Математическая модель движений парашютиста Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519:711.3

Ю.В. Усачёв, В.Н. Курашин

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЙ ПАРАШЮТИСТА

Исследуется математическая модель движений парашютиста. Получены уравнения движения, баллистико-временные характеристики, движения парашютиста рассматриваются с использованием матриц состояния.

время, движение, матрица, парашютист, уравнение.

Процесс построения математической модели движений парашютиста включает решение двух задач: определение баллистико-временных характеристик движения центра масс парашютиста и описание движений во время прыжка для изменения аэродинамических характеристик с целью управления парашютной системой.

При решении первой задачи приходится выбирать упрощенную математическую модель, вполне доступную для аналитического исследования и в то же время сохраняющую наиболее характерные черты исходного объекта. Для этого проводится анализ, определение, систематизация постоянных и временных параметров. Регулярных и достаточно обоснованных методов построения нелинейных математических моделей в настоящее время не существует. В большинстве случаев для этой цели применяют какие-либо эвристические процессы или используют метод проб и ошибок \ К постоянным параметрам относятся: Н - высота выброса парашютиста; У0 - скорость самолета; k - вес, рост парашютиста; g - ускорение свободного падения; р - плотность воздуха; Т - температура воздуха. К временным (переменным) параметрам относятся: tn - время десантирования, м> - скорость ветра; V - скорость парашютиста; u - скорость восходящих (нисходящих) потоков; d - снос (расстояние от проекции на землю точки выброса до точки приземления); С - коэффициент лобового сопротивления десантируемого объекта; F - мидель десантируемого объекта.

Процесс прыжка можно разбить на следующие основные этапы: первый этап - падение после отделения от самолета; второй этап - снижение на стабилизирующем парашюте; третий этап - наполнение купола основного парашюта; четвертый этап - снижение на раскрытом парашюте.

Для каждого этапа составляются системы дифференциальных уравнений, описывающие движение парашютиста при соответствующих допущениях. Рассмотрим сначала стандартную модель, в которой не учитывается влияние ветра,

1 Чуркин В.М. Динамика парашютных систем на этапе спуска : моногр. М. : Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2008. С. 49.

восходящих и нисходящих потоков. Эту модель прыжка можно рассматривать как модель прыжка в штилевую погоду.

Выберем неподвижную систему координат О1£,nZ с центром в точке выброса Оі. Ось Otn совпадает с направлением горизонтальной составляющей скорости Z самолета; ось О^ направлена вертикально вверх; ось О перпендикулярна Оіц; Ои система координат О^пС правая. Будем предполагать, что движение парашютиста плоское, то есть происходит в плоскости О1цС>. Для каждого из первых трех этапов составляется система дифференциальных уравнений. Считаем, что на парашютиста, кроме веса, действует сила сопротивления воздуха FC , пропорциональная квадрату скорости парашютиста (Fc = — ■ V2). При этом

C ■ F

— = p —-—, где p - плотность воздуха, С - коэффициент лобового сопротивления, F - мидель тела.

В практике расчетов за величину миделя принимают квадрат роста; значение С находят из специальных таблиц 2. Через В обозначен угол наклона траектории. При сделанных предположениях для компонент V, Vn вектора скорости V имеем

dVc

m—- = -mg + FC • sin 0, dt 5 C

dVn

m—- = -FC ■ cos0. dt C

Поделив на m левые и правые части уравнений полученной системы

и обозначив — через r, получим m

dVr 2

m—- = - g + r ■ sin 0 V , dt (1)

dV„ 2

m—- = -r ■ cos0 V . dt

Запишем уравнения движения парашютиста в виде системы дифференциальных уравнений относительно функций V, В, Z. Воспользуемся тем, что

dC 2 2 2

----= -V ■ sin в . Дифференцируя по времени соотношение V = VC + V

dt

и учитывая систему (1), находим-----= g ■ sin в - rV2.

dt

тт de g ■ cose

Для угла В можно получить уравнение -----=----------.

dt V

2 Герасименко И.А. Воздушно-десантная подготовка : учеб. М. : Воениздат, 1986. Ч. 1.

С. 32.

Таким образом, при начальных условиях У(0) = У0, 0(0) = 0, ^(0) = 0 имеем следующую систему дифференциальных уравнений:

— = -V ■ smв, йХ

= g ■ , (2)

йХ

йв _ g ■ cos9

й ~ V '

Интегрирование нелинейной системы (2) достаточно сложно. Вернемся к системе (1) и предположим, что на рассматриваемом этапе прыжка величина 0 постоянна. Тогда, выражая У2 из каждого уравнения (1) и приравнивая их друг к другу, найдем, что

dVc V

-л**0--* = -* • (3)

й¥с

Подставляя выражение ------ из (3) во второе уравнение системы (2), по-

йХ

лучим для определения Ул(^) дифференциальное уравнение Рикатти:

^ = aV2 + Ь(Х)V + ф, V (0) = ^ (4)

йХ

Приближенное решение уравнения (4) находим с помощью степенного ряда. Затем последовательно определим Vz(t), Z(t), n(t) и их значения в конце каждого из первых трех этапов прыжка.

На четвертом этапе уравнения движения имеют вид

dVc 2

-----= -g + kVr , Vn(t) = const.

dt < n

Относительно вертикальной составляющей Vn(t) скорости парашютиста получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое нетрудно решается.

Описанные выше подходы позволяют построить баллистико-временную

модель стандартного прыжка. Учет скорости ветра w, а также скорости и восходящих (нисходящих) потоков можно учесть в модели, рассматривая их как переносные скорости по отношению к движению в системе координат 01nZ.

Тогда абсолютная скорость V а парашютиста определяется как Va = V + w + и,

где V - скорость в штилевую погоду (стандартная модель).

Перейдем далее к рассмотрению второй задачи: определению положения парашютиста во время прыжка. Баллистико-временная модель определяет движение центра масс парашютиста (точка 0 и время выполнения отдельных этапов прыжка). Информацию об ориентации тела парашютиста можно задавать в дискретные моменты времени, необязательно через равные промежутки между ними. Эти моменты определяются, например, алгоритмом действий парашютиста при совершении прыжка.

Будем считать, что центр масс парашютиста совпадает с некоторым фиксированным ориентиром (например, выход крестцового канала, являющийся жестким образованием). Дело в том, что при изменении позы центр масс смещается и может выйти даже за пределы тела. Ориентация тела характеризует его поворот относительно неподвижной системы координат (вверх головой, вниз головой, горизонтально и т.п.). Поза тела характеризует взаимное расположение звеньев тела относительно друг друга.

С парашютистом свяжем подвижную систему координат Оху, координатные оси которой являются пересечением трех взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через центр масс: сагиттальная, фронтальная, трансверсальная.

Сагиттальная плоскость разделяет тело на правую и левую части. Вертикальная плоскость, проходящая перпендикулярно к сагиттальной, называется фронтальной. Она разделяет тело на переднюю и заднюю части. Горизонтальную плоскость, проходящую перпендикулярно по отношению к этим двум плоскостям, называют транс-версальной. Она разделяет тело на верхнюю и нижнюю части 3.

Ориентацию тела относительно неподвижной системы О:£,пС можно задать тремя эйлеровыми углами: ф - угол собственного вращения, у - угол прецессии, 0 - угол нутации 4 Так, если парашютист расположен в горизонтальной плоскости, то: ф = п/2; у = п/2; 0 = п/2.

Тело парашютиста считаем не неизменным твердым телом, а рассматриваем как систему подвижных звеньев (руки, ноги, голова).

При этом каждая рука (нога) представляется в виде двух звеньев. Выбор двухзвенного представления продиктован лишь простотой его описания и дальнейшего исследования. Положение каждого звена Іі(і = 1, 2... 8) относительно системы координат Охyz, связанной с парашютистом, задается тремя углами (аъ Рі, у!), образованными звеном Іі с осями координат. Таким образом, для характеристики всех восьми звеньев (руки - ноги) строим матрицу размером 8х3:

'«і А у''

«2 А2 У 2

«8 А У § у .

3 Зациорский В.М. Биомеханика двигательного аппарата человека : учеб. М. : Физкультура и спорт, 1981. С. 105-137.

4 Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики : учеб. М. : Наука, 1969. Ч. 1. С. 92-94.

Можно решить задачу определения положения звеньев тела, записывая кинематические уравнения. Тогда нужно будет учитывать геометрические размеры звеньев и возможно обобщенные координаты qi, которые характеризуют относительные перемещения звеньев. В результате кинематические уравнения записываются в виде

х(Х) = Ш(Х)), у(Х) = f2(qi(Х)), z(Х) = fз(q,(Х))'

Считается, что кинематические уравнения решают прямую задачу кинематики. Ее содержание заключается в определении положения звена в базовой системе по обобщенным координатам. Кинематические уравнения обычно выводят, рассматривая движение каждого звена и его связи с другими звеньями. В случае сложной конфигурации кинематические уравнения получаются с помощью специального аппарата, использующего матричные преобразования и так называемые однородные координаты 5.

Движения головы парашютиста (повороты вправо, влево; наклоны вверх, вниз, вправо, влево) зададим с помощью трех углов 5, е, X. Представим голову парашютиста в виде эллипсоида.

Пересечения эллипсоида с координатными плоскостями назовем соответственно сагиттальным, фронтальным, трансверсальным. Тогда угол 5 характеризует поворот сагиттального сечения вокруг оси Оz; угол е определяет поворот сагиттального сечения вокруг оси Ох; угол X отражает поворот фронтального сечения вокруг оси Оу. Границы изменения углов 5, е, X определяются удобством для пользователя.

Таким образом, относительное положение звеньев парашютиста (голова, руки, ноги) задается с помощью матрицы состояния S размераом 9х3.

'8 £ АЛ

« А у

\а8 А8 У 8 У.

Значения углов а1, ръ у1 (/ = 1... 8) лежат в пределах от 0 до п, поскольку под углом между векторами понимается угол, не превосходящий п.

Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие построение матрицы состояния при движении парашютиста.

Пример 1. Парашютист расположен в фронтальной плоскости (плоскость Oyz), руки и ноги опущены вниз. Положение головы: смотрит перед собой, повороты вправо, влево, вверх, вниз; наклоны отсутствуют.

В этом случае 5 = е = X = 0, а1 = р1= п/2, у1 = п, , I = 1... 8.

5 Крутько П.Д. Управление исполнительными системами роботов : учеб. М. : Наука, 1991. С. 238-302.

( 0 % 2

S =

0

%

% ч 2

%

2

— — %

Пример 2. Парашютист находится в плоскости Oyz. Положение звеньев рук и ног определяется как на рисунке 1, положение головы - как в примере 1.

Матрица состояния имеет вид

8 =

0 0 0

ж ~2~ ж - V ж т- V

ж 2~ ж - о ж о 2

ж ~2~ V ж т- V

ж о ж о 2

2~

ж ж ж

2~ ~2~

ж ж ж

2~ ~2~

ж ж ж

2~ ~2~

ж ж ж

2~ ~2~ ~2~

Пример 3. Положение звеньев рук и ног (в плоскости Oyz), как на рисунке 2. Положение головы, как в предыдущих примерах.

Рис. 2. Положение парашютиста № 3 Матрица состояния имеет вид

Л

5 =

( 0 0 0

п ~2 а 1 п п У ~

п п 0

~2 У

п а п

~2 У ~

п п 0

~2 У

0 п п

У У

п п п

~2 У

0 п п

У У

п п п

, У У

Действия парашютиста на каждом этапе прыжка образуют определенную последовательность, которая может быть описана с помощью соответствующей последовательности матриц состояния

й, &... Б, 8+1... .

Количество N описываемых состояний и время перехода из состояния Si в состояние Si+J определяется из баллистико-временной модели прыжка или экс-пертно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бухгольц, Н.Н. Основной курс теоретической механики [Текст] : учеб. - М. : Наука, 1969. - Ч. 1. - 468 с.

2. Герасименко, И.А. Воздушно-десантная подготовка [Текст] : учеб. - М. : Военное изд-во, 1986. - Ч. 1. - 407 с.

3. Зациорский, В.М. Биомеханика двигательного аппарата человека [Текст] : учеб. -М. : Физкультура и спорт, 1981. - 246 с.

4. Крутько, П.Д. Управление исполнительными системами роботов [Текст] : учеб. -М. : Наука, 1991. - 334 с.

5. Чуркин, В.М. Динамика парашютных систем на этапе спуска [Текст] : моногр. -М. : Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2008. - 184 с.