Математическая модель дискретной оптимизации динамики пучка заряженных частиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97:621.384

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 2

Е. Д. Котина

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ *)

1. Введение. В работе строится математическая модель оптимизации дискретных систем, которая может служить для решения задач оптимизации динамики заряженных частиц в ускорителях. Методы дискретной оптимизации динамических систем широко представлены в математической литературе, в частности в работах [1-3], и их применение для оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускорителях представляется интересным. Однако для решения разнообразных задач оптимизации динамики пучков необходимо создание специальных моделей оптимизации, которые бы учитывали специфику изучаемых проблем. Разработке таких моделей посвящены работы [4-7]. В настоящей статье продолжается исследование в этом направлении и развивается идея совместной оптимизации программного и возмущенных движений. Описывается функционал достаточно общего вида, позволяющий оценивать различные динамические характеристики пучка.

2. Постановка задачи. Математическая модель оптимизации. Рассмотрим систему дискретных уравнений следующего вида:

где х(к) - n-мерный фазовый вектор, характеризующий программное движение: у(к) - m-мерный фазовый вектор возмущенного движения; и(к) - r-мерный вектор; /(/с) = f(k,x(k),x(k — 1),х(к — 2 ),и(к)) - n-мерная векторная функция. F(k) = F(k,x(k),x(k — 1 ),х(к — 2),у(к),и(к)) - т-мерная векторная функция. Относительно f{k) предполагаем, что при каждом к € {0,1,...,N} она определена и непрерывна на множестве Пх х Пж х ilx х U(к) по всем своим аргументам (х(к),х(к — 1 ),х(к — 2),и(к)) вместе с частными производными. Будем также считать, что при каждом к € {0,1,...,N} F(k) определена и непрерывна на множестве fix х Пх xftx х xU(к) по совокупности аргументов (х(к),х(к — 1 ),х(к — 2),у(к),и(к)) вместе с частными производными до второго порядка включительно. Здесь Г^ - область в Rn, Пу - область в Rm, U(k) - компактное множество в Rr, к — 0,1,..., N — 1.

При этом примем, что якобиан J^ = J(k,x(k),x(k — 1 ),х(к — 2),у(к),и(к)) —

оу{к)

отличен от нуля при всех изменениях к,х(к),х(к — 1 ),х(к — 2),у(к),и(к).

Уравнение (1) описывает динамику программного движения, уравнение (2) - возмущенное движение.

Предполагаем далее, что начальное условие х(0) = жо задано, и начальное состояние системы (2) описывается множеством М0 - компактным множеством в Rrn ненулевой

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 03-01-00726).

© Е. Д. Котина, 2006

х(к + 1) = f(k,x(k),x{k - 1 ),х(к - 2),и(к)),

(1)

у(к + 1) = F{k,x(k),x(k - 1 ),х(к - 2),у(к),и(к)), k = 0,...,N- 1,

(2)

ыеры. Последовательность векторов {и(0),и(1),... — 1)} будем называть управлением и обозначать для краткости и, а соответствующую ему последовательность векторов {ж(0), х(1),..., - траекторией программного движения и обозначать

х = х(хо,и). Обозначим х(к) — х(к,хо,и(к)) фазовое состояние программной частицы на к-м шаге. Аналогично, последовательность векторов {2/(0), у( 1),... будем называть траекторией возмущенного движения и обозначать у — у(х,уо,и), здесь — У(0). Фазовое состояние частицы на к-м шаге обозначим у{к) = у(к,х,уо,и).

Множество траекторий у = у(х,уо,и), соответствующих начальному состоянию хо, управлению и и различным начальным состояйиям у о е Мо, будем называть ансамблем траекторий, или пучком траекторий, или просто пучком. Фазовое состояние пучка на Дг-м шаге будем называть также сечением пучка траекторий и обозначать Мк<и, т. е.

= {у(к) : у(к) = у(к,уо,х(к),и(к)),уо <Е М0}.

Управления, удовлетворяющие условиям и(к) 6 и (к), к = 0,1,..., N — 1, будем называть допустимыми.

Уравнениями типа (1), (2) может быть описана динамика заряженных частиц в ускоряющей или фокусирующей структуре [2, 8, 9]. И применительно к задачам формирования динамики заряженных частиц пучок траекторий можно трактовать как пучок заряженных частиц.

На траекториях системы введем функционал качества, позволяющий одновременно оценить динамику программного и возмущенного движений и проводить их совместную оптимизацию:

N-1 .

1{и) = £ / ук(х(к),ук,и{к)) йук + / д(ум) (1ум. (3)

Здесь ук = срк(х(к),у(к),и(к)) - функция, которая при каждом к е {0,1,...,ТУ} определена и непрерывна на множестве Пх х х и (к) по всем своим аргументам х (к), у (к), и (к)) вместе с частными производными, д — д(у(ЛГ)) - непрерывно дифференцируемая функция на множестве Г1у,ук- переменная интегрирования по множеству А/м, к = 1,...,ЛГ.

Нашей задачей является минимизация функционала (3) по всем допустимым управлениям.

3. Вариация функционала. Рассмотрим допустимые управления мим. Соответствующие им траектории обозначим ж(хо,м) и х(хо,и), а соответствующие траектории возмущенных движений -

у(х,у0,и) и у(х,у0,и). (4)

Разность Аи(к) = и(к) — и(к) будем называть вариацией управления и на к-м шаге, разность Ах(к) — Ах(к,х(к)) = х(к,х0,и) — х(к,хо,и) - приращением траектории программного движения х(хо,и) на к-м шаге, разность Ау(к) — Ау(к,у(к)) — у(х,у0,и) — у(х,уо,и) - приращением траектории возмущенного движения на к-м шаге. Соответственно Аи, Ах и Ау будем называть вариацией управления и и приращениями траекторий х(хо,и) и у(х,уо,и). В силу свойств непрерывности, ||Дж|| -> 0 при ||Дм|| —> 0 и АуII ->• 0 при IIДмII 0 равномерно по уо € М0, где ||Дм|| = тах ||Дм(&)||, здесь

А;=0,1,... ,ЛГ — 1

]Дм(/с)|| = лУ(Аи(к), Аи(к)). Норма Ах и норма Ау определяются аналогично.

Обозначим 5х(к),6у(к) вариации траекторий системы (1), (2) при допустимой вариации Аи и данном и.

Введем в рассмотрение следующие уравнения:

+« = тщ°х{к) + ^ч"11 -4 + к=1' **+«=+-4++* ■

/с = 2,...,ТУ- 1. (6)

Систему уравнений (5), (6) назовем системой в вариациях для системы (1), (2), а 5х(к), 5у(к) - вариациями траекторий системы (1), (2) при допустимой вариации Аи и данном управлении и. При этом считаем, что

&с(0) = 0 и ¿2/(0) = 0.

Нетрудно показать, что ||Дх —¿х|| и ||Ду — <5у|| есть величины более высокого порядка малости, чем ||Ди||, равномерно по уо € М0. Это следует из представлений Ах(к,х(к)) и Д у (к, у (к)) по формуле Тейлора, уравнений (5), (6) и компактности множества Мо.

Рассмотрим отображение множества Мк,и в множество М^, определяемое траекториями (4), исходящими из одних и тех же точек множества Мо. Обозначим его

т = ъш). (7)

По построению и в силу предположений о непрерывной дифференцируемости правой части уравнения (2), формула (7) определяет взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение Мк>и в Так как у(к) = у{к) + Ау(к,у(к)), яко-

биан преобразования (7) может быть представлен в виде [2]

<!«* (Щ) = 1 + <ИууАу(к,у(к))+о(\\Ау(кМт),

где

= (з)

г—1

Очевидно, что \д.[ууАу(к,у(к)) — дхуу8у(к, у(к))\ есть величина более высокого порядка малости, чем ||Дг«||, равномерно по к — 1, 2,..., N и уо Е

Приведем здесь лемму, доказанную в [2], которая понадобится в дальнейшем. Лемма 1. Пусть А (а) = {а^} - неособая квадратная матрица порядка п, элементы которой зависят от параметра а. Тогда имеет место соотношение

Замечание. Так как след от произведения квадратных матриц не зависит от порядка их умножения и след от суммы матриц равен сумме следов этих матриц, то на основании леммы 1 можно записать

¿>1^1 да

При преобразовании вариации исследуемого функционала будет использована Лемма 2. Справедливо следующее равенство:

с\\\у5у(к + 1) = сН ууёу(к) +

дJ{k)

-5х(к - 1) +

дх{к - 1)

+ + Щ|д»<4 (9,

Здесь 6у(к) = 5у(к,у(к)), (Мчу6у(0) = 0.

Доказательство. Исходя из равенства (8) и уравнения (2), имеем

Далее, используя уравнения в вариациях (6) для системы (2), находим дёу(к + 1)

ду(к)

- 5 (дт5х(к) I дПк) 5х(к 1) I дт 5х(к 2) | дПк)

- от V дх(к) 6х{к) + дх(к - 1)дх{к 1} + дх(к - 2)Щк 2> + ду(к)

При этом

6у(к) .

д (др{к) \ _ ^ д (тт тк) ыф)

ду(к) V ду(к) т )) и ЫЪ) V ду(к) ) °УЛК) + ду(к) ду(к) '

з

Остальные производные определяются аналогично.

Подставляя полученные выше выражения в (10) и используя лемму 1, получаем (9).

Найдем приращение функционала (3) при допустимых управлениях и и и:

А1 = 1{и)~ 1{и) = ^ ^ J ук(х(к),ук,и{к))(1ук- J ук(х{к),ук,и(к))(1у]^ + к=1 мк,й мКи

+ J - ! g(УN)dyN.

Применяя преобразование (7), определяем ЛГ-1

Д7 = Е / (ыШ + Ах(к),ук + АУк,иЩ + Аи(к)) дуЫ к=1 мк,и

-(рк(х(к),ук,и(к))^(1ук + I (g(yN + Дулг)

дук

- э(Ум) ) (1уп.

Млг,и

Далее, выделяя линейные члены по Ах(к), Ау(к), Аи(к), ¿[\у6у(к, у(к)) и учитывая, что величины \\Ах(к,х(к)) - 5х(к, х(к))\\, \\Ау(к,у(к)) - 5у(к,у{к))\\, \<И\уАу(к,у(к)) -сЦУу3у(к,у(к))\ имеют порядок малости более высокий, чем ЦДадЦ, равномерно по уо € М0 и к — 1, 2,..., имеем

А1 = 51 + о(\\Аи\\). (И)

В (И)

N-1 ,

/ [^■уу((Рк{.х(к),ук,и(к))6у(к,ук)) + к=1мк,и

+ дЧ>к

дх(к) 4 ; ду(к) ' ди(к)

Млг,и

Здесь

&ууЫ(х(к),у(к),и{к))5у(к,у{к))) = у (к)) + ц>к<Иуу(5у(к,у(к))),

С целью преобразования вариации функционала введем вспомогательные переменные, удовлетворяющие следующей разностной системе:

Я(к) = ЗкЯ.{к + 1) + ¥к, тггл- тп. . , , ,

р1 (к) = (к + + «(* + ^^ТТл +

ду(к) ЧК 'ду(к) ду(к)'

т

i=k у—к

+ П + + (13)

» —1

-О- V »г- — I /V _ ч

А: = ТУ- . - -, 1, I =

при конечных условиях

А; + 2, А; = 1,...,ЛГ-3

ее пи

ЛГ-1, к = N - 2,И - V

]=к

к > г — 1, тогда ^ = 1,

Здесь р(А;) - т-мерный вектор, 7(/г) - п-мерный вектор, <?(&) - скаляр.

Преобразуем последний интеграл в вариации (12), используя переменные (13). Сделаем замену переменных в силу системы (2), и, перейдя к интегрированию по переменной у м-1, получаем

J ¿{му(д(ум)$У(М, ум))<1ум =

= I {рт(М)5у^,у(М)) + 9(ЛГ)<иУу5у(М,у(М))) Зм^йум-ь

Для краткости вместо у(М,ум) будем писать у(^). Заменяя 6у(М) по формуле (6) и используя лемму 2 для преобразования <Цуу5у(М), имеем

I ¿™у(д{у^5у№,ум))(1ум -

Мл,,и

+ _ ц + - + - 1) +

+ / (14,

МлГ-1,и

Сложим интеграл (14) с интегралом по сечению Мм-1,и в вариации (12). Собирая члены при ¿^(ТУ — 1),<5у(Лг — ^сИу^у^ — 1) и учитывая соотношения (13), запишем полученную сумму в виде

У - 1 )6хф - 1) + - 1 )5у(И - 1) + - 1)<Иу/у(АГ - 1) +

Мц-1,„

+ ( + ЛГЛ, ) - 2) +

- 2)

дх{М - 2)

+ ( Ц + д(М) ) 6х(М- 3) ^-1+^-1, (15)

- з)

где /дг—1 =

- / (

д«(7У - 1)

Оставим без изменений и перейдем в формуле (15) от интегрирования по ум-1 к интегрированию по ум-2- Далее, заменяя — 1 ),6у(М — 1),<Цуу5у№ — 1) по

формулам (5), (6) и (9) и складывая полученное выражение с интегралом по сечению Мм-2,и в вариации (12), имеем

где

У - 2)<Уу(ЛГ - 2) + 7Т(ЛГ - 2)5х(Ы - 2) + - 2)<Иу„(^ - 2) +

Мл,_ 2,-и

-- "ШП - ^ - .да+9(„ _ .+

+- з, +

+ - - + /лГ-1 + ^N—2)

<Эж(]У - 4)

Млг_2,и

Повторяя эту процедуру, сведем все интегрирование к интегрированию по множеству начальных состояний Мо. Учитывая, что начальные значения вариаций

¿х(0) — 0, Sy(0) — 0 и divy<5j/(0) = 0, получаем следующее выражение для вариации функционала (3):

Si.f I + + + +

4. Условие оптимальности. Введем специальную вариацию управления [2]

Аи(к) = 0, k = l,2,...,N-l, Au(j) ф 0.

Будем называть ее допустимой для допустимого управления и, если существует е > 0 такое, что при 0 ^ е ^ г

u(j) + £Au{j) е U(j).

Используя специальную вариацию управления и представление вариации функционала (16), получаем следующую теорему.

Теорема. Для того чтобы управление и0 — (и°(0),it°(l),..., u°(N — 1)) было оптимальным, необходимо, чтобы при всех допустимых вариациях управления выполнялось неравенство

Г ( г | ^dF(k,x(k),x(k-l),x(k-2),yk,u°(k))

J \JkP {к+1) Щк) +

+Jkl (fc+1)--—-+

. ru 1 1A dJk I дРк(х(к),Ук,и°(к))\ 'fu\^n

+ <1{к + 1)ЩЩ +-дф)-) dykAu{k) >

Здесь Jk = J(k,x(k),x(k - 1 ),x(k - 2),y(k),u°(k)) и p(k + 1),7(к + 1 ),q(k + 1) удовлетворяют соотношениям (13) при оптимальном управлении и соответствующих ему оптимальных траекториях х(хо,и°) и у(х,уо,и°).

5. Заключение. Таким образом, в настоящей работе построена достаточно общая математическая модель оптимизации программного и возмущенных движений в дискретных системах, которая может быть использована для решения задач оптимизации динамики заряженных частиц в различных ускоряющих и фокусирующих структурах, в частности для оптимизации динамики заряженных частиц в линейном ускорителе с трубками дрейфа. Полученное аналитическое представление вариации функционала (16) и условие оптимальности позволяют строить различные направленные методы минимизации исследуемого функционала. Отметим также, что исследуемую проблему можно рассматривать как задачу оптимизации в условиях неопределенности по начальным данным.

Summary

Kotina Е. D. Discrete optimization mathematical model of charged particles beam dynamics.

The mathematical model was suggested that allows conducting simultaneous optimization of programmed motion and ensemble of perturbed motions in discrete systems. Analytical expressions

for functional variations are suggested that help constructing various directed methods of optimization. Given mathematical model can be used in the optimization of the dynamics of charged particles in linear accelerators.

Литература

1. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. 255 с.

2. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 228 с.

3. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 310 с.

4. Kotina Е. D., Ovsyannikov A. D. On simultaneous optimization of programmed and perturbed motions in discrete systems// Proc. of 11th Intern. IFAC Workshop. Vol. 1. Oxford, UK, 2001. P. 187-189.

5. Котина E. Д. Дискретная задача оптимизации с суммарным показателем качества // Труды Междунар. семинара «Динамика заряженных частиц и оптимизация». BDO-2001. Саратов, 2001. С. 51-53. ,

6. Kotina Е. D., Garbuzova S. A. Optimization of longitudinal motion of charged particles in drift-tube linear accelerator// Proc. of Intern Workshop "Beam Dynamics & Optimization". BDO-2002. St.Petersburg, 2002. P. 135-141.

7. Kotina E. D. Discrete optimization problem // Problems of Atomic Science and Technology. 2004. N 1. P. 147-149.

8. Мурин Б. П., Бондарев Б. И., Кушин В. В., Федотов А. П. Линейные ускорители ионов: В 2 т. Т. 1: Проблемы и теория. М.: Атомиздат, 1978. 264 с.

9. Соловьев Л. Ю. Моделирование жесткофокусирующего канала линейного ускорителя протонов на ЭЦВМ // Труды 1-го Всесоюз. совещания по ускорителям заряженных частиц. М., 1968. Т. 2. С. 431-435.

Статья поступила в редакцию 11 декабря 2005 г.