (насыщение процесса образования кластеров) будет характеризоваться предельной концентрацией ВФ х *, при которой реализуется условие предельного слияния кластеров - среднее расстояние между ними равно среднему размеру кластеров: га = 8т .

С учетом формул (11) и (14) получим трансцендентное уравнение для определения предельной концентрации ячеек ВФ х* , при которой реализуется массовое объединение кластеров:

х(1 - Ьх*)2 = 1 - ехр(-хх*) . (16)

Решение уравнения (16) дает значения предельной концентрации объединения х* для различных значений параметра х (табл. 1).

Следует отметить, что полученные значения х* соотносятся для различных х со значениями

порога протекания хс (табл.1). Зависимость между этими параметрами линейна и имеет вид

хс = 3х*- 0,4 . (17)

При условии ххс » 2 [7] из (17) следует

x*» — + 0,133. (18)

При z = 3; 4; и 6 из (18) следует: x* = 0,36; 0,3 и 0,24, что хорошо согласуется с экспериментальными значениями , соответствующими стадии насыщения ДР (рис. 2).

Заключение

Процесс формирования и развития ДР на поверхности плакирующего слоя можно описывать с помощью вероятностной модели накопления и объединения кластеров ВФ в двухфазной системе с использованием плоской сетки ячеек различной геометрической формы. Адекватность модели подтверждается результатами численного эксперимента. Теоретические значения критической концентрации кластеров при их массовом объединении согласуются с экспериментальными значениями параметра насыщенности ДР при насыщении.

Перечень ссылок

1. Пат. № 29683 Украша, МПК G01N 3/32. Споиб визначення залишкового ресурсу еле-ментв конструкцш за станом деформацшного рельефу поверхш плакуючого шару / 1гнатович С.Р., Карускевич М.В., Карускевич О.М.; Власник НАУ. - № 200709909; заявл. 04.09.2007; опубл. 25.01.2008, Бюл. № 2. - 3 с.: ш.

2. Карускевич М.В. Оцшка довгов1чносп пла-кованих алюмгшевих сплав1в при асиметрично-му циктчному навантажуванш / М.В. Карускевич, А.Д. Погребняк, Т.П. Маслак [та ш.] // В1сник НАУ. - 2009. - С. 52 - 56.

3. Игнатович С.Р. Диагностика усталости плакированных алюминиевых сплавов / С.Р. Игнатович, М.В. Карускевич, О.М. Карускевич, В.М. Пантелеев, // Вестник НТТУ «КПИ»: Машиностроение, - 2002. - 43. - С. 53-55.

4. Игнатович С.Р. Эволюция поврежденности сплава Д-16АТ у концентратора на стадии до зарождения усталостной трещины / С.Р. Игнатович, О.М. Карускевич, М.В. Карускевич // Авиационно-космическая техника и технология: Вып. 4 (12) - Харьков: ХАИ, 2004 - С. 29-32.

5. 1гнатович С.Р. Мониторинг утоми конструк-цшних алюмгшевих сплав1в / С.Р. 1гнатович, М.В. Карускевич, О.М. Карускевич, С.В. Хиж-

s„ =

m

n

s

zx

S„ =

m

m

ISSN 1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2011

- 227 -

няк, O.e. Якушенко /Вкник НАУ -2004. -№1(19).-С.88 - 91.

6. Шкловский Б.И. Электронные свойства легированных полупроводников / Б.И. Шкловский, А.Л. Эфрос. - М.: Наука, 1979.-416 с.

7. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка / А.Л. Эфрос. - М.: Наука, 1982.- 176 с.

8. Кукса Л.В. O законах распределения микродеформаций в двухфазных поликристаллических сплавах при простом и сложном нагружениях / Л.В. Кукса, А.А. Лебедев, Б.И. Ковальчук // Пробл. прочности. - 1986. - № 1. - С. 7-11.

9. Игнатович С.Р. Критические значения концентрации накопленных рассеянных поврежде-

ний / С.Р. Игнатович // Пробл. прочности. - 1995.

- № 4. - С. 61-68.

10. Челидзе Т.Л. Методы теории перколяции в механике разрушения / Т.Л. Челидзе // Механика тв. тела. - 1983. - № 6. - С. 114-123.

11. Кучер А.Г. Математическая модель поверхностного структурного повреждения материала на основе теории перколяции / А.Г. Кучер, А.С. Якушенко, В.Е. Мильцов // Авиационно-космическая техника и технология: Вып. 9 (45)

- Харьков: ХАИ, 2007 - С. 20-30.

12. Петров В.А. О механизме и кинетике макроразрушения / В.А. Петров // Физика тв. тела. -1979. - 2112. - , С. 3681-3686.

Поступила в редакцию 01.06.2011

С.Р. 1гнатович, М.В. Карускевич, 6.С. Дорошенко. Математична модель формуван-ня кластер1в деформацшного рельефу на поверхш плакованого шару конструкцшних алю-мЫевих сплав1в

Процес формування деформацшного рельефу (ДР) на поверхш плакованого шару алюмi-nieeux enmeie описуеться з позицш виникнення та об'еднання класmepiв вторинног фази (ВФ) на плоскихрештках з заданим координацшним числом. Iмoвipнiсна модель, що запро-понована, описуе кыькють класmepiв piзнoi«маси» вiд загальног концентрации чарунок ВФ. Теоретичш результати тдтверджуються даними чисельного експерименту. ОбТрунтований критерш граничног концентрации класmepiв, при якш процес х накопичення виходить на стадЮ насичення. Рoзpаxункoвi ощнки граничног концентрации добре погоджуються з екс-периментальними даними з насичешстю ДР на поверхш плакучого шару при ци^чному навантажуванш.

Ключов1 слова: деформацшнийрельеф, поверхня, ци^чне навантажування, кластери, утома, злиття класmepiв.

S.R. Ignatovich, M.V. Karuskevich, E.Yu. Doroshenko. Mathematical model of the deformation relief clasters formation on the surface of alclad aluminium alloys

The process of the deformation relief (DR) formation on the surface of alclad aluminium alloys is described from the standpoint of nucleation and coalescence of the second phase (SP) clusters on the flat grates with certain co-ordinating number. Proposed probabilistic model describes the number of the clusters with different "mass " on the general concentration of the SP cells. Theoretical results are confirmed by the numeral experiment. The criterion of the maximum clusters concentration that correspondent to the stage of their saturation has been grounded. Estimated by the calculation maximum concentration corresponds with experimental data of the deformation relief intensity on the surface of the clad layer under the cyclic loading.

Key words: deformation relief, surface, cyclic loading, clusters, fatigue, coalescence of clusters.