CC BY
13
ЭЛЕКТРОНИКА
УДК621.315.592
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ВИРТУАЛЬНОГО МОНИТОРИНГА РАДИАЛЬНОЙ НЕРАВНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСИ В РАСПЛАВЕ И СЛИТКЕ КРЕМНИЯ НА ПРИМЕРЕ ФОСФОРА
ОКСАНИЧ И.Г., ПРИТЧИНА.С., КАСАТКИН А.В.
Усовершенствуется математическая модель для виртуального мониторинга радиальной и осевой неравномерности распределения примеси в расплаве и слитке кремния. В результате апробации модели путем сравнения расчетных и экспериментальных данных получено хорошее согласование между измеренной экспериментальным методом и рассчитанной радиальной концентрацией легирующей примеси в слитках кремния.
Введение
Качество процесса изготовления монокристаллов полупроводников и качество конечного продукта во многом зависит от возможности контроля таких технологических параметров, значения которых не могут быть измерены прямыми методами. Это касается равномерности распределения легирующих примесей в теле слитка.
Кремниевые (Si) подложки являются наиболее широко используемым материалом для изготовления электронных приборов, а слитки, выращенные по методу Чохральского, в основном используются для изготовления этих подложек. Для достижения требуемых электрофизических свойств необходимо в процессе выращивания ввести в слиток кремния электрически активные примеси (лигатуру), такие, например, как фосфор или мышьяк для получения полупроводников n-типа или бор для полупроводников р-типа. Концентрация легирующей примеси непосредственно влияет на такие свойства как пороговое напряжение, удельное сопротивление и напряжение пробоя полупроводниковых приборов.
Вследствие особенностей метода Чохральского при выращивании слитка примесь внедряется в слиток неравномерно по его радиусу (так называемая радиальная неоднородность) и неравномерно по оси слитка (осевая неоднородность). Осевая неоднородность вызывает необходимость обрезки слитка с торцов, что приводит к уменьшению выхода годной продукции, а радиальная неоднородность приводит к браку подложки.
Актуальной является задача определения распределения примеси в процессе выращивания слитка как в осевом, так и в радиальном направлении. Непосредственное измерение этого параметра с применением аппаратурных сенсоров не представляется возможным, следовательно, решить эту задачу можно только с использованием информационных технологий виртуального мониторинга. Этого можно достичь разработкой математических моделей для расчета распределения примеси в режиме реального времени.
Распределить примесь вдоль направления роста (оси слитка) можно с помощью уравнения кристаллизации [1]. В то же время для определения распределения легирующей примеси в радиальном направлении используются только экспериментальные методы измерений на выращенных кристаллах [2, 3]. Экспериментальные измерения распределений легирующей примеси в подложках кремния, выращенных по методу Чохральского, показали, что существует большая радиальная неоднородность распределения легирующей примеси [4-6]. Общий недостаток информации о радиальной неоднородности распределения примеси, в сочетании с ограниченной информацией по аналитическим методам расчета этого параметра, позволяет предположить, что требуется дополнительный анализ механизма радиального распределения концентрации примеси и параметров процесса выращивания слитков, которые влияют на этот процесс.
Материал и результаты исследований
Расплав кремния, в котором находится легирующая примесь, можно рассматривать как вязкую жидкость, которая хорошо описывается уравнением Навье-Сто-кса. Уравнения движения расплава при этом выглядят следующим образом:
vr dVr. + Х Vz dVr. = _1 dp +
Sr r 5z p Sr
+ v
( 2 2 А
д2Vr +15Vr _ Vr + 52Vr
dr
2 r dr
Vr dVz + Vz dVz
Sr
( ,2
dz
3z
1 dp
=---- +
2
(1)
+ v
Vz 1 SV7 V
p dz 2
_ + —
Sr
2 r Sr
- + -
Sz
2
+gßAT:
(2)
Vr
SV^ V^ ЭVф
-L + Vz
Sr
Sz
= v
( 2 2 Л
д ^ф i эvф Vф д ^ф
-+-
Sr
2 r Sr
„2
Sz
2
(3)
r
r
Соответственно, уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости запишется в виде:
9%- V- дУ7 „ —- + — + —— = 0 дг г д7
(4)
Выполнив преобразование (1) и (3) с учетом (4), можно получить зависимость скорости внедрения примеси от гидродинамических параметров расплава в виде следующей системы дифференциальных уравнений:
дю 2Уф 5Уф
уг +у^ -
дг г д7
г д7
= V
( 2 2
д ю д ю + -
дг2 д7
2
ю + 1 дю г2 г2 дг
Л
«дТ , дг
у,
дУф ^ УгУф дУф
дг
д7
= V
( 2 2 А
'д2Уф+ 1 дУф_ Уф + д2Уф
дг
2 г дг
2
д7
2
(5)
2 2 1 д ш 1 дш 1 д ш
ю=--г1- ——— + —
г
дг
2
г
2 дг г д22
уг = I
г д7 '
У =_
г дг
V
^ (лт- дТ Л, дТ^ 11 д ( дТ рСр|Уг —+У2—1 = 4-—к— 1 +
дг
д7
г дг I дг
д 2Т|
д7
2
1) Для границы расплав-слиток (0 < г <= 2.5 [см], z = 4.0 [см])
дУг
Ш = 0' ю=& ' Уф = ^ Т = Тт.
2) Для расплава (2.5 < г <= 5.0 [см], z = 4.0 [см])
стт дТ дуф
Ш = 0, ю=-—, —— = 0, Т = Т1щ .
pv дг д7 п
3) Для стенки тигля (г = 5.0 [см], 0 <= z <= 4.0 [см])
дУ7
ш = 0, ю = —дГ, Уф = ксю^ Т = ^е.
4) Для дна тигля (0 < г <=5.0 [см], z = 0 [см])
дУг
Ш = 0, ю=& , Уф = ГЮc, Т = ТЬойт .
5) Для центра слитка (0 < г <=5.0 [см], z = 0 [см])
п дю дТ
Ш = ^ = 0, Уф = ^ = 0.
дг дг
Для анализа механизма распределения примеси в расплаве в соответствии с [7] было использовано уравнение конвективной диффузии концентрации примеси, записанное в виде
дС1. + У дС1^, дС1
(2 (2
+ У7
д дг д7
= D
2
д* С1 + д^ С1 + 1 дС1
дг
2
д7
2 г дг
и уравнение сегрегации в виде
С8 = к 0С1,
,(7)
(8)
где Уг, Уф, У7 - радиальная, тангенциальная и осевая скорости движения расплава, которые определяются частотой вращения тигля; Ш - функция тока расплава; ю - неламинарность расплава; р - плотность расплава.
Учитывая, что процесс выращивания проходит при высокой температуре (1420 °С), с учетом уравнения теплопроводности можно записать выражение, определяющее связь между распределением температуры и гидродинамикой расплава в следующем виде:
(6)
где С5 и С1 - концентрация легирующей примеси в твердой и жидкой фазе; D - коэффициент диффузии; к 0 - коэффициент сегрегации.
Определим граничные условия для решения задачи распределения примеси в кремнии следующим образом:
1) Для границы расплав-слиток (0 < г <= 2.5 [см], z=4.0 [см])
^ = Б 1 _ к 0 )С1.
д7 Б
2) Для расплава (2.5 < г <= 5.0 [см], z = 4.0 [см])
дС^ дС! а 1 = 0 или —1 =--С1
д7
д7 Б
здесь Ср - удельная изобарная теплоемкость; V - динамическая вязкость; р - давление; в - коэффициент расширения расплава; к - теплопроводность расплава.
Для решения полученных дифференциальных уравнений введем следующие граничные условия:
3) Для стенки тигля (г = 5.0 [см], 0 <= z <= 4.0 [см]) дС1
д7
=0.
4) Для дна тигля (0 > г <= 5.0 [см], z = 0 [см])
дС}
д7
г
5) Для центра слитка (г = 0 [см], 0 <= z <= 4.0 [см])
[С1 (0, 7 )= С1 (1, 7)] , где а - поток испарения; /-скорость роста слитка.
Результаты моделирования и апробация полученной модели
Для решения поставленной задачи было использовано численное моделирование, которое осуществлялось при помощи двух программных модулей.
Первый модуль «Гидродинамика» решает уравнения Навье-Стокса, уравнения непрерывности и уравнение движения для получения распределения скоростей и температуры расплава кремния (система уравнений (5)). Второй модуль «Примесь» по результатам работы модуля «Гидродинамика» решал уравнения диффузии легирующей примеси и уравнение сегрегации для получения радиального распределения примеси в слитке кремния. Схема взаимодействия программных модулей «Гидродинамика» и «Примесь» показана на рис. 1.
Для моделирования нами были использованы числовые данные, которые представленны в табл. 1. Для решения дифференциальных уравнений применялся метод конечных разностей. При построении модели была использована сетка, схема которой показана на рис. 2. Распределение концентрации легирующей примеси С5 в слитке определялось как С5 =к0 С1. В работе учитывалось значение равновесного коэффициента к0 = 0,35 для примеси. В качестве примеси применялась легирующая добавка фосфор (Р).
Рис. 1. Схема взаимодействия программных модулей,
реализующих вычисления по модели радиальной неравномерности распределения примеси при выращивании слитков кремния методом Чохральского
Рис. 2. Блок-схема модели распределения примеси в кремнии в процессе выращивания слитка
Некоторые данные были получены из литературных источников, например коэффициент теплового расширения [8], кинематическая вязкость жидкости [9], плотность жидкости [10] и коэффициент диффузии примеси фосфора в расплаве кремния [11]. Также использовались данные, приведенные в [12].
В процессе расчетов применялась различная дискретизация вычислений и, следовательно, различный шаг растояния между узлами сетки. По оси z минимальный шаг сетки составлял 0.0025 см для прикристаль-ной области, в которой происходит внедрение примеси в слиток, и для области вблизи дна тигля. Высоты этих областей выбирались равными 1 см. Шаг сетки и диапазон высоты расплава, для которого производился расчет, приведены в табл. 2. Аналогично было выполнено распределение шага сетки по радиусу слитка (ось г). При этом минимальный шаг использовался для анализа распределения примеси вблизи центра слитка и его внешней границы. Диапазон радиусов и шаг сетки по оси г приведены в табл. 3.
Таблица 1
Исходные данные моделирования распределения примеси в кремнии
Символ Описание Цифровое значение
С0 Концентрация жидкой легирующей примеси, перед 5.0 х 10Е15 атом/ см3
испарением
С, Концентрация твёрдой легирующей примеси 0,(0) = 1
ср Теплоёмкость расплава кремния 0.241 кал/(гхград С)
D Константа диффузии фосфора в расплаве кремния 5.1 х Е-4 см2 /с
1 Скорость выращивания кристалла 2.33 х Е-3 см/с
Н Высота расплава 4.0 см
к0 Коэффициент равновесной сегрегации фосфора 0.35
Ис Радиус тигля 5.0 см
Радиус выросшего слитка 2.5 см
тт Температура плавления кремния 1685 К (1412 °С)
в Коэффициент расширения расплава 1.43 х Е -4/К
V Кинетическая вязкость расплава 2 2.789 х Е3 см2/с
ст Поверхностное натяжение 736 дин/см
к Теплопроводность расплава 0.45 Вт/см К
Р1 Плотность расплава 2.533 г/см3
РЭ Плотность закристаллизовавшегося кремния 3 2.329 г/см3
юс Частота вращения тигля 7 об/мин
ю5 Частота вращения слитка 15 об/мин
Таблица 2
Шаг расчетной сетки модели распределения примеси
для расплава кремния
Высота расплава [см] Шаг сетки [см] Число узлов сетки
0 - 0.10 0.1 1
0.10 - - 2.00 0.1000 19
2.00 - - 2.50 0.0500 10
2.50 - - 3.00 0.1000 5
3.00 - - 4.00 0.0250 4
4.00 - - 4.50 0.1000 5
4.50 - - 4.70 0.0500 4
4.70 - - 4.90 0.0250 8
4.90 - - 4.95 0.0125 4
4.95 - - 5.00 0.0025 20
Всего 80
Таблица 3
Шаг расчетной сетки модели распределения примеси
для слитка кремния
Высота расплава [см] Шаг сетки [см] Число узлов сетки
4.00 - - 3.95 0.0025 20
3.95 - - 3.90 0.0125 4
3.90 - - 3.70 0.0250 8
3.70 - - 3.50 0.0500 4
3.50 - - 3.00 0.1000 5
3.00 - - 1.00 0.1250 8
1.00 - - 0.50 0.1000 5
0.50 - - 0.30 0.0500 4
0.30 - - 0.10 0.0250 8
0.10 - - 0.05 0.0125 4
0.05 - - 0.00 0.0025 20
Всего 90
Моделирование движения расплава кремния в тигле показало, что р асплав циркулирует от боковой стенки тигля к внутренней части расплава вследствие естественной конвекции, вызванной разницей температур между стенкой тигля и расплавом. В то же время поток расплава ниже области кристаллизации имеет другую форму.
Расплав движется от дна тигля к зоне кристаллизации, и вблизи оси симметрии слитка движение расплава меняет свое направление. Это движение вызвано вращением кристалла и естественной температурной конвекцией в области зоны рециркуляции. На рис. 3 показано распределение температуры в расплаве кремния. Как можно видеть, на распределение температуры влияет естественная конвекция в области зоны рециркуляции. Из-за коэффициента сегрегации, чуть ниже растущего слитка, концентрация легирующей
примеси в расплаве для фосфора при скорости потока
3 3
в 150 см /мин составляла 5 х Е15 атом/см . При
детальном рассмотрении распределения концентрации фосфора можно увидеть уменьшение концентрации примеси чуть ниже границы расплав-аргон, что вызвано сегрегацией примеси и конвективной диффузией. Расстояние между максимумом и основной массой концентрации расплавленной легирующей примеси определяется как толщина пограничного слоя примеси и приблизительно равна 0,9, 0,6 и 0,4 мм в радиальных положениях 0,0, 1,0 и 2,0 см соответственно. Это значение почти равно толщине гранично-диффузионного слоя примеси, наблюдаемого при передаче рентгеновских изображений [13].
Радиус расплава
Рис. 3. Симулированное распределение температуры в расплаве Si
Апробация результатов моделирования выполнена путем сравнения экспериментальных измерений и расчетных значений, полученных расчетным путем. Для экспериментальных измерений были выращены слитки монокристаллического кремния в ориентации (100) диаметром 50 мм, из загрузки 1000 г поликристаллического кремния в кварцевом тигле диаметром 100 мм. При этом были использованы следующие параметры технологического процесса выращивания: скорость выращивания - 1,4 мм/мин, частота вращения затравки 15 об/мин, скорость вращения тигля 7 об/мин (в направлении, противоположном направлению вращения затравки). Расплав кремния, был легирован фосфором до уровня 2 х E15 атом/см , что приводит к удельному сопротивлению 2 Ом м. Слитки, выращенные таким образом, разрезались по оси слитка на шайбы, а удельное сопротивление измерялось с помощью четырехзондового метода [14] с интервалом 1 мм в радиальном направлении. Затем концентрация легирующей примеси была откалибро -вана с помощью диаграммы Ирвина [15], которая показывает корреляцию между сопротивлением и концентрацией легирующей примеси в кремнии.
1-05----------
• •
0.751----------
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Радиальная позиция, г [см]
Рис. 4. Измеренное и смоделированное нормированное радиальное распределение концентрации легирующей примеси в кристалле: сплошная линия - расчитан-ная кривая, точки - экспериментальные данные
Полученные результаты приведены на рис. 4, где показана концентрация Cs (r), нормированная по концентрации легирующей примеси при r = 0, Cs (0).
Можно видеть, что получено хорошее согласование между измеренным и расчетным значениями. Средне-квадратические отклонения между измеренными и расчетными данными составили 2,8 %.
Выводы
1. Усовершенствована математическая модель для виртуального мониторинга радиальной и осевой неравномерности распределения примеси в расплаве и слитке кремния путем учета зависимости скорости внедрения примеси от гидродинамических параметров расплава, отличающаяся тем, что модель использует объединенное решение уравнений Навье-Стокса, уравнения непрерывности, уравнения диффузии примеси и уравнения сегрегации, что позволяет организовать виртуальный мониторинг осевой и радиальной неравномерности распределения примеси и тем самым обеспечить повышение качества кремниевых подложек.
2. В результате апробации модели путем сравнения расчетных и экспериментальных данных получено хорошее согласование между измеренной экспериментальным методом и рассчитанной радиальной концентрацией легирующей примеси в слитках кремния. Отклонение между измеренными и расчетными значениями концентрации не превысило 3%.
3. Усовершенствованную математическую модель можно использовать для построения виртуальных сенсоров, контролирующих распределения примеси в зоне кристаллизации. Решение этой задачи позволит создать информационный модуль, работающий в режиме «Советчик» для уменьшения неравномерности распределения примеси путем корректировки параметров процесса выращивания слитка.
Литература: 1. Pfann W. G. Principles of Zone-Melting / W. G. Pfann. // Transactions of the American Institute of Mining, Metallurgical, and Petroleum Engineers. 1952. №194. Р. 747. 2. Haberecht R. R. Semiconductor Silicon / R. R. Haberecht, E. L. Kern. New York: The Electrochemical Society Inc., 1969. 766 р. 3. Sugawara K. A Method to Improve the Radial Impurity Distribution in Czochralski Silicon Crystals / K. Sugawara, H. Tochikubo // Journal of The Electrochemical Society. 1977. №124. Р. 951-952. 4. Kim K. M. Computer Simulation of Boron Transport in Magnetic Czochralski Growth of Silicon / K. M. Kim, W. E. Langlois. // Journal of The Electrochemical Society. 1986. №133. Р. 2586-2590. 5. Kim K.M. Dopant Segregation in CZ and MCZ Silicon Crystal Growth: A Comparison Between Experiment and Numerical Simulation / K. M. Kim, W. E. Langlois // Journal of The Electrochemical Society. 1989. №136. Р. 1137-1142. 6. Kim K.M. Computer Simulation of Oxygen Segregation in CZ/ MCZ Silicon Crystals and Comparison with Experimental Results / K. M. Kim, W. E. Langlois // Journal of The Electrochemical Society. 1991. №138. Р. 1850-1855. 7. Город-цов В. А. Конвективная теплопроводность и диффузия в одномерной гидродинамике / В. А. Городцов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1999. №116.
С. 1616-1629. 8. Nakamura S. Thermophysical properties data on molten semiconductors / S. Nakamura, T. Hibiya. // International Journal of Thermophysics. 1992. №13. Р. 10611084. 9. Temperature Dependence of the Viscosity of Molten Silicon Measured by the Oscillating Cup Method / [H. Sasaki, E. Tokizaki, X. M. Huang та iH. ] // Japanese Journal of Applied Physics. 1995. №34. Р. 3432-3436. 10. Density Variations in Molten Silicon Dependent on Its Thermal History / H.Sasaki, E. Tokizaki, K. Terashima, S. Kimura. // Japanese Journal of Applied Physics. 1994. №33. Р. 6078-6081. 11. Kodera H. Diffusion Coefficients of Impurities in Silicon Melt / H. Kodera. // Japanese Journal of Applied Physics. 1963. №2. -Р. 212-219. 12. Physical Properties and critical constants of silicon [Електронний ресурс] // Boston Electronics Corporation - Режим доступу до ресурсу: http: // www.boselec.com/products/matsiphy.html. 13. In-situ observation of impurity diffusion boundary layer in silicon Czochralski growth / K.Kakimoto, M. Eguchi, H. Watanabe, T. Hibiya. // Journal of Crystal Growth. 1990. №99. Р. 665-669. 14. Valdes L. B. Resistivity Measurements on Germanium for Transistors / L. B. Valdes // Proceedings ofthe IRE. 1954. №42. С. 420-427. 15. Irvin J. C. Resistivity of Bulk Silicon and of Diffused Layers in Silicon / J. C. Irvin. // Bell System Technical Journal. 1962. №14. Р. 387-410.
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.
Поступила в редколлегию 14.01.2016
Оксанич Ирина Григорьевна, канд. техн. наук, доцент кафедры нформационно-управляющих систем КрНУ им. М. Остроградского. Научные интересы: информационные технологии управления. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Першотравнева, 20, тел.: (05366) 30157. Email: alpritchin@ukr.net.
Притчин Алексей Сергеевич, аспирант кафедры компьютерных и нформационно-управляющих систем КрНУ им. М. Остроградского. Научные интересы: информационные технологии управления. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Першотравнева, 20, тел.: (05366) 30157. Email: alpritchin@ukr.net.
Касаткын Артур Владимирович, аспирант кафедры компьютерных и нформационно-управляющих систем КрНУ им. М. Остроградского. Научные интересы: информационные технологии управления. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Першотравнева, 20, тел.: (05366) 30157. Email: alpritchin@ukr.net.
