Математическая модель эхо-сигналов морской поверхности, наблюдаемых бортовыми локаторами летательных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 621.396.06

математическая модель эхо-сигналов морской поверхности, наблюдаемых бортовыми локаторами летательных аппаратов

А. Е. Сесин,

заместитель генерального директора ФГУП ОКБ «Электроавтоматика»

Д. А. Шепета,

канд. техн. наук, доцент Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Предлагается математическая модель эхо-сигналов морской поверхности, наблюдаемых в стробе дальности бортовых локаторов летательных аппаратов. Модель построена на основе экспериментальных данных, что позволяет моделировать работу бортовых комплексов летательных аппаратов в условиях, приближенных к натурным испытаниям.

Ключевые слова — математическая модель, корреляционная функция, локационный сигнал, морская поверхность.

Введение

Математические модели эхо-сигналов морской поверхности необходимы как при синтезе, так и при анализе работы бортовых локаторов летательных аппаратов (ЛА), осуществляющих поиск, обнаружение и сопровождение надводных объектов. В работе рассматриваются пространственно-временные корреляционные функции эхо-сигнала морской поверхности, наблюдаемого в стробе дальности бортового локатора ЛА. Предлагаемые аналитические выражения, используемые для аппроксимации корреляционных функций, основаны на экспериментальных данных и многомерной логарифмически-нормальной модели флюктуаций огибающей эхо-сигнала.

Математическая модель эхо-сигналов морской поверхности

Локационный сигнал, отраженный от протяженного объекта, в частности от морской поверхности, является случайным процессом. При импульсном режиме локации с периодом ТрЛС этот сигнал, наблюдаемый в стробе дальности приемного устройства длительностью представляет собой отрезки случайного узкополосного процес-

са длительностью следующие с периодом повторения трлс.

При построении математической модели узкополосного процесса можно построить модели либо двух квадратур (и(Ь), V(t)), либо огибающей А^) и фазы Ф^) эхо-сигнала. Поскольку в научной литературе, посвященной экспериментальным исследованиям, приводятся данные только об огибающей эхо-сигналов морской поверхности, то рассмотрим процесс (А^), Ф^)), заменив непрерывную реализацию процесса ее дискретным аналогом (А^), Ф^)) = {А^ = (I - 1)ДТ), Ф (Ь = = (I - 1)ДТ)}, I = 1, 2,... , где ДТ — интервал дискретизации.

Для определения математической модели необходимо задать многомерную совместную плотность (функцию) распределения случайных величин (А^, Ф^) при произвольном наборе индексов, где А№ Ф^ — ^-мерные векторы. В научных источниках отсутствуют какие-либо сведения

о функциональном виде плотности распределения w(AN, Ф^), но имеются данные об одномерных законах распределения огибающей эхо-сигнала w(A) и о корреляционно-спектральных характеристиках огибающей [1-3]. Что же касается статистических характеристик вектора фаз, то в экспериментальных работах они практически не представлены. Поэтому при выборе вида

w(AN, ФN) остается опираться лишь на сведения

о виде w(A) и на корреляционно-спектральные характеристики огибающей эхо-сигнала.

В качестве w(A) использовались различные плотности распределения, наиболее распространены аппроксимации w(A) в виде распределения Релея, Релея—Райса, хи-квадрат, Накагами, ло-гарифмически-нормального распределения и некоторых других. Наибольшее распространение получило логарифмически-нормальное распределение, которое не только хорошо согласуется с многочисленными экспериментальными данными [1- 3], но и позволяет синтезировать эффективные алгоритмы моделирования флюктуаций огибающей сигнала [4, 5]. Поэтому в качестве плотности распределения огибающей эхо-сигнала морской поверхности принимаем логариф-мически-нормальный закон распределения.

Плотность распределения огибающей локационного сигнала, отраженного от поверхности моря

Рассмотрим двойную индексацию отсчетов огибающей: отсчет A^ — у-й отсчет огибающей в £-м стробе дальности, I = 1, 2, ...; у = 1, 2, ..., М, т. е. отсчет Ау- обусловлен отражением £-го локационного импульса длительностью тз от у-й дорожки дальности; М = Е[т^ДТ] — количество отсчетов огибающей в стробе приемника, взятых через интервал дискретизации ДТ; Е[] — функция Антье.

Такая двойная индексация удобна как при рассмотрении физики процесса, так и при синтезе алгоритмов моделирования, т. е. при построении имитационной модели. При рассмотрении корреляционно-спектральных характеристик огибающей сигнала достаточно использовать двумерную маргинальную плотность распределения, которую запишем в виде [2, 5]

1

w(Aij» Anm ) = -

: exp^

2™ij ®nmAijAnm

2(1- rfjnm )

- 2r j

ijnm

1- in Aij

A • • ^

ij nm

Aj

1 A 1 -in

ijnm

-in2 Anm -

где Лу и Сту — параметры распределения, связанные с математическим ожиданием Аи и диспер-2 ~ ^ сией ац = Бц распределения соотношениями [2, 6]

І, 1 ^1 +(Сij1Aij)2

Aij = A І,

С2, = ln(1 + (сi, I A, )2) = ln(1 + K2),

где Kj = 6ij / Aj — коэффициент вариации лога-рифмически-нормального распределения, а Ли —

определяется по формулам радиолокации. Пара метр

ln(1 + KijKnmRijnm)

Г" =

ijnn

^/ысТ

K2 )ln(1 + кПп)

(1)

а Rijnm — коэффициент корреляции между j-м отсчетом огибающей i-го строба и m-м отсчетом огибающей n-го строба, i, n = 1, 2, ...; j, m = 1, 2, ..., М. Физический смысл параметра rijnm — коэффициент корреляции между логарифмом j-го отсчета огибающей эхо-сигнала при i-м зондировании и логарифмом m-го отсчета огибающей при n-м зондировании. Соответственно, при i = n и j = m коэффициенты корреляции Rijnm = Ящ =

Rnmnm 1 и rijnm rijij rnmnm 1

В научных источниках по экспериментальным исследованиям эхо-сигналов морской поверхности, как правило, содержатся сведения не

о пространственно-временных характеристиках сигнала, а лишь о сечениях пространственновременной корреляционной функции. Приводятся сведения о пространственной корреляционной функции Я(п)(Д1) и о временной корреляционной функции Я(в)(т), где Д1 — расстояние по горизонтали между двумя участками (дорожками дальности) морской поверхности, а т — временной интервал между эхо-сигналами одного и того же участка морской поверхности [2, 3].

В дальней зоне наблюдения корреляция между j-м и m-м отсчетами эхо-сигнала в пределах строба Tg j, m = 1, 2, ..., М, определяется в основном только пространственным разнесением участков морской поверхности, обусловливающих эти отсчеты эхо-сигнала. Поэтому можно считать, что Rtjim = Я(п)(Д1) является пространственной корреляционной функцией, т. е.

(Al = |/ — m| ATc / (2 cos 8;)) =

= R(nV = j - m\ AT) = R(nV), (2)

Я(п)(т') — пространственная нормированная корреляционная функция или функция коэффициентов корреляции внутрипериодных флюктуаций (флюктуаций сигнала в пределах строба Tg), тТ = \j - m\ ДТ — расстояние между отсчетами в стробе приемного устройства; с — скорость света. В выражении (2) принято, что в дальней зоне наблюдения морской поверхности угол визирова-для i = 1, 2, ...; j = 1, 2,..., М.

При неподвижной антенне или при слежении за наблюдаемым участком морской поверхности корреляционная функция Rjnj = R.jB^ (т) = R(в) (т) является временной корреляционной функцией

Rijnj = R(b) (т = \i- га|ТрЛС) = R(b) (х),

Ri/im = R(a)l

ния 6 j и Є

т. е. корреляционной функцией межпериод-ных флюктуаций. В дальней зоне наблюдения в пределах строба тg расстояния между отсче-

1

тами эхо-сигнала тТ = \у - т\ АТ < тg << ТРЛС,

поэтому временная корреляционная функция

в пределах строба практически равна единице: ' ' ' ' ?(в)

R ’(Т) « 1 ДЛЯ

^ (Т = \] - ш\АТ) < (%) *

I = 1, 2, ...; у = 1, 2, ..., М.

Таким образом, при указанных выше условиях выполняются соотношения

Ц = Ц = Ц(в) = Ц(в)(

іщ ^Нтпт 1

= р(п) = г?(п)(

Iі- п|трлс ) = Цв )(т); 1= р(п)(

%т = Ъщпт = Цт = Я(ї)(|І - т\АТ) = Я(П)(Т')■

(3)

При выполнении соотношений (3) будут с большой точностью выполняться и равенства для отсчетов логарифма огибающих, т. е. для параме-

тРов гцпт

гЩ гітпт гіп г (

гі}іт гп]пт

\і — п|ТРЛС) — г(в) (х); = — г (ї) (І І — т\А Т) — г(ї) (т').

(4)

Выполнение равенств (4) значительно упрощает синтез алгоритмов моделирования флюктуаций эхо-сигналов морской поверхности. Будем считать, что равенства (4) точные без наложения каких-либо условий, тогда равенства (3) также будут выполнены с большой точностью в дальней зоне, для которой, как указано выше, 0^ и 9; и Д(в) {xg) и 1, I = 1, 2, ...; у = 1, 2, ..., М.

Восстановить пространственно-временную корреляционную функцию эхо-сигналов морской поверхности В,цпт по ее сечениям невозможно. Однако ее можно определить таким образом, что ее сечения будут совпадать с сечениями действительной пространственно-временной корреляционной функции, и кроме того, она будет связана с пространственно-временной корреляционной функцией логарифма огибающей соотношением (1). Определим яцпт в виде [4, 5]

^ііпт

1

к к

кі]кпт

ехр(гцпт

: фп(1 + к )1п(1 + кПт))-1) =

к к

■^і^пт

ЄХРІГт)гіІпВ)

фп(1-

К)1п(1 + кПт))-1|. (5)

Такая аппроксимация позволяет точно (без методической ошибки) воспроизводить пространственно-временные сечения пространственновременной корреляционной функции, а также использовать для синтеза имитационных моделей эхо-сигналов морской поверхности метод многомерных нелинейных формирующих фильтров, что резко повышает скорость процесса моделирования [4]. При этом статистические характеристики имитационной модели совпадают с известными экспериментальными характеристиками эхо-сигналов морской поверхности.

Пространственная корреляционная функция локационного сигнала, отраженного от поверхности моря

Рассмотрим сначала пространственную корреляционную функцию RjП) = R(п (| ]' — т| АТ) = = Д(п) (т;), где тТ = \] - т\ АТ. В дальней зоне 0^ = 9; и К = К., т. е. при любом I коэффициент вариа-

I] I

ции от номера дорожки дальности не зависит, поэтому

т

КцКіт

ехР (піітуї111(1 - Кі} )1п(1 + Кїт )

-1 =

:А-{ехр^УІ 1п(1 + К2 )1п(1 + К,2 ))-і| Кі

К,

2 г(п)

(1+К, )>т -1

В научных источниках для сантиметрового диапазона волн приведена зависимость коэффициента корреляции эхо-сигнала в стробе дальности Д(п)(т' = тз) = Л(п)(хз) между отсчетами огибающей, отстоящими на длительность зондирующего импульса тз [2, 5]:

4 X,

Й(П) (Та) — 1 —

0,3 — 7 10—3 • 0і + 0,18 эт^ — 0,02

___

1,5,

где 0; и ракурс волн — в градусах; волнение моря Wi — в баллах; тз — в микросекундах. Формулой можно пользоваться при следующих ограничениях: 0,5°<8; <10°, 0° < < 180°, 1 балл <

< < 6 баллов, 1 мкс < тз < 3 мкс. Поскольку

можно считать, что за время работы системы и Wi существенно не меняются, то при малых 0; коэффициент корреляции Д(п)(тз) не зависит от номера строба, поэтому индекс I здесь опущен и R^ (х3) = R(п) (х3).

Аппроксимируем пространственную корреляционную функцию RyП = R(п)(|/ — т\АТ) кривой, определенной выражением (5):

1

R(•ї) = -

ІП КцКт

ехр

л/їп(1-

К2 )1п(1 + Кт )гт)]-1

гт — Г(п) (

ющая корреляционной функции нормального марковского процесса. В дальней

где гт — г (| / — т — функция, соответству-

зоне Ку =

= Кт = К., можно считать даже К^ = Кт = К. = К, что для неподвижной антенны выполняется точно, поэтому

= я(п) (|/—™\АТ) =

— [ехР(г^™) 1п(1

к 1

2 1 1 9 Г

-к?)) — 1І——2 (1 + к9)гт —1 ] к2 .

Для марковского процесса первого порядка

Гт) — г(т') имеет вид

1

а) Д(п)(х) 1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

V

V

V

л ч\'л

V

о°^\ Л 10°

5°- / ч'.

ч

б) Д<п)(х) 1

0 1 2 3 4 5

X, МКС

у = 90°, Ж =3 балла, х =1,5 мкс

0,8

0,6

0,4

0,2

0

V,

\\

К N л ч \

\\ \ч 4 О

' \ \ \ \

\ ч ■45^

90°- ч 4 \

\

б) Е<п>(х) 1

0

2 3 4 5

X, МКС

0,8

0,6

0,4

0,2

0

\

\

\

ч1 балі

\

<

\

3 бaлJ

5 ба ІЛОВ

г) Д(п)(х) 1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

■\\

' \\ ' V

\'

\ \\

^ \

\ К N \ хГ1 мкс

І.б4! 1КС \ 'Xх

3 мі с^* ч ч

—

6 = 5°,Ж=Збалла, х =1,5 мкс

0 1 2 3 4 5 “О

X, мкс

6 = 5°,¥=90о, х = 1,5 мкс

1 2 3 4 5

X, мкс

6 = 5°,¥=90о,

Ж =3 балла

■ Рис. 1. Пространственные корреляционные функции В(п) (т) в зависимости от 0 (а); у (б); W (в); т (г)

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

О

-0,2

Е<в)(х)

и w V : = і-= б( -2 б ,0 ал/ а

|\ и |\ \\

\\ \\ \\ \\

К

Л 2Г

О

50

100 150

X, мкс

а1 = 26 с-1, а2 = 9 с-1, а3 = 63 с-1, у=110 рад/с,

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

О

-0,2

Д(в)(х)

м її = 3-= 60 5 б 0 алл ов

V к £

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

О

-0,2

С1 = 0,11,С2 = 0,31 Д(в)(х)

а1 = 16с !, а2 = 14с а3 =110 с-1, 7 = 157 рад/с, С1 = 0,26,С2 = 0,64

Е<в)(х)

w V = 1 = 0‘ -2 ( іал: іа

\

\

г V

W V = 1-= 6Е -2 6 0 алл а

,у 2 \

\У- \

О

50

100 150

X, мкс а1 = 4 с-1, а2 = 3 с-1, а3 = 67 с-1, у= 103 рад/с,

С1 = 0,04, С2 = 0,39

О 50 100 150

X, мкс

а1 = 5 с-1, а2 = 50 с-1, а3 = 100 с-1, у=98 рад/с, СЛ = 0,015, С„ = 0,04

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

О

-0,2

О 50 100 150

X, мкс

а1 = 5 с-1, а2 = 6 с-1, а3 = 252 с-1, у= 270 рад/с, С1 = 0,07, С2 = 0,20

Д(в)(х)

ж V = 1-= 9( -2 6 |0 ал/ а

\

\ V ^7

V

О

50

100 150

X, мкс

а1 = 51 с-1, а2 = 0,2 с-1, а3 = 184 с-1, 7= 232 рад/с, С1=0,01,С2 = 0,07

■ Рис. 2. Временные корреляционные функции: 1 — экспериментальные; 2 — модели 24 ^ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮШИЕ СИСТЕМЫ

№ 2, 2010

гт = г(п) (|} — т\ АТ) = г(п) (т') =

= ехр(—а|; —т| АТ) = ехр(—ат'),

где а — некоторый коэффициент, который определяется из вышеприведенных выражений приравниванием Т = тз:

= — 1_ lnln(1 + KfR(д) (Тз)) Тз ln(1 + K2) '

а

Расчеты То*, и Л(п)(хз) показывают, что в дальней зоне а можно считать константой, слабо зависящей от условий наблюдения морской поверхности. На рис. 1, а—г представлены пространственные корреляционные функции эхо-сигналов морской поверхности, рассчитанные по приведенным выше выражениям.

Временная корреляционная функция локационного сигнала, отраженного от поверхности моря

Перейдем теперь к рассмотрению временных корреляционных функций R(n> = Д(в) (|Ь — п |Трлс )-= (т = |£ — «|7рлс) = R(в) (х) — корреляционных

функций межпериодных флюктуаций огибающей эхо-сигнала морской поверхности. Аппроксимируем R(^ кривой, соответствующей выражению (5):

R\n = R(B) (

Iі _га|ТРЛС ) — r(b) (х) —

exp

Vln(1-

-K2)In(1 + Kl) г

(х))-1

где в качестве г(в)(х), отражающей характерные особенности кривых, целесообразно использовать кривую вида [5]

Литература

1. Кулемин Г. П. Радиолокационные помехи от моря и суши РЛС сантиметрового и миллиметрового диапазонов // Тр. Междунар. науч.-техн. конф. (докл.) / АН Украины; НПО Квант. Киев, 1994. Вып. 1. С. 23-29.

2. Тверской Г. Н., Терентьев Г. К., Харченко И. П. Имитаторы эхо-сигналов судовых радиолокационных станций. — Л.: Судостроение, 1973. — 228 с.

3. Trunc G. V., Gejrge S. F. Detection of Targets in Non-Gaussion Sea Clutter // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1970. Vol. AES-6. N 5. P. 620-628.

4. Шепета А. П. Синтез нелинейных формирующих фильтров для моделирования входных сигналов локационных систем // Тр. Междунар. науч.-техн.

Г(т) = Се Й1 ССВ(7Т) + с2е + Сде °'3, (6)

где Ср С2, С3, а1, а2, а3, у — неотрицательные константы, причем С1 + С2 + С3 = 1.

Экспериментальные кривые Д(в)(х) и их аппроксимации приведены на рис. 2.

Заключение

Математические модели эхо-сигналов морской поверхности, основанные на экспериментальных данных, позволяют исследовать работу бортовых локаторов ЛА в условиях, максимально приближенных к натурному эксперименту. При построении подобных моделей в качестве данных эксперимента в распоряжении исследователя имеются данные об одномерном законе распределения вероятностей и о корреляционно-спектральных характеристиках флюктуаций огибающей.

При аппроксимации корреляционных функций эхо-сигналов морской поверхности необходимо учитывать закон распределения огибающей. Например, для логарифмически-нормальной модели экспоненциальными и экспоненциальнокосинусными кривыми следует аппроксимировать флюктуации логарифма огибающей, а не сами корреляционные функции. Подобная аппроксимация, в частности, позволяет синтезировать имитационные модели флюктуаций огибающей, свободные от методических ошибок.

Из предложенных в работе моделей следует, что эхо-сигналы морской поверхности, соответствующие ее участкам, разнесенным в пространстве на расстояние, гораздо большее длительности зондирующего сигнала, коррелированны, что хорошо согласуется с известными экспериментальными фактами.

конф. (докл.) / АН Украины; НПО Квант. Киев, 1994. Вып. 1. С. 81-85.

5. Бессонов А. А., Сесин А. Е., Шепета А. П. Математические и имитационные модели эхо-сигналов морской поверхности // Национальная ассоциация авиаприборостроителей. Аэрокосмическое приборостроение России. Сер. 2. Авионика. 2005. Вып. 4. С. 52-69.

6. Давидчук А. Г., Сесин А. Е., Шепета Д. А. Марковская модель флюктуаций амплитуд и длительностей эхо-сигналов крупных надводных объектов // Национальная ассоциация авиаприборостроителей. Аэрокосмическое приборостроение России. Сер. 2. Авионика. 2005. Вып. 5. С. 20-28.

1