CC BY
12INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО И КАНАЛЬНОГО УРОВНЕЙ
СЕТИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ У.Б. Амирсаидов https://doi.org/10.5281/zenodo.7856861
Аннотация. Рассматриваются процессы передачи данных, возникновение ошибок битов и повторение ошибочно принятых кадров. Предлагается модель физического и канального уровней сети, определены вероятностно-временных характеристики обслуживания кадров данных при модели Гильберта канала связи.
Ключевые слова: протокол передачи данных, модель потока ошибок, вероятности ошибок битов и кадров, среднее время и коэффициент вариации времени обслуживания кадров.
Введение. В сетях телекоммуникаци на канальном уровне реализуются протоколы передачи данных с обратной связью (HDLC, LAPM, LLC, ARQ), а на физическом уровне реализуются методы помехоустойчивого кодирования. Характеристики канала определяются с помощью моделей потока ошибок. Установление факта группирования ошибок практически во всех реальных каналах стимулировало создание большого числа моделей (Гильберта, простая цепь Маркова, Мюллера, Беннета-Фройлиха, Попова и др.) [1,2]. Экспериментальные данные показывают, что модель Гильберта адекватно описывает группирование ошибок в канале связи [2].
Математическая модель. В соответствии с моделью Гильберта канал связи с вероятностью P находится в хорошем состоянии, а с вероятностью Рь - в плохом
состоянии. Ошибки возникают только в плохом состоянии с вероятностью p (обычно p = 0.5 ). Если канал находится в хорошем состоянии, то в следуешем шаге с вероятностью Р останется в хорошем состоянии, а с вероятностью Р переходит в плохое состояние ( P + Р ъ = 1 ). Если канал находится в плохом состоянии, то в следуешем шаге с вероятностью Р останется в плохом состоянии, а с вероятностью Р переходит в хорошее состояние ( Pbb + Pbg = 1 ). Вероятности состояний определяются по формулам [1]:
P Р
Р - gb Р - bg fn
Pb = P + P ' Pg = P + P ' U)
Pbg ^ Pgb Pbg ^ Pgb
Коэффициент группирования ошибок: K = 1 - Pgb - Pbg.
Вероятность i - кратных ошибок в слове длиной n^. определяется по формуле[1]:
nf
Pf =£ B(j, nf )p(i, j), (2)
j=0
где B( j,n ) - вероятность того, что из n элементов слова j элементов были переданы в плохом состоянии канала; p(i, j) - вероятность i -кратной ошибки, если число элементов в плохом состоянии равно j .
INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL
IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
Кодовые слова по каналу связи поступают на физический уровень принимающей стороны. Здесь производится декодирование и исправление ошибок в слове. Ошибка с кратностью (весом) t^ может быть исправлена при d0 > 2tis +1, где d0 - минимальное кодовое расстояние Хэмминга. Если при декодировании слова исправляются все ошибки кратностью t^, то вероятность ошибочного приема слова равна:
nf
Pof = IPf ■ (3)
i=t. +1
is
Среднее (эквивалентное) значение вероятности ошибки в слове, отнесенное к биту помехоустойчивого кода можно определить в виде: рэ = P0f/nf ■
На канальном уровне из информационных разрядов слов формируется кадр данных с длиной пк. Вероятность возникновения i - кратных ошибок в кадре данных определяется в виде:
Pik = CnkpJ (1 - p3)"к- ■ (4)
Вероятность правильного приема кадра данных равна: Рпп = (1 - Р э ) Пк ■
Вероятность необнаруженной ошибки в кадре данных определяется по приближенной формуле [3]:
1 пк
Рпо «-Т- Icip3 (1 - Рэ)^ , (5)
2 ^
i=d
o
где ^ - количество разрядов CRC. В стандартных протоколах передачи ^ = 16 или Г = 32 .
Вероятность обнаружения ошибки в кадре данных определяется в виде:
Poo = 1 - (Pnn + Pno ) .
Таким образом, после проверки достоверности кадра данных методом сопоставления контрольных сумм с вероятностью P00 обнаруживается наличие ошибки и передается кадр с отрицательной квитанцией длиной икв передающую сторону. В противном случае ( Рии + Pno) передается кадр с положительной квитанцией.
Вероятность (распределения) количества повторов передачи кадра данных определяется в виде:
р(к ) = (1 - Р )Р Кп -1, к = 1, N , (6)
\ П / \ ОО / ОО ' П ' П ' V '
где N - максимальное количество повторов.
Процедура повтора увеличивает общее время обслуживания кадров данных. Производящая функция времени обслуживания кадров с учетом повторов определяется виде:
INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
N
n
Fq5c (г)=^Р(К f (zf (z )], (7)
kn=1
где fk (z) и fKe (z) - производящие функции времени передачи кадра данных и кадра с квитанцией соответственно, и определяются в виде:
f(z) = zmnf , (8)
m m г у ,
fKe (z) = zKBf, (9)
где mk = ]nk/nf[ , mkB = ]nkB/nf[. Подставив (13) и (14) в (12), находим:
Fg(z)= (1 - Poo )fk (z f (z )|l - (Pf (z f (z ))
1 - Poof, (z )fke (z) (10)
Среднее значение и дисперсия времени обслуживания кадров определяются в виде:
T ос = dF°Sc (z) , при z - 1, (11)
dz
d2 Fo6c (z) , dFo6c (z) ( dFo6c (z)
v 2
D =-обсУ 7 +
о c dz2 dz
обс
v dz
, при z = l. (12)
Среднеквадратичное отклонение оо6с и коэффициент вариации времени обслуживания уобс кадров определяются по формулам:
^обс = 4^, Уобс • (13)
Т обс
Взяв производное от Робс (г) и подставив z = 1, находим среднее время обслуживания кадров при Мп =ю :
- П/ (тк + ткв Уо
Т обс =—-, (14)
1 - Р
оо
То = 1/ С - длительность передачи единичного элемента, С- скорость передачи данных.
Численный анализ. Исходными данными для расчета среднего времени и коэффициента вариации времени обслуживания кадров являются: длина кадра данных 2000 бит, длина кадра с квитанцией 40 битов и скорость передачи 64 Кбит /с, различные длины кодовых слов и параметры модели Гильберта.
На рисунке 1 приведен график зависимости среднего времени обслуживания кадров от длины кода при различных коэффициентах группирования ошибок.
478
INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
0.048 f-
0
& 0.046 -
ч:
га
к 0.044 -
s
1
i 0.042 -
H
§ 0.04 -
0
1 0.038 -
<u
« 0.036 -
<u <u
ч 0.034 -
CJ
o.
О
0.032
0
1- Pgg=0.999; Pbb=0.95; Kgr=0.949
2- Pgg=0.999; Pbb=0.99; Kgr=0.998
2
50 100 150 200 Длина кода, бит
250
300
Рис.1. Зависимость среднего времени обслуживания кадров от длины кода при различных параметрах модели канала связи Гильберта Из рисунка 1 следует, что с увеличением длины кода и коэффициента группирования ошибок среднее время обслуживания кадров повышается.
На рисунке 2 приведен график зависимости коэффициента вариации времени обслуживания кадров от длин кода при различных параметрах модели Гильберта.
0.03 Vo6c 0.028
0.026
0.024
0.022
0.02
0.018
0.016
1- Pgg=0.999; Pbb=0.95;Kgr=0.948 У
2-Pgg=0.999;Pbb=0.99;Kgr=0.998 у -
* У
' 2
/ / 1
' /
0
50
100 150 200 Длина кода, бит
250
300
Рис. 2. Зависимости коэффициента вариации времени обслуживания кадров от
длины кода
Из рисунка 2 следует, что закон распределения времени обслуживания кадров не является экспоненциальным, так как коэффициент вариации времени обслуживания кадров меньше 1. Поэтому процесс передачи кадров описывается с помощью модели системы массового обслуживания с произвольным (О) распределением времени обслуживания М/О/1 [4]. При этом среднее время ожидания кадров в буфере определяется по формуле Полячека-Хинчина [5]:
W =
ÄT обс 2(1 + vo6c 2)
2(1 -р)
где р = А/ /и = XT обс < 1 - загрузка системы.
(15)
INTERNATIONAL SCIENTIFIC AND TECHNICAL CONFERENCE "DIGITAL TECHNOLOGIES: PROBLEMS AND SOLUTIONS OF PRACTICAL IMPLEMENTATION IN THE SPHERES" APRIL 27-28, 2023
Среднее время задержки (пребывания) кадров в звене передачи определяется в виде: т ш^т ЛТобс2(1 + у2) ^т
Тшд = W + Т обс = -—---+ Т обс ■ (16)
2(1 -Р)
На рисунке 3 приведен график зависимости среднего времени задержки кадров от загрузки системы.
Загрузка
Рис. 3. Зависимость среднего времени задержки кадров от загрузки системы при различных параметрах модели канала связи Гильберта
Из рисунка 3 следует, что с увеличением загрузки системы и коэффициента группирования ошибок среднее время задержки кадров повышается.
Заключение. Полученные аналитические выражения служат для решения задач выбора оптимальных параметров физического и канального уровней, обеспечивающих эффективность функционирования звена передачи данных сети телекоммуникации при заданных параметрах канала связи.
REFERENCES
1. Мелентьев О.Г. Теоретические аспекты передачи данных по каналам с группирующимися ошибками / Под ред. проф. В.П.Шувалова.- М.: Горячая линия -Телеком, 2007. - 232 с.
2. Сущенко С.П. Математические модели компьютерных сетей.- Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2017.- 272 с.
3. Зелигер Н.Б., Чугреев О.С., Яновский Г.Г. Проектирование сетей и систем передачи дискретных сообщений: Учебное пособие для вузов.- Радио и связь, 1984.-176 с.
4. Ложковский А.Г. Теория массового обслуживания в телекоммуникациях.- Одесса: ОНАС им. А С. Попова, 2012. - 112 с.
5. Алиев Т.И. Основы моделирования дискретных систем. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. -363с.
