Математическая модель физически нелинейных крутильных колебаний круглого упругого стержня Текст научной статьи по специальности «Физика»

2023

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 84

Научная статья УДК 539.3

doi: 10.17223/19988621/84/12

Математическая модель физически нелинейных крутильных колебаний круглого упругого стержня

Хайрулла Худойназаров

Самаркандский государственный университет, Самарканд, Узбекистан, [email protected]

Аннотация. Разработана математическая модель нестационарных крутильных колебаний круглого упругого стержня с учетом нелинейного закона упругости Г. Каудерера. Нелинейное уравнение движения упругого тела для случая крутильных колебаний стержня приведено к двум линеаризованным уравнениям в преобразованиях. Выведено физически нелинейное уравнение крутильных колебаний стержня, из которого в частном случае можно получить некоторые известные физически нелинейные уравнения колебания. Разработан алгоритм, позволяющий по полю искомых функций однозначно определить напряженно-деформированное состояние точек произвольного сечения стержня по пространственным координатам и времени.

Ключевые слова: математическая модель, нестационарность, крутильные колебания, нелинейные уравнения, физическая нелинейность, напряжения, перемещение

Для цитирования: Худойназаров Х. Математическая модель физически нелинейных крутильных колебаний круглого упругого стержня // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 84. С. 152-166. doi: 10.17223/19988621/84/12

Original article

A mathematical model of physically nonlinear torsional vibrations of a circular elastic rod

Khayrulla Khudoynazarov

Samarkand State University, Samarkand, Uzbekistan, [email protected]

Abstract. A mathematical model of non-stationary torsional vibrations of a circular elastic rod is developed taking into account the Kauderer nonlinear law of elasticity. To solve this problem, the nonlinear equation of motion of an elastic body with torsional vibrations of a rod is reduced to two linear Bessel equations (homogeneous and inhomogeneous) in transformations. Considering general solutions of the obtained equations with zero initial and given boundary conditions on the surface of the rod,

© Х. Худойназаров, 2023

a refined physically nonlinear equation of torsional vibrations of the rod made of homogeneous and isotropic material is derived. In particular, this equation may be used to obtain some well-known classical oscillation equations. An algorithm is proposed that allows one to determine the stress-strain state of the points along an arbitrary cross-section of the rod in terms of space and time coordinates using the field of the desired functions. Some special cases resulting from the obtained results are analyzed. In particular, by reducing the expressions of Bessel functions in the form of power series to the first few terms, an approximate equation of the circular rod oscillations is derived. Comparative analysis of findings and available data of other authors shows that the obtained equation generalizes the well-known classical linear equation and nonlinear equations of G. Kauderer and Professor I.G. Filippov. Based on the proposed equation and formulas for stresses and displacement, the applied problem of physically nonlinear torsional vibrations of a circular elastic rod under end and surface loads is solved. Keywords: mathematical model, non-stationary, torsional vibrations, nonlinear equations, physical nonlinearity, stresses, displacement

For citation: Khudoynazarov, Kh. (2023) A mathematical model of physically nonlinear torsional vibrations of a circular elastic rod. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo univer-siteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 84. pp. 152-166. doi: 10.17223/19988621/84/12

Введение

Цилиндрические оболочки и круглые стержни являются одними из основных элементов различных инженерных конструкций [1] , и исследования их нелинейного динамического поведения имеют важное прикладное значение [2, 3]. Такие элементы в процессе эксплуатации часто находятся под воздействием динамических нагрузок, которые приводят к их нестационарным колебаниям [4, 5]. Как отмечено М. Амабили [6], В.И. Цурпаль [7] и другими исследователями, линейные теории не всегда достаточно точно описывают такие колебательные процессы, и поэтому для их исследования применяются различного рода нелинейные (геометрически и физически) теории [8, 9]. При этом во многих нелинейных задачах механики деформируемых твердых тел учитывается геометрическая нелинейность [10]. При сравнительно больших напряжениях, когда деформации остаются малыми, имеют место нелинейные зависимости между компонентами тензоров напряжений и деформаций [11].

Вопросам нестационарных колебаний элементов инженерных конструкций с учетом физической нелинейности в целом посвящено небольшое количество работ [12]. При исследовании динамического поведения элементов инженерных конструкций имеет важное значение разработка математических основ изучения процесса [13, 14]. Сюда примыкают и исследования крутильных колебаний цилиндрических оболочек и стержней, которые наряду с их продольными и поперечными колебаниями имеют важные приложения в стержневых системах. Так, в работах В.И. Ерофеева и соавт. [15] предложены математические модели, обобщающие уравнения крутильных колебаний стержней Кулона и Власова с учетом геометрической нелинейности. В общем случае нелинейность учитывается как в системе перемещений, так и в соотношениях, связывающих перемещения и деформации.

Трехслойные конструкционные элементы широко применяются в авиа- и судостроении, строительстве зданий и сооружений, космической промышленности и других отраслях. Поэтому актуальной является проблема разработки эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния трехслойных элементов конструкций, а также обобщения классических теорий с применением уточненных моделей, включая нелинейные, отражающие динамическое поведение современных материалов. В этом плане в работе А.В. Кудина и соавт. [16] приведен вариант уравнений изгиба трехслойных пластин симметричного строения с изотропными наружными слоями и физически нелинейно-упругим изотропным материалом заполнителя. Разработана трехмерная конечно-элементная модель трехслойной пластины, на основе которой получены численные оценки параметров состояния трехслойной конструкции.

Одной из основных проблем в исследовании динамического поведения оболочек и стержней является выбор уравнений колебания, который должен осуществлятся, исходя из конкретных физико-механических свойств их материалов [17]. Поэтому во многих случаях исследователям приходится разрабатывать подходящие уравнения колебания [18]. Естественно, при этом используются различные методы вывода уравнений. К одному из таких методов относится метод использования общих решений в преобразованиях трехмерных задач теории упругости [19, 20]. Сущность метода сводится к изучению построенных решений при различных типах внешних воздействий [21, 22] и выяснению условий, при выполнении которых смещения или их «главные части» удовлетворяют несложным уравнениям колебания, а также к нахождению алгоритма, позволяющего по полю этих «главных частей» вычислять приближенные значения полей смещений и напряжений в любом сечении для произвольного момента времени.

Таким образом, можно утверждать, что в настоящее время существует незначительное количество работ, посвященных практически важной задаче исследования физически нелинейных, нестационарных колебаний цилиндрических оболочек и стержней. Поэтому актуальной является проблема [13, 14] усовершенствования существующих и создания новых моделей динамического расчета таких систем, находящихся под действием динамических нагрузок с учетом свойств физической нелинейности их материала. Цель данной работы - вывод физически нелинейных уравнений колебания кругового упругого стержня, разработка алгоритма определения напряженно-деформированного состояния (НДС) произвольной его точки, а также решение прикладной задачи о физически нелинейных нестационарных колебаниях такого стержня на основе полученных уравнений колебания и формул для определения НДС.

Постановка задачи

В цилиндрической системе координат (r, 6, z) рассматривается однородный и изотропный упругий стержень кругового поперечного сечения радиуса r0. Считается, что стержень имеет неограниченную длину. Для исследования крутильных колебаний такого стержня принимаются уравнения движения упругого тела. Известно [21], что при решении осесимметричных задач о нестационарных колебаниях круговых цилиндрических оболочек и круглых стержней задачу о их

крутильных колебаниях можно исследовать отдельно от задачи о их продольно -радиальных колебаниях. Поэтому крутильные колебания круглого стержня описываются уравнением

да„ да 2а,

= Р-

д иа

(0 < г < г0).

(1)

дг дг г ' дt2 Далее будем считать, что крутильные колебания рассматриваемой оболочки возбуждаются внешним усилием, действующим на внешней поверхности (г = го), т.е. граничное условие задачи при г = г0 имеет вид:

аге (г0> t) = Ле(t) > а/е(г0>t) = (2)

Начальные условия нулевые.

В случае крутильных колебаний круглого упругого стержня нелинейный закон упругости между ненулевыми компонентами тензоров напряжений и деформаций принимает вид:

2 — (

3

2

аге = в

рге + 2 (2 (

3 2

= в

+ ^ 2 (

е2„ е„

здесь а - малый параметр, у 2 - параметр нелинейности [11],

ди и диа

(3)

(4)

дг г дг

Таким образом, задача о нелинейных крутильных колебаниях круглого упру гого стержня приводится к интегрированию уравнений движения (1) при нелинейном законе упругости (4) с граничными (2) и нулевыми начальными условиями.

Методика решения

Выводим уравнения физически нелинейных крутильных колебаний круглого стержня. Подставляя выражения (3) в уравнения движения (1), получим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно дефор-

А0 (рге>рге) + аУ2 [А°(Вге,рге)+ рге + рге

дг дг

Р д 2 и е в дГ2

(5)

где

А0(рг

} = деге , деге ,

е дг дг

2б„

Разложим деформации и перемещение, входящие в уравнение (5), в степенные ряды по степеням малого параметра а. Далее из-за малости перемещения и деформаций членами, содержащими квадрат малого параметра и выше, можно пренебречь, т.е. представим деформации и перемещения в виде:

(0)

р = р ■

,(1)

и е = и е0).

-аи'.

(1)

ре , и е и е +аи е , (6)

где индекс i принимает значения г или г. Подставив (6) в уравнения (5), получим следующее уравнение относительно деформации:

а

маций р е и р е

г

Ac (e£}, в<0е') + aA0 (e«, 8«) + ay2 {f + F2 + a [ + F + (e« ) v0 ] -

( д2 U{0 д2 иЧ

+ a-

5 t2

д t2

(7)

(i = r, z).

Здесь

F

-(e(°) e(°)) = £ 1 ^ ere , eze j ~

^SeC Se(0)

re + + £ e5)

Sr Sz

(еГ?)2 +(eZ0e))2

F

(e^, eZe)) = (ere))2 f^e^

.(0)

^el? Se^ /

Sz Sr

v у

■(ez:-)'

F (e(0) e'0)) =

F (ere , eze )

Sr

^ , ^(0) 1^(0^(1) ^(0^(1) )

Sz

dr

>)(e

,(0)

„ ^-e^ 11 e(.;)e(;) +e(;)e(; Sz r

F4 (eie),eZe)) = e'

_c(°)

2e

(i)

Se'

(0)

Sr

- + e

(0) Se(r'e)

Sr

(1) (0) (0) (1)

Sel? Se

+ + e\/e

(0) A

Sz Sr

+e(0)e(0) +eze ere

(SeiD Se'

(i)A

Sz Sr

+ e

(0)

2e

(i)

Se

(0)

Sz

- + e

(0) Seze) A

Sz

Пренебрегая опять членами, содержащими квадрат малого параметра, из (7) получим

^ 2иС) д 2ирП

A0 (er0e),ez°e)) + a[A0 (e«,ef^ + r2 (F + F2)]

G

St2

- + a-

St2

Отсюда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра а, будем иметь следующие уравнения:

А и<0)= 0, (8)

где

Аи«+У 2 Г ($, 8£>) = 0, (9)

Г (8?,8^) = Г (в^,«£>) + F2 ,в!?),

Л д2 1 д д2 1

А = —- +--+ —— — .

дг г дг дг г

Таким образом, получено два линейные уравнения, одно из которых однородное, а другое неоднородное. При этом правая часть неоднородного уравнения (9) определяется по результатам решения линейного уравнения (8).

Для решения уравнений (8), (9) функции внешних воздействий в граничных условиях будем считать принадлежащими к классу функций, представимых в виде [22]:

/го (г, t) = } [йк I £> (к, Р) (10)

(i)

3

+

0

где (l) - разомкнутый контур в плоскости р, прилегающий справа к участку (-/ю0, /ю0) мнимой оси. Кроме того, функции /е (k, p), которые необходимы при

выводе уравнений колебания, пренебрежимо малы вне области k < k0, |lmp| < ю0.

Представив перемещение U(0 также как (10), обозначив при этом его изображение через Ug0' и применив к уравнению (8), получим обыкновенное дифференциальное уравнение Бесселя, общее решение которого равно

Uf>( г ) = С/, (ßr), ß2 = Р- + k2, b2 = G/p

2 _ ^ , 72 b2

(11)

где С - постоянная интегрирования; ^ (рг) - функция Бесселя; Ь - скорость поперечных волн. Используя стандартные разложения функции Бесселя в степенной ряд по степеням радиальной координаты, вводя новую искомую функцию по формуле

U (p, k ) = I ßC

(12)

и ограничиваясь первым приближением в бесконечной сумме степенного ряда, для преобразованного по (10) перемещения ид0), получим

U<0)( г, z, t )= г + V X|U (z, t)

(13)

где функция и (г, t) является оригиналом функций и (р, к), а оператор X определяется как [23]

i sin kz

(14)

Х" и(^t)Ы_С05кг}dk|р2и [и(p,к)]ер^р.

При этом, исходя из вида (11) для р, нетрудно заключить что оператор X в переменных (2, /) имеет вид:

vw b2 dt2 dz2

(15)

Аналогично для и(1) (г, г, t) решается однородная часть уравнения (9). Далее для решения неоднородного уравнения применен метод вариации постоянных и найдено

и«(г, г, 0 = \г2¥ [иГ]. (16)

Формулы (13) и (16) позволяет находить перемещение ие (г, г,t), а через него и деформации 8Г0 и Бг8, подстановка которых в граничные условия (2) приводит к следующему уравнению:

( у- ^

XU + X2U 6

, 2

1 +_у 2

3

(

dU dz

5г 6

5,0 196

-X 2U

dU dz

-Л

4 /Дz, t)

G

(17)

Уравнение (17), в соответствии с (15), представляет собой уравнение физически нелинейных крутильных колебаний круглого упругого стержня. Это уравнение зависит от оператора X и главной части и(г, t) крутильного перемещения ие (г, г, t)

точек оси стержня. При этом, в соответствии с выражением крутильного перемещения (13), функция и (г, t) имеет размерность деформации и в случае первого приближения в (13) является углом поворота. Кроме того, уравнение (17) в своей структуре учитывает деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения, а также правильно учитывает силы, действующие на внешнюю поверхности стержня.

Для сравнительного анализа в уравнении (17) целесообразно пренебречь членами с производными четвертого и выше порядков, что дает

XU-3Y 2 r0

dui ж i xu

dU dz

dz2

dz

= ГЛ z, t) •

Gr

(18)

Рассмотрим некоторые частные случаи, следующие из уравнения (18). 1. Если в уравнении (18) пренебречь вторым слагаемым в квадратных скобках, то следует уравнение И.Г. Филиппова [24]

_L d!U b2 dt2 "

! 2 2,dU

1 + tY 2Г02 I^T-

3

dz

^_4_f ( ч

dz2 Gr2 Ле(z' *) •

(19)

2. Если положить у2 = 0 и учесть выражение (15), то из (18) следует известное классическое линейное уравнение крутильных колебаний кругового стержня.

3. Если заменить числовой коэффициент 2/3 при нелинейном члене уравнения (19) на 4/3 и положить /г0 (г, t) = 0, то следует уравнение Г. Каудерера [11] с отличной от (19) правой частью.

Наряду с уравнением колебания выведены формулы для перемещения и ненулевых компонент напряжения, которые имеют вид:

/ ч r5 (dUI

U0(r,z,*) = rU -aY2-[-J

2 d2U

dz2

CTz0 (r, z, t) = G I r--aY2--

z0V ' I dz 2 36 dz

dU "dz"

2

dz2

,(r, z, t ) = GXU-aY2 f

dU dz

2 ^ -1 (dU 1 xu

dz2 2 [ dz

Ниже решена задача о физически нелинейных колебаниях кругового стержня, находящегося под действием комбинированной нагрузки, на основе указанных четырех уравнений.

Нелинейные колебания стержня под действием торцевой и поверхностной нагрузок

Стержень с одним защемленным и другим свободным концами подвергается действиям кинематического возбуждения g(t) на свободном конце и динамической нагрузки fе (z, t) = const на поверхности. Требуется определить перемещение

и напряжения в точках стержня. Решим задачу на основе различных уравнений (линейного, Г. Каудерера, И.Г. Филиппова и предложенного (17)) с одинаковыми

правыми частями, равными (4/От2) (г, г). Предварительно все четыре уравнения переводятся в безразмерные координаты по формулам и = и *, г = (!/Ь) г",

0 < г < 1, г = г'1, 0 < г* < 1 (I - длина стержня). В дальнейшем для удобства записи звездочки над буквами опускаются. Уравнения (18), (19) и их указанные частные случаи имеют второй порядок по производным. Поэтому граничные условия задачи для всех рассматриваемых уравнений имеют вид:

и(2, г)|г=о = я (г), и(г, г)|г=1 = о, (20)

Начальные условия считаются нулевыми, т.е.

ди (г, г)

U (Z't) =0 = 0

dt

= 0, 0 < z < 1.

(21)

Функция g(t) принимается в виде g (t ) = A sin (л t), где A = const. Интенсивность поверхностной нагрузки определена как /гв(z,t) = pS6oK, где P = const, S6oK = 2л1го.

Задача решена численно методом конечных разностей. Для расчетов приняты следующие значения параметров алюминиевого сплава Д16Т [7, 16]: у2 =-0.3878-106, G = 0.277-105ЫПа, р = 2780 кг/м3, l = 1 м; Г0 = 0.02 м, A = 0.4 • 10-3. Полученные результаты приведены на рис. 3 в виде зависимостей крутильного перемещения U0 и касательных напряжений ar0 (r, z, t), gz0( r, z, t) от времени и продольной координаты.

Рис. 1. Зависимости перемещения Ue от безразмерного времени в поверхностных точках стержня в сечении z = 0.6 согласно различным уравнениям Fig. 1. Dependences of displacement Ue on dimensionless time at the surface points of the rod along the cross-section z = 0.6 according to various equations

На рис. 1 приведены зависимости от времени перемещения Ue точек на поверхности стержня в сечении z = 0.6 по уравнениям Г. Каудерера, И.Г. Филиппова,

t=0

по предлагаемому уравнению (17), а также по классическому линейному уравнению. Из представленных графиков следует, что наибольшие значения перемещения дает линейное уравнение, а наименьшее - уравнение Г. Каудерера. Значения, полученные на основе уравнения (17), лежат в промежутке между значениями, полученными по результатам решения уравнения Г. Каудерера и линейного уравнения. Результаты, полученные по уравнению И.Г. Филиппова, очень близки к полученным на основе решения линейного уравнения. При этом, например, в момент времени / = 0.8, значения Пв по линейной теории отличаются от значений по Г. Каудереру на 47%, по уравнению (17) на 20.2%, по И.Г. Филиппову на 2.5% (таблица). Следует отметить, что указанные разницы значений перемещения, вычисленных на основе различных теорий, зависят от времени и для различных моментов времени различны.

Значения перемещения и в поверхностных точках стержня в сечении г = 0.6, вычисленные по различным уравнениям

t Линейное Г. Каудерер И.Г. Филиппов Уравнение (17)

(Y2 = 0) (Y2 Ф 0) (Y2 Ф 0) (Y2 Ф 0)

0 0 0 0 0

0.1 0.00011 0.00011 0.00011 0.00011

0.2 0.00036 0.00036 0.00036 0.00036

0.3 0.00075 0.00075 0.00075 0.00075

0.4 0.00129 0.00129 0.00129 0.00129

0.5 0.00194 0.00194 0.00194 0.00194

0.6 0.00258 0.00258 0.00258 0.00258

0.7 0.00938 0.00599 0.00917 0.00696

0.8 0.01542 0.01049 0.01504 0.01283

0.9 0.02017 0.01554 0.01965 0.01936

1 0.02319 0.02090 0.02261 0.02337

0,000004 0,000003 0,000002 0,000001 о

0,000001 -0,000002 -0,000003 -0,000004

==0,2

1- линейное ур-е

2- келинешюе ур-е

) 0 2 0,4 А 6 0 8 :

1

Рис. 2. Зависимости напряжения <ze от безразмерного времени в точках

сечения z = 0.2 по линейному и по предлагаемому (17) уравнениям Fig. 2. Dependences of stress <ze on dimensionless time at the points along the cross-section z = 0.2 according to linear and proposed (17) equations

На рис. 2. приведены зависимости от безразмерного времени напряжения Стгв в точках сечения г = 0.2 на поверхности стержня по предлагаемому нелинейному (17) и по классическому линейному уравнениям. Из представленных графиков следует, что разница между максимальными амплитудами напряжения при / = 0.2 составляет 63%. Значения этого напряжения, вычисленные по линейной теории (по абсолютному значению) выше, чем вычисленные по нелинейной теории. Возбуждение напряжения Стгв в сечении г = 0.2 начинается в момент времени / = 0.15 и в дальнейшем носит синусоидальный характер.

z=0.6

5,74827 5,74822 5,74817 - 5,74812 ц, 5,74807 5,74802 5,74797 5,74792 5,74787

1- линейное ур-е

2- нелинейное ур-е

1 ___

2

0,2

0,4

Г

0,6

0,8

Рис. 3. Зависимости напряжения стге от безразмерного времени в поверхностных точках сечения z = 0.6 по линейному и предлагаемому (17) уравнениям Fig. 3. Dependences of stress стге on dimensionless time at the surface points along the cross-section z = 0.6 according to linear and proposed (17) equations

На рис. 3. приведены зависимости напряжения стИз от безразмерного времени в поверхностных точках сечения z = 0.6 по линейному и предлагаемому нелинейному (17) уравнениям. Из графиков видно, что в сечении стержня z = 0.6 возбуждение напряжения стИз начинается примерно в момент времени t = 0.40, но в отличие от напряжения CTze не носит синусоидального характера. При этом графики напряжения стИз по обоим теориям имеют локальные максимумы и минимумы. Из представленных графиков видно, что напряжение стие возбуждается под действием поверхностной силы и имеет постоянное значение, равное 5.748G-106, которое остается почти неизменным, пока волна кручения, возбужденная торцевой нагрузкой, не доходит до сечения. С подходом волны к сечению в момент времени t = 0.4 значения стИз начинают увеличиваться и примерно в момент времени t = 0.8, как по линейной, так и по нелинейной теории, достигают своего максимума. Следует отметить, что различие максимальных значений по линейной и нелинейной теориям невелико.

На рис.4 приведены зависимости напряжения стИз от координаты в момент t = 0.4 по линейному и по предлагаемому (17) нелинейному уравнениям. Представленные графики показывают, что напряжение затухает по координате относительно быстро согласно обеим теориям.

5,74815 5,7481

^ 5,74805

t= 0,4

¿г

5,748 5,74795 5,7479 5,74785 5,7478

1- линейное ур-е

„ 1 2- нелинейное ур-е

1 t Л \\

1/ ^

У 2

г

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 4. Зависимости напряжения <ге от координаты в момент t = 0.4 по линейному и предлагаемому (17) уравнениям Fig. 4. Dependences of stress <re on the coordinate at a time instant of t = 0.4 according to linear and proposed (17) equations

Возбужденное в сечении z = 0 (свободный торец) напряжение полностью затухает в сечении z = 0.4. При этом линейная теория дает завышенные результаты. В дальнейшем, при z > 0.4, обе теории дают одинаковый результат, и изменениями напряжения можно пренебречь.

Заключение

В результате проведенного исследования получены следующие результаты:

- выведены физически нелинейные уравнения крутильных колебаний круглого упругого стержня относительно главной части крутильного перемещения оси стержня, из которых в частном линейном случае следуют результаты работы [21];

- получены формулы для напряжений и перемещения, позволяющие в произвольной точке стержня произвести нелинейный расчет напряженно-деформированного состояния стержня с требуемой точностью по пространственным координатам и времени. В линейном случае данные формулы переходят в известные [24];

- на примере решения на основе полученных нелинейных уравнений прикладной задачи о физически нелинейных колебаниях круглого стержня под действием торцевой и поверхностной нагрузок показано, что линейная теория дает завышенные значения крутильного перемещения и касательных напряжений по сравнению с нелинейной теорией, что согласуется с результатами работ [11, 16];

- разницы значений перемещения, полученные на основе уравнений различных теорий, для различных моментов времени различны. Например, в момент времени / = 0,8, значение Пв, вычисленное по линейной теории, больше значения, вычисленного по предлагаемому уравнению, на 20,2%;

- значения перемещения и напряжений, вычисленные по линейной теории, можно принять как верхние границы значений по сравнению со значениями, вычисленными по нелинейной теории. Данное утверждение подтверждает вывод, сделанный в работе [7] для значений прогиба пластины, вычисленных по линейной и нелинейной теориям.

Список источников

1. Худаяров Б.А., Комилова К.М. Численное моделирование колебаний вязкоупругих тру-

бопроводов, транспортирующих двухфазную среду в режиме пробкового течения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 61. С. 95-110. doi: 10.17223/19988621/61/9

2. Худойназаров Х.Х., Халмурадов Р.И., Ялгашев Б.Ф. Продольно-радиальные колебания

упругой цилиндрической оболочки с вязкой сжимаемой жидкостью // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 69. С.139-154. doi: 10.17223/19988621/69/11

3. Khudoynazarov Kh., Abdurazakov J., Kholikov D. Nonlinear torsional vibrations of a circular

cylindrical elastic shell // AIP Conference Proceedings. 2022. V. 2637. Art. 020003. doi: 10.1063/5.0118844

4. Awrejcewicz J., Krysko V.A. Nonlinear coupled problems in dynamics of shells // International

Journal of Engineering Science. 2003. V. 41. P. 587-607.

5. Khudoynazarov K., Yalgashev B. Longitudinal vibrations of a cylindrical shell filled with

a viscous compressible liquid // E3S Web of Conferences. 2021. V. 264. Art. 02017. doi: 10.1051/e3sconf/202126402017

6. Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. New York : Cambridge

University Press, 2008. 374 p.

7. Цурпаль И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев :

Техника, 1976. 176 с.

8. Петров В.В. Расчет неоднородных по толщине оболочек с учетом физической и геомет-

рической нелинейностей // Academia. Архитектура и строительство. 2016. № 1. C. 112117.

9. Khudoynazarov Kh., Kholikov D., Abdurazakov J. Torsional vibrations of a conical elastic

shell // AIP Conference Proceedings. 2022. V. 2637. Art. 030024. doi: 10.1063/5.0118846

10. Khalmuradov R., Nishonov U. Nonlinear deformation of circular discrete ribbed plate under influence of pulse loading // E3S Web of Conferences. 2021. V. 264. Art. 02018. doi: 10.1051/e3 sconf/202126402018

11. Каудерер Г. Нелинейная механика : пер. с нем. М. : Изд-во иностр. лит., 1961. 777 с.

12. Pellicano F. Vibrations of circular cylindrical shells: theory and experiments // Journal of Sound and Vibration. 2007. V. 303. P. 154-170.

13. Khodzhaev D.A., Abdikarimov R.A., Mirsaidov M.M. Dynamics of a physically nonlinear viscoelastic cylindrical shell with a concentrated mass // Magazine of Civil Engineering. 2019. V. 91 (7). P. 39-48. doi: 10.18720/MCE.91.4

14. Бакушев С.В. Разрешающие дифференциальные уравнения физически-нелинейной теории упругости в напряжениях для плоской деформации // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 63. C. 72-86. doi: 10.17223/19988621/63/7

15. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Крутильные волны конечной амплитуды в упругом стержне // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 6. C. 157-163.

16. Кудин А.В., Тамуров Ю.Н. Применение метода малого параметра при моделировании изгиба симметричных трехслойных пластин с нелинейно-упругим заполнителем // Вюник Схщноукрашського нацюнального унгверситету iм. Володимира Даля. 2011. № 11 (165). С. 32-40.

17. Вячкин Е.С., Каледин В.О., Решетникова Е.В., Вячкина Е.А., Гилева А.Е. Разработка математической модели статического деформирования слоистых конструкций с несжимаемыми слоями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. С. 72-83. doi: 10.17223/19988621/55/7

18. Бакушев С.В. Дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды для плоской деформации в декартовых координатах при биквадратичной аппроксимации замыка-

ющих уравнений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 76. С. 70-86. doi: 10.17223/19988621/76/6

19. Khudoynazarov Kh.Kh. Transversal vibrations of thick and thin cylindrical shells, interacting with deformable medium // Shell structures. Theory and applications : Proc. of the 8th international conference on shell structures (SSTA 2005), 12-14 October 2005, Jurata, Gdansk, Poland. London : Taylor & Francis Group, 2006. P. 343-347.

20. Filippov I.G., Kudajnazarov K. Boundary value problems of longitudinal oscillations of the circular cylindrical shells // Gongye Jianzhu. Industrial Construction. 1998. V. 28 (12). P. 34-40.

21. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах. М. : Произв.-издат. комбинат ВИНИТИ, 2007. 429 с.

22. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследования по упругости и пластичности. Л. : Изд-во ЛГУ, 1966. Вып. 5. C. 3-33.

23. Khudoynazarov Kh., Gadayev A., Akhatov Kh. vibrations of a rotating viscoelastic rod // E3S Web of Conferences. 2023. V. 365. Art. 02016. doi: 10.1051/e3sconf/ 202336502016

24. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М. : Машиностроение. 1983. 270 с.

References

1. Khudayarov B.A., Komilova K.M. (2019) Chislennoe modelirovanie kolebaniy vyazkouprugikh

truboprovodov, transportiriyushikh dvukhfaznuyu sredu v rezhime probkovogo techeniya [Numerical simulation of vibrations of viscoelastic pipelines conveying two-phase medium in a slug flow regime]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 61. pp. 95110. doi: 10.17223/19988621/61/9 '

2. Khudoynazarov Kh.Kh., Khalmuradov R.I., Yalgashev B.F. (2021) Prodol'no-radial'nye

kolebaniya uprugoy tsilindricheskoy obolochki s vyazkoy szhimaemoy zhidkost'yu [Longitudinal-radial vibrations of a elastic cylindrical shell filled with a viscous compressible liquid]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 69. pp. 139-154. doi: 10.17223/1998 8621/69/11

3. Khudoynazarov Kh., Abdurazakov J., Kholikov D. (2022) Nonlinear torsional vibrations of

a circular cylindrical elastic shell. AIP Conference Proceedings. 2637. Article 020003. doi: 10.1063/5.0118844

4. Awrejcewicz J., Krysko V.A. (2003) Nonlinear coupled problems in dynamics of shells.

International Journal of Engineering Science. 41. pp. 587-607. doi: 10.1016/S0020-7225(02)00279-3

5. Khudoynazarov K., Yalgashev B.F. (2021) Longitudinal vibrations of a cylindrical shell filled

with a viscous compressible liquid. E3S Web of Conferences. 264. Article 02017. doi: 10.1051/e3sconf/202126402017

6. Amabili M. (2008) Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates. New York: Cam-

bridge University Press.

7. Tsurpal I.A. (1976) Raschet elementov konstruktsiy iz nelineyno-uprugikh materialov [Calcu-

lation of structural elements made of nonlinear elastic materials]. Kyiv: Tekhnika.

8. Petrov V.V. (2016) Raschet neodnorodnykh po tolshchine obolochek s uchetom fizicheskoy

i geometricheskoy nelineynostey [Calculation of inhomogeneous thickness of shells with considering physical and geometrical nonlinearities]. Akademiya arkhitektury i stroitel'stva -Academia Architecture and Construction. 1. pp. 112-117.

9. Khudoynazarov Kh., Kholikov D., Abdurazakov J. (2022) Torsional vibrations of a conical

elastic shell. AIP Conference Proceedings, 2637. Article 030024. doi: 10.1063/5.0118846

10. Khalmuradov R., Nishonov U. (2021) Nonlinear deformation of circular discrete ribbed plate under influence of pulse loading. E3S Web of Conferences. 264. Article 02018. doi: 10.1051/e3sconf/202126402018

11. Kauderer H. (1958) Nichtlineare Mechanik. Berlin: Springer-Verlag.

12. Pellicano F. (2007) Vibrations of circular cylindrical shells: theory and experiments. Journal of Sound and Vibration. 303. pp. 154-170. doi: 10.1016/j.jsv.2007.01.022

13. Khodzhaev D.A., Abdikarimov R.A., Mirsaidov M.M. (2019) Dynamics of a physically nonlinear viscoelastic cylindrical shell with a concentrated mass. Magazine of Civil Engineering. 91(7). pp. 39-48. doi: 10.18720/MCE.91.4

14. Bakushev S.V. (2020) Razreshayushchie differentsial'nye uravneniya fizicheski nelineynoy teorii uprugosti v napryazheniyakh dlya ploskoy deformatsii [Resolving differential equations of physically nonlinear theory of elasticity in terms of stresses for a plane strain]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 63. pp.72-86. doi: 10.17223/19988621/63/7

15. Erofeev V.I., Kazhaev V.V., Semerikova N.P. (2007) Krutil'nye volny konechnoy amplitudy v uprugom sterzhne [Torsional waves of finite amplitude in an elastic rod]. Izvestiya Ros-siyskoy Akademii Nauk. Mekhanika tverdogo tela - Mechanics of Solids. 6. pp. 157-163.

16. Kudin A.V., Tamurov Yu.N. (2011) Primenenie metoda malogo parametra pri modelirovanii izgiba simmetrichnykh trekhsloynykh plastin c nelineyno-uprugim zapolnitelem [Application of the small parameter method in modeling the bending of symmetrical three-layer plates with a nonlinear elastic filler]. Bulletin of the Volodymyr Dahl East Ukrainian National University. 11(165). pp 32-40.

17. Vyachkin E.S., Kaledin V.O., Reshetnikova E.V., Vyachkina E.A., Gileva A.E. (2018) Raz-rabotka matematicheskoy modeli staticheskogo deformirovaniya sloistykh konstruktsiy s neszhimaemymi sloyami [Mathematical modeling of static deformation of a layered construction with incompressible layers]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 55. pp.72-83. doi: 10.17223/19988621/55/7

18. Bakushev S.V. (2022) Differentsial'nye uravneniya ravnovesiya sploshnoy sredy dlya ploskoy deformatsii v dekartovykh koordinatakh pri bikvadratichnoy approksimatsii zamykayushchikh uravneniy [Differential equations of continuum equilibrium for plane deformation in Cartesian axials at biquadratic approximation of closing equations]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 76. pp. 70-86. doi: 10.17223/19988621/76/6

19. Khudoynazarov Kh.Kh. (2006) Transversal vibrations of thick and thin cylindrical shells, interacting with deformable medium. Shell Structures. Theory and Applications: Proceedings of the 8th International Conference on Shell Structures, October 12-14, 2005, Jurata, Gdansk, Poland. London: Taylor & Francis Group. pp. 343-347.

20. Filippov I.G., Kudajnazarov K. (1998) Boundary value problems of longitudinal oscillations of the circular cylindrical shells. Gongye Jianzhu. Industrial Construction. 28(12). pp. 3440. doi: 10.1007/BF02700874

21. Filippov I.G., Filippov S.I. (2007) Kolebatel'nye i volnovye protsessy v sploshnykh szhimae-mykh sredakh [Vibratory and wave processes in continuous compressible media]. Moscow: PIK VINITI.

22. Petrashen G.I. (1966) Problemy inzhenernoy teorii vyrozhdennykh sistem [Problems of the engineering theory of vibrations of degenerate systems]. Issledovaniya po uprugosti i plastich-nosti - Research on Elasticity and Plasticity. Leningrad: Publishing House of LSU. 5. pp. 3-33.

23. Khudoynazarov Kh., Gadayev A., Akhatov Kh (2023) Torsional vibrations of a rotating viscoelastic rod. E3S Web of Conferences. 365. Article 02016. doi: 10.1051/e3sconf/ 202336502016

24. Filippov I.G., Egorychev O.A. (1983) Volnovye protsessy v lineynykh vyazkouprugikh sredakh [Wave processes in linear viscoelastic medium]. Moscow: Mashinostroenie.

Сведения об авторе:

Худойназаров Хайрулла - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики Самаркандского государственного университета, Самарканд, Узбекистан. E-mail: [email protected]

Information about the author:

Khudoynazarov Khayrulla (Doctor of Technical Sciences, Head of Department of Theoretical and Applied Mechanics, Samarkand State University, Samarkand, Uzbekistan). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 01.09.2022; принята к публикации 10.07.2023

The article was submitted 01.09.2022; accepted for publication 10.07.2023