CC BY
92
УДК 621.181.125.253
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ РАЗОГРЕВА ВОДЫ ЭЛЕКТРОВОДОНАГРЕВАТЕЛЕМ С ПАССИВНЫМ ЭЛЕКТРОДОМ
© В.И. Лишков, В.Ф. Калинин, А.М. Шувалов, О.В. Терентьев
Lyashkov V.I., Kalinin V.F.. Shuvalov A.M., Terentyev O.V. A mathematical model of the dynamics of water heating by an electric water heater with a passive electrode. The article proposes a mathematical model of the dynamics of water heating by an electric water heater with a passive electrode. It also discusses the calculations of the device and adequacy of its test.
Электроводонагреватели и парогенераторы электродного типа получают все большее распространение во многих отраслях производства, особенно в сельском хозяйстве. Использование пассивного электрода в составе электродной группы позволяет получить определенные преимущества [1] и является одним из перспективных конструктивных решений. На рис. 1 приведена схема такого водонагревателя с указанием всех его основных размеров, а на рис. 2 - эквивалентная электрическая схема включения электродов.
Методика инженерных расчетов, основанная на анализе установившихся режимов работы аппарата [2), зачастую не обеспечивает необходимой точности и достоверности получаемых результатов и не даег представлений о динамике процессов, протекающих в аппарате.
Рабочий процесс нагревателя разобьем на два этапа. На первом этапе происходит разогрев воды по обе стороны пассивного электрода: проточной зоне между корпусом водонагревателя и пассивным электродом, и непроточной - между фазным и пассивным электродами. Нагрев на данном этапе длится до тех пор, пока в непроточной зоне вода не нагреется до температуры кипения 1К, значение которой определяется абсолютным давлением воды в верхней точке непроточной зоны
Р = В + Н,
(1)
где В - барометрическое давление; Н - высота столба воды в расширительном баке.
Электрическое сопротивление проточной зоны при этом будет [2]:
К
I За2(с/2 -а2)3
2л/п hl ¿Hd$-а6)
(2)
где р; =
40р
20
- удельное электрическое сопротив-
¿ + 20
ление воды при температуре г; рэд - удельное электрическое сопротивление воды при температуре г = 20 °С (рго = 10-20 Ом м [2]); 1„, а, с1л, с1к - геометрические размеры, приведенные на рис. 1. Для непроточной
зоны на первом этапе величина электрического сопротивления будет определяться [2]:
й„ = р, —— In
1 2 nL d.
(3)
Тогда рабочий фазный ток в аппарате будет
U
Rn+2RH
(4)
а мощность, выделяемая по зонам, соответственно ЛГп=л/Г/2.ЛП и 7Ун=2л/Г/2.Лн, (5)
где I/- линейное напряжение питающей сети.
Рис. 1. Схема электроводонагревателя с пассивным электродом и его основные конструктивные размеры: 1 - фазный электрод, 2 - пассивный электрод, 3 - корпус водонагревателя, 4 - разборный изолятор, 5 - компенсационная емкость
Рис. 2. Эквивалентная электрическая схема электроводонагревателя: А, В, С - фазные электроды, пэ - пассивные электроды, К - корпус, Ян и Яп — сопротивление в непроточной и в проточной зонах, а, гп, гэ - радиусы центров электродов, пассивных и фазных электродов
Полагая, что в любой момент времени т за элементарно малый промежуток с/т температуры в проточной и непроточной зонах изменятся соответственно на с/?п и Жн, запишем уравнения теплового баланса для каждой из зон. Для непроточной зоны, если считать, что вместе с водой здесь прогреваются и оба электрода, такой баланс будет выглядеть так:
МгПэ-Л с в'?? 1ц'сС'ТпЭ'^н "Ь 3 к\t п -с1х. (6)
Здесь левая часть отражает количество выделяемого тепла, а слагаемые правой части - количества тепла, израсходованные на нагрев воды, нагрев электродов и передачу тепла в проточную зону. В формуле (6) приняты следующие обозначения: г|э - электрический кпд аппарата; св и сс - удельная теплоемкость воды и стали, соответственно; пгв и тэ - масса воды в непроточной зоне и масса электродов; к\ - коэффициент теплопередачи через пассивный электрод:
цией. В проточной зоне осуществляется вынужденное движение, но скорость его настолько мала, что и здесь можно рассматривать а как при свободной конвекции.
Для проточной зоны следует учитывать, что здесь не только выделяется тепло за счет электрического тока, но и передается еще от трех непроточных зон через поверхности пассивных электродов. Расход же тепла идет на разогрев воды, находящейся в этой зоне, разогрев корпуса водонагревателя и на компенсацию тепловых потерь с наружных поверхностей аппарата. Таким образом, уравнение теплового баланса будет иметь вид:
(/V Т) +3км -I )Р \Н =
' п э 1 н пт'
= С т с11 +С М\ I —I.. \с1х+С т с11 -КАЛ
" ~ 2 1 I с к п ^
(8)
где ))1 =]/ п +МсЬ ~ масса воды в проточной зоне,
п п*п
нагреваемая на <;// ; М - массовый расход нагреваемой воды; - температура на входе и выходе из
аппарата, соответственно; тК - масса корпуса; Q -тепловые потери в окружающую среду, которые, если пренебречь термическим сопротивлением стальной стенки, определяются известным выражением:
0 =
кЬ и -I ) с/
Х 11 о7 К
, (9)
]
1
- , (^+25)
4- — 1п — — +
а с! 2\ с! а (с/ +25)
ПК из к о к
где - диаметр корпуса; И - высота корпуса; ХИз -тегшопроводность материала изоляции; 5 - толщина слоя изоляции; ?0 - температура окружающей среды; а0 - коэффициент теплоотдачи от поверхности изоляции в окружающую среду.
Уравнения (6) и (8) приведем к канонической форме и отметим, что они составляют замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование которых может быть выполнено одним из известных численных методов:
*,=-
1
ап
ап - коэффициент теплоотдачи от пассивного электрода к воде; ан - коэффициент теплоотдачи от воды из непроточной зоны к пассивному электроду; 8 - толщина электрода; А, - теплопроводность стали. F^ = лс/п/э -
поверхность тепл опере дата; /„и /п - температуры в непроточной зоне и средняя температура в проточной зоне. Величины ан и ап можно рассчитать, привлекая соответствующие критериальные уравнения из [3),
величину ?п - как среднюю температуру воды на входе и выходе проточной зоны.
При этом в непроточной зоне на рассматриваемом этапе теплоотдача осуществляется свободной конвек-
Л 2у!Ъ-^К г) -3-K.it —I )р
__н _____________н *э _____ 1 ' н п> т
(10)
с/т С т +С т
в н с э
с//
____п _____
с/г
л/З^Д 71 +з•* (г -I )р -С М\1 -I 1-0
п *э 1 ' н п' т в п п I
(11)
С т +С. от
В П С К
Рассмотрим второй этап работы аппарата, когда в непроточной зоне вода нагрелась до температуры кипения и выделяемое за счет протекания электрического тока тепло вызывает кипение воды, а образующийся пар, частично конденсируясь на стенках, вытесняет часть воды из рабочего пространства. В результате пространство высотой И заполняется паром, давление и температура которого определяется теперь суммой:
Р = В+Н + Н.
(12)
Тепловой баланс теперь помимо приходной части (тепло, выделяемое при протекании электрического тока) имеет следующие расходные составляющие:
- теплоту, необходимую для образования такого количества пара с!т\, которое полностью сконденсируется на стенках пассивных электродов в непроточной зоне;
- теплоту, необходимую для образования количества пара dm2, которое не сконденсируется, а приведет к увеличению объема паровой зоны в пространстве между фазным и пассивным электродами (увеличению высоты /г);
- теплоту, которая будет передаваться от кипящей жидкости через стенки пассивных электродов к воде проточной зоны;
- теплоту, которая будет передаваться воде проточной зоны от сконденсировавшегося пара;
- теплоту, которая потребуется, чтобы нагреть воду из проточной зоны массой dm^ до температуры кипения (идет на компенсацию потерь пара);
- теплоту, чтобы нагреть конденсат массой с{т\ снова до температуры кипения;
- теплоту, необходимую для нагрева воды в непроточной зоне на изменение температуры насыщения, вызванное увеличением давленйя. Впрочем, этим количеством тепла можно пренебречь, поскольку при изменении к от 0 до ктт (Итйх = /э) температура насыщения меняется на 1,34 °С (при Н = 3 м).
Распишем подробно составляющие этого баланса, как и прежде рассматривая его за элементарно малый промежуток времени (1т.
2л/3~i2R n ch =
* н >эл
2
= dmxr+dmj + 3 • k^F (fHac - Tn )dx +
+ 3 • k3Fb (гнас - tjdx+dm2CB (/Hac -1„) +
(13)
+C С
где
t -\-t
t —_nac------CT.| +mCdt„
нас 2
ап - коэффициент теплоотдачи от поверхности пассивного электрода воде проточной зоны; аконд - коэффициент теплоотдачи при конденсации; а„ш - коэффициент теплоотдачи при кипении.
Расчет этих величин производится по известным формулам [3]:
а =0.941-4 •
V І*. -< )*
(X =3/)0.15<70,7
КИП 1
(17)
где Р - давление в барах, Р„, 7^ - соответствующие поверхности теплообмена (одна высотой к, другая -(/э - /г)); Гп - средняя температура в проточной зоне; 1С - температура стенки пассивного электрода; т =—(с/2-<І2)о (I -к) ~ масса ьоды в непроточной
н ^ 3 В
зоне; скнас - изменение температуры насыщения при изменении высоты паровой зоны // на величину сік', с] - плотность теплового потока при кипении, определяется соотношением
-{dl-dl)
(18)
где числитель представляет собой мощность, выделяемую в непроточной зоне, а знаменатель - площадь поверхности кипения (площадь кольца между фазным и пассивным электродом).
Третье слагаемое правой части уравнения (13) описывает количество тепла, отдаваемого паром воде проточной зоны. Разделив это тепло на теплоту парообразования, получим массу &т\\
к F (I -t ) dm^ = - " ——с/т
г
(19)
К d
R =р,---------------ln —
н2 27i(l -h) d
(14)
С учетом этого уравнение (13) можно представить как уравнение, описывающее изменение массы пара пп по времени dт.
КК - коэффициент, учитывающий увеличение электрического сопротивления воды при ее кипении за счет образующихся пузырьков пара. По литературным источникам, Кк » 1,2 -е- 1,3 ¡4); г - теплота парообразования При температуре насыщения ?нас, К2, /сз - коэффициенты теплопередачи в зоне конденсации и в зоне кипения, соответственно:
dm2
dx
2^Jb-i2R ті -2kF (t -t )-kF (/ —t ) —
v h Л 'э 2 п4 нас пу 3 ву нас п'
Г +
к F U -I ) _ dt
- 2 11 ях—— • С (/ -I )-»/ С -JS
__________г________________в нж - " в dl
+С (t — 7 )
(20)
1
(15)
2 1/ + * + 1/
/а а
/ п Л, / конд
Если массу dmi умножить на удельный объем насыщенного пара v" , то получим увеличение объема паровой зоны dV, а разделив это на площадь сечения, найдем величину dir.
*з=-
1
(16)
Уа Уа
/ п Д, / к
dh =
4 dV
4dm ■ иЛ
Tt(i/2_rf2) д((Г/2_с/2)
(21)
откуда
с/т = с1И
4г>"
С учетом этого уравнение (20) можно записать в канонической форме следующим образом:
4г>"
(к К(й?2-с/2)
[ / -/
2 п нас п
2;2Л Т| — (/ -г )-Ь.к Р -к/ )-
н 'эл 4 нас п' ' 2 п _э в'
Г Л-
т С с/1 н в нас
ск
(23)
нас п
Интегрирование этого уравнения позволит попутать зависимость // = /(т). Изменение температуры в непроточной зоне будет определяться только изменением давления в ней:
Л Ж
сIX йР
где Р определяется выражением:
Р — В+Н+Н+с1Н ■
(24)
(25)
Анализируя процессы в проточной зоне на втором этапе, отмечаем, что теперь количество получаемого от непроточной зоны тепла определяется так же двумя слагаемыми (от зоны кипения и от зоны конденсации), а расходные составляющие теплового баланса останутся прежними:
л/з~/2Л г| +3(г -/ )(к ^ +к/ )
п эл нас п ' 2 п 3 в'
с1% =
26)
: С>п^п2 + СМ («нас - 1„)с1х+Сстсс11^ + ()с/т:
Приведем это выражение к канонической форме, чтобы убедиться, что и здесь численное интегрирование позволяет рассчитать зависимость гп=Дт):
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 т, с
Рис. 3. Результаты расчета и экспериментальные данные динамических процессов водонагревателя в проточном режиме нагрева при расходе воды 15 л/мин
¿//
сН
(27)
(22) +3 (/ик ~‘п){к2Рп +*Л)]-С .Ч)+б
С т +С. т
В В С К
Интегрирование приведенных дифференциальных уравнений (23), (24) и (27) было проведено на ПК с помощью пакета прикладных программ, выполненных на языке Паскаль (ВР-7). Использовался метод Рунге -Кутта 4-го порядка с автоматическим шагом, обеспечивающим заданную точность [5]. Реализован структурно-модульный принцип: и метод Рунге - Кутта, и другие вычислительные алгоритмы (расчет коэффициентов теплоотдачи, коэффициентов теплопередачи, электрического сопротивления зон и др.) были выполнены в виде отдельных процедур и модулей с обращением к ним из вызывающей программы. При этом термодинамические характеристики воды и пара рассчитывались с использованием соответствующих модулей из [6].
Результаты расчетов для одного из реальных аппаратов с параметрами с1К = 0,23 м, с!„ = 0,082 м, с1э = = 0,057 м, /э = 0,6 м, /„ = 0,62 м, И = 3 м, 0=15 л/мин, т„ = 0,84 кг, Мф = 1,4 кг, тк = 18,4 кг при рго = = 12 Ом'м приведены на рис. 3, где также представлены результаты экспериментальных исследований линейного тока в период выхода водонагревателя на установившийся режим нагрева. Из рисунка 3 видно, что максимальное отклонение расчетных результатов от экспериментальных составляет менее 5 % и это можно считать за доказательство адекватности полученной математической модели.
На рис. 4 приведены кривые изменения и г по
времени при расходах О, равных 5, 10, 15 и 20 л/мин. Рисунок 4 наглядно отображает, насколько затягивается процесс разогрева с увеличением расхода воды, и как расход влияет на величину температуры воды на выходе водонагревателя.
Таким образом, на основе тепловых балансов была получена математическая модель, адекватно описывающая процессы, протекающие в водонагревателе
1. А
Рис. 4. Кривые изменения температуры воды на выходе водонагревателя (/„) и потребляемого тока (Г) по времени при различных расходах: 1 - при расходе 5 л/мин, 2 - при расходе 10 л/мин, 3 - при расходе 15 л/мин, 4 - при расходе 20 л/мин
I, А Р,кВч-'С
140
120
100
80
80
40
20
0
с пассивным электродом, позволяющая досконально исследовать неустановившейся и переходные процессы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Калинин В. Ф., Шувалов А.М., Гудухин В.Ф., Терентьев О.В. Электродный саморегулируемый водонагреватель // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2000. №11. С. 15-16.
2. Гайдук В.М., Шмигель В.Н. Практикум по электротехнологии. М.: Агропромиздат, 1989. С. 175.
3. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел A.C. Теплопередача. М.: Энергия, 1975. С. 486.
4. Электротермическое оборудование для сельскохозяйственного производства / Н.Б. Каган и др. М.: Энергия, 1975. 192 с.
5. Агеев М.И., Алик В.П., Галиев P.M., Макаров Ю.И. Библиотека алгоритмов. М.: Сов. радио, 1975.
6. Ляшков В.И. Компьютерные расчеты в термодинамике. Тамбов: ТГТУ, 1997. С. 163.
Поступила в редакцию 14 марта 2002 г.
