CC BY
497
УДК 681.584.2:53.072:51 Фролов М.А
ОАО «НИИФИ», Пенза, Россия
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЕМКОСТНОГО ДАТЧИКА ДАВЛЕНИЯ
В последние годы в системах автоматического управления, контроля и регулирования в различных отраслях промышленности, а также на объектах атомной энергетики все более широко применяются новые средства восприятия и измерения, оснащенные микропроцессором, которые принято называть «интеллектуальные датчики».
Совершенствование электронных устройств обусловлено, в первую очередь, высокими темпами развития микроэлектроники. Именно с изменением элементной базы электронных устройств обработки сигналов первичных преобразователей связано появление нового поколения датчиков. Появление микроэлектронных устройств (в частности, микропроцессоров, аналогово-цифровых и цифроаналоговых преобразователей) сделало возможным создание интеллектуальных датчиков давления, представляющих собой электронные устройства, объединяющие чувствительные элементы, схемы преобразования сигналов и средства микропроцессорной техники.
Использование микропроцессоров и однокристальных микроЭВМ непосредственно в составе датчиков обеспечивает возможность улучшения метрологических и эксплуатационных характеристик, а именно, позволяет получать высокие результаты при линеаризации, улучшении температурных характеристик, увеличении сервисных функций, повышения надежности. Кроме процесса преобразования измеряемого давления в аналоговый и цифровой выходные сигналы датчики давления должны выполнять самодиагностику, дистанционную настройку диапазона измерений, первичную обработку измерительной информации, а также ряд достаточно простых типовых алгоритмов контроля и управления. Наиболее важной составляющей интеллектуальных датчиков давления - чувствительный элемент, основными техническими характеристиками которого являются чувствительность, стабильность, малый гистерезис, способность выдерживание перегрузок без ощутимых последствий и минимальное влияние температуры на его характеристики. В большинстве случаев для ракетно-космической техники важны только некоторые из основных параметров преобразователей: точность, стабильность выходных характеристик, надежность, долговечность. Таким требованиям удовлетворяют емкостные датчики давления.
Важными преимуществами емкостных датчиков перед другими типами являются стабильность метрологических характеристик и возможность реализации достаточно широкого спектра зависимости изменения емкости от изменения измеряемой величины (линейной, логарифмической, экспоненциальной, степенной и др.). Применение емкостных датчиков давления обусловлено также «гибкостью» вторичной измерительной аппаратуры, позволяющей измерять емкость в достаточно широких пределах.
В автоматических системах управления и контроля интеллектуальные датчики давления выполняют следующие основные функциональные задачи:
- преобразование входного сигнала в сигнал требуемого вида с воспроизводимой функциональной связью между ними;
- преобразование полученного сигнала в форму, обеспечивающую помехозащищенную передачу к устройству обработки данных по каналу связи;
- избирательную регистрацию и предварительную обработку выходного сигнала;
- подавление существенных для решения данной задачи помех (возмущающих воздействий);
- обеспечение и контроль собственного функционирования.
Добиться решения основных функциональных задач на ранней стадии конструирования и разработки емкостных датчиков давления возможно лишь путем построения адекватной математической модели. Основная цель создания модели заключается в сокращении времени на разработку датчика и существенной экономии материальных средств на проведение предварительных и опытных натурных испытаний.
Математическая модель представляет собой формальное описание основных закономерностей исследуемой системы в виде уравнений, неравенств, процедур расчета, позволяющих судить о поведении системы в естественных для нее условиях [1,2]. Математическая модель емкостного датчика давления (ЕДД), как цепи измерительных преобразователей, строится на основе физических эффектов и ориентирована на расчет коэффициента преобразования (чувствительности) датчика.
Структура любой математической модели включает в себя переменные, уравнения связи переменных, ограничения, критерии. В случае моделирования датчиков давления переменные представляют собой параметры физических эффектов, определяющих принцип действия датчика, параметры внешней среды, где будет использоваться датчик, а также другие параметры, которые необходимы для оценки датчика. Уравнения связи входной и выходной величины представляют собой собственно модель датчика. Модель ЕДД строится, исходя из моделей отдельных эффектов, критериев и ограничений. Ограничения позволяют более детально описать датчик, а критерии - поставить цели моделирования.
Построение математической модели емкостного датчика давления можно условно разделить на следующие этапы:
Физический анализ датчика - определение структуры принципа действия датчика и выявление эффектов, реализующихся в датчике, их взаимосвязей.
Анализ задачи моделирования - анализ цепи построения, определение показателей датчика и выявление связей между различными переменными будущей модели.
Моделирование - составление математической модели.
На этапе физического анализа создание математической модели была определена цепочка принципа действия и структурной схемы, осуществляющая преобразование некоторого исходного или начального состояния (давления) в желаемый результат.
В качестве объекта моделирования выступает ЕДД моноблочного исполнения, конструкционная схема которого представлена на рисунке 1. В исследуемом датчике реализован емкостный принцип преобразования, основанный на преобразовании величины емкости емкостного преобразователя. Приемная полость датчика - штуцер 1 воспринимает давление, под действием которого прогибается мембрана 2, вследствии изменяется межэлектроднный зазор между подвижной 4 и неподвижной 5 обкладками конденсатора, значение перемещения которых передается к защищенным гермопереходником 3 печатным платам 6.
Рисунок 1 - Емкостный датчик давления: 1 - штуцер; 2 - мембрана; 3
обкладка конденсатора; 5 - неподвижная обкладка конденсатора; 6
вижная
гермопереходник; 4 платы; 7 - вилка.
под-
Преобразование входного информативного параметра (абсолютное давление) в кодовый выхоной сигнал осуществляется по средствам преобразователя измерительного первичного (ПИП) и микропроцессорного вторичного измерительного преобразователя (ВИП).
Мембрана реализует прямо пропорциональную функцию преобразования (рисунок 2) воздействующего измеряемого давления (Р) в прогиб (W) . Емкостный преобразователь (ЕП) за счет изменения межэлектродного зазора (8) реализует обратно пропорциональную функцию преобразования прогиба мембраны в изменение электрической емкости. Функция преобразования "емкость - код” в последовательный 24-х разрядный двоичный код реализуется преобразователем емкости в код (ПЕК).
Микроконтроллер (МК) обеспечивает нормализацию параметров кода ПЕК в пределах требуемой шкалы выходного сигнала с вилки 7, аппроксимацию градуировочной характеристики датчика в целом с целью ее линеаризации и минимизацию температурной погрешности.
На этапе анализа задачи моделирования для каждого из блоков структурной схемы строится его математическая модель.
Рисунок 2 - Структурная схема датчика
Так как соединение блоков в структурной схеме последовательное, то для такой схемы коэффициент преобразования датчика в целом определяется простым перемножением коэффициентов преобразования отдельных блоков [3] .
Исходя из структурной схемы, общую функцию преобразования для рассматриваемого датчика можно записать следующим образом:
Кв= S-P = Si -S2 • S3 -S4 -P/ (1)
где Slf S2, S3, S4 - коэффициенты преобразования отдельных блоков;
Р - измеряемое давление, МПа.
В качестве первого блока, преобразующего давление силы в прогиб, выступает упругий элемент (УЭ) - колпачковая мембрана переменной толщины (рисунок 3).
Рисунок 3 - Эквивалентная расчетная схема колпачковой мембраны переменной толщины
Максимальный прогиб мембраны W в ее центре (при Ri=0) определяется по формуле [3]:
W=WM-Ф-М, (2)
где Wm - максимальный прогиб плоской части мембраны в ее центре (при Ri=0);
Ф - коэффициент характеризующий влияние цилиндрической части мембраны;
М - коэффициент, учитывающий влияние удлинения нейтральной линии плоской части мембраны. Максимальный прогиб плоской части мембраны в ее центре (при Ri=0) определяется по формуле [3]:
Wm=kw • &(1~ £1'Р'Км 4 E-ho3
(3)
где Р - воздействующее давление; ho - толщина мембраны в центре, мм; RM - радиус плоской части мембраны; f - коэффициент Пуассона для стали; Е - модуль упругости материала мембраны; kw - коэффициент, зависящий от параметра р.
Коэффициент Ф, характеризующий влияние цилиндрической части мембраны, определяется по формуле [3] :
Ф = 1+
4
Rm
K-D
+(Е+1)
(4)
где D - цилиндрическая жесткость плоской части мембраны; К - коэффициент, учитывающий влияние жесткого центра мембраны.
Коэффициент М, учитывающий влияние удлинения нейтральной линии плоской части мембраны, определяется по формуле [3]:
М = 1---256 .(1-цг )2
15400 (1 И )
f RI8 ' р '
1 h j- Е V J
. (5)
Подставив в формулу (2) отдельные составляющие, определяемые по формулам (3-5), получим: f \
f
W=kw 6(1 к2 )-P-Rm.
Eh
1+
4
Rm
+(b+1)
256
15400
•(1-K) •
/ \8 Л
2 f R^ f"''2
V
v h j
. (6)
j
v
K-D j
Полученное значение максимального прогиба колпачковой мембраны является результатом преобразования силы давления в прогиб.
Второй блок представляет собой емкостный преобразователь, уточненная расчетная схема которого представлена на рисунке 4.
Конструктивно рабочая емкость С выполнена в виде плоского конденсатора со слоем диэлектрика толщиной 5Д и диэлектрическими постоянными, с рабочим зазором S. Межэлектродная среда - вакуум.
троды емкостного преобразователя; б) верхний электрод (слой металлизации); в) схема плоских последовательно подключенных равнозначных конденсаторов.
1
Емкость представленных на рисунке 4 плоских последовательно подключенных равнозначных конден-саторов(С2 = C2), определяется по формуле [4,5] :
с=у .(7)
Рабочая емкость (емкость, изменяемая пропорционально изменению межэлектродного зазора, вызванного прогибом мембраны от измеряемого давления Р) верхних электродов С со слоем диэлектрика
толщиной 5Д и диэлектрическими постоянными Є определяется по формуле, исходя из уточненной расчетной схемы емкостного преобразователя:
С =_____Єо ' Є ' Є S_
1 4• e+ё-£-дм-£-4 e
(8)
где £q - абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, равная 0,00885 пФ/мм;
£ - относительная диэлектрическая проницаемость межэлектродной среды - вакуума, £~1;
£д - относительная диэлектрическая проницаемость межэлектродной среды - диэлектрика; d - межэлектродный зазор без учета толщины слоя металлизация и толщины защитного слоя диэлектрика (переменная величина), мм;
dM - толщина слоя металлизации, мм;
dд - толщина защитного слоя диэлектрика, мм;
Sx - площадь обкладки рабочей емкости, мм2.
Исходя из выбранной формы подвижной и неподвижной обкладки образователя, определяем площадь обкладки рабочей емкости S2:
S = -
<4
n-R2 - 2-a-JR2 - 2 - R2-
n-a
180 °
- sina I - r
n-b
180 °
sin b
2
и
уточненной
(9)
где R - радиус верхних электродов (слоя металлизации), мм; а - зазор между верхними электродами, мм; r -радиус нижних электродов, мм;
a - угол, прилегающий к радиусу верхних электродов, град; Ь - угол, прилегающий к радиусу нижних электродов, град.
схемы емкостного
пре -
С учетом вышеизложенного и того, что межэлектродный зазор емкости С изменяется прямо пропорционально прогибу мембраны (движение подвижной обкладки относительно неподвижной плоскопараллельное), имеем:
є0 • є1 • єд • кR2 — 2 •є0 • є2 • єд- a•
ft"-
2 — a2 2
—є0 • є2 • Єд ®
®R2
Сі =
180'
sinal—є0 • є2 • єд • r2
кР 180°
Sg ■ є + S • єд — дм • єд — Sд ' єд ^
sinb
(10)
Третий блок - ПЕК, выполненный на базе микросхемы AD7746 ARUZ, реализует функцию преобразования "емкость - код" вида [б]:
Kn = m • Сі+n ,(ii)
где Кп - последовательный двоичный код выходного сигнала ПЕК;
m, n - коэффициенты пропорциональности, определяющие чувствительность преобразования и начальный уровень кода Кп соответственно.
Подставив в формулу (11) емкость С, получим функцию преобразования «емкость - код» с учетом емкостного преобразователя (блок 2):
Kn=m•
2 2 2
є0 • є • єд • kR —2 • є0 • є • єд • a • ^
Г>2 a 2 г>2 ( К X .
R-------є0 • є • єxR • І---sina
2 0____________1180°
дд' є+д • єд —дм • єд —дд' єд —W
є0 •є • єд •r • І
Кр
180°
sin р
>+n
д
. (12)
Четвертый блок, выполненный на базе микросхемы С8051 F350-GQ, представляет собой функцию преобразования выходного кода ПЕК в последовательный двоичный выходной код датчика в целом, с его нормализацией в пределах заданной шкалы и аппроксимацией градуировочной характеристики кусочно -
линейными функциями на участке
[ Kni(P);Km+l(Pl+l)]
при (P+1 — Р) = P
длине участка аппроксима-
ции [5]:
K= КіЖ)—Ki(P) в KUP+1 )—K„i(p)
[ K — K„/P)]+k JP)
(13)
где Рв - верхний предел измерения давления для заданного диапазона датчика;
Кпі (Pi) - выходной код преобразователя ПЕК при измеряемом давлении Pi;
і = 0...20 - номер точки градуирования;
Р0 - абсолютное значение измеряемого давления;
Кві (Pi) - значение выходного кода датчика при давлении Pi, не превышающее 13,3 Па.
Полученные модели с помощью структурной схемы объединяются в полную модель датчика путем наложения уравнений связи и рассмотрения системы ограничений.
Подставив в функцию преобразования Kв=f(Кп) функцию преобразования «емкость - код», определяемую по формуле 12, получим нормализованный последовательный двоичный код в интервале от 10 до 1000 (1010^1111101000) единиц в зависимости от значения измеряемого давления, и аппроксимацию
градуировочной характеристики полиномом третьей степени.
Разработанная математическая модель позволяет преобразовать входной информативный параметр (абсолютное давление) в кодовый выходной сигнал за счет реализации полученной функции преобразования ¥1в=1(Кп) и сократить время конструирования и разработки емкостных датчиков давления. Приведенная математическая модель получила применение на предприятии ОАО «НИИФИ» при разработке емкостного датчика давления ДАЕ 002, позволив существенно снизить материальные затраты на проведение предварительных натурных испытаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Трофимов А.А. Скаморин Д.А. Результаты разработки тепловой модели датчиков линейных перемещений. «Надежность и качество»: сборник международного симпозиума, Пенза, ПГУ, 2007 г. Том 1. -
с. 371-373.
2. Бростилов С.А., Кучумов Е.В. Математическое моделирование процессов отражения и распространения электромагнитных волн в тонкой градиентной диэлектрической пластине. Труды международного симпозиума надежность и качество, ПГУ, том 1, 2011, с. 281-283.
3. В.А.Тихоненков "Теория, расчет и основы проектирования датчиков механических величин" Ульяновск 2000.
4. С.П.Тимошенко, С.Войновский-Кригер "Пластинки и оболочки" под. ред. С.Г.Шапиро, Москва 1963
5. Е.С.Левшина, П.В.Новицкий "Электрические измерения физических величин. Измерительные преобразователи", Ленинград "Энергоатомиздат", 1983
6. Сайт фирмы Analog Devices, Inc [Электронный ресурс]. - Режим доступа: www.analog.com (дата обращения: 31.03.2014).
7. Сайт фирмы Silicon Laboratories, Inc [Электронный ресурс]. - Режим доступа: www.silabs.com
(дата обращения: 31.03.2014).
