Математическая модель движения гиперзвукового летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ГИПЕРЗВУКОВОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Пророк Валерий Ярославович,

д.т.н., профессор, профессор кафедры программно-алгоритмического обеспечения ракетно-космической обороны Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, val_prorok@mail.ru

Шаймухаметов Шамиль Ильдусович,

адъюнкт кафедры программно-алгоритмического обеспечения ракетно-космической обороны Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, 28_172@mail.ru

Аннотация

В работе рассмотрены наиболее перспективные программы развития гиперзвуковых летательных аппаратов, их тактико-технические характеристики, проанализированы возможности и особенности движения, которыми обладают гиперзвуковые летательные аппараты, перечислены их основные преимущества, отражены наиболее вероятные способы запуска, приведена математическая модель движения гиперзвукового летательного аппарата в виде системы дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: гиперзвуковые летательные аппараты; крылатые ракеты; математическая модель движения.

В настоящее время практически все промышлеиио развитые страны в стремлении обеспечить существенные преимущества в воздушно-космической сфере ведут активные исследования в области разработки перспективных гиперзвуковых технологий для создания нового поколения летательных аппаратов. Если первые проекты создания гиперзвуковых летательных аппаратов (ГЗЛА) были не подкреплены ни достаточной теорией, ни экспериментальными результатами, то уже к концу первого десятилетия нового столетия успешно прошли испытания и в основном сформировались класс и подклассы ГЗЛА. Определилась наиболее вероятная этапность создания и постановки новых типов летательных аппаратов на вооружение.

Наибольший объем опытно-конструкторских работ по созданию гиперзвуковых летательных аппаратов проводится в США. Основной концепцией, связанной с использованием ГЗЛА в качестве ударных средств, стала концепция Быстрого Глобального Удара (Prompt Global Strike — PGS). Генеральной задачей реализации концепции PGS является желание «иметь возможность в течение 60 минут нанести удар практически по любой точке на поверхности Земли».

Военно-промышленным комплексом совместно с научно-исследовательскими центрами США реализуется одобренная американским правительством широкомасштабная авиационно-космическая программа «Национальная авиационно-космическая инициатива» (NAI, National Aerospace Initiative), инициированная и руководимая управлением перспективных исследований Министерства обороны DARPA (Defence Advanced Research Projects Agency).

В рамках программы NAI осуществляется поэтапное освоение областей летных режимов ГЗЛА [1], которые, в отличие от других типов целей имеют ряд только им присущих особенностей, существенно затрудняющих решение задач по их обнаружению, сопровождению, опознаванию и поражению, возложенных на средства системы ПВО (ВКО) государства, против которого они будут применяться (рис. 1).

Первая — возможность использования ранее не освоенного (промежуточного) средствами воздушно-космического нападения диапазона высот от 30 до 120 км от земной поверхности.

Вторая — способность ГЗЛА осуществлять полет на ранее не достижимых для СВКН скоростях (от 5 до 30 М) как в атмосфере, так и за ее пределами — в околоземном космическом пространстве.

Третья—высокая вероятность боевого применения ГЗЛА на трансконтинентальных дальностях и последовательного перехода из воздушного пространства в космическое и обратно.

Четвертая — использование смешанных труднопрогнозируемых траекторий полета к объекту поражения (аэродинамическая — на начальном этапе полета, эллиптическая — при полете в околоземном космическом пространстве, баллистическая— на конечном этапе полета во время атаки объекта поражения (рис. 2)).

Рис. 1. Пространственные возможности РЛС по обнаружению ГЗЛА

Пятая — сочетание в одном ГЗЛА боевых свойств как аэродинамических СВН (способность совершать полет и маневрировать в атмосфере), так и космического аппарата (возможность нахождения на орбите и совершения маневра в ближнем космосе) [2].

Необходимо отметить, что в рамках концепции быстрого глобального удара и программы NAI МО США особое значение придает двум наиболее перспективным проектам: SED-WR (Scramjet Engine Demonstrator — Wave Rider) no созданию гиперзвуковой крылатой ракеты (ГЗКР) Х-51А и FALCON (Force Application and Launch from CONtinental United States) по разработке серии ГЗЛА HTV (Hypersonic Technology Vehicle) и HCV (Hypersonic Common Vehicle) [3].

По мнению специалистов, расчетная дальность полета ГЗКР Х-51А может составлять 1100 км, максимальная скорость полета 7-8 М, диапазон высот 10-30 км.

Военно-политическое руководство США рассматривает ГЗКР, прежде всего, в качестве высокоточных средств, с помощью которых можно оперативно уничтожать различные цели противника. Предполагается, что нанесение ударов данным ракетами будет осуществляться как по одиночным, так и по групповым особо важным стационарным и мобильным объектам. При этом носителями ГЗКР могут быть различные морские носители и стратегические бомбардировщики, а в перспективе самолеты тактической авиации и ударные беспилотные летательные аппараты [1].

18

S2-2016

В рамках проекта FALCON наибольший интерес представляют аппараты типа HTV, которые выводятся с помощью разгонных ступеней на высоту до 300 км, после чего происходит отделение разгонного блока и аппарат начинает снижение со скоростью порядка 20 М. Постепенно скорость снижается до 12 М, и на высоте 45 км начинается планирование, расчетная дальность которого составляет около 16500 км. Благодаря относительно высокому аэродинамическому качеству при такой дальности боковой маневр г6м составляет 5000 км (рис. 3). Большая скорость в момент удара вызывает мощный кинетический эффект.

ГЗЛА типа HTV имеет большие преимущества по сравнению с ГЗКР, наиболее важными из которых являются большая дальность полета и возможность осуществления старта с континентальной части США. ГЗЛА такого класса представляет собой маневренный гиперзвуковой планер, инерционный полет которого на межконтинентальную дальность обеспечивается за счет кинетической энергии, накопленной при работе ускорителей (разгонных ступеней). В качестве разгонных ступеней рассматриваются разнообразные варианты, в том числе различные ракетоносители и воздушно-космические системы. Полет аппарата осуществляется по траектории равновесного планирования либо по траектории динамического планирования с отражениями от плотных слоев атмосферы. Форма гиперзвукового планера обеспечивает ему достаточно большое значение аэродинамического качества во всем диапазоне гиперзвуковых скоростей полета. Это позволяет совершать длительный планирующий полет с разворотами на значительные расстояния в боковом направлении.

Учитывая рассмотренные выше тактико-технические характеристики и возможные особенности полета ГЗЛА система дифференциальных уравнений, описывающих их движение в траекторной системе координат, будет иметь вид [4]:

Рис. 3. Величина максимального бокового маневра ГЗЛА

• 2 P

V = -axpV -gr sin9 + gz sinxcos9 + — +

m

+ RQ2 cos 9(sin 9 cos ф - cos 9 sin ф sin x),

V gr

= a vpV cos Y a +1---L

v R V

cos 9—- sin x sm( V

P.

V

x =

-2Q cos ф cos x avPV .

RQ2

cos 9

sin Y a

V

V cos 9 R

cos ф(cos 9 cos ф + sin 9 sin ф sin x), cos x Pz

tg ф cos x-

- 2Q(sin ф - cos ф sin x tg 9) -

R = V sin 9,

. V cos 9 . ф = —-— sin x,

RQ2

V cos

V cos 9 mV cosl

-sin фcos фcos x,

(1)

X =

R

V cos 9 cosx R cos ф

m = -p.

где Г—скорость,

9 — угол наклона траектории, X—угол пути,

Я — величина радиус-вектора центра масс ГЗЛА, ф — географическая широта,

X — географическая долгота, т — масса,

р — плотность атмосферы,

^ « 0,727 * 10-4 с-1 — угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси.

Радиальная и трансверсальная составляющие вектора гравитационного ускорения ^, лежащего в меридиальной плоскости, с точностью до полиномов Лежандра второго порядка, определяются по формулам:

„2

h R:

1 + 0,00162

'R ^

kR

^ (l-3sin>)

g2 =-0,00162^sin2(p (2)

гдеу3 = 398600,4 км3 le1 —гравитационнаяпостояннаяЗемли.

Проекции вектора силы тяги двигателей, жестко закрепленных и ориентированных вдоль продольной оси ГЗЛА, вычисляются по формулам:

P = P cos а,

Py = P sin а cos ya, ^

Pz = P sin а cos Ya. где P = РудР — сила тяги двигателей, P^ —удельная тяга.

Коэффициенты ax, ay и аэродинамическое качество К аппарата определяются по соотношениям:

с S c S c

„ _ Уа ъг Уа

= ^—, a У = ^—, K = —

2m 2m Cxa (4)

где ca, ca — коэффициенты аэродинамической силы лобового сопротивления и аэродинамической подъемной силы, S— характерная площадь аппарата.

Число Маха рассчитывается как отношение воздушной скорости аппарата, которая при отсутствии ветра совпадает со скоростью относительно Земли, и скорости звука на данной высоте:

V

M = V (5)

a

где скорость звука a связана с температурой воздуха Т соотношением:

a = 20,0463VT

Высота Н над поверхностью Земли, имеющей форму эллипсоида вращения с указанными выше параметрами, вычисляется по формуле:

R

H = R - ' 2 (6)

д/1 - 0,0066934cos2 ф

Составляющие вектора перегрузки в проекциях на связанную продольную и нормальную оси ГЗЛА определяются по соотношениям:

P S pV2 ( . \

nx = -+--— (Cya Sin а- Cxa cos а)>

g0 m g0m 24

S pV2 ( . . ^

" = -(Cya а + Cxa sin «)>

2

где g0 ©9,81 </А —гравитационноеускорениенаповерхностиЗемли.

Скоростной напор q и удельный тепловой поток в критической точке поверхности аппарата с радиусом кривизны гкр рассчитываются по формулам:

< = q, = 0,95 • 10-7 &3-05.

i

(8)

Таким образом, полученная математическая модель движения ГЗЛА, которая позволяет учитывать возможности полета по труднопрогрозируемым траекториям описывается с помощью представленных формул.

Список литературы

1. Лопин Г. А., Цурков М. Л., Оглоблин В. В. Угрожающая перспектива // Воздушно-космическая оборона. 2011. № 6.

20

НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЕМЛИ

S2-2016

2. Купцов И. М. Борьба с гиперзвуковыми летательными аппаратами: новая задача и требования к системе воздушно-космической обороны //Военная мысль. 2011. №1.С. 10-17.

3. Кондратюк Е. Исследования, проводимые в США в области создания гиперзвуковых летательных аппаратов // Зарубежное военное обозрение. 2013. № 2. С. 63-69.

4. Лазарев Ю. Н. Управление траекториями аэрокосмических аппаратов. СНЦ РАН. 2007. С. 44-47.

MATHEMATICAL MODEL OF MOVEMENT HYPERSONIC AIRCRAFT

Prorok Valeriy Yaroslavovich,

St. Petersburg, Russia, val-prorok@mail.ru.

Shaymukhametov Shamil Ildusovich,

St. Petersburg, Russia, 28_172@mail.ru

Abstraet

In work the most perspective programs of development of hypersonic aircraft, their tactical technical characteristics are considered, possibilities and features of movement which hypersonic aircraft possess are analyzed, their main advantages are listed, the most probable ways of start are reflected, the mathematical model of movement of the hypersonic aircraft in the form of system of the differential equations is given.

Keywords: hypersonic aircraft; cruise missiles; mathematical model of movement. References:

1. Lopin G. A., Tsurkov M. N., Ogloblin V. V. The menacing prospect. Air -space defense. 2011. No. 6. (In Russian)

2. Kuptsov I. M. Fighting hypersonic aircraft: a new challenge and requirements for the system of aerospace defense. Military Thought. 2011. No. 1. Pp. 10-17. (In Russian)

3. Kondratyuk E. Studies conducted in the United States in the field of hypersonic flight vehicles, postglacial. Foreign Military Review. 2013. No. 2. Pp. 63-69. (In Russian)

4. Lazarev Y. N. Path control of aerospace vehicles. SSC of RAS. 2007. Pp. 44-47. (In Russian) Information about authors:

Prorok V.Y., Ph.D., professor, Military Space Academy; Shaymukhametov S.I., postgraduate student, Military Space Academy.

WWW.H-ES.RU

H&ES RESEARCH

21