МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХПРИВОДНОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ РУЛЕВОЙ МАШИНЫ ЖИДКОСТНОГО РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.45.054-523

математическая модель двухприводной электромеханической рулевой машины жидкостного ракетного двигателя

© 2022 г. Белоногов О.Б., ронжин и.в.

Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070,

e-mail: post@rsce.ru

Статья содержит результаты разработки математической модели динамики двухприводной электромеханической рулевой машины системы управления вектором тяги жидкостного ракетного двигателя пилотируемого транспортного корабля. В основу разработки математической модели рулевой машины положены математическая модель магнитоэлектрического двигателя (электродвигателя с возбуждением от постоянных магнитов), а также математические модели электромеханических приводов и систем. В статье проводится декомпозиция рулевой машины на составляющие функциональные элементы, и разрабатываются уравнения для момента инерции присоединённых к валам магнитоэлектрических двигателей подвижных частей рулевой машины, полного момента сопротивления вращению валов магнитоэлектрических двигателей и КПД редуктора. Выполняется агрегирование нелинейной математической модели динамики двухприводной электромеханической рулевой машины. Приводятся результаты апробации разработанной математической модели динамики такой рулевой машины для варианта её эксплуатации с функционированием одного из магнитоэлектрических двигателей и нахождением второго магнитоэлектрического двигателя в «холодном» резерве и для варианта её эксплуатации с функционированием обоих магнитоэлектрических двигателей. Расчётные графики переходных характеристик и данные экспериментов имеют расхождение менее 3%, что указывает на корректность разработанной математической модели двухприводной электромеханической рулевой машины.

Ключевые слова: электромеханическая рулевая машина, нелинейная математическая модель, переходная характеристика.

EDN: HWLZRE

MATH MODEL OF A DuAL-DRivE ELECTROMECHANICAL STEEnNG ACTuator

of a liquid propellant rocket engine

Belonogov O.B., Ronzhin i.v.

S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str, Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, е-mail: post@rsce.ru

The paper contains development results of math model for dynamics of dual-drive electromechanical steering actuator of the system for controlling the thrust vector of

БЕЛОНОГОВ Олег Борисович — кандидат технических наук, начальник сектора РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru

BELONOGOV Oleg Borisovich — Candidate of Science (Engineering), Head of Subdepartment at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru

РОНЖИН Иван Владимирович — аспирант, инженер-электроник 2 категории РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru

RONZHIN Ivan Vladimirovich — Postgraduate, Electronics engineer 2 category at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru

the liquid propellant engine of a crew transportation spacecraft. The steering actuator math model was developed on the basis of a math model of a electromagnetic motor (electric motor with permanent-magnet excitation), as well as math models of electromechanical drives and systems. The paper decomposes the steering actuator into constituent functional elements and develops equations for the moment of inertia of the steering actuator moving parts attached to the shafts of electromagnetic motors, the full moment of resistance to the rotation of shafts in magneto-electric motors, and gear efficiency. It aggregates the non-linear math model of the dual-drive electromechanical steering actuator dynamics. It provides validation results for the developed math model of the dynamics of such steering actuator for both the option where it is operated with one active electromagnetic motor while the other electromagnetic motor stays in cold standby mode and for the option where it is operated with both electromagnetic motors active. Nomograms of transient response and experimental data have a less than 3% discrepancy between them, which validates the developed math model of the dual-drive electromechanical steering actuator.

Key words: electromechanical steering actuator, non-linear math model, transient response.

БЕЛОНОГОВ О.Б.

ронжин и.в.

Введение

Для дальних полётов в космическом пространстве применение электрогидравлических рулевых машин (РМ) опасно из-за возможности замерзания рабочей жидкости, поэтому в качестве исполнительных органов систем управления вектором тяги жидкостных ракетных

двигателей (ЖРД) космических кораблей получили широкое распространение электромеханические РМ [1]. Для повышения надёжности было принято решение выполнить РМ с резервированием ответственных функциональных элементов. В конструкцию РМ было введено два магнитоэлектрических двигателя (МЭД), кинематически

соединённых с общим редуктором. Отличительной особенностью эксплуатации двухприводной электромеханической РМ является возможность её работы на одних участках с двумя функционирующими МЭД («горячий» резерв), а на других участках — только с одним, при этом второй МЭД находится в «холодном» резерве, но его вал продолжает вращаться синхронно первому.

Рулевая машина осуществляет управление углом поворота камеры ЖРД, установленной в карданном подвесе на раме, посредством шарнирно-рычажного механизма, соединённого с её валом и камерой ЖРД, в соответствии с командными сигналами системы управления.

Входящие в состав РМ МЭД содержат корпус, внутри которого расположены сердечники и обмотки возбуждения, а ротор выполнен в виде пустотелого цилиндрического магнита, на валу которого установлен коллектор, представляющий собой цилиндрическое тело, состоящее из отдельных пластин, с которыми контактируют дублированные щётки, осуществляющие коммутацию обмоток возбуждения при вращении вала.

Рациональный выбор значений параметров такой РМ может быть достигнут путём проведения системного анализа и параметрической оптимизации, а составляющими элементами системного анализа являются декомпозиция агрегата или системы на составляющие элементы и последующее агрегирование математической модели этого агрегата или системы [2].

постановка задач исследований

В настоящей работе ставятся следующие задачи:

• декомпозиция РМ на составляющие функциональные элементы;

• агрегирование нелинейной математической модели РМ, отражающей два динамических режима её работы;

• апробация разработанной математической модели динамики РМ.

декомпозиция рм на составляющие функциональные элементы и разработка уравнений для момента инерции, момента сопротивления и кпд редуктора

Расчётная кинематическая схема РМ представлена на рис. 1. Декомпозиция

РМ на функциональные элементы представлена на рис. 2.

Согласно рис. 1 и 2, РМ содержит:

• два МЭД, приводящих во вращение общий редуктор;

• редуктор, содержащий четыре ступени с цилиндрическими зубчатыми колёсами;

• два контактных дискретных датчика угла (ДДУ) поворота выходного вала РМ (цифровые датчики обратной связи, создающие семиразрядный двоичный код Грея);

• телеметрический потенциометр (ТП);

• две пары путевых концевых контактов (КК).

Концевые контакты располагаются на выходном валу РМ, а ДДУ, как и ТП, соединены с предпоследней ступенью редуктора посредством своих дополнительных шестерён. Таким образом, передаточное число редуктора отличается от передаточных чисел передач к ДДУ и ТП.

Рис. 1. Кинематическая схема рулевой машины (РМ):

2 — количество зубьев шестерни; МЭД — магнитоэлектрический двигатель; ДДУ — дискретный датчик угла; ТП — телеметрический потенциометр

Рис. 2. Декомпозиция РМ на составляющие функциональные элементы: РМ — рулевая машина; МЭД — магнитоэлектрический двигатель; Р — редуктор; ДДУ — дискретный датчик угла; ТП — телеметрический потенциометр; КК — концевой контакт

Все составляющие элементы РМ обладают своими собственными моментами трения, которые необходимо учитывать при создании математических моделей РМ.

В общем случае для однодвига-тельного электропривода приведённый к валу электродвигателя момент инерции подвижных частей электропривода / определяется как [3]:

] = Л + X

Jт

П ¿? к- 1к

где /д — момент инерции ротора электродвигателя с учётом момента инерции шестерни на его валу; 1т — момент инерции ступени редуктора; ¿к — передаточное число ступени редуктора; т — номер ступени редуктора; п — количество ступеней редуктора; к — номер передаточного числа ступени редуктора.

Тогда момент инерции, приведённый к валам МЭД, для двухдвигательной РМ определяется как

I = 2/д + л/(г2) + л/(г2 ¿2) + л /(¿2 ¿2 ¿32) + л/о? ¿2 ¿3 ¿42) + 2/5/Сг? ¿2 ¿2 ¿2) + л/02 ¿2 ¿2 ¿2), (1)

где I — момент инерции ротора МЭД; I — момент инерции шестерни первой ступени редуктора; ¿1 — передаточное число первой ступени редуктора; /2 момент инерции шестерни второй ступени редуктора; ¿2 — передаточное число второй ступени редуктора; /3 момент инерции шестерни третьей ступени редуктора; ¿3 — передаточное число третьей ступени редуктора; /4 момент инерции шестерни четвертой ступени редуктора; ¿4 — передаточное число четвертой ступени редуктора; /5 — момент инерции шестерни,

соединяющей третью ступень редуктора с ДДУ с учётом момента инерции подвижных частей ДДУ;

¿

передаточное число передачи от

третьей ступени редуктора к валу ДДУ; /6 — момент инерции шестерни, соединяющей третью ступень редуктора с ТП с учётом момента инерции подвижных частей ТП; ¿6 — передаточное число передачи от третьей ступени редуктора к валу ТП.

Полный момент сопротивления М, приведённый к валам МЭД, определяется следующим выражением [4]:

Мс = Мс.э1 + Мс.э2 + (Мн + 2Мк.к)/(¿рПр) + (2Мд.д.у)/(¿р1Пр) + МУ^Пр)

(2)

где Мсэ1, Мсэ2 — моменты сухого трения в МЭД; Мн — момент нагрузки на выходном валу РМ; Мкк — момент сухого трения от КК; пр — КПД редуктора РМ и передачи от валов МЭД к валу ТП; ¿р — передаточное число редуктора РМ, определяемое как ¿р = ¿^¿.¡¿4; ¿р1 передаточное число передачи от валов МЭД к валам ДДУ с учётом встроенного в ДДУ редуктора, определяемое как ¿р1 = ¿^¿5; ¿р2 — передаточное число передачи от валов МЭД к валу ТП, определяемое как ¿р2 = ¿^¿.¡¿6; пр — КПД

редуктора и других передач от валов МЭД к валу ТП и к валам ДДУ, определяемое как пр = П1П2П3П4, где КПД каждой ступени.

Поскольку КПД ступеней для редукторов с цилиндрическими зубчатыми колёсами выбирается из рекомендованного диапазона пр = 0,96-0,98 [5], а число ступеней у редуктора и передачи от валов МЭД к валу ТП равно четырём, можно принять КПД одной ступени п = 0,96, тогда общий КПД будет п = 0,8493.

Агрегирование нелинейной математической модели рм динамического режима работы

Поскольку в составе системы управления космических кораблей и разгонных блоков РМ работают не в режиме слежения, а в режиме позиционирования, они должны обеспечивать перемещение рабочего органа из одного исходного положения в другое за время не больше заданного. При этом траектория перемещения чаще всего не имеет значения. При работе РМ в режиме позиционирования обычно выдвигаются жёсткие требования к точности поддержания рабочего органа в заданном положении при наличии внешних возмущений. В связи с этим такие свойства РМ, как линейность мо-ментной характеристики в функции сигнала управления, стабильность момента от угла поворота выходного вала РМ, зона нечувствительности моментной характеристики РМ и т. д. являются мало влияющими на адекватность и достоверность моделирования. Теоретическая точность поддержания рабочего органа системой при использовании РМ, в состав которой входит семиразрядный датчик кода Грея, имеющий 128 дискретных положений, составляет менее ±1% от диапазона регулирования.

В основу разработки математической модели динамического режима работы РМ, а также методов расчёта её динамических характеристик были положены:

• математическая модель магнитоэлектрического двигателя [6];

• принципы создания математических моделей электромеханических приводов и систем, изложенные в работах [3-5; 7-9];

• численный метод решения систем нелинейных дифференциальных уравнений Рунге-Кутты 4-го порядка [10].

Поскольку эксплуатация РМ предполагается в двух режимах — с работой одного из МЭД в «холодном» и «горячем» резерве — для этих вариантов эксплуатации РМ необходимо разработать математическую модель (ММ), позволяющую осуществлять моделирование обоих режимов эксплуатации РМ.

Разработка ММ таких режимов работы РМ строится на предположении о том, что параметры МЭД РМ, кроме индуктивности электрической цепи и момента инерции ротора МЭД, в общем случае имеют отличия.

Математическая модель рулевой машины для динамического режима её работы варианта эксплуатации с двумя функционирующими МЭД получается из следующих дифференциальных уравнений:

• уравнений баланса напряжений в электрических цепях МЭД, получаемых из математической модели МЭД [6]

Ь

+ Я111 + Кэ1ш = и;

&

&

й12

^ + ^ + Кэ2® = ^

(3)

(4)

где Ь — индуктивность обмоток электрической цепи МЭД; Я1 — активное сопротивление электрической цепи первого МЭД; Я2 — активное сопротивление электрической цепи второго МЭД; и — напряжение питания,

подаваемое на МЭД; Кэ1 — коэффициент электромеханической скоростной связи первого МЭД; Кэ2 — коэффициент электромеханической скоростной связи второго МЭД; 11 — ток, потребляемый первым МЭД; 12 — ток, потребляемый вторым МЭД; ш — угловая скорость вращения валов обоих МЭД, кинематически соединённых с общим редуктором;

• уравнений баланса моментов, приведённых к валу МЭД

йф йЬ

= ш;

К .I. + К л, - м = т

м1 1 м2 2 с •>

йю йЬ

(5)

(6)

где ф — угол поворота валов обоих МЭД; Км1 — коэффициент моментной характеристики первого МЭД; Км2 — коэфициент моментной характеристики второго МЭД; т — момент инерции вращающихся частей РМ, приведённый к валам МЭД, определяемый по формуле (1);

Разрешая уравнения (3), (4) и (6) с учётом выражения (2) относительно производных, приводим все уравнения ММ к нормальной форме Коши:

dIt dt

dI2 dt

dy dt

= (1/L)U - (Rl/L)Il - (K3l/L)w; (7)

= (1/L)U- (R2/L)I2 - (K32/L)q; (8)

= w;

(9)

d® dt

= K/h + (KM2//)I2 - (1//)Mc. (10)

Угол поворота выходного вала редуктора РМ определяется как

а = 57,295(Ф^р), (11)

а его угловая скорость — выражением

у = 57,295(ш^р). (12)

Вводим в уравнения (7)-(10) комплекс постоянных коэффициентов: Ъ1 = 1/£, Ь2 = ^Д, Ъ3 = Хв1/1, Ъ 4 = Л2/1, Ъ 5 = К^Д,

Ъ6 = ^м1/1, Ъ7 = Км2/1, Ъ8 = 1/1 и переписываем их в виде

dIt

dt

dI2 dt

dy dt

= b1U - b2I1 - b3w;

= b1U - b4I2 - b5w;

= w;

d®

= bKI. + b7I2 - b8M .

6 1 7 2 8 c

(13)

(14)

(15)

(16)

&

X/ = Л + /2, (17)

где X/ — суммарный ток, потребляемый магнитоэлектрическим двигателем рулевой машины.

Уравнения (11)-(17) образуют нелинейную ММ РМ для варианта её эксплуатации с двумя функционирующими МЭД, пригодную для решения численными методами. Для моделирования варианта эксплуатации РМ с одним функционирующим МЭД достаточно приравнять к нулю коэффициент мо-ментной характеристики второго МЭД, т. е. Км2 = 0, а выходным параметром ММ считать только ток I1, потребляемый первым МЭД, а при вычислении суммарного тока, потребляемого МЭД РМ, значение тока второго МЭД I2 полагать равным нулю. Этот приём позволяет избежать возникновения в процессе моделирования работы РМ включения режима динамического торможения второго МЭД.

Апробация разработанной нелинейной мм динамического режима работы рм

Апробацию разработанных нелинейных ММ РМ удобно провести путём моделирования режима проверочного включения РМ. Данный режим предполагает подачу на РМ номинального напряжения питания и выключение питания РМ при достижении выходным валом её редуктора максимального угла поворота а . Этот режим

J L max L

является искусственным, так как предполагает выполнение при достижении максимального угла поворота выходного вала редуктора РМ следующих ограничений:

пРи а > amax ^ I1 = I2 =

Ф = Ф:^ Y = 0; W = 0,

где ф — максимальный угол поворота валов обоих МЭД.

Интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений математической модели РМ осуществлялось в процессе проведения вычислительных экспериментов методом Рунге-Кутты 4-го порядка [10] в среде Free Pascal.

Для верификации математической модели РМ был проведён ряд натурных экспериментов по определению переходных характеристик РМ по следующим параметрам:

• потребляемый ток МЭД РМ;

• скорость вращения вала МЭД РМ;

• угол поворота вала РМ.

О 0,002 0,004 0,006 0,008 Ь,с а)

со, рад/с ----г———^^^^^

0 0,004 0,008 0,012 0,018 ¿,с б)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 с

в)

Рис. 3. Переходные характеристики тока, потребляемого

РМ: а — переходные характеристики суммарного тока, потребляемого РМ; б — переходные характеристики угловой скорости вращения валов МЭД; в — переходные характеристики угла поворота выходного вала РМ; — режим работы РМ с двумя МЭД, расчёт; « « « — режим работы РМ с двумя МЭД, эксперимент; — режим работы РМ с одним МЭД, расчёт; « « « — режим работы РМ с одним МЭД, эксперимент

Экспериментальные исследования проводились с использованием нагрузочного стенда, позволяющего создавать постоянно действующий номинальный момент на валу РМ. Переходная характеристика по току, потребляемому МЭД, осуществлялась путём осциллографирования напряжения, снимаемого с дополнительного сопротивления, включаемого в цепь соединённых последовательно МЭД или в цепь одного МЭД, а переходная характеристика скорости вращения вала МЭД осуществлялась с помощью тахогенератора постоянного тока, подсоединяемого к валу МЭД. Переходная характеристика угла поворота вала РМ осуществлялась посредством осциллографирования сигнала с телеметрического потенциометра РМ.

На рис. 3 представлены зависимости переходных характеристик тока, потребляемого МЭД РМ, от времени для режимов работы с одним и двумя МЭД при предположении идентичности их параметров; переходных характеристик скорости вращения валов МЭД РМ от времени для режимов работы с одним и двумя МЭД при предположении идентичности их параметров и переходных характеристик угла поворота выходного вала редуктора РМ от времени для режимов работы с одним и двумя МЭД при предположении идентичности их параметров вместе с экспериментальными переходными характеристиками.

На рис. 3 представлены также экспериментальные переходные характеристики РМ.

Как видно из рассмотрения рисунков, расчётные графики и данные экспериментов практически совпадают, что указывает на корректность разработанных математических моделей РМ. Погрешность расчётов по сравнению с данными экспериментов составляет менее 3%.

Заключение

В итоге проведённых разработок получены следующие основные результаты:

• выполнена декомпозиция РМ на составляющие функциональные элементы, разработаны уравнения для момента

инерции, момента сопротивления и КПД редуктора;

• агрегирована нелинейная математическая модель динамики РМ для вариантов её эксплуатации с функционированием одного из МЭД и нахождением второго МЭД в «холодном» резерве, а также для варианта её эксплуатации с функционированием обоих МЭД («горячий» резерв);

• выполнена апробация РМ нелинейной математической модели динамики РМ для двух вариантов её эксплуатации;

• адекватность математической модели РМ подтверждается погрешностью расчётов, не превышающих по модулю 3% по сравнению с натурными экспериментами.

Разработанная математическая модель РМ позволяет исследовать влияние разбросов (неидентичности) параметров МЭД на статические характеристики РМ.

Список литературы

1. Kudryautsev V.V., Stepan G.A., Shutenko V.I., Chertok B.E. The rocket steering actuators // IAC'94 International Aerospace congress. Theory, Applications, Technologies. Abstracts. August 15-19, 1994, Moscow, Russia.

2. Романов В.Н. Системный анализ для инженеров. СПб: СЗГЗТУ, 2006. 186 с.

3. Свириденко П.А., Шмелев А.Н. Основы автоматизированного электропривода. М.: Высшая школа, 1970. 392 с.

4. Воронин С.Г. Электропривод летательных аппаратов. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. Ч. 1. 171 с.

5. Блинков Ю.В. Электромеханические системы: Уч. пос. Пенза: Изд-во Пенз. технол. ин-та, 2001. 204 с.

6. Белоногов О.Б., Ронжин И.В. Математическая модель электродвигателя постоянного тока рулевой машины жидкостного ракетного двигателя // Космическая техника и технологии. 2021. № 4(35). С. 93-99.

7. Боровиков М.А. Расчёт быстродействующих систем автоматизированного электропривода и автоматики. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1980. 390 с.

8. Лыков А.Н. Системы управления электроприводами: Монография. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. 191 с.

9. Онищенко Г.Б. Электрический привод: Уч. для вузов. М.: РАСХН, 2003. 320 с.

10. Демидович В.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Изд. 6-е, стер. СПб: Лань, 2011. 664 с.

Статья поступила в редакцию 23.07.2021 г. Окончательный вариант — 24.11.2021 г.

References

1. Kudryautsev V.V., Stepan G.A., Shutenko V.I., Chertok B.E. The rocket steering actuators. IAC'94 International Aerospace congress. Theory, Applications, Technologies. Abstracts. August 15-19, 1994, Moscow, Russia.

2. Romanov V.N. Sistemnyi analiz dlya inzhenerov [Systems analysis for engineers]. Saint-Petersburg, SZGZTUpubl, 2006. 186 p.

3. Sviridenko P.A., Shmelev A.N. Osnovy avtomatizirovannogo elektroprivoda [Basics of automated electric drive]. Moscow, Vysshaya shkolapubl., 1970. 392p.

4. Voronin S.G. Elektroprivod letatel'nykh apparatov [Electric drive of flying vehicles]. Chelyabinsk, YuUrGUpubl, 2006, part 1, 171 p.

5. Blinkov Yu.V. Elektromekhanicheskie sistemy: Uch. pos. [Electromechanical systems: Textbook]. Penza, Penz. Tekhnol. In-tpubl., 2001. 204 p.

6. Belonogov O.B., Ronzhin I.V. Matematicheskaya model' elektrodvigatelya postoyannogo toka rulevoi mashiny zhidkostnogo raketnogo dvigatelya [Math model of a direct current motor for steering actuator of a liquid-propellant engine]. Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2021, no. 4(35), pp. 93-99.

7. Borovikov M.A. Raschet bystrodeistvuyushchikh sistem avtomatizirovannogo elektroprivoda i avtomatiki [Analysis of quick-response systems of an automated electric drive and automatics]. Saratov, Saratovskiy university publ., 1980. 390 p.

8. Lykov A.N. Sistemy upravleniya elektroprivodami: Monografiya [Systems for controlling electric motor drives: Monograph]. Perm', Perm. gos. tekhn. un-tpubl., 2009. 191 p.

9. Onishchenko G.B. Elektricheskii privod: Uch. dlya vuzov [Electric drive: Textbook for institutions of higher learning]. Moscow, RASKhNpubl., 2003. 320p.

10. Demidovich V.P., Maron I.A. Osnovy vychislitel'noi matematiki. Izd. 6-e, ster. [Fundamentals of computational mathematics. 6th ed., reprint]. Saint-Petersburg, Lan'publ., 2011. 664p.