Математическая модель динамики существенно нелинейной управляемой механической системы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Серия 3. Естественные науки. Математическая модель динамики существенно нелинейной управляемой

механической системы

д.т.н. проф. Божкова Л.В, к.т.н. доц. Норицина Г.И., к.т.н. проф. Рябов В.Г., Акульшина Т.В.

Университет машиностроения 8(495)223-05-23, tm@mami.ru Аннотация. Построена математическая модель динамики существенно нелинейной управляемой механической системы на примере промышленного робота типа «БКГЬАМ» с учетом сухого трения в кинематических парах манипулятора робота и динамических характеристик двигателей. В основу решения положены принципы Даламбера и Даламбера-Лагранжа. При этом был применен аппарат матриц преобразования однородных координат.

Ключевые слова: робот, манипулятор, кинематическая пара, трение, сила инерции

Примером существенно нелинейной управляемой механической системы является манипулятор промышленного робота. Учет сил сухого трения (трения скольжения) в сочленениях звеньев манипулятора (в кинематических парах) усложняет эту и без того достаточно сложную нелинейную механическую систему. Практически отсутствуют исследования динамики манипуляторов роботов с учетом сухого трения в кинематических парах.

Как следует ожидать, уравнения динамики манипуляторов при учете сухого трения будут нелинейными относительно обобщенных ускорений, что значительно усложняет их решения. Кроме того, наличие сил трения в кинетических парах приведет к динамической зависимости тех звеньев манипулятора, движения которых в случае отсутствия сил трения являются динамически независимыми. Данный факт следует учитывать при проектировании системы управления для роботов, требующих по своему технологическому назначению особо высокую точность позиционирования.

Таким образом, математическая модель динамики существенно нелинейной управляемой механической систем, построенная на примере манипулятора робота, позволяет не только проводить теоретические исследования в области нелинейной механической системы со многими степенями свободы, но также стать основой при проектировании системы управления робота.

Построим математическую модель динамики манипулятора промышленного робота типа «БКГЬАМ» с учетом сухого трения в кинематических парах и с учетом динамических характеристик двигателей.

"г

Рисунок 1. Кинематическая схема манипулятора промышленного робота «8К1ЬАМ»

Рабочими движениями манипулятора данного робота являются вращения первых двух звеньев вокруг вертикальных осей и поступательное перемещение в вертикальном направлении третьего звена, несущего схват (рисунок 1). 30 Известия МГТУ «МАМИ» № 3(17), 2013, т. 1

Первые два звена манипулятора приводятся в движение электродвигателями постоянного тока через волновые редукторы. Электродвигатели и волновые редукторы расположены на осях вращения звеньев (оси вращения роторов двигателей совпадают с осями вращения звеньев). Третье звено приводится в движение пневмоприводом. На этапе транспортировки груза будем считать рабочий орган (схват) жестко связанным с третьим звеном.

В этом случае манипулятор робота будет иметь три степени свободы. За обобщенные координаты рассматриваемой механической системы выберем параметры ц 2, 53, определяющие перемещение одного звена манипулятора относительно предыдущего (рис.1).

В основу определения реакций в кинематических парах, а также построения дифференциальных уравнений движения системы положим соответственно принципы Даламбера и Даламбера-Лагранжа [1].

Напомним, что составление уравнений кинетостатики, в основе которых лежит принцип Даламбера, для механической системы связано введением сил инерции. Силы инерции каждого звена приведем к его центру масс и заменим главным вектором и главным моментом относительно центра масс.

Главный вектор сил инерции каждого звена (твердого тела) определяется соотношением [1]:

ЁГ = аСг (г = 1,2,3), (1)

где: аа (г = 1,2,3) - абсолютное ускорение центра масс соответствующего звена, (/' = 1,2,3)- массы звеньев.

Главный момент сил инерции каждого из звеньев можно представить в виде [1]:

й 'Кс -

Мин =--— + Ш . X К,

л . ч (' = 1.2,3), (2,

где: Кс - кинетический момент / - го звена относительно его центра масс,

а' кс.

-- - локальная производная вектора кинетического момента по времени,

Шг - абсолютная угловая скорость / - го звена.

При определении реакций в кинематических парах манипулятора применим аппарат матриц преобразования однородных координат [2]. С этой целью свяжем жестко со звеньями

манипулятора системы координат р¡Х^ (/ = 1,2,3), оси которых являются главными осями инерции соответствующих звеньев. Система координат р0хуг является неподвижной (рисунок 1).

Проекции абсолютного ускорения центра масс / - го звена ас. (/ = 1,2,3) на неподвижные оси координат могут быть определены по формуле [3]:

К } = [ В, ]{р Сг}, (3)

где: [В1 ] - матрица, определяющая положение системы координат, связанной с / - ым звеном, относительно неподвижной системы координат;

матрица, элементы которой являются вторыми производными по времени элементов матрицы [В1 ];

[]

{р „}

радиус-вектор центра масс г - го звена в системе координат, связанной с этим звеном.

Для построения матриц [Д. ] (/' = 1,2,3) имеет место следующее рекуррентное соотношение [2]:

[Bt]=[Bi_l][At] (i = 1,2,3), (4)

где: [Д ]-единичная матрица,

[Д ] (/ = 1,2,3) - матрицы, определяющие положение системы координат, связанной с i -

ым звеном, в системе координат, связанной с предыдущем i — 1 - ым звеном. Для рассматриваемой механической системы матрицы [Д ] (/ = 1,2,3) имеют следующий

вид:

cos qx - sin qx О О sin qx cos qx О О О 0 10 0 0 0 1 cos q2 ~ sin q2 0 0 sin q 2 cos q 2 0 -lx 0 0 10 0 0 0 1

[ ¿i ] =

l ¿2 ] =

(5)

[ ] =

10 0 0 0 10 -l 2

0 0 1 5 3 0 0 0 1

где: /j и 12 - длины соответственно первого и второго звеньев манипулятора.

Таким образом, на основании (1) с учетом (3)-(5) можно найти проекции главного вектора сил инерции каждого из звеньев манипулятора на оси неподвижной системы координат:

{rxuh} = {-тх (|рхсх|sinqx ■ q? + \РХСХ\cosqx qx);

-mx (I PXCXI cos qx ■ q? + \PXCX\ sin qx qx); 0; o} , {^Г } = {-^2 IP2C21 cos(qx + q2 )(qx + q2 )-\P2C2|sin(qx + q2 )(qx + q2 )2 + +lx cosqx qx -1ч sinqxq¡]; -m2 [P2C2|sin(qx + q2)(qx + q2)+ |P2C2|cos(qx + q2)•(qx + q2)2 + lxsinqxqx + lxcosqx ■ qf ;0; 0}* {¿Г } = {~m3 -/2sin(qx + q2)(qx + q2)2 +12 cos(qx + q2)(qx + q2) +

+lx cos qx qx -1 j sinqxq¡ ]; -тъ [/2cos(qx + q2 )(qx + q2 )2 +

+/2 sin (qx + q 2 )•( qx + q2 ) + /j sin qx qx + lx cos qx ■ q¡ ]\-m 3s3; 0}* ,

(6)

(7)

(8)

где: ^С]] и |-Р2^2| " расстояние центров масс соответственно первого и второго звеньев манипулятора от их собственных осей вращения. Следует отметить, что при определении главных векторов сил инерции массы двигателей включены в массы тех звеньев манипулятора, на которых они расположены.

Символ звездочки (*) в (6) -(8) обозначает операцию транспортирования вектора. Компоненты главных векторов сил инерции звеньев манипулятора в локальных системах координат, связанных с некоторыми из звеньев, определим на основании следующего соотношения:

{яг}(7 } = [ в} ]-1 {яг}, (9)

где: {/?""- компоненты главного вектора сил инерции / - го звена в системе координат, связанной су - ым звеном, I"1 - матрица, обратная матрице [б. ]. Таким образом, на основании (9) с учетом (6) - (8) получим:

' - "> (!) пин IV/

{Р\н Г ={-т11 Р1С1\ди -тх \ Р1С1\■ д^О, о} ,

=|-т2 ^ -|р2с2|§1пд2 •(дх + д2)2 + \Р2С 2\соьд2 •(дх + д2)

-т2 \Р2С2\ътд2 •(дх + д2) +1Р2С2|созд2 •(дх + д2)2 + 1хд{ }(1) = |-Шз -/2&тд2 •(д1 + д2)2 + 11д1 +12со$д2 •(дх + д2)

(10)

(11)

0: 0

-т31~12 соз д 2 •( дх + д 2)2 + / 2&{п д 2 •( дх + д2) + ; -т3 б3, 0 |

(12)

{РГ}(2) = {~т2 [|Р2С2\ •(дх + д2) + 1Х созд2 • дх + 1Х вшд2 • д?];

—т ~

Р2С21(+ Ч2)2 -/^шд2 • дх + /1 соед2 • д?]; 0, 0 |

(13)

}(2) = {~т3 [/2 • ('4х + д2) +1\ соз д2 ■ дх + 1Х вш д2 • ];

-т

2 (Ч\ + д2)2 - д2 ■ дг + 1Х созд2 • $]; -т3£3; 0 | {^з" }(3) = {Щн }(2) •

(14)

(15)

Необходимо также найти компоненты главных моментов сил инерции роторов двигателей и звеньев манипулятора в локальных системах координат, связанных со звеньями.

Если взять за центры приведения сил инерции звеньев и роторов двигателей их центры масс, то согласно (2) получим следующие выражения для проекций главного момента сил инерции на главные центральные оси координат, связанные со звеньями:

"/];», «ь,+(/«;», -/«,).

Мин

с

Мин

С1У1

М\

I

I

1) ¿Ь +(/(г) -/(г) ю О ¿Ь +(/<'") -/<Ю

ш г,- т ^ с,у, с,х, хг ш у{

(

с ¡У (

(16)

Здесь Ю х , Ю у , Ю 2 - производные по времени от проекций абсолютной угловой скорости соответствующих звеньев или роторов двигателей на подвижные оси координат, жест-

т(г) т(г) т(г)

ко связанные со звеньями; 1к' . 1к' . 1к' - главные осевые моменты инерции звеньев.

с ¡XI с ¡у! с^г^

Проекции абсолютных угловых скоростей звеньев манипулятора на оси координат, жестко связанные со звеньями, определяются следующими выражениями:

{ю1} = {0;0; дх}*; {ю 2} = {0;0; дх + д2}*; {ю 3} = {0;0; дх + д2 }*. (17)

Компоненты абсолютных угловых скоростей роторов электродвигателей в локальных системах координат, связанных с соответствующими звеньями, имеют вид:

{©£)} = {0; 0; гх дх}*; {©(/)} = {0; 0; дх + г2д2}*,. (18)

где: ^ и /2 - передаточные отношения соответственно первого и второго редуктора.

На основании (16) с учетом (17) и (18) получим следующие выражения проекций главных моментов сил инерции звеньев манипулятора и роторов двигателей на центральные локальные оси координат:

Мин =_ 7(1) »

Мин =_/(2) / -л + д _ \

с222 2 V 1 1 1 А >

з =-^ (+ '4г ) (19)

= - I « Н

Ми;2 =-1 ёг +12 ¿2 ),

г(1) г(2)

где: 1 у и 1у - моменты инерции роторов соответственно первого и второго двигателя относительно их собственных осей вращения. Следует отметить, что главные центральные оси координат звеньев манипулятора (С. х. у. / -1,2,3) параллельны указанным на рисунке 1 главным осям инерции

Р1 х. у. (/ = 1,2,3). Это объясняется тем, что оси Р1 у}, Р2у2 и Р3являются осями симметрии соответствующих звеньев манипулятора.

Для дальнейшего решения задачи необходимо определить проекции нормальных реакций и сил трения скольжения в кинематических парах манипулятора на соответствующие локальные оси координат.

а) вращательного типа б) поступательного типа

Рисунок 2. Расчетные схемы кинематических пар

В первом приближении рассмотрим упрощенные модели кинематических пар вращательного типа (первой и второй кинематической пары) (рисунок 2а) и поступательного типа (третья кинематическая пара) (рисунок 26).

Показанные на рисунках 2а и 26 модели кинематических пар соответствуют случаю от-34 Известия МГТУ «МАМИ» № 3(17), 2013, т. 1

сутствия перекоса оси симметрии кинематическои пары.

Для определения реакций в кинематических парах приложим к звеньям манипулятора кроме действующих активных сил силы инерций. Размыкая поочередно кинематическую цепь манипулятора в каждой кинематической паре, начиная с последней, будем составлять уравнения кинетостатики для свободной части. При этом будем использовать локальные системы координат, связанные соответственно с последним звеном части кинематической цепи, ставшей свободной.

Составляющие нормальной реакции, действующей в третьей кинематической паре, найдем из следующих уравнений, записанных для третьего звена:

N з,з + = °>

3 (20)

N 3 .з + R 3,"з =

На основании (20) с учетом (14) и (15) получим:

Nз*з = т з [/2 (4i + q2 ) + h eos q2 ■ qx + lx sin q2 ■ qx2 ],

г 2 i (21)

^Зуз = m з | 12 (q\ + q2 ) - ^sin q2 ■ qx + lx eos q2 ■ qf

Следует учитывать, что в массу третьего звена включена масса транспортируемого гру-

за.

Сила трения скольжения, действующая в третьей кинематической паре, определится по формуле:

^3 N з

ы

тря з

где: 1 = ^#32Хз + Ы1Уъ ; fъ - коэффициент трения в третьей кинематической паре. Таким образом, учитывая (21) будем иметь:

(22)

N,

т3

12

+

[/2 ('4\ + 42 ) + h cosq2 ■ qx + lx sinq2 • qf J Г 2 (23)

+[/2(4\ + q2) -/ismq2■ qi+'ismq2■ qfJ •

Составляющие нормальной реакции (n2, N2) и сил трения (f^ , ), действующих во второй кинематической паре, можно определить на основании уравнений кинетостатики, записанных для свободной механической системы, состоящей из третьего и второго звеньев манипулятора:

N 2 Х2 + F® 2 + + R?X2 = 0,

(2) 2 2 (24)

N 2 „ 2 + ^ 2 + ^ + R % 2 = 0.

Учитывая, что сила трения скольжения F^ перпендикулярна соответствующей нормальной реакции N2 и оси кинематической пары (Р2 z2), ее можно представить в следующем виде:

Ч 2

FÍ2¿= /2gj- [к2 х N2;

(25)

где: /2 - коэффициент трения второй кинематической пары, к2 - орт оси Р2 г2.

Следует заметить, что соотношение (25) справедливо в случае, когда система коорди-

нат Р2х2у2z2 имеет правую ориентацию. На основании (25) получим:

F (2) =

трх 2

Ч 2

F(2) = fJLL.. N?

1 тру2 J 2 ^ JV2х

flTfl ■ N 2, 2 = 2 |

q 2

I? 2

(26)

Таким образом, решая систему двух линейных алгебраических уравнений (24), учитывая при этом (26), найдем выражения компонент нормальной реакции второй кинематической пары в системе координат, связанной со вторым звеном:

N 2 ,2 = -

(R2-2 + *3,К2 ) + (Ц>НУ2 + Ц& )

1 + Г

N

2 У 2

(27)

(«52 + )" Л-*2,f + )

Ч 2

1+

Пренебрегая в знаменателях (27) квадратом коэффициента трения по сравнению с единицей, получим:

N 2 ,2 = -

X 2 У 2 =-

^2 + ^ + /2Щ(RTy2 + Яз,К2 )

пин , пин

К2у2 + ^зд,2 - J2 Щ { 2х2 + Ъх2 )

(28)

Выражения (28) с учетом (13) и (14) примут вид:

Q ~~ 2

N2*2 = «11 ( 4\ + 42 ) + «12 4\ + + /2|ТП- "11 (+ 42 ) - «13+ «12412

2 |

4 2

(29)

N2Д,2 = «11 (4\ + 42 ) - «13+ «12?? - Уг ТТЛ"[«11 (4\ + 42 ) - «124\ + «13?? ] •

где:

п

11

т -

| Р2С 2\ + тъ12,

«12 =(го2 + го3)/jCOSq2, (30)

«13 = ( т 2 + ГО 3 ) l\ sin q 2 .

Составляющие нормальной реакции (n1Xí , N1 y¡) первой кинематической пары можно

определить из уравнений кинетостатики механической системы, состоящей из трех звеньев манипулятора:

+ + ДК+ ^ + № =

трх i '(1)

2 X]

3*1

(31)

N хУ1 + F™, + R"у" + R "i + =

Проекции силы трения скольжения первой кинематической пары на оси координат, 36 Известия МГТУ «МАМИ» № 3(17), 2013, т. 1

(32)

связанные с первым звеном, можно представить в виде:

^^ =-/"Ж • N.

трх] Л | ' 1 у 1'

^ = /^Ж ■ N.

тру-л Л 1У\хх-

где: /1 - коэффициент трения скольжения первой кинематической пары. Решая (31) с учетом (32), получим:

N i,,

П ин К\хх

+ R2НХ1 + + /i Щ(Д™+ Riyi + Дз™ )

* 2 , 2 ="

1 + /l2

TiUH , пин I Г)ИН -С Ч\ ( пин I пин , пин \

Rlу, + Д 2у, + ^3у, - /Гy i ^ + ^2+ ^3J

(33)

1+/l2

Как и ранее, пренебрежем в знаменателях (33) квадратом коэффициента трения по сравнению с единицей. В результате компоненты нормальной реакции первой кинематической пары в локальной системе координат, связанной с первым звеном, примут вид:

N lx,

п ин К\х

N

R

' i пин I пин I -С Ч\ ( пин I пин I пин \

л + X, + ^3 X, + /1 Щ { Rl у, + R 2У1 + R3 у, )

UH I пин I пин .f ( пин I пин I пин \

1 * + 2ух + ^ - J1 Щi+ 2хх + J

С учетом (10)-(12) соотношения (34) примут вид: N Щ = «14 Ч\ + «п COS q 2 •( + q2 ) 2 - «„sin q 2 •( q x + q 2 )'

(34)

+

+/, 2

* i =

r q i

'J ITT

\q i

«14£l2 + «11 sinq2 •(<7i + q2) + «neosq2 •(qx + g2) «14+ «11 sinq2 •(^ + <?2) + «11 COSq2 •(qx + q2)2

«144\ - «11 sinq2 • (qx + q2 )2 + nxx cosq2 ■ (qx + q2 )

(35)

где:

«14 = mx |PXCX\ + (m2 + тъ)lx. (36)

Полученные выражения (29) и (35) для нормальных реакций соответственно первой и второй вращательной кинематической пары позволяют найти моменты сил трения относительно осей вращения:

М^ = ~гг /г signq^N^ + Nfyi г = 1,2, (37)

где: rt (/ = 1,2) - радиусы, определяющие размеры соприкасающихся поверхностей соответственно первой и второй вращательной кинематической пары,

П; Г 1 при д: > 0 , ч ^ 4г = Г.П- = \ л . ' (/ = 1,2) (38)

[-1 при д< О,

Для получения дифференциальных уравнений движения манипулятора робота необходимо составить общее уравнение динамики для каждого из независимых возможных перемещений системы , 5д2, &3), число которых равно числу степеней свободы системы.

Mg! .8ф! + М-5фх + М», 8^ + М-8^ + М™ 28дх + М»зЪдх + +МР121 (ЛГ)5g! + Мрх2х (Щн)8дх + Мрх2х (Лз"»)8£! + М« 8^ = 0;

2 ■ 8ф2 + М- 8ф2 + 2 8д2 + 8д2 + (39)

+Мр222 (ЛГ )5g2 + Мр222 (^Г )8д2 + 8д2 = 0;

^з з - да зяз + ^ 8^ 3 + Ьэ 3 = 0, где: Мй , Мг , Р - моменты и усилие, развиваемые соответствующими двигателями,

Ми; (/ = 1,2), М"" (/ = 1,2,3) - главные моменты сил инерции электродвигателей и звеньев

манипулятора, определяемые соотношениями (19), Мр2 [я"н) / = 1,2; у = 1,2,3 - моменты главных векторов сил инерции соответствующих

звеньев относительно осей вращения первых двух звеньев (рисунок 1), 8(рср{1 = 1,2) - возможные перемещения соответственно первого и второго роторов электродвигателей. При этом 8ф! = ¡1 Ъдх, а 8ф2 = /2 Ъд2. Моменты главных векторов сил инерции относительно осей вращения можно определить на основании соотношений:

Мр (Щн)= Р-¡с"XЩн I = 1,2,3

- /- ч - - (40)

Мр2 (Щ» )= Р2С} х Д™ у = 12,3

где: Р1С]- (/ = 1,2,3), Р2С ■ (/ = 2,3) - радиусы-векторы центров масс соответствующих звеньев относительно точек Р{ (/ = 1,2) (начала связанных с первыми двумя звеньями систем координат (рисунок 1). В результате, на основании (39) с учетом (10)-(15), (19), (22), (26), (30), (32), (36), (37) и (40) получим

(«11 + Ьп)дг +(аХ2 + ЬХ2)д2 -2ЬХЪбшд2 ■ дхд2 -613япд2 • д| = = - /\r\Signд^^ + ^ ;

(«12 + ЬХ2)дх +(а22 + Ъ22)д2 + 613япд2 ■ дI = 12М§2 -./2г2и£пдЫ$Х2 + Ы%У2 ; (41)

Гоз^'з = Р8з --Nз

Ы

где: ИХХ1, л, И2И2определяются соответственно соотношениями (35), (29) и (23),

= + 41 + 1Я + т ^ + т 3 (/12 + /2 ) + 2^13С0В

аХ2 = т312 + Ьхз собд2 + /(2) +1(3) ; а22 = I(2) +1(3) + т3/22;

^ Л и 1 £ р222 Г^ ^^ р222 ^зг3 ^ ^ '

ьи = <1240; ь22='!42); ^ = У?'; ¿13 = щ|^с2|/,+тг1,12,

IО ,I <2> - моменты инерции соответствующих звеньев относительно их собственных

осей вращения, переход к которым осуществлен на основании теоремы Гюйгенса-Штейнера [1].

Система дифференциальных уравнений движения рассматриваемой механической системы (41) полностью совпадает в случае отсутствия сил трения скольжения в кинематических парах с дифференциальными уравнениями, полученными в работе [3] на основании уравнений Лагранжа II рода.

В случае отсутствия сил трения в кинематических парах, как следует из [3], движение третьего звена манипулятора динамически не зависит от движения первых двух звеньев.

Анализ системы дифференциальных уравнений движения манипулятора робота (41), полученной при учете сил сухого трения (трения скольжения) в кинематических парах, показывает, что силы трения в кинематических парах приводят к динамической зависимости всех трех звеньев манипулятора. При этом дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы (41) нелинейны относительно обобщенных ускорений.

Для упрощения данной задачи рассмотрим наиболее часто встречающийся вариант транспортировки груза, при которой вначале одновременно движутся два первых звена манипулятора, а затем, после их остановки, перемещается третье звено. При этом сила трения в третьей кинематической паре станет равной нулю и в результате может быть найдено аналитическое решение третьего уравнения системы (41).

Таким образом, задача сведется к решению системы первых двух уравнений (41). Систему, состоящую из первых двух уравнений (41), необходимо дополнить уравнениями динамических характеристик двух электродвигателей. Уравнения динамических характеристик электродвигателей постоянного тока с независимым возбуждением могут быть представлены в виде [2]:

М81 +Т1 ^ = Г1и 1 + >

. 1 (42)

М§2 + 12 М82 = Г2и2 + я212Ч2 ,

где: тi (/ = 1,2) - электромагнитные постоянные времени двигателей, si (/ = 1,2) - крутизна статической характеристики, ^ (/ = 1,2) - некоторые постоянные параметры и{ (/ = 1,2) - вектор программного управления.

В этом случае задача определения динамических ошибок - отклонений законов движения от программных, а следовательно, погрешности позиционирования робота - будет сводиться к интегрированию уравнений движения механической системы, состоящей из первых двух уравнений системы (41) совместно с уравнениями динамических характеристик двигателей (42).

Литература

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Санкт-Петербург -Москва-Краснодар, Лань, 2008, 729 с.

2. Божкова Л.В., Вартанов М.В. Автоматизация сборки изделий машиностроения с применением промышленных роботов и виброустройств. М.: Университет машиностроения, 2013, 318 с.

3. Божкова Л.В., Вартанов и др. Анализ точности отработки роботом заданных траекторий на основании его динамических моделей. М.: Техника машиностроения, 2002, № 2, с. 8490.