CC BY
11
Кобитянский А.Е., Белобородов В.С. Математическая модель динамики процесса вырубки уплотнений из терморасширенного графита // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Машиностроение, материаловедение. - 2021. - Т. 23, № 1. - С. 53-59. DOI: 10.15593/2224-9877/2021.1.07
Kobityansky A.E., Beloborodov V.S. Mathematical model of the dynamics of the process of cutting seals from thermally expanded graphite. Bulletin PNRPU. Mechanical engineering, materials science, 2021, vol. 23, no. 1, pp. 53-59. DOI: 10.15593/2224-9877/2021.1.07
ВЕСТНИК ПНИПУ. Машиностроение, материаловедение
Т. 23, № 1, 2021 Bulletin PNRPU. Mechanical engineering, materials science
http://vestnik.pstu.ru/mm/about/inf/
DOI: 10.15593/2224-9877/2021.1.07 УДК 531.32
А.Е. Кобитянский, В.С. Белобородов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССА ВЫРУБКИ УПЛОТНЕНИЙ ИЗ ТЕРМОРАСШИРЕННОГО ГРАФИТА
Представлены основные этапы получения прокладок уплотнительных из терморасширенного графита. Предложена методика получения математической модели динамики процесса вырубки этих прокладок на прессовом оборудовании.
Процедура получения модели состоит из двух взаимосвязанных этапов. На первом этапе с помощью эксперимента получена зависимость технологической силы процесса вырубки от перемещения рабочего органа, которая имеет ряд особенностей из-за специфических свойств терморасширенного графита. Приведены принципиальная схема эксперимента и его результаты, которые аппроксимировались в виде аналитических зависимостей на основе метода наименьших квадратов.
Разработана расчетная схема динамики процесса вырубки, учитывающая динамическую взаимосвязь между двигателем, исполнительным органом в виде кривошипно-ползунного механизма пресса и обрабатываемым материалом. С учетом принятых допущений построена приведенная к кривошипному валу динамическая модель и рассчитаны основные ее геометрические, массовые, а также силовые параметры. Рассмотрены основные этапы функционирования прессового оборудования в процессе вырубки. Основные параметры сведены в соответствующую таблицу, элементы которой использованы при составлении сформированной математической модели. При этом учтены конструктивно-технологические особенности пресса и выделены этапы его работы (рабочий и холостой ход). Структура системы уравнений движения нелинейная и учитывает характеристику и вид технологической силы вырубки, аналитическое значение которой получено на основе проведенных экспериментов.
Реализация решения этих уравнений осуществляется с помощью программного модуля DYNAM с использованием метода Рунге -Кутты четвертого порядка. Представлен ряд элементов модуля. В качестве примера приведена графическая иллюстрация одного из результатов расчета. По результатам проведенных исследований сделаны выводы.
Ключевые слова: терморасширенный графит, процесс вырубки, прокладки уплотнительные, прессовое оборудование, технологическая сила, кривошипно-ползунный механизм, эксперимент, метод наименьших квадратов, расчетная схема, математическая модель, уравнения движения.
A.E. Kobityansky, V.S. Beloborodov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
MATHEMATICAL MODEL OF THE DYNAMICS OF THE PROCESS OF CUTTING SEALS FROM THERMALLY EXPANDED GRAPHITE
The main stages of obtaining sealing gaskets from thermally expanded graphite are presented. A method for obtaining a mathematical model of the dynamics of the process of cutting these gaskets on press equipment is proposed.
The procedure for obtaining a model consists of two interrelated stages. At the first stage, using the experiment, the dependence of the technological force of the cutting process on the movement of the working body was obtained, which has a number of features due to the specific properties of thermally expanded graphite. A schematic diagram of the experiment and its results are presented, which are approximated in the form of analytical dependencies based on the least squares method.
The calculation scheme of the dynamics of the cutting process is developed, taking into account the dynamic relationship between the engine, the Executive body in the form of a crank-slide mechanism of the press and the processed material. Taking into account the accepted assumptions, a dynamic model reduced to the crank shaft is constructed and its main geometric, mass, and power parameters are calculated. The main stages of operation of press equipment in the cutting process are considered. The main parameters are summarized in the corresponding table, the elements of which are used in compiling the generated mathematical model. At the same time, the design and technological features of the press are taken into account and the stages of its operation (working and idling) are highlighted. The structure of the system of equations of motion is nonlinear and takes into account the characteristic and type of technological cutting force, the analytical value of which is obtained on the basis of experiments.
The solution of these equations is implemented using the DYNAMIC software module using the fourth-order Runge-Kutta method. A number of module elements are presented in the article. As an example, a graphic illustration of one of the calculation results is given. Based on the results of the research, conclusions are made.
Keywords: thermally expanded graphite, cutting process, thermal expansion graphite gaskets, pressing equipment, technological strength, slider crank mechanism, experiment, least square method, design scheme, mathematical model, equations of motion.
Терморасширенный графит - материал с высокой стойкостью к температурным и химическим воздействиям. Обладает гибкостью, податливостью, прочностью, что делает его высокоэффективным набивочным и уплотнительным материалом, широко применяемым в различных областях промышленности [1-4]. В частности, используется для герметизации валов насосов, штоков арматуры, фланцевых соединений и тому подобного в качестве прокладок уплотнительных (ПУТГ).
Схема получения ПУТГ представлена на рис. 1, где конечный продукт получается в процессе вырубки на прессовом оборудовании [5-7].
Рис. 1. Последовательность процесса изготовления ПУТГ: ИГ - интеркалированный графит;
МЛГ - материал графитовый листовой
Следует учесть, что механические свойства ТРГ, вызванные универсальной природой материала и методами его получения, существенно отличаются от свойств металлов. Вследствие этого технологическая сила ^ процесса вырубки имеет ряд особенностей, основная из которых - нелинейность ее изменения, что существенно влияет на динамические процессы изготовления изделия из ПУТГ [1, 3, 4, 8].
Статья посвящена разработке методики определения динамических параметров и характеристик процесса вырубки ПУТГ на прессовом оборудовании.
Цель исследований - формирование математической модели динамики процесса вырубки уплотнений из терморасширенного графита, на основе которой возможна оценка нагруженности элементов прессового оборудования.
Структура работы заключалась в определении закона изменения технологической силы F и изучения с учетом этого динамических явлений, сопровождающих процесс вырубки.
Для определения закономерности изменения технологической силы на первом этапе проведены экспериментальные исследования с помощью испытательного комплекса Instron 3369 [3, 9, 10]. Комплекс имеет структуру, функционирующую по замкнутой системе управления (рис. 2).
Принципиальная схема эксперимента представлена на рис. 3.
Управление испытаниями и формирование результатов эксперимента осуществлялись с помощью программного пакета Instron Bluehill 3 [10]. В качестве испытуемого материала выбраны прокладки ПУТГ из листового графитового картона, армированного перфорированной фольгой из нержавеющей стали. Фрагмент результатов одного из испытаний представлен нелинейной диаграммой «нагрузка F (Н) - перемещение X (м) инструмента» (рис. 4).
Для проведения дальнейших исследований эта диаграмма аппроксимировалась аналитическими зависимостями. В основе приближения использовался метод наименьших квадратов по 60 точкам [11-14]. При аппроксимации комбинацией линейных и параболических зависимостей погрешности достигали величин 38 %. Однако для полинома четвертой степени погрешность оказалась значительно меньшей.
В результате расчетов значение силы (H)
F = 90,93X4 - 4X3 - 406,8X2 + 1075,68X, (1)
где Xe [0; 3], мм.
Фрагмент экспериментальной и теоретической зависимостей технологической силы F представлен на рис. 5.
Рис. 2. Структура комплекса Instron
Рис. 3. Схема эксперимента: 1 - плата; 2 - штанцформа; 3 - образец МГЛ-2-212; 4 - лист фанеры; 5 - плита
Перемещение,
Рис. 4. Диаграмма нагружения листа МГЛ
Следует отметить, что на отдельных участках максимальные погрешности достигали 8,6 % (рис. 6, а) и 4,5 % (рис. 6, б).
Полученные результаты позволили перейти к этапу формирования математической модели динамики процесса вырубки. В качестве объекта
Рис. 5. Экспериментальная и теоретическая диаграммы нагружения: —> - экспериментальные данные; — — - теоретические данные
исследования выбран пресс, исполнительным органом которого является центральный кривошип-но-ползунный механизм (КПМ). Его ползун, соединенный с пуансоном, непосредственно производит вырубку [5, 6, 7, 15].
До момента контакта инструмента с заготовкой при отсутствии технологической силы ^ - холостой ход. Внедрение инструмента в заготовку до получения уплотнения - рабочий ход (наличие силы ^). Отвод инструмента и возвращение в первоначальное положение - холостой ход.
Расчетная схема основана на методиках, изложенных в работах [16-20]. В качестве звена приведения выбран кривошипный вал (рис. 7). При этом приняты следующие допущения:
- звенья кривошипно-ползунного механизма абсолютно жесткие;
- стол и станина пресса неподвижны;
- технологическая сила ^ представлена зависимостью (1) и имеет «скачок» по окончании процесса вырубки;
Рис. 6. Сравнение диаграмм нагружения: а -—• - экспериментальные данные;
первый участок; б - второй участок; - — теоретические данные
- весь процесс вырубки соответствует установившемуся движению КПМ;
- связь кривошипного вала и шкива на валу ротора двигателя имитируется упругой связью с коэффициентами упругости СР и сопротивления ИР, характеризующими свойства, например, ременной передачи [16, 20].
Расчетная схема процесса вырубки представлена на рис. 7.
и-ср- + С-(фр -фк) + И-(фр -фк) = Мд;
т 1 dJ к . 2
Jк Фк +Т-,-фк + СР (Фк -фр ) +
2 афк
+ ИР ((ф к-ф Р ) = М ПС .
(2)
Ряд основных параметров и вспомогательных коэффициентов системы (2) после преобразований в соответствии с расчетной схемой сведен в таблицу.
Значения параметров и вспомогательных коэффициентов
№ п/п коэффициент Значение
1 Jк 2 , 2 1 ,2 с0^ фк 1 „ г тк + тИЬ + тШАТ 1 а +--4-1 + и к
2 Мпс г (ОиЬ - Ошат^ - РЬи) - МтР$1^п(фк )
3 МД МД-к
4 Jр (+ ишк ) г'д-к
5 Ь (1 + X С08 фк ) 81П фк
6 а . X Sln фк + —С0Э фк
7 к X2 С082 фк
Рис. 7. Расчетная схема динамики процесса вырубки ПУТГ: а - структурная схема пресса; б - кривошипно-ползунный механизм; в - приведенная расчетная схема
Здесь приняты следующие обозначения: 1 - электродвигатель; 2 - шкив ротора двигателя;
3 - упруго-демпферная связь, имитирующая ременную передачу с приведенными коэффициентом жесткости СР и коэффициентом сопротивления ИР;
4 - маховик; 5 - кривошипный вал радиусом г; 6 - противовес; 7 - шатун длиной I; 8 - инструмент; 2 - толщина заготовки, м; Х - вертикальное перемещение инструмента, м.
Согласно схеме (см. рис. 7, б и в), JР и Jк - соответственно приведенные моменты инерции ротора двигателя со шкивом на его валу и инерции
кривошипа с маховиком, шатуна и ползуна с инст-
2
рументом, кгм ; фР и фк - соответственно приведенная обобщенная координата ротора двигателя и кривошипного вала, рад; МПС - приведенный момент сил от весов звеньев кПМ, технологической силы ^ и момента сил трения МТР, Нм; Мд - приведенный момент двигателя, Нм.
Математическая модель для расчетной схемы (см. рис. 7), учитывающая динамическую взаимосвязь между двигателем, передаточным механизмом (ременной передачей) и исполнительным органом, формируется на основе уравнений движения в дифференциальной форме [18, 20, 21]:
В таблице J0 и Jшк - соответственно моменты инерции ротора двигателя и шкива на его валу,
кгм2; J - момент инерции маховика и противовеса,
2
кг м ; тк, тИ и тШАТ - соответственно массы кривошипа, инструмента и шатуна, кг; М - момент двигателя, Нм; /д_к - величина передаточного отношения от двигателя на кривошипный вал; ОИ и Ошат - вес инструмента и шатуна, Н; Ь, а, к -вспомогательные коэффициенты для проведения расчетов.
Все преобразования выполнены с учетом X = г << 1 [6, 16-19].
Особенность математической модели (2) заключена в ее нелинейности и «кусочном» представлении силы ^ вида (1). Характер ее воздействия описывается функцией переключения:
и =
0, если 0 < X < (Н -2-8) иX > 0;
1, если (Н -2-8) <X < (Н-8) иX > 0; 0, если (Н -8) < X < Н илиX < 0.
При этом учитывался характерный для прессового оборудования недоход 5 инструмента из-за конструктивных особенностей пресс-формы [5]. Здесь Н - ход инструмента, Н = 2г; X - перемещение инструмента в соответствии с выбранным
направлением,
X = r
1 - cos фК +—(l - cos2(K )
(см. рис. 7, а).
Для реализации дальнейших исследований динамики процесса вырубки разработан программный пакет БУКАМ в системе Ма^аЬ [22, 23].
Основные этапы расчетов:
- формирование исходных данных на основе конструктивно-технологических свойств процесса с возможностью их корректировки;
- задание начальных условий;
- решение задач кинематики;
- метод Рунге - Кутты четвертого порядка [24-26];
- уточнение шага интегрирования;
- возможность вывода результатов в виде диаграмм и таблиц.
В качестве примера на рис. 8-10 приведены результаты одного из вариантов расчета вырубки на прессе КД2322 [15]. При этом толщина заготовки 2 = 3 мм, недоход инструмента 5=1 мм, X = 0,071, га = 25 рад/с, Н = 50 мм.
F, Н 7000 6300 5600 4900 4200 3500 2800 2100 1400 700
а
"1 Г 1 i 1 T Г ~f
"1 Г -1 i 1 т г /1
---1- 1- И + 1 -t —1— -t -1--Л
4 \- -Л -+- -1---h- 1— 4- / 1
J ]_ J 4- 1 4 4 / 1
1 L I 1 1 а / 1
L 1 1 1 _L 1
1 1 п
4--J- 1 -1— 1 Г "I -1---1
1 —1 j_ T Т и 4 -1 1
46 46,3 46,6 46,9 47,2 47,5 47,8 48,1 48,4 48,7 49 0,1 0,1024 0,1048~ 0,1072 0,1096 0,1120
Рис. 8. Изменение технологической силы вырубки
X, мм
U с
Q, н 12 000 11 400 10 800 10 200 9600 9000 8400 7800 7200 6600
J--- г,?5 2,6 2,65 2,7 2,75 1 - 2,8 2,85
46 46,5 47 47,5 48 4^,5 49
ф, рад X, мм t, с
0,1 0,102 0,104 0,106 0,108 0,110 0,112 Рис. 9. Результирующие усилия вырубки
Приведенные диаграммы (см. рис. 9, 10) представляют собой зависимость нагружения Q (Н) от перемещения инструмента и угла поворота кривошипного вала при непосредственном процессе вырубки.
Резюмируя изложенное, можно сделать следующие выводы:
- получена зависимость технологической силы р процесса вырубки от перемещения рабочего органа, учитывающая особенности материала из ТРГ;
- предложенная математическая модель позволяет учесть взаимосвязь между особенностями обрабатываемого материала, конструктивно-технологическими и силовыми параметрами оборудования в процессе вырубки;
- математическое моделирование на основе полученных результатов позволит в дальнейшем осуществить выбор эксплуатационных параметров оборудования, обеспечивающих эффективность процесса вырубки ПУТГ.
Рис. 10. Зависимость усилия вырубки от перемещения инструмента и угла поворота кривошипа
Список литературы
1. Материалы графитовые листовые (МГЛ) и прокладки из терморасширенного графита (ТРГ) [Электронный ресурс]. - URL: http://yrel77.ru/?page_id=426 (дата обращения: 02.05.2020).
2. Белова М.Ю., Исаев О.Ю., Смирнов Д.В. Разработка первого межгосударственного стандарта на материалы из терморасширенного графита // Актуальные проблемы порошкового материаловедения: материалы междунар. науч.-техн. конф., посвященной 85-летию со дня рождения академика В.Н. Анциферова, г. Пермь, 26-28 ноября 2018 г. - Пермь, 2018. - С. 391-394.
3. Кобитянский А.Е., Плюснина М.А. Определение ударной нагрузки при моделировании динамики процесса вырубки уплотнения из терморасширенного графита // Электрофизические методы обработки в современной промышленности: материалы II Междунар. науч.-практ. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов, г. Пермь, 18-20 декабря 2018 г. - Пермь, 2019. -С. 250-253.
4. Караваев Д. М. Композиционные материалы на основе терморасширенного графита для эксплуатации при температурах до 500 °С: дис. ... канд. техн. наук: 05.16.06. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2016. - 16 с.
5. Бурдуковский В.Г., Инатович Ю.В. Оборудование кузнечно-штамповочных цехов. Кривошипные машины: учеб. пособие. - Екатеринбург: Изд-во Урал. унта, 2018. - 168 с.
6. Кузнечно-штамповочное оборудование: учеб. для вузов / под ред. Л.И. Живова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 560 с.
7. Иванов Ю.В. Научное обоснование и реализация технических решений для улучшения виброакустических характеристик кузнечно-прессовых машин и агрегатов: дис. ... д-ра техн. наук: 05.02.09 / ИжГТУ им. М.Т. Калашникова. - Ижевск, 2017. - 329 с.
8. Механические свойства композиционного материала на основе терморасширенного графита / Д.М. Караваев, А.М. Ханов, А.И. Дегтярев, Л.Е. Макарова, Д.В. Смирнов, О.Ю. Исаев // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2012. -Т. 14, № 1 (2). - С. 562-564.
9. Универсальная электромеханическая испытательная машина instron 3369 [Электронный ресурс]. -URL: http://ckp.tsu.ru/about/equipment/7/21/ (дата обращения: 03.05.2020).
10. Instron introduces the newest version of bluehill software. - URL: https://www.instron.ru/-/media/literature-library/press-releases/2010/05/bh3-press-release.pdf (accessed 03 May 2020).
11. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. - 2-е изд., доп. и испр. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 349 с.
12. Губанов B.C. Обобщенный метод наименьших квадратов. Теория и применение в астрометрии. -СПб.: Наука, 1997. - 318 с.
13. Мусатов М.В., Львов А.А. Анализ моделей метода наименьших квадратов и методов получения оценок //
Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - Т. 4, № 2 (43). - С. 137-140.
14. Пономарев И.В., Славский В.В. О геометрической интерпретации метода наименьших квадратов // Известия Алтайского государственного университета. -2012. - № 1-1 (73). - С. 119-121.
15. КД2322. Пресс однокривошипный простого действия открытый наклоняемый [Электронный ресурс]. -URL: http://stanki-katalog.ru/sprav_kd2322.htm (дата обращения: 24.09.2020).
16. Теория механизмов и машин: учеб. для вузов / К.В. Фролов [и др.]; под ред. К.В. Фролова. - М.: Высшая школа, 2002. - 496 с.
17. Механика машин: учеб. пособие для втузов / под ред. проф. Г.А. Смирнова. - М.: Высшая школа, 1996. - 511 с.
18. Теория механизмов и машин: учеб. пособие / М.З. Коловский, А.Н. Евграфов, Ю.А. Семенов, А.В. Сло-ущ. - М.: Академия, 2006. - 560 с.
19. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин. -М., 1979. - 576 с.
20. Зубов В.А., Лисицын В.Д. Динамика механизмов с упругими звеньями. - Л.: Изд-во ЛПИ, 1971. -168 с.
21. Коловский М.З. Динамика машин. - Л.: Машиностроение, 1989. - 262 с.
22. Дьяконов В.П. MATLAB. Полный самоучитель. - М.: ДМК Пресс, 2012. - 768 с.
23. Ревинская О.Г. Основы программирования в MatLab: учеб. пособие. - СПб.: БХВ-Петербург, 2016. -208 с.
24. Демченко В.В. Метод Рунге - Кутты решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: учеб.-метод. пособие по курсу «Вычислительная математика» / МФТИ. - М., 2004. - 20 с.
25. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. Ч. 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: учеб. пособие для студ. спец. 073000 / МГУЛ. - М., 2005. - 109 с.
26. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учеб. пособие. - 5-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2010. - 400 с.
References
1. Materialy grafitovye listovye (MGL) i prokladki iz termorasshirennogo grafita (TRG) [Graphite sheet materials (MGL) and expanded graphite gaskets (RTG)]. URL: http://yrel77.ru/?page_id=426 (data avalable 02 May 2020).
2. Belova M.Iu., Isaev O.Iu., Smirnov D.V. Raz-rabotka pervogo mezhgosudarstvennogo standarta na materialy iz termorasshirennogo grafita [Development of the First Interstate Standard for Thermally Expanded Graphite Materials]. Aktual'nye problemy poroshkovogo materialovedeniia. Perm', 2018, pp. 391-394.
3. Kobitianskii A.E., Pliusnina M.A. Opredele-nie udarnoi nagruzki pri modelirovanii dinamiki protsessa vyrubki uplotneniia iz termorasshirennogo grafita [Determination of the impact load when simulating the dynamics of
the thermally expanded graphite seal punching process], Elektrofizicheskie metody obrabotki v sovremennoi promyshlennosti, 2018, Perm', 2019, pp, 250-253,
4, Karavaev D.M. Kompozitsionnye materialy na osnove termorasshirennogo grafita dlia ekspluatatsii pri temperaturakh do 500 °S [Composite materials based on expanded graphite for operation at temperatures up to 500 °C], PhD thesis, Perm, 2016, 16 p,
5, Burdukovskii V,G,, Inatovich Iu,V, Oborudovanie kuznechno-shtampovochnykh tsekhov, Krivoshipnye mashiny [Forging and stamping shop equipment, Crank machines], Ekaterinburg: Izdatelstvo Uralskogo universiteta, 2018, 168 p,
6, Kuznechno-shtampovochnoe oborudovanie: ucheb, dlia vuzov [Forging and stamping equipment], Ed, L,I, Zhivova, Moscow: Izdatelstvo MGTU imeni N,E, Baumana, 2006, 560 p,
7, Ivanov Iu,V, Nauchnoe obosnovanie i realiza-tsiia tekhnicheskikh reshenii dlia uluchsheniia vibroakusti-cheskikh kharakteristik kuznechno-pressovykh mashin i ag-regatov [Scientific rationale and implementation of technical solutions to improve the vibroacoustic characteristics of forging and pressing machines and units], PhD thesises, Izhevsk, 2017, 329 p,
8, Karavaev D,M,, Khanov A,M,, Degtiarev A,I,, Makarova L,E,, Smirnov, Isaev O,Iu, Mekhanicheskie svoistva kompozitsionnogo ma-teriala na osnove termorasshirennogo grafita [Mechanical properties of composite material based on expanded graphite], Izvestiia Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiiskoi akademii nauk, 2012, vol, 14, no, 1 (2), pp, 562-564,
9, Universal'naia elektromekhanicheskaia ispyta-tel'naia mashina instron 3369 [Universal electromechanical testing machine instron 3369], URL: http://ckp,tsu,ru/about/ equipment/7/21/ (data avalable 03 May 2020),
10, Instron introduces the newest version of bluehill software, URL: https://www,instron,ru/-/media/literature-library/press-releases/2010/05/bh3-press-release,pdf (accessed 03 May 2020),
11, Linnik Iu,V, Metod naimen'shikh kvadratov i osnovy matematiko-statisticheskoi teorii obrabotki nabliudenii, 2nd ed, Moscow, 1962, 349 p,
12, Gubanov B,C, Obobshchennyi metod naimen'shikh kvadratov, Teoriia i primenenie v astrometrii [Generalized least squares method, Theory and application in astrom-etry,], Saint-Petersburg: Nauka, 1997, 318 p,
13, Musatov M,V,, L'vov A,A, Analiz modelei metoda naimen'shikh kvadratov i metodov polucheniia otsenok [Analysis of Least Squares Method Models and Methods of Obtaining Estimates], Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2009, vol, 4, no, 2 (43), pp, 137-140,
14, Ponomarev I,V,, Slavskii V,V, O geometri-cheskoi interpretatsii metoda naimen'shikh kvadratov [On the Geometric Interpretation of the Least Squares Method], Izvestiia Altaiskogo gosudarstvennogo universiteta, 2012, no, 1-1 (73), pp, 119-121,
15, KD2322, Press odnokrivoshipnyi prostogo deistviia otkrytyi nakloniaemyi [Simple-acting single crank open tilt press], URL: http://stanki-katalog,ru/sprav_kd2322,htm (data avalable 24 September 2020),
16. Frolov K.V. Teoriia mekhanizmov i mashin: ucheb. dlia vuzov [Theory of Mechanisms and Machines]. Ed. K.V. Frolova. Moscow: Vysshaia shkola, 2002, 496 p.
17. Mekhanika mashin [Mechanics of machines]. Ed. G.A. Smirnova. Moscow: Vysshaia shkola, 1996, 511 p.
18. Kolovskii M.Z., Evgrafov, Semenov Iu.A., Sloushch A.V. Teoriia mekhanizmov i mashin [Theory of Mechanisms and Machines]. Moscow: Akademiia, 2006, 560 p.
19. Levitskii N.I. Teoriia mekhanizmov i mashin [Theory of Mechanisms and Machines]. Moscow, 1979, 576 p.
20. Zubov V.A., Lisitsyn V.D. Dinamika mekhanizmov s uprugimi zven'iami [Dynamics of mechanisms with elastic links]. Leningrad: Izdatelstvo LPI, 1971, 168 p.
21. Kolovskii M.Z. Dinamika mashin [Machine dynamics]. Leningrad: Mashinostroenie, 1989, 262 p.
22. D'iakonov V.P. MATLAB. Polnyi samouchitel' [Complete Tutorial]. Moscow: DMK Press, 2012, 768 p.
23. Revinskaia O.G. Osnovy programmirovaniia v MatLab [Programming basics In MatLab]. Saint-Petersburg: BKhV-Peterburg, 2016, 208 p.
24. Demchenko V.V. Metod Runge - Kutty resheniia zadachi Koshi dlia obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii pervogo poriadka [Runge-Kutta method for solving the Cauchy problem for first-order ordinary differential equations] «Vychislitel'naia matematika». MFTI. Moscow, 2004, 20 p.
25. Myshenkov V.I., Myshenkov E.V. Chislennye metody. Ch. 2. Chislennoe reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii [Numerical Methods. Part 2: Numerical solution of ordinary differential equations]. 073000. MGUL. Moscow, 2005, 109 p.
26. Demidovich B.P., Maron I.A., Shuvalova E.Z. Chislennye metody analiza. Priblizhenie funktsii, differentsial'nye i integral'nye uravneniia [Numerical methods of analysis. Approximation of functions, differential and integral equations]. Saint-Petersburg: Lan', 2010, 400 p.
Получено 29.12.2020
Опубликовано 29.03.2021
Сведения об авторах
Кобитянский Алексей Ефимович (Пермь, Россия) - кандидат технических наук, доцент кафедры инновационных технологий машиностроения Пермского национального исследовательского политехнического университета, e-mail: teorprakt20@mail.ru.
Белобородов Владимир Сергеевич (Пермь, Россия) - аспирант кафедры инновационных технологий машиностроения Пермского национального исследовательского политехнического университета, e-mail: beloborodovvova@mail.ru.
About the authors
Aleksey E. Kobityansky (Perm, Russian Federation) -Ph.D. in Technical Sciences, Associate Professor, Department of Innovative Engineering Technologies, Perm National Research Polytechnic University, e-mail: teorprakt20@mail.ru.
Vladimir S. Beloborodov (Perm, Russian Federation) -Postgraduate Student, Department of Innovative Engineering Technologies, Perm National Research Polytechnic University, e-mail: beloborodovvova@mail.ru.
