Математическая модель дублирующей системы раскрытия солнечной батареи большой площади Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.78

БОТ 10.18698/2308-6033-2017-02-1584

Математическая модель дублирующей системы раскрытия солнечной батареи большой площади

© А.Ю. Бушуев МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Для повышения надежности тросовой системы раскрытия многозвенной конструкции солнечной батареи предложена дублирующая система раскрытия, состоящая из силового механизма (домкрата), который приводится в движение от электропривода, расположенного в первом звене, и тросовой системы синхронизации. Приведены принципиальная схема силового механизма и кинематическая схема системы синхронизации. Выведена зависимость передаточного отношения от двигателя к первому звену. Построена математическая модель системы раскрытия. Для определения основных характеристик процесса раскрытия использовано уравнение Лагранжа второго рода для кинетической энергии солнечной батареи, моделируемой многозвенником (с присоединенной массой откидных панелей), каждое звено которого предполагается абсолютно твердым телом. Для определения реакций связей и усилий в тросах использованы уравнения Даламбера. Предложен итерационный способ учета упругих деформаций тросов системы синхронизации.

Ключевые слова: математическая модель, тросовая система раскрытия, многозвенная конструкция, солнечная батарея, деформации

Введение. Раскрытие солнечных батарей (СБ) — одна из ключевых динамических операций функционирования космического аппарата, которая определяет возможность его дальнейшей эксплуатации [1].

Возрастание энергопотребления перспективных космических аппаратов приводит к увеличению размеров СБ. В связи с этим актуальным является решение проблемы безотказного функционирования системы раскрытия СБ большой площади [2]. Основными элементами такой системы раскрытия является многозвенная конструкция с тросовой системой синхронизации [3].

Для обоснования выбора конструктивных параметров элементов системы раскрытия и подтверждения надежности процесса раскрытия требуется проведение детального математического моделирования с использованием эффективной математической модели [4].

Для построения уравнений движения и их решения могут быть применены различные методы [5-11].

В статье [12] предложена математическая модель процесса раскрытия многозвенной конструкции с тросовой системой раскрытия, где в качестве основной системы используется специальный раскрывающий трос. В работе [13] на основе построенной модели выполнена оптимизация параметров системы раскрытия.

Для повышения надежности раскрытия в случае обрыва раскрывающего троса предлагается использовать дублирующую систему на основе силового механизма — домкрата, обеспечивающего поворот первого звена на требуемый угол. Особенность механизма — переменное передаточное отношение к, зависящее от угла поворота первого звена. Тросовая система синхронизации сопряжена с шестеренчатыми редукторами звеньев, передаточные отношения которых обеспечивают соответствующие скорости поворота звеньев.

В данной работе предлагается математическая модель дублирующей системы раскрытия многозвенной конструкции СБ.

Для исследования процесса раскрытия СБ используется уравнение Лагранжа второго рода для кинетической энергии СБ, моделируемой многозвенником (без учета откидных панелей).

Конструкция системы раскрытия и вывод передаточного отношения домкрата. Основными элементами рассматриваемой системы раскрытия многозвенной конструкции СБ являются домкрат и тросовая система синхронизации. Домкрат, изображенный на рис. 1, размещен в первом звене. В исходном положении шток 2 максимально выдвинут из гайки 3. При включении электропривода, расположенного в первом звене, гайка приводится во вращение и втягивает шток, вследствие чего возникает опрокидывающий момент и происходит поворот первого звена.

На рис. 2 изображена тросовая система синхронизации, которая состоит из набора роликов, соединенных определенным образом тросами, и двух типов шестеренчатых механизмов, обеспечивающих необходимые передаточные отношения. К особенностям тросовой системы синхронизации относится наличие упругих деформаций, которые вносят изменения в передаточные отношения скоростей поворо-

Рис. 1. Домкрат:

1 — серьга; 2 — шток; 3 — гайка

та звеньев (при изменении усилий в тросах). Средства тросовой системы синхронизации не позволяют реализоваться существенному отличию углов относительного разворота соседних звеньев. В процессе раскрытия благодаря действию специальных пружин всегда сохраняется натяжение тросов.

Рис. 2. Кинематическая схема тросовой системы синхронизации: г — радиус роликов; Я — радиус начальной окружности шестерни редуктора

Анализ кинематической схемы системы раскрытия приведен в работе [12]. Для моделирования процесса раскрытия требуется знать передаточное отношение домкрата.

Обозначим угол поворота первого звена, отсчитываемого от начального положения против хода часовой стрелки, через ф. Начальный угол установки первого звена, равный 107°, зависит от компоновки СБ под обтекателем (и отсчитывается от оси ОУ, определяющей конечное положение полностью раскрытой многозвенной конструкции, до исходного положения первого звена).

Осевое перемещение X штока (относительно первого звена) связано с углом поворота ф первого звена следующим соотношением:

X = /

cos

в-41 -(1 -мп в)2

в = а + ф (а = 18°, 0°<ф<107°).

Для определения передаточного отношения от двигателя к первому звену необходимо знать производную

— __/ ё ф

sin в +

cos в(1 - sin в)

¡Шр)

(1)

Полное передаточное отношение к от двигателя к первому звену найдем из соотношения

Л У дв = м Ф,

(2)

где Л у Л ф — элементарные угловые перемещения двигателя и первого звена соответственно.

Рассмотрим очевидные зависимости

Л У дв = крез Л У г;

Л у г = ЛХ;

(3)

ЛХ =

ЛХ Л ф

Л ф,

где крез — передаточное отношение от двигателя к гайке; Л у г —

элементарное угловое перемещение гайки; ЛХ — элементарное перемещение штока; г — шаг гайки. Из формул (1)-(3) следует

к = -к

рез

2п ЛХ , 2п,

= к_ —I

г Л ф

рез

sin р +

cos в(1 - sin в)

30

Учитывая, что к = —, г = 3 мм, I = 100 мм, получим оконча-

рез 18

тельно искомое передаточное отношение

к = 349 Ып(18 (ф) (

cos(18 (ф) [1 ^п(18 (ф)] >/$1п(18(ф)[2-$1п(18(ф)^

Динамическая модель раскрытия. Для определения основных характеристик процесса раскрытия используется уравнение Лагранжа второго рода для кинетической энергии СБ, моделируемой многозвен-ником (с присоединенной массой откидных панелей), каждое звено которого предполагается абсолютно твердым телом [12].

Обозначим ^ угол, отсчитываемый от оси ОУ, определяющей конечное положение полностью раскрытой многозвенной конструкции, до текущего положения /-го звена. На основе описания кинематической схемы, представленной в работе [12], и в соответствии с обозначениями на рис. 2, для определения реакций связей и усилий в тросах воспользуемся уравнениями Даламбера [14]:

К8X - т8 хс8 = 0;

г

Я8 ^- т8 уС8 =0;

Я8х (У7 - Ус8 ) + Я8у (хс8 - х7 ) - Р7Г81 + Мс8 - Jzc8 V8 = 0;

Р6Г62 - Р7Г71

Я7х -Я8х +■ „

Я63

Я Я + Р6Г62 - Р7Г71 Я7 у - Я8 у +

Я

71

-1

V Я72 У

Я71

Я63

-1

V Я72 У

cos V7 - т7 Хс7 = 0;

(- sin V 7) - т7 Ус7 =0;

Я7х (У6 - Ус7 ) + Я7у (хс7 - х6 ) + Я8х (Ус7 - У7 ) + Я8у (х7 - Хс7 )" - (р6г62 - ^7Г71)

ЛГ/7/2 -^^64 -Я72Л

Я71 ^

V Я72 У

Я63

-мС7- JZc7 V 7 =0;

Я6х - Я7х + (- 008 V5 ) + ^6 (- С08 V6 ) +

Я,

53

Я62

+ (^62 -Р7г71) % (-^ V7)+ ^62 -Р7Г71

Я63

Я

72

Я63

cos V 7- т6 хс6 =0;

Я6У - Я7у + ^ sin V5 + sin V6 + -(^6Г62 Г71) Я71"-'

Я.

+ -

53

¥6 г62 - ^7 Г71

Я2

Я63

Я

sin V 7 +

72

Я63

(- sin V 7)- т ус6 =0;

Я6х (У5 - Ус6 ) + Я6у (хс6 - х5 ) + Я7х (Ус6 - У6 ) + Я7у (х6 - хс6 ) -

(Р6Г62 - р7г71)

Я71 '

Д53Я72

Я64 + /6COS (п-р7) 2

+ ^ Г61

Я62

/Т - Я2 - Я54 2

+

+

52

и

+

Я53

(¥6г62 - Р7Г71 ) 16

Я61 + | ^ (п-р6)

+

Я63

2

cos(П -р7 ) - М06 - JZc6 ¥6 = 0;

Я5х -Я6х +-

р4г42 - ^5Г51

Я

43

Я

51

-1

V Я52 У

Г

(-00Б V 5 ) + ^-^008 V 5 + Я

53

Г61 ••

+ ^^V 6- т5х с5 =0; Я62

Я5у -Яу

Я4Г42 - Я5Г51

Я

43

Я

51

-1

V Я52 У

Г

V 5 ( (- Sin V 5 )(

Я

53

( Р61Г (- sin V 6)-т5 Ь =0;

Я62

Я5х (У4 - Ус5 ) ( Я5у (хс5 - х4 ) ( Я6х (Ус5 - У5 ) ( Я6у (х5 - хс5 ) (

( (Я4Г42 - Я5Г51)

Я

51

-1

V Я52 у

(15/2-Я44 -Я52)

Я

(

( ^6 Г61

Я62

и

Я54 ( 4 C0S (П-в6 ) 2

( Я5 ^

-43

и

Я53 V2 - Я53 - Яб1

(

( Мс5 - Jzc5 V5 = 0;

Г32 , ,7 Г41 , /77,, ,7 „ ч Я51

Я4 х - Я5 х ( Я3 ^ ^ V 3 ( Я4 COS ^ 4 ( (Я4Г42 - ^5Г51)

Я

33

Я

-42

Я43 Я52

cos V5 (

(-

Ялглп - Кг

4 42 5 51

Я

(- ^ V5)- т4 X с4 = 0;

43

Я4 у - Я5 у ( Я3 (- ^П V 3 )( Я, ^ (- Sin V 4 )( Я

33

Я

-42

ЯЯ ^ г _Я г

( (Я4Г42 -Я5Г51 ) ,, 51 (-Sin V5)( 4 42„ 5 51 Sin V5 -т4 Ус4 = 0;

Я43Я52

Я

43

Я4 х (у3 - ус 4 ) ( Я4 у (хс 4 - х3 ) ( Я5 х ( ус 4 - у4 ) ( Я5 у ( х4 - хс 4 ) "

Я Г41 Я4

4 - Я - Я

„ 0 Я34 Я42 Я42 V 2 у

X

I

Я44 (4с08 (П-|Р51)

( (Я4Г42 - Я5Г51)

' I

Я

51

Я43Я52

г-' г32 Я3 32

Я

33

Я41 (4сов (п-|р41)

- (^ ^ 2 cos (п-|в51 )(Мс4-^с 4 V 4 = 0; Я43 2

Я3х -Я4х (Я3 ^^^(-СОВ V3)(Я4 (-С08 V4)(

(

Я

Я2Г22 - Я3Г31

33

42

Я

21

я

31

V Я32 у

cos V 3- т3 хс3 =0;

Г32 , и Г41

Я3у -Я4у + sinV3 + ¡т V4 +

Я

33

Я

42

+

72г22 73Г31

Я

21

Я

31

V Я32 У

(-sin V 3)- т ус3 =0;

Я3х (У2 - Ус3 ) + Я3у (хс3 - х2 ) + Я4х (Ус3 - У3 ) + Я4у (х3 - хс3 ) "

72г22 73Г31

Я

21

Я

31

-1

V Я32 У

Г \

3 V 2

Я22 Я32

т—' г32

- 7 32

Я

Я22 Я32

33

77 Г41 - 7 4

Я

42

Я34 + cos (П - |р41) -Мо3 - JZc3 ^^3 = 0;

Я

Я2х - Я3х + (72г22 - 73Г31)~^У (- V3 ) +

Я21Я32

+ ■

72г22 73г31

Я

cos V3 - т2 х- С2 = 0;

21

Я2у - Я3у + (72г22 - 73г31) (72г22 - 73г31)

Я

31

Я21Я32

sin V 3 +

+

Я

(- sin V 3 )- т2 У С 2 =0;

21

Я2 х (У1 - У С 2 ) + Я2 У (хс 2 - х1) + Я3 х (Ус 2 - У2 ) + Я3 у ( х2 - хс 2 ) "

+

- (72г22 - 73г31) (72г22 - 73г31) 12

Я

31

V Я21Я32 У

Я22 + /2COS (п-р3) 2

+

Я

^ (П -р3 ) + 721 - МС2 - Jzc2 V2 = 0;

21

р1-Ц ^ Vl+Ях1 - Ях2 - т хс1 =0;

Я

11

-7 -¡г sin Vl+К - Яу2 - тус1 =0;

Я

11

71 (Я01 + Я11) + М01 - Мдв + 72 Г12 + Ях2(0 - У1) +

Я

11

+ Яу2 (х - 0) - JZсl V1 = 0,

У 2

где Мо7 — момент сопротивления жгутов между 7-м и (7 - 1)-м звеньями; Мдв — момент двигателя; Jzсi — момент инерции 7-го звена

2

относительно оси, перпендикулярной плоскости раскрытия много-

• • ••

звенника и проходящей через центр тяжести; xci, yci — ускорения центра тяжести i-го звена; ßi — угол поворота i-го звена относительно (i - 1)-го звена; RjX, Riy — реакции связей между i-м и (i - 1)-м звеньями; Fi — действующее усилие в тросе системы синхронизации, расположенном на i-м звене; rij-, Rij- — радиусы ij-го ролика и

начальной окружности шестерни редуктора соответственно.

На основе построенной математической модели предлагается следующий подход к исследованию процесса раскрытия многозвенной конструкции СБ:

1) записать уравнения геометрических связей (формула положения всех звеньев многозвенной конструкции в зависимости от угла поворота первого звена);

2) из уравнения Лагранжа определить зависимость угла поворота первого звена многозвенника от времени;

3) для известного закона раскрытия многозвенника, полученного из уравнения Лагранжа, определить внутренние силы, используя принцип Даламбера;

4) записать новое соотношение положения всех звеньев с учетом деформации тросов и повторить итерационно пп. 2, 3.

Заключение. Для повышения надежности процесса раскрытия многозвенной конструкции предлагается дублирующая система раскрытия. Построенная математическая модель тросовой системы раскрытия многозвенной конструкции СБ позволяет определить параметры конструкции, а также исследовать возможные нештатные ситуации, не проводя сложных дорогостоящих экспериментальных исследований. Показано, что зависимость передаточного отношения от двигателя к первому звену имеет нелинейный характер.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бакунин Д.В., Борзых С.В., Ососов Н.С., Щиблев Ю.Н. Математическое моделирование процесса раскрытия солнечных батарей. Математическое моделирование, 2004, т. 16, № 6, с. 86-92.

[2] Ильясова И.Р. Динамика процесса раскрытия многозвенных солнечных батарей. Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад. С.П. Королева, 2012, № 4 (35), с. 88-93.

[3] Крылов А.В., Чурилин С.А. Моделирование раскрытия солнечных батарей различных конфигураций. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2011, № 1, с. 106-111.

[4] Юдинцев В.В. Моделирование процессов раскрытия многоэлементных конструкций космических аппаратов. Полет, 2012, № 5, с. 28-33.

[5] Кузнецова А.О. Исследование динамики движения раскрывающихся механических систем с упругими связями. Вестник Сибирского государ-

ственного аэрокосмического университета им. акад. М.Ф. Решетнева, 2005, № 3, с. 135-138.

[6] Паничкин В.И. Математическое моделирование динамики деформирования многостворчатой солнечной батареи в процессе раскрытия. Известия АН СССР. МТТ, 1992, № 4, с. 183-190.

[7] Юдинцев В.В. Динамика систем твердых тел. Самара, Изд-во СГАУ, 2008, 115 с.

[8] Featherstone R. Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer Science + Business Media, LLC, 2008, 272 p.

[9] Aslanov V., Kruglov G., Yudintsev V. Newton-Euler equations of multibody systems with changing structures for space applications. Acta Astronautica, 2011, vol. 68, no. 11-12. DOI: 10.1016/j.actaastro.2010.11.013

[10] Lakshmi Narayana B., Nagaraj B.P., Nataraju B.S. Deployment Dynamics of Solar Array with Body Rates. International ADAMS User Conference, 2000.

[11] Mengali G., Salvetti A., Specht B. Multibody Analysis of Solar Array Deployment using Flexible Bodies. Universita di Pisa, Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale, 2007.

[12] Бушуев А.Ю., Фарафонов Б.А. Математическое моделирование процесса раскрытия солнечной батареи большой площади. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 2 (2), с. 101-114.

[13] Бушуев А.Ю., Фарафонов Б.А. Оптимизация параметров тросовой системы раскрытия многозвенной конструкции солнечной батареи. Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 7 (47).

DOI: 10/18698/2308-6033-2015-7-1431

[14] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. В 4 т. Т. 4: Основы механики твердого тела. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 624 с.

Статья поступила в редакцию 16.11.2016

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Бушуев А.Ю. Математическая модель дублирующей системы раскрытия солнечной батареи большой площади. Инженерный журнал: наука и инновации, 2017, вып. 2. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2017-02-1584

Бушуев Александр Юрьевич родился в 1951 г., окончил МВТУ им. Н. Э. Баумана в 1974г. и МГУ им. М.В. Ломоносова в 1985 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 публикаций. Специалист в области прикладной математики и механики. e-mail: a.ju.bushuev@yandex.ru

Mathematical model for backup large-area solar battery disclosure system

© A.Yu. Bushuev Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

To improve rope systems multilink solar battery disclosure liability, the article proposes a backup disclosure system consisting of a lift mechanism (jack), driven by the electric drive and a rope system synchronization. The mechanism's main feature is a variable ratio depending on the first link steering angle. Rope synchronization system consists of a roller set connected by cables in a certain way, and the two types of gear mechanisms to ensure the required gear ratio. The article proposes the power mechanism schematic diagram and the synchronization system kinematics. The study derives the transmission dependence from the engine to the first link, gives a disclosure system mathematical model. In order to determine the disclosure process basic characteristics, we use Lagrange equation of the second kind made up for a solar battery kinetic energy and linkage simulation (hinged panels weight is attached), where we assume each link to be an absolutely rigid body. To determine the connections and efforts in cables, we use the equations d'Alembert. The study suggests an iterative method of accounting for rope synchronization systems elastic deformation.

Keywords: mathematical model, rope disclosure system, multilink design, solar battery, deformation

REFERENCES

[1] Bakunin D.V., Borzykh S.V., Ososov N.S, Schiblev Yu.N. Matematicheskoe modelirovanie — Mathematical Models and Computer Simulations, 2004, vol. 16, no. 6, pp. 86-92.

[2] Ilyasova I.G. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Aerokosmicheskogo Universiteta im. akademika S.P. Koroleva — Journal "Vestnik of the Samara State Aerospace University", 2012, no. 4 (35), pp. 88-93.

[3] Krylov A.V. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering, 2011, no. 1, pp. 106-111.

[4] Yudintsev V.V. Obshcherossiyskiy nauchno-tekhnicheskiy zhurnal Polet — Russian Scientific and Technical Journal Polet (Flight), 2012, no. 5, pp. 28-33.

[5] Kuznetsova A.O. Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta im. akademika M.F. Reshetneva — Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta imeni akademika M.F. Reshetneva (VestnikSibGAU), 2005, no. 3, pp. 135-138.

[6] Panichkin V.I. Izvestiya AN SSSR. MTT — Mechanics of Solids. A Journal of the Russian Academy of Sciences, 1992, no. 4, pp. 183-190.

[7] Yudintsev V.V. Dinamika sistem tverdykh tel [Dynamics of systems of rigid bodies]. Samara University Publ., 2008, 115 p.

[8] Featherstone R. Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer Science, Business Media, LLC Publ., 2008, 272 p.

[9] Aslanov V., Kruglov G., Yudintsev V. Newton-Euler equations of multibody systems with changing structures for space applications. Acta Astronautica Journal, Elsevier Publ., 2011. DOI: 10.1016/j.actaastro.2010.11.013

[10] Narayana B.L., Nagaray B.P., Nataraju B.S. Deployment Dynamics of Solar Array with Body Rates. Proc. of the 2000 International ADAMS User Conference.

[11] Mengali G., Salvetti A., Specht B. Multibody Analysis of Solar Array Deployment using Flexible Bodies. Universita di Pisa, Facolta di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Publ., 2007.

[12] Bushuev A.Yu., Farafonov B.A. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 2 (2), pp. 101-114.

[13] Bushuev A.Yu., Farafonov B.A. Inzhenerny zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2015, no. 7 (43).

DOI: 10.18698/2308-6033-2015-7-1431

[14] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. V 4 tomakh. Tom 4. Osnovy mekhaniki tverdogo tela [Continuum Mechanics. In 4 vols. Vol. 4. Fundamentals of Solid Mechanics]. Moscow, BMSTU Publ., 2013, 624 p.

Bushuev A. Yu., Cand. Sci. (Phys.-Math), Assoc. Professor of the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University. Research interests are in the field of applied mathematics. e-mail: a.ju.bushuev@yandex.ru