CC BY
28
Оригинальная статья / Original article УДК 65.011.56
DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-104-113
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ОХЛАЖДЕНИЕМ РОТОРНОГО КРИСТАЛЛИЗАТОРА
19 Я
© П.Н. Якивьюк1, Т.В. Пискажова2, В.М. Белолипецкий3
1,2Сибирский федеральный университет,
Российская Федерация, 660025, г. Красноярск, пр-т им. газеты «Красноярский рабочий», 95. 3Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬЮ является создание математической модели, описывающей тепловое состояние роторного кристаллизатора и прогнозирующей температуру выходящей заготовки в зависимости от скорости подачи воды для охлаждения. МЕТОДЫ. В работе использовались законы теплопередачи и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Для управления водяным охлаждением роторного кристаллизатора литейно-прокатного агрегата (ЛПА) и контроля температуры получаемого полуфабриката была выстроена структурная схема для моделирования температуры металла в роторном кристаллизаторе и предложена математическая модель на основе обыкновенных дифференциальных уравнений. ВЫВОДЫ. Проведены и представлены расчеты, которые демонстрируют качественную адекватность модели. Данная модель может быть использована в составе автоматизированной системы управления литейно-прокатным комплексом.
Ключевые слова: математическая модель, охлаждение, роторный кристаллизатор, литейно-прокатный агрегат, обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).
Формат цитирования: Якивьюк А.В., Пискажова Т.В., Белолипецкий В.М. Математическая модель для управления охлаждением роторного кристаллизатора // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 9. С. 104-113. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-104-113
MATHEMATICAL MODEL TO CONTROL ROTARY CRYSTALLIZER COOLING P.N. Yakivyuk, T.V. Piskazhova, V.M. Belolipetskii
Siberian Federal University,
95, Krasnoyarskiy Rabochiy Pr., Krasnoyarsk, 660025, Russian Federation.
Institute of Computational Modeling SB RAS,
50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation.
ABSTRACT. The PURPOSE of the article is creation of a mathematical model that describes a thermal condition of a rotary crystallizer and predicts the temperature of the produced workpiece depending on the feed rate of cooling water. METHODS. The work uses the heat transfer laws and numerical solution methods of ordinary differential equations. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. To control water cooling of the rotary crystallizer of the casting and rolling unit (CRU) and control the temperature of the obtained semi-finished product a block diagram for metal temperature modeling in the rotary crystallizer has been built and a mathematical model on the basis of the ordinary differential equations has been proposed. CONCLUSIONS. Calculations which show qualitative adequacy of the model have been carried out and presented. This model can be used as a part of an automated control system for the casting and rolling complex. Keywords: mathematical model, cooling, rotary crystallizer, casting-rolling unit, ordinary differential equations (ODE)
1
Якивьюк Павел Николаевич, аспирант Института цветных металлов и материаловедения, e-mail: PavelYakivyuk@yandex.ru
Pavel N. Yakivyuk, Postgraduate of the Institute of Non-Ferrous Metals and Materials Science, e-mail: PavelYakivyuk@yandex.ru
2Пискажова Татьяна Валериевна, доктор технических наук, профессор, заведующая кафедрой автоматизации производственных процессов в металлургии института Цветных металлов и материаловедения, e-mail: piskazhova@yandex.ru
Tatiana V. Piskazhova, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Automation of Production Processes in Metallurgy of the Institute of Non-Ferrous Metals and Materials Science, e-mail: piskazhova@yandex.ru
3Белолипецкий Виктор Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, e-mail: belolip@icm.krasn.ru
Viktor M. Belolipetskii, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Chief Researcher, e-mail: belolip@icm.krasn.ru
For citation: Yakivyuk A.V., Piskazhova T.V., Belolipetskii V.M. Mathematical model to control rotary crystallizer cooling. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 9, pp. 104-113. (In Russian). DOI: 10.21285/18143520-2017-9-104-113
Введение
В последние несколько десятилетий объемы выпускаемой металлопродукции и требования, предъявляемые к ней, постоянно повышаются. Увеличение объемов производства вынуждает предприятия сокращать издержки, связанные с большой энерго- и ресурсоемкостью существующих технологий. Сокращению издержек и увеличению производительности способствует обеспечение оптимальных параметров технологического процесса, что достигается с помощью всесторонней автоматизации, а это, в свою очередь, приводит к необходимости создания математических моделей металлургических агрегатов.
Целью данной работы является создание математической модели, описывающей тепловое состояние роторного кристаллизатора и прогнозирующей температуру выходящей заготовки в зависимости от скорости подачи воды для охлаждения.
Методы
Объектом исследования выбран литейно-прокатный агрегат, а именно литейное колесо охлаждения. При расчетах использовались численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
В научно-технической литературе имеются модели, описывающие тепловое и напряженно-деформированное состояния узла деформации и кристаллизации [1, 2]. Эти модели разрабатывались с целью определения технологических и энергосиловых параметров деформирующего узла для получения полуфабрикатов необходимого качества из алюминия и его сплавов.
На ряде производств существует проблема недостаточной автоматизации агрегатов для подготовки металла к обработке; в основном это касается контроля температуры в необходимых параметрах и влечет за собой снижение качества и свойств выпускаемой продукции. Авторы работ [3-5] предлагают математические модели, описывающие тепловое состояние процесса, что позволяет осуществлять контроль температуры на различных этапах обработки [6].
Результаты исследования и их обсуждение
Рассмотрим устройство литейно-прокатного комплекса, описанного в [7], в составе которого имеется роторный кристаллизатор (рис. 1).
Агрегат имеет: вращающееся ленточное колесо с выемкой трапецеидального сечения на ободе 3; прижимаемую к ободу бесконечную стальную ленту; систему охлаждения ленты 10, которые образуют, таким образом, кристаллизатор. На выходе с колеса заготовка по направляющим роликам 9 поступает в тянущие ролики 4. После прохождения правильного устройства заготовка поступает в устройство для выравнивания температуры по сечению 5 и затем направляется в обжимную клеть 7, формирующую квадратную заготовку из трапецеидальной.
В [8] рассмотрена более детальная схема роторного кристаллизатора агрегата непрерывного литья и прокатки катанки, приведенная на рис. 2. Основу ее составляет водоохла-ждаемое литейное колесо 7, по внешнему ободу которого располагается желоб-кристаллизатор. Рабочая лента 3 обжимает литейное колесо и создает пространство для кристаллизации жидкого металла. Усилие натяжения ленты создается пружинным устройством.
Узел подачи металла в кристаллизатор состоит из металлоприемника 4 и дозатора 5 с возможностью регулировки его положения относительно точки ввода жидкого металла. Кристаллизующаяся заготовка перемещается по кругу вместе с литейным колесом 7, а затем по направляющему щитку 2 выходит на рабочую траекторию по оси установки прокатных клетей.
Рис. 1. Пример литейно-прокатного комплекса: 1 - сталеразливочный ковш; 2 - промежуточный ковш; 3 - литейное колесо; 4 - тянущие ролики; 5 - зона выравнивания температуры; 6 - ножницы; 7 - горизонтальная клеть; 8 - вертикальная клеть; 9 - направляющие ролики; 10 - система охлаждения Fig. 1. Example of a casting and rolling complex: 1 - steel-teeming ladle; 2 - intermediate ladle; 3 - casting wheel; 4 - pinch rolls; 5 - temperature equalization zone; 6 - dividing shears; 7 - horizontal roll stand; 8 - edger mill; 9 - feed rollers; 10 - cooling system
Рис. 2. Схема агрегата непрерывного литья и прокатки катанки: 1 - холостой шкив; 2 - направляющий щиток; 3 - рабочая лента; 4 - металлоприемник; 5 - дозатор; 6 - отводящая труба; 7 - литейное колесо Fig. 2. Diagram of the unit of continuous casting and wire rod rolling: 1 - idler pulley; 2 - deflector shield; 3 - traveling belt; 4 - crucible; 5 - batch meter; 6 - outlet pipe; 7 - casting wheel
Математическое моделирование теплообмена в кристаллизаторе.
На рис. 3 приведена структурная схема для моделирования температуры металла в роторном кристаллизаторе.
y
▼
x
Металл Metal
^ода Twat
л
T1
\7
л T
M
\7
л
Tвода Twat
y=0 y=51
y=ÖM y=Ö2
Рис. 3. Структурная схема для моделирования Fig. 3. Structural diagram for modeling
Считая, что процесс протекает непрерывно и без изменения скорости подачи металла, рассмотрим стационарное приближение. Отметим разную толщину стенок кристаллизатора. Изменение температуры металла и стенок опишется уравнением
„ТТдТ д 2T pCU- = л— + Q,
дх ду
(1)
где т - температура; р - плотность; с - удельная теплоемкость; л - коэффициент теплопроводности; Q - внутренние источники тепла; х, у - координаты. Введем средние значения температуры по толщине слоев:
л 1 S
T=s í Tdy
(2)
Проинтегрируем уравнение (1) по толщине слоев, тогда для слоя металла получим
рмСмим '
м
5 Tм
SM ду
5 Tм
sM ду
Q.
У=О
Используем граничные условия
О ОТM
ду дТ
= -a2(TM- T2),
y=S
Л
M
ду
= a (Tm- T 1).
y=0
Следовательно,
PmCmJm^T^ = -ar(T M - T 2) -a(T M - ТО+в,
dx дЪ4 д..
(3)
где рм - плотность металла; См - теплоемкость металла; £/м - скорость металла. Аналогично выводятся уравнения для слоев «1» и «2» стенок кристаллизатора:
pCjdT1 =Ä, дТ, dx д ду
-Л ОТ1
у=^1 S ду
y=О
2 ОТ
dy
= а1(Тм - Т ),
у=д
; дТм л
dy
= awat ( Тм - Т wat )
у=о
P CJ1 — = а (T M - Т1 ) -aWOL (Т1 - Twat )
dx S,
(4)
P1CJ1
dT2 _ Л дТ2
dx д2 dy
Л dT2
y =^2 2
S2 dy
y=0
2 дТ2
dy
2 дТ2
ду
= -awat(Т2 - Т wat \
у=д2
= -а (Тм - т 2),
у=о
P1CJ1 ^ = atV M - Т2)2 (Т2-Twat ).
dx s д2
(5)
Таким образом, система обыкновенных дифференциальных уравнений (3)-(5) описывает теплообмен в кристаллизаторе.
Л
Первой проблемой является определение количества тепла кристаллизации металла в
точке х. Это тепло зависит от удельного тепла кристаллизации материала Ь(—), скорости
кг
, КГ , — ТТ"/3\Л
кристаллизации —(—) и объема, в котором происходит кристаллизация Кспдм ). Следо-
йг сек
вательно, уравнение (3) мы можем дополнить:
йт йг
V '
ешг
Q = L
Коэффициент теплообмена на границе «вода - металл» при охлаждении кристаллизатора. Второй проблемой является определение коэффициента теплообмена на границе «вода-металл», обозначим его . Существует методика для его расчета [9]. Коэффициент зависит от расхода и температуры воды для охлаждения и является управляющим воздействием в задаче автоматизации.
При струйной обдувке плоской поверхности из сопел диаметром й , расположенных друг от друга на расстоянии 5, от поверхности - на расстоянии 8й, а^ находят по следующим формулам [10]:
а^г-5 = 0,332• (5)025 • Яе0625• Рг033 при 1 <5 < 8, (6)
Л Л а
S = 1.0S5 - (S)0 625 - Re0 625-Pr0 33 при S <S
А V d
Здесь все параметры взяты при средней температуре среды и поверхности:
^ о
Яе = w • —, Рг = —.
о а
м; и - коэффициент кинематической вязкости среды, м2/с; a = —--коэффициент темпера-
где Яе - критерий Рейнольдса; Рг - критерий Прандтля; I - характерный линейный размер,
Л
с •Р
о о
туропроводности среды, м2/с; р - плотность среды, кг/м3; с - удельная теплоемкость среды, Дж/(кгК); Л - коэффициент теплопроводности среды, Вт/(мК); w - скорость движения среды, м/с.
При охлаждении поверхностей (внутренней и внешней) роторного кристаллизатора имеем струйное водяное охлаждение плоской поверхности из форсунок диаметром й = 0,057 м, расположенных на расстоянии 5 = 0,048 м друг от друга и от поверхности на расстоянии
5 = 0,065 м.
Для расчета ат1 понадобятся вышеупомянутые критерии и переменные.
о о
Предположим, что расход воды на охлаждение составляет 30 м°/ч, (или 30/3600 м3/с). При числе форсунок 140 на каждую приходится расхода воды 30/3600/140 м3/с. Скорость движения среды найдем как
Q 30/3600/140 .
w = — =--—- 0,024 м/с,
^ 3,14-0,0572 / 4
V/ V» 'З
где Q - расход воды на охлаждение одной форсункой, м3/с; 5сеч - площадь поперечного се-
о
чения форсунки, м2.
Учитывая, что при температуре 20°С коэффициент кинематической вязкости воды раО V» V» V/
вен 1,006 • 10° м2/с, рассчитаем критерии Реинольдса, характеризующий отношение сил инерции к силам вязкости в потоке и указывающий на режим течения среды:
„ 0,024-0,057 1001 _
Re = --1381,56.
1,006-10-6
Так как отношение — = 0,065 «1,14 удовлетворяет условию 1 < 1,14 < 8, то а
d 0,057
найдем по формуле (6).
Учитывая, что критерий Прандтля Pr, характеризующий физические свойства среды, для воды при температуре 20°С равен 7,02, и коэффициент теплопроводности воды Л при температуре 20°С равен 59,9-102 Вт/(мК) из уравнения (6) получаем
а = 0,332-(°-°48)0'25 -1381,560'625 -7,020'33 .(59,9'10~2) ^ 692,92 Вт/(м2К). wat 0,057 0,048
Расчет температуры металла в кристаллизаторе. Предположим, что стенки на рис. 3 имеют одинаковую толщину, равную — (см. рис. 3). Тогда для расчета температуры металла в кристаллизаторе воспользуемся системой двух дифференциальных уравнений, полученной из (3)-(5):
А
PcP, dT1 = at(TM - ГО -O1 T - Twat),
dx — — ^
Pu-cM-UMdTM = -2r(T m - T1) + Q.
dx —М
Учтем, что температура валков до начала выливки металла равна температуре окружающей среды, температура металла на входе в кристаллизатор равна температуре выливки металла из печи и шаг по координате Ax = 0,1 м:
Т0 — Т — 9П0Р Т0 — Т — 78П0
T1 = TOKp. среды = 20 C, TM = T Мпечи = 780 C
„ dm
Скорость кристаллизации — нуждается в расчете отдельным уравнением, но в дан-
dt
dm
ной постановке задачи для квазистационарного режима принимается постоянной = const.
Vcrist
Если константа и будет задана неточно, то это лишь изменит количество расчетных ячеек, в которых выделяется тепло кристаллизации.
Перейдем к численному решению уравнений (7) для нахождения средних температур металла и стенок.
у n rj~! n-1
_ ^ TT 11 T1 _ /rpn-\ rpn-\\ al /rp rpn-К awat
P1 ■ C1 'J1 -:- = (1M - T1 ) + (1wat - T1 ) ■ w
a
Ax
7T n rpn-1
-T
p ■ c ■ J Im—ж
pM CM J M
dm dt
,-y n-1 n
= - =a°{TM - Tl) + L ■
Ax SM Krist
Для расчета температуры валков из первого уравнения получаем:
srpn-1 rpn-\\ а1 (rji rpn-l\ awat (1M - T1 ) + (1wat - T1 )
T,n = 1n-1 + Ax' (-^-^).
P ' Cl ' UM
Для расчета температуры металла из второго уравнения следует:
dm
2( • (ТТ' - Т*) + Ь - Л
S м V
rpn _ rpn-1 , A Í__M_ crist \
TM = Тм ^ Ax ■ ( ).
рм ■ CM ■ J M
Величина ь используется при расчете в случае, когда температура металла находится в диапазоне от ликвидуса до солидуса, в остальных случаях ь = 0-
Нами был проведен тестовый расчет для проверки работоспособности модели. В табл. 1 приведены исходные данные для расчета. В табл. 2 отражены результаты расчетов температуры валков и температуры металла.
Таблица 1
Исходные данные для расчета
Table 1
Input data for calculation_
Параметр / Parameter Значение / Value Размерность / Unit of measurement
Плотность алюминия / Aluminum density 2200 кг/м3 / kg/m3
Теплоемкость алюминия / Aluminum heat capacity 1000 Дж/(кгК)/ J^kg-К)
Плотность стали / Steel density 7800 кг/м3/ kg/m3
Теплоемкость стали / Steel heat capacity 460 Дж/(кгК)/ J^kg-К)
Коэффициент ai / Coefficient ai 110000 Вт/м2К/ W/m2 К
Коэффициент awat / Coefficient awat 692 Вт/м2К/ W/m2 К
Температура воды / Water temperature 20 °C
Скорость металла / Metal speed 0,7 м/с / m/s
Тепло кристаллизации / Crystallization heat 500000 Дж/кг / J/kg
Таблица 2
Результаты расчета
Table 2
Calculation results
Шаг, м / Step, m Температура металла, °C / Temperature of metal, °C Температура валков, °C / Temperature of rolls, °C
0 780 20
0,1 729,59 74,28
0,2 685,85 117,21
0,3 648,13 150,88
0,4 614,99 177,05
0,5 585,64 197,11
0,6 559,46 212,22
0,7 535,95 223,29
0,8 514,68 231,10
0,9 495,29 236,28
1,0 477,51 239,33
1,1 461,09 240,68
1,2 445,85 240,66
1,3 431,61 239,55
1,4 418,25 237,59
1,5 405,66 234,95
1,6 393,74 231,79
1,7 382,42 228,23
1,8 371,63 224,37
1,9 361,32 220,29
2,0 351,44 216,06
Выводы
Разработана математическая модель для управления водяным охлаждением роторного кристаллизатора и контроля температуры металла по пути его движения. Проведены и представлены расчеты, которые демонстрируют ee качественную адекватность. Данная модель может быть использована в составе АСУ литейно-прокатного комплекса.
Библиографический список
1. Сидельников С.Б., Довженко Н.Н, Загиров Н.Н. Комбинированные и совмещенные методы обработки цветных металлов и сплавов. М.: МАКС Пресс, 2005. 344 с.
2. Довженко Н.Н, Беляев С.В., Сидельников С.Б. Прессование алюминиевых сплавов: моделирование и управление тепловыми процессами. Красноярск: Изд-во Сибирского федерального университета, 2009. 256 с.
3. M. Badowski, E. Garate, D. Armendariz. Influence of the cooling water temperature on productivity and product quality in twin roll casting with copper shells, Light Metals, 2010, pp. 741-746.
4. Cristian W. Schmidt, Andreas Buchholz, Kai-Friedrich Karhausen. The Importance of Heat Removal for Productivity in Industrial Twin Roll Casting of Aluminium, Light Metals, 2015, pp. 1209-1214.
5. Пискажова Т.В., Белолипецкий В.М., Якивьюк П.Н. «Виртуальный СЛИПП» - математическая модель для управления агрегатом СЛИПП и ее визуализация с помощью программных продуктов WinCC 7.0 и Step7 // Вестник СибГАУ. 2015. Т. 16. № 2. С. 470-477.
6. H. Combeau, F. Roch, I. Poitrault, J.Ch. Chevrier, G. Lesoult. Numerical study of heat and mass transfer during solidification of steel ingots, in "Advanced computational methods in heat transfer", Computational Mechanics Publ., Southampton, 1990, pp. 79-80.
7. Кудрин В.А. Теория и технология производства стали. М.: Мир, 2003. 528 с.
8. Янко Э.А. Производство алюминия [Электронный ресурс]. URL: http://www.studfiles.ru/preview/5897635/pagei69/ (04.05.2017).
9. Тинькова С.М. Металлургическая теплотехника: практикум. Красноярск: Государственный университет цветных металлов и золота, 2005. 144 с.
References
1. Sidelnikov S.B., Dovzhenko N.N., Zagirov N.N. Kombinirovannye i sovmeshchennye metody obrabotki tsvetnykh metallov i splavov [Combined and simultaneous methods of non-ferrous metal and alloy machining]. Moscow: MAKS Press Publ., 2005, 344 p. (In Russian).
2. Dovzhenko N.N., Belyaev S.V., Sidelnikov S.B. Pressovanie alyuminievykh splavov: modelirovanie i upravlenie teplovymi protsessami [Moulding of aluminum alloys: modeling and control of thermal processes]. Krasnoyarsk: SFU Publ., 2009, 256 p. (In Russian).
3. M. Badowski, E. Garate, D. Armendariz. Influence of the cooling water temperature on productivity and product quality in twin roll casting with copper shells, Light Metals, 2010, pp. 741-746.
4. Cristian W. Schmidt, Andreas Buchholz, Kai-Friedrich Karhausen. The Importance of Heat Removal for Productivity in Industrial Twin Roll Casting of Aluminium, Light Metals, 2015, pp. 1209-1214.
5. Piskazhova T.V., Belolipetskii V.M., Yakivyuk P.N. «Virtual'nyi SLIPP» - matematicheskaya model' dlya upravleniya agregatom SLIPP i ee vizualizatsiya s pomoshch'yu programmnykh produktov WinCC 7.0 i Step 7 ["Virtual CC&RP" - a mathematical model for the control of the unit CC&RP and its visualization with the help of software products WinCC 7.0 and Step 7]. Vestnik SibGAU [Vestnik SibGAU]. 2015, vol. 16, no. 2, pp. 470-477. (In Russian).
6. H. Combeau, F. Roch, I. Poitrault, J.Ch. Chevrier, G. Lesoult. Numerical study of heat and mass transfer during solidification of steel ingots, in "Advanced computational methods in heat transfer", Computational Mechanics Publ., Sout hampton, 1990, pp. 79-80.
7. Kudrin V.A. Teoriya i tekhnologiya proizvodstva stali [Theory and technology of steel production]. Moscow: Mir Publ., 2003, 528 p. (In Russian).
8. Yanko E.A. Proizvodstvo alyuminiya [Aluminum production]. Available at: http://www.studfiles.ru/preview/5897635/ page:69/ (accessed 4 May, 2017). (In Russian).
9. Tinkova S.M. Metallurgicheskaya teplotekhnika: praktikum [Metallurgical heat engineering: workshop]. Krasnoyarsk: Gosudarstvennyi universitet tsvetnykh metallov i zolota Publ., 2005, 144 p. (In Russian).
Критерий авторства
Якивьюк А.В., Пискажова Т.В., Белолипецкий В.М. являются авторами статьи и несут ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Yakivyuk A.V., Piskazhova T.V., Belolipetskii V.M. have equal authors' rights and bear the responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
Статья поступила 20.07.2017 The article was received 20 July 2017
