CC BY
14
УДК 66.081.6
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1383-1388
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОГИПЕРФИЛЬТРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ОЧИСТКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РАСТВОРОВ МЕДНО-ГАЛЬВАНИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ
© Д.О. Абоносимов1*, Д.Н. Протасов1*, О.А. Абоносимов1*, А.А. Арзамасцев2*, Д.С. Лазарев2*, А.Е. Стрельников1*
Тамбовский государственный технический университет 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106 E-mail: [email protected] 2) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]
Работа посвящена разработке математической модели, которая позволяет рассчитать зависимости объемных потоков растворителя и концентрацию раствора от времени проведения процесса, концентрацию и удельный поток растворителя на выходе из электробаромембранных аппаратов за счет введения в нее ранее не учитывавшегося критерия Рэйнольдса, а также расход энергии на электробаромембранное разделение растворов. Ключевые слова: электробаромембранная очистка; осмотическое давление; математическая модель; массопере-нос
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1-12] приводятся разработанные различными авторами методики расчета массопереноса и математическое описание процесса мембранного разделения. Однако, проанализировав данные работы, мы не выявили в полной мере наиболее простой с точки зрения расчета математической модели для ее описания. Таким образом, необходимо разработать математическую модель процесса электробаромембранного разделения промышленных медно-гальванических растворов.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
-Уе0егУи = 0. (2)
Рассмотрим задачу гидродинамики: для ламинарного, стационарного, установившегося течения уравнения движения жидкости имеют вид:
д2ы(х, у) 1 ( дР(х, у) дк( х, у)} ду2 Ц ^ дх дх )
Определяем граничные условия: ы(х, яу ) = 0, (4)
Рассмотрим задачу массопереноса через мембраны при наложении электрического поля для движения жидкости в плоском межмембранном канале. При этом примем следующие допущения: скорость электродных реакций намного ниже скорости массопереноса; рабочая плотность тока намного ниже критической; насос обеспечивает постоянство подачи; микропотоки растворителя и растворенного вещества учитываются через коэффициент задержания и удельный поток растворителя; течение раствора стационарное и режим движения жидкости в мембранном канале ламинарный [13-14].
Рассмотрим математическую запись задачи [15]:
V[^(Vu + (Vu)T)] + p(uV)u + VP = 0 , Vu = 0 ,
V[-DVc — zumFVU) = —uVc,
u(x—Ry ) = 0 .
(5)
Поскольку давление меняется только вдоль оси канала, то можно записать уравнение (3) в виде:
d 2u
1 ( dP d%
dy2 Ц v dx dx
(6)
Проинтегрируем уравнение (6) по переменной у , соответствующее направлению вдоль оси канала:
dы 1(dP dжЛ ^
— =—I---у+С,
dy Ц ^ dx dx)
ы(х, у) = — [ — - — |у2 + С1у + С2 , 2ц ^ dx dx )
где Сь С2 - постоянные интегрирования. Найдем С1 и С2 из уравнений (4) и (5):
и(х, Ку ) =
1 (аР аж
2ц ^ ах ах
■ Ку 2 + С1Ку + С2 = 0 ,
Обозначив X ■
3цк
~КГ
где X > 0, т. к. ц > 0 , к > 0 ,
К > 0, получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
и(х,-Ку ) = -
1 (ар аж
2ц ^ ах ах
■ Ку 2 - С1Яу + С2 = 0 .
а 2р(х) аХ
-ХР(х) = 0 .
(7)
Таким образом, имеем решение в виде:
, ч 1 (ар а%Л 2 1 (ар аж) п 2
и(х, у) =--1---I-у2---1---I-Ку 2 =
2ц ^ ах ах) 2ц ^ ах ах)
= -± ■( - - ^Ьу 2 - У 2).
2ц ^ ах ах)
Расход жидкости через канал определяем по следующей формуле:
_ 2ьку (ар_аж
3ц ^ ах ах
Решение дифференциального уравнения (7) принимает вид Р(х) = С+ С2. Определив постоянные интегрирования С1 и С2 с учетом граничных условий, получаем:
Р(х) = рк - Рп^Ь е^х + Рп^Ь - рк е-Лх
4хЬ -у[}Ь у[}Ь -4хь .
е - е е - е
В результате проведенных преобразований и расчетов можно сделать вывод, что первая производная гидродинамического давления будет равна, соответственно:
Электроосмотический поток, как возникающий в результате электроосмотического давления, можно записать как:
б = --
2ЬК2 ( а (АР -А ж) 3ц
ах
Приведем дифференциальное уравнение для проницаемости
бх+Ах - бх = аб=2ЬУ(х)ах. Отсюда получаем:
^ = -2ЬУ(х) . ах
Знак "-" из-за того, что расход в канале убывает. Учитывая вышеприведенные преобразования, получим
ар( х) _ Рк - Рпе-АЬ.еАхА_РпеЛЬ - Рк „-Ах ,
ах
АЬ - АЬ е - е
АЬ - АЬ е - е
(8)
где
а = 4Х =
^3Я3уцк
Я
■У
Для случая оттока под действием электроосмотического давления имеем:
2 ■ ь ■ к3 (а Же (х
3 ц
ах
ах=-2 ■ ь ■ к ■ж (х) ■ ах
Проведя аналогичные преобразования для электроосмотического давления, получим:
аже(х) _ жек -жепе
ах
АЬ - АЬ е - е
„Ах ,_ жепе - жек - Ах ,
'е А АЬ - АЬ е А ' е -е
Таким образом, с учетом (7, 8) можно записать:
^ = -2Ьк(АР - Аже ), ах
ах
аб2
ах
= -2ЬкАР
= 2ЬкАж„ .
Уравнения для случая оттока под действием трансмембранного давления представляем как:
- (а2 р(х))ах=-2ЬкР( х)ах. 3ц ах2
(и и - АЬ Рк - Рпе „Ах
и(х, у) = -— 2ц
еАхА --
ге~ АхА -
- АЬ
жек - еп е „Ах
„ АЬ „
ж„ е -жек - Ах
К - у2) =
_еАх а + _
АЬ - АЬ е А + АЬ - АЬ е -е е -е
■е-АхА
А_
2ц
{Р, - Ре-АЬ „
1 к 1 пе Ах р п
е -
реА - рк - Ах
АЬ - АЬ е - е
АЬ - АЬ е - е
- АЬ _ АЬ_
жек жепе _еАх + жепе жек - Ах
АЬ - АЬ е - е
АЬ - АЬ е - е
(у2 - к2).
Проницаемость мембраны с учетом электроосмотического давления определяем как:
V = к■ (АР-Аж) = к■ (Рп -Р(х)-же(х) + жеп) .
(9)
3
АЬ
п
АЬ - АЬ е - е
Подставив выражения для составляющих давления в уравнение проницаемости (9), получаем:
у(х, у )= к
( п п -ЛЬ „ ЛЬ „ ^
Р - Рк -Рпе еЛх - Рпе -Рк -Лх __
п ЛЬ - ЛЬ ЛЬ -ЛЬ
е -е
- ль
е -е
ль
пек ~%епе Ах _ "епе ~пек - Ах
~е ,т ,т е
ль -ль е -е
ль - ль е -е
( п п -ЛЬ п ЛЬ п
Р _ Рк -Рпе еЛх _ Рпе -Рк е-Лх +
п ЛЬ - ЛЬ ЛЬ - ЛЬ
V (х) = к
е -е
Кек -
е -е
■п ль „ „ль
Кек -Пепе „лх лепе -пек -лх
+ К„„-----—е----—е
ль -ль е -е
ль -ль е -е
Для упрощения записей и расчетов определим промежуточную величину
Подставляем полученные выражения для продольной и поперечной скорости в уравнение (1) и решаем его совместно с уравнением (2) численным методом, находим распределение концентрации анионов по длине и высоте канала.
Уравнение Нернста-Планка имеет вид:
У(-ПУс(х, у) - 2ытКЧи(х, у)) =
= -( ы(х х, у) ^ + ф, у) ^
у дх ду
С граничными условиями: с(0, у) = Со ,
Яу(х-Я)ф-Я) = ОУф-Яу) +
+ гЫтРо( х,-Яу )Чи (х,-Яу ),
Яф, Яу )с(х,Яу ) = ПЧс(х, Яу ) + гытДс{х,Яу )Чи(х,Яу ) .
Уравнение Пуассона-Больцмана имеет вид: -Уе0егУГ(х, у) = 0 .
При граничных условиях:
и(х,-Яу ) = -У,о ,
и(х, Яу ) = ^о , и(Ь, у) = 0, и(0, у) = 0 .
При расчетах используются основные кинетические характеристики электрогиперфильтрационного процесса, полученные при экспериментальных исследованиях разделения модельных медно-гальванических растворов.
Расход энергии на процесс концентрирования водного раствора в электробаромембранном аппарате:
(
ь ь
¡V (х) ■ dx =\ к
0 0
о о -ЛЬ Рк - Рпе „Лх
--е
ЛЬ - ЛЬ е - е
Л
Рпе - Рк 0 - Лх,
--е +
ЛЬ -ЛЬ е - е
тт тт „-ль тт „ль , пек ~^епе лх _ У -лх
+ 'е ль - ль е л - ль е
е -е
и
--к(рп + %еп ^ Сх- к
^ек-жепе Рк - Рпе
е -е
ЛЬ \
dx =
ль -ль е -е
ЛЬ -ЛЬ е - е
| е^Сх-0
( ль п ЛЬ о \
*епе -жек , Рпе -Рк
ль - ль ЛЬ -ЛЬ е -е е -е
\е-ЛхСх=
= кр +*еп ^Ь - к
- ль
жек -жепе +Рк -Р
Р - Ре
-ЛЬ \
ль -ль е -е
ЛЬ -ЛЬ е -е
Лх\Ь е \ +
0
)
к
( ль и ЛЬ г, \
*епе -же^Рпе - Рк
ль -ль ЛЬ -ЛЬ е -е е -е
- Лх
= к(Ря + Кп )Ь--
е-^ , Рк - Рпе-ЛЬ
\(еМ -1)+
+ \%епе л -Ъек | РпеЛЬ - Рк \-Л1
|(е -1)
Количество трубок в аппарате определяется как: .1 ■
~~У(х)
Количество секций в каскаде: N =
1(ск) Ь '
Из уравнений материального баланса запишем выражение, позволяющее найти концентрацию на выходе из секции:
в0 - (1 - к )■ п
■ п •-■
^(х)
• dx
<20 -п-1
^(х)
• dx
2 -
|V(х) • dx + ¡V(х) • dx
= С
0•'
2 -п-1
^ (х)
• с!х
Ж = 26,8(С - С0У +
^пер (АР -АК)(1 - К)
Проницаемость на границе мембраны можно записать как:
( ь
к^п^ — I
1 +-0
^(х)
• сСХ
2 - п-г
ь
^(х)
• сСХ
Р
п
0
к
0
+
0
ль -м е - е
ЛЬ -ЛЬ
е - е
ь
0
СК = С0 •
0
ь
ь
0
0
0
С0 •
= С
k{Pn +T,n Y - -\ F л l
- AL
V -1)+
\ ^
k ■ n
1 + -
i I AL П AL П
k|V -%ek Pne -Pk ¡ -AL
á\ al -al al -al
A e - e e - e
И-1)
í
Qo -
kp + *я )L - -
, f al n a
k| У -*ek Pne
t \ al -al al
a e - e e -
-+
Pk -P.e-
Г-l)
11+
И -1)
' П
Видим, что на выходе концентрация увеличивается на величину:
АС = С0 ■
F
k ■ n ■
L
\ ^
k(pn + *en)L -
4
- AL
Pk - Pne
-AL )
AL -AL e -e
AL -AL e -e
k
l A l
AL n AL D \
V -4_+Pne - pk
AL -AL e -e
AL -AL e -e
(eAL-1)
(e-AL-1)
k(pn + *en)L -
4 -v
- AL
AL -AL e -e
-+
pk - Pne
-AL )
AL -AL e -e
l l
AL n AL n ^
У -4 Pne - Pk
AL -AL AL -AL
e - e e - e
(eAL-1)
(e-AL -1)
Расчет ведется методом последовательных приближений, задавая различные длины и выходя на заданную концентрацию.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Усовершенствована математическая модель элек-тробаромембранного процесса, основанная на уравнениях Нернста-Планка и Пуассона-Больцмана с учетом основных допущений и граничных условий, позволяющая рассчитывать концентрации по растворенному веществу на выходе из аппарата (в ретентате) и в пер-меате и находить среднюю величину удельного потока растворителя при разделении технологических растворов электролитов меднения.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
L - длина мембранного канала в трубчатом элементе, м;
Ry - параметр по полувысоте межмембранного канала, м;
С, Сп - параметр, характеризующий концентрации растворенного вещества в исследуемом растворе и в прикатодном или прианодном пермеате соответственно, кг/м3;
С0 - концентрация на входе в мембранный канал, кг/м3;
R - радиус трубчатой мембраны; n - количество мембран в модуле; J - удельный поток растворителя, м3/м2-с; П - выход по току; Упер - объем пермеата, м3; FH - площадь одной мембраны; U - продольная скорость течения раствора в трубчатом элементе, м/с;
V - поперечная скорость течения раствора в трубчатом элементе, м/с;
в - параметр, характеризующий величину коэффициентов массоотдачи от раствора к мембранам, м/с;
k - параметр, характеризующий коэффициент задержания растворенного вещества в мембранах;
1(ск) - длина секций, позволяющих получить заданную концентрацию на выходе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Муравьев Л.Л. Моделирование работы обратноосмотических установок с рулонными фильтрующими элементами // Химия и технология воды. 1989. Т. 11. № 2. С. 107-109.
2. Байков В.И., Зновец П.К Ультрафильтрация в плоском канале с одной проницаемой поверхностью // ИФЖ. 1994. Т. 72. № 1. С. 3237.
3. Абоносимов О.А., Лазарев С.И., Алексеев А.А. Математическая модель массопереноса в обратноосмотических аппаратах рулонного типа // Труды ТГТУ: сб. науч. ст. молодых ученых и студентов. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2000. Вып. 6. С. 101-104.
4. Головашин В.Л. Кинетика массопереноса в процессах обратноос-мотического разделения водных растворов низкомолекулярных органических веществ: дис. ... канд. техн. наук. Тамбов, 2000.
5. Чепеняк П.А. Кинетика электрохимической мембранной очистки фосфатсодержащих сточных вод: дис. ... канд. техн. наук. Тамбов, 2011.
6. Байков В.И., Бильдюкевич А.В. Нестационарная концентрационная поляризация при ламинарной ультрафильтрации в плоском канале // ИФЖ. 1994. Т. 67. № 1-2. С. 103-107.
7. Горбатюк В.И., Старов В.М. Гидродинамика мембранных процессов при ламинарном режиме течения // Химия и технология воды. 1983. Т. 5. № 1. С. 8-12.
8. Lebrun R.E., Bouchard C.R., Rollin A.L., Matsuura T., Sourirajan S. Computer simulation of membrane separation processes // Chem. Eng. Sci. 1989. V. 44. № 2. P. 366-375.
9. Evangelista T. Improved graphical-analitical method for the design of reverse-osmosis plants // Ind. and Eng. Chem. Process Pess. and Dev. 1986. № 2. P. 366-375.
10. Горбачев А.С. Кинетика электробаромембранного разделения водных сульфатосодержащих растворов (в производстве оптических отбеливателей): дис. ... канд. техн. наук. Тамбов, 2006.
11. Лазарев С.И., Головашин В.Л., Ворожейкин Ю.А. Математическое описание биоультрафильрационного разделения водных растворов крахмально-паточных производств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17. Вып. 2. С. 694-696.
12. Лазарев С.И., Богомолов В.Ю., Арзамасцев А.А., Полянский К.К., Вязовов С.А., Левин А.А. Эмпирическая модель ультрафильтрационного концентрирования белка в подсырной сыворотке // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 655-660.
13. Абоносимов Д.О., Лазарев С.И., Протасов Д.Н. Математическое описание электрогиперфильтрационного процесса очистки технологических растворов медно-гальванических производств // Виртуальное моделирование, прототипирование и промышленный дизайн: материалы 3 Междунар. науч.-практ. конф. Тамбов, 2016. Т. 2. № 3. С. 214-219.
14. Головашин В.Л. Математическая модель совместного электротеп-ломассопереноса в электробаромембранных системах // Вестник ТГТУ. 2014. № 4. С. 734-746.
Поступила в редакцию 21 августа 2017 г.
AL
ek
+
AL
AL
e
L
AL
*ene
AL -AL e -e
F
м
L
P
k
+
F
м
-n
L
k
+
Абоносимов Дмитрий Олегович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат технических наук, младший научный сотрудник, е-mail: [email protected]
Протасов Дмитрий Николаевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: [email protected]
Абоносимов Олег Аркадьевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной геометрии и компьютерной графики, e-mail: [email protected]
Арзамасцев Александр Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой математического моделирования и информационных технологий, e-mail: [email protected]
Лазарев Дмитрий Сергеевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистрант, кафедра математического моделирования и информационных технологий, е-mail: [email protected]
Стрельников Александр Евгеньевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра прикладной геометрии и компьютерной графики, е-mail: [email protected]
UDC 66.081.6
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1383-1388
MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRO-HYPERFILTRATION PROCESS FOR CLEANING TECHNOLOGICAL SOLUTIONS OF COPPER-GALVANIC INDUSTRIES
© D.O. Abonosimov1*, D.N. Protasov1*, O.A. Abonosimov1*, A.A. Arzamastsev2*, D.S. Lazarev2*, A.E. Strelnikov1*
1)1 Tambov State Technical University 106 Sovetskaya St., Tambov, Russian Federation, 392000
E-mail: [email protected] 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]
The work is devoted to the development of a mathematical model that allows to calculate the volume and volume of funds deferred until an agreement is reached on the electrobaric separation of solutions. Keywords: electrobaromembrane purification; osmotic pressure; mathematical model; mass transfer
REFERENCES
1. Muravev L.L. Modelirovanie raboty obratnoosmoticheskikh ustanovok s rulonnymi fil'truyushchimi elementami [The modeling of work of reverse-osmosis plants with roll filtering elements]. Khimiya i tekhnologiya vody — Journal of Water Chemistry and Technology, 1989, vol. 11, no. 2, pp. 107-109. (In Russian).
2. Baykov V.I., Znovets P.K. Ul'trafil'tratsiya v ploskom kanale s odnoy pronitsaemoy poverkhnost'yu [Ultrafiltration in two-dimensional channel with one permeable surface]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal — Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 1994, vol. 72, no. 1, pp. 32-37. (In Russian).
3. Abonosimov O.A., Lazarev S.I., Alekseev A.A. Matematicheskaya model' massoperenosa v obratnoosmoticheskikh apparatakh rulonnogo tipa [Mathematic model of mass-transfer in reverse-osmosis devices of roll type]. Sbornik nauchnykh statey molodykh uchenykh i studentov «Trudy Tambovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta» [A Collection of Scientific Articles of Young Scientists and Students "Proceedings of Tambov State Technical University"]. Tambov, Tambov State Technical University Publ., 2000, no. 6, pp. 101-104. (In Russian).
4. Golovashin V.L. Kinetika massoperenosa v protsessakh obratnoosmoticheskogo razdeleniya vodnykh rastvorov nizkomolekulyarnykh organicheskikh veshchestv: dis. ... kand. tekhn. nauk [Kinetics of Mass-transfer in the Processes of Reverse-Osmosis Allocation of Water Solution of Low Molecular Organic Substances. Cand. tech. sci. diss.]. Tambov, 2000. (In Russian).
5. Chepenyak P.A. Kinetika elektrokhimicheskoy membrannoy ochistki fosfatsoderzhashchikh stochnykh vod: dis. ... kand. tekhn. nauk [Kinetics of electric-chemical membrane cleaning phosphates containing waste waters. Cand. tech. sci. diss.]. Tambov, 2011. (In Russian).
6. Baykov V.I., Bil'dyukevich A.V. Nestatsionarnaya kontsentratsionnaya polyarizatsiya pri laminarnoy ul'trafil'tratsii v ploskom kanale [Temporary concentration-polarization at laminar ultrafiltration in two-dimensional channel]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal — Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 1994, vol. 67, no. 1-2, pp. 103-107. (In Russian).
7. Gorbatyuk V.I., Starov V.M. Gidrodinamika membrannykh protsessov pri laminarnom rezhime techeniya [Hydrodinamics of membrane processes at laminar regime of stream]. Khimiya i tekhnologiya vody — Journal of Water Chemistry and Technology, 1983, vol. 5, no. 1, pp. 8-12. (In Russian).
8. Lebrun R.E., Bouchard C.R., Rollin A.L., Matsuura T., Sourirajan S. Computer simulation of membrane separation processes. Chem. Eng. Sci., 1989, vol. 44, no. 2, pp. 366-375.
9. Evangelista T. Improved graphical-analitical method for the design of reverse-osmosis plants. Ind. and Eng. Chem. Process Pess. and Dev., 1986, no. 2, pp. 366-375.
10. Gorbachev A.S. Kinetika elektrobaromembrannogo razdeleniya vodnykh sulfatosoderzhashchikh rastvorov (vproizvodstve opticheskikh otbelivateley): dis. ... kand. tekhn. nauk [Kinetics of electric-membrane division of water sulfate-containing solutions (in the production of optic bleaches). Cand. tech. sci. diss.]. Tambov, 2006. (In Russian).
11. Lazarev S.I., Golovashin V.L., Vorozheykin Yu.A. Matematicheskoe opisanie bioul'trafil'ratsionnogo razdeleniya vodnykh rastvorov krakhmal'no-patochnykh proizvodstv [Mathematical description bioultrafiltration separation of aqueous solutions of starch and syrup production]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2012, vol. 17, no. 2, pp. 694-696. (In Russian).
12. Lazarev S.I., Bogomolov V.Yu., Arzamastsev A.A., Polyanskiy K.K., Vyazovov S.A., Levin A.A. Empiricheskaya model' ul'trafil'tratsionnogo kontsentrirovaniya belka v podsyrnoy syvorotke [Empirical model of ultra-filter protein concentration in cheese whey]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 2, pp. 655-660. (In Russian).
13. Abonosimov D.O., Lazarev S.I., Protasov D.N. Matematicheskoe opisanie elektrogiperfil'tratsionnogo protsessa ochistki tekhnologicheskikh rastvorov medno-gal'vanicheskikh proizvodstv [Mathematic description of electrichyperfiltraiton process of technological solutions cleaning of copper electroplated production]. Materialy 3 Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii «Virtual'noe modelirovanie, prototipirovanie i promyshlennyy dizayn» [Materials of 3rd International Scientific-Practical Conference "Virtual Modeling, Prototyping and Industrial Design"]. Tambov, 2016, vol. 2, no. 3, pp. 214-219. (In Russian).
14. Golovashin V.L. Matematicheskaya model' sovmestnogo elektroteplomassoperenosa v elektrobaromembrannykh sistemakh [Mathematical Model of Joint Electric Heat and Mass Transfer in Electro-Baromembrane Systems]. Vestnik Tambovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta — Transactions of the Tambov State Technical University, 2014, no. 4, pp. 734-746. (In Russian).
Received 21 August 2017
Abonosimov Dmitriy Olegovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Technics, Junior Research Worker, e-mail: [email protected]
Protasov Dmitriy Nikolaevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Economics, Associate Professor, Associate Professor of Higher Mathematics Department, e-mail: [email protected]
Abonosimov Oleg Arkadevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Associate Professor, Associate Professor of Applied Geometry and Computer Graphics Department, e-mail: [email protected]
Arzamastsev Aleksander Anatolevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Mathematical Modeling and Information Technologies Department, e-mail: [email protected]
Lazarev Dmitriy Sergeevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Master's Degree Student, Mathematical Modeling and Information Technologies Department, e-mail: [email protected] Strelnikov Aleksandr Evgenevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Applied Geometry and Computer Graphics Department, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Абоносимов Д.О., Протасов Д.Н., Абоносимов О.А., Арзамасцев А.А., Лазарев Д.С., Стрельников А.Е. Математическая модель электрогиперфильтрационного процесса очистки технологических растворов медно-гальванических производств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1383-1388. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1383-1388
For citation: Abonosimov D.O., Protasov D.N., Abonosimov O.A., Arzamastsev A.A., Lazarev D.S., Strelnikov A.E. Matematicheskaya model' elektrogiperfil'tratsionnogo protsessa ochistki tekhnologicheskikh rastvorov medno-gal'vanicheskikh proizvodstv [Mathematical model of electro-hyperfiltration process for cleaning technological solutions of copper-galvanic industries]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1383-1388. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1383-1388 (In Russian, Abstr. in Engl.).
