Математическая модель динамической системы "экскаватор – оператор" Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Библиографический список

1. Волков В. Я. Построение топологии кратчайшего дерева минимального веса для пяти точек плоскости с евклидовой метрикой / В. Я Волков, К. А. Куспеков // Омский научный вестник. - Омск, 2012. -№ 1 (107). - С. 11-13.

2.Есмухан Ж. М., Куспеков К. А. Прикладная геометрия инженерных сетей. / Есмухан Ж. М., Куспеков К. А //Монография. - Алматы.: Гылым, 2012г.-132с.

3. Куспеков К. А. Алгоритм построения оптимальной конфигурации транспортной сети заводов / К. А. Куспеков // Доклады Национальной Академии Наук Республики Казахстан. - 2010. - № 3. - С. 97-99.

GEOMETRICAL METHODS OF OPTIMIZATION OF ENGINEERING NETWORKS

V. Y. Volkov, K. A. Kuspekov

In article the technique of construction of an optimum configuration of the shortest tree for five points of a plane with the ortogonal metrics is considered. The weight is enclosed to each point -the factor considering indicators of an engineering network.

Keywords: the shortest tree, the shortest lines, point weight.

Bibliographic list

1. Volkov V. J. Building topology shortest tree of minimum weight for the five points of the plane with the Euclidean metric / Q. I Volkov, KA Kuspekov / / Omsk Scientific Bulletin. - Omsk, 2012. - № 1 (107). -Pp. 11-13.

2.Esmuhan J. M., K. A. Kuspekov Applied Geometry utilities. / Esmuhan J. M. , Kuspekov K. A. / / Monograph. - Almaty.: Gylym, 2012g.-132c.

3. Kuspekov K. A. Algorithm for constructing an optimal configuration of the transport network of factories / K. A. Kuspekov / / Proceedings of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan. - 2010. - № 3. - Pp. 97-99.

Волков Владимир Яковлевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика» Сибирская государственная автомобильно-дорожная, e-mail: [email protected].

Куспеков Кайырбек Амиргазыулы - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Начертательная геометрия и инженерная гра-фика»Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева, г.Алматы. е-mail: kuspeko v_k@mail. ru

УДК 621.879

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ "ЭКСКАВАТОР - ОПЕРАТОР"

П. А. Корчагин

Аннотация. В статье описывается математическая модель динамической системы "экскаватор - оператор". Представлена расчетная схема одноковшового экскаватора на базе промышленного трактора. Дана методика формирования уравнений геометрических связей и описана методика формирования уравнений динамики для системы "экскаватор - оператор".

Ключевые слова: математическая модель, экскаватор.

Введение

В городском и коммунальном хозяйстве для выполнения небольших объемов земляных работ широко используются экскаваторы на базе промышленного трактора. Доля транспортного режима в сменном цикле работы такого экскаватора довольно высока. Эффективность работы экскаватора напрямую связана с уменьшением времени перебазирования с одного объекта на другой, что в свою очередь влечет стремление оператора к увеличению транспортной скорости. Увеличение транспортной скорости напрямую

влечет за собой повышение динамических нагрузок со стороны дороги. Серийно выпускаемые машины, как правило, обеспечивают безопасные условия труда оператора, предусмотренные санитарными нормами. Однако следует стремиться к более качественным показателям виброзащищенности рабочего места оператора, таким, например, как «комфорт». Для получения научно обоснованных рекомендаций по выбору параметров системы виброзащиты оператора экскаватора от динамических воздействий, возникающих в рабочем и транспортных режимах, на стадии

проектирования необходимо обладать математической моделью машины.

Основная часть

Отличительной особенностью экскаваторов на базе промышленного трактора является неполноповоротное опорно-поворотное устройство и балансирная подвеска переднего моста. Обобщенная расчетная схема динамической системы "экскаватор - оператор"

(рис. 1.) представляет собой систему с восемью массами: базовый трактор; опорно-поворотное устройство; передний мост экскаватора; кабина экскаватора; оператор, включая массу кресла; стрела экскаватора, включая массу гидроцилиндра рукояти стрелы; рукоять, включая массу гидроцилиндра ковша; ковш экскаватора и отвал экскаватора.

Рис. 1. Пространственная расчетная схема одноковшового экскаватора

Для описания динамической системы принята правая инерциальная система координат О0Х070У0 (движущейся вместе с экскаватором), центр которой - точка О0 в состоянии покоя совпадает с координатой центра масс экскаватора. Ось Х0 направлена вдоль продольной оси трактора, ось 70 направлена вертикально вверх, а ось У0 дополняет их до правой триады.

При описании экскаватора в пространстве используются 9 локальных систем координат (по числу сосредоточенных масс).

Положения элементов системы в пространстве определяют 19 обобщенных координат

Математическое описание одноковшового экскаватора как сложной динамической системы системы основано на следующих допущениях:

- экскаватор представляет собой пространственный шарнирносочлененный многозвен-ник с наложенными на него упруговязкими динамическими связями;

- люфты в шарнирах отсутствуют;

-элементы рабочего оборудования представлены как абсолютно жёсткие стержни с сосредоточенными массами;

- силы сухого трения в гидроцилиндрах отсутствуют;

- элементы ходового оборудования имеют постоянный контакт с грунтом.

Динамические показатели элементов подвески кабины, гидроцилиндов рабочего оборудования и элементов ходового оборудования характеризуются коэффициентами жесткости С и коэффициентами вязкого трения Ь.

Точки центров масс совпадают с точками (для звеньев 1, 2, 3, 4) и с осями шарниров (для звеньев 5, 6, 7, 8). В точках центров масс приложены силы тяжести На элементы ходового оборудования действуют

силы = [Р1Х;Р1У;Р12;1]Т .

Для описания элементов экскаватора использовался метод однородных координат. Данный метод позволяет любую точку, заданную в системе координат О; Х; У; вектором Я; (рис. 2), представить в системе координат О(-1 Х;-1 У;-1 вектором Я^. Уравнение перехода в этом случае запишется в следующем виде [1]:

= Д1 •

где А; - блочная матрица размером 4х4, состоящая из матриц поворота и переноса осей координат.

Выражения скоростей элементов системы получены путем дифференцирования (с использованием дифференцирующих матриц) уравнений геометрических связей.

Сформированные таким образом уравнения кинематики позволяют определить положение, скорость и ускорение элементов системы в любой момент времени как в локальной, так и в инерциальной системе координат.

Известно, что любой четырехзвенный механизм может быть представлен четырьмя

векторами (рис. 2.): вектором Я01, соединяющим начала I и 1-1 локальных систем координат, векторами Яви и Яни, соединяющими начала локальных систем координат с точками упруговязкого элемента и вектором

Яп, соединяющим концы упруговязкого эле-

мента. Отсюда вектор Яп может быть получен следующим образом [2]:

Яп = Я 01 + Яви — Яни .

Для упрощения расчетов вектор подвижного конца упруговязкого элемента переведен в систему координат ;-1 неподвижного конца.

Яп = Ги • Яви — Яни ,

где Ги - матрица перехода из системы координат \ подвижного конца упруговязкого элемента в систему координат И неподвижного конца; Яви - вектор точки координат подвижного конца упруговязкого элемента в

системе координат ;; Яни - вектор точки координат неподвижного конца упруговязкого элемента в системе координат И.

X

а

Рис. 2. Векторное описание четырехзвенного механизма /1/

Линеаризация полученных выражений проведена методом Тейлора. В результате получены уравнения подвижных концов упруговяз-ких элементов в линеаризованной форме [1]:

г 1 г

Яви = I Ми] • С] • Яи ,

]=1

™ дГи

где Ми] = —— .

ОД

Векторы скорости концов упруговязких элементов в линеаризованной форме имеют вид [1]:

темы "экскаватор - оператор". Для этого использовался метод уравнений Лагранжа второго рода. Уравнения движения будут иметь вид [2]:

ЭК дсу

ЭК ЭР ЭФ ^ — + — + — = О). Эд] Эд] Эсу

Полная кинетическая энергия звеньев экскаватора получена как сумма кинетических энергий всех звеньев, обладающих инерционными свойствами [2]:

Я в

^ = I Ми] • С • Яи . й ]=1 ] &

к = I к.

Полученные уравнения позволяют определить координаты, значение скорости подвижных концов упруговязких элементов в любой момент времени.

Принятая в работе расчетная схема позволяет составить уравнения динамики сис-

1=1

Если представить каждое звено как совокупность множества точек с координатами

Я1 , заданными в локальной системе координат данного звена и имеющими бесконечно малую массу с1т, то кинетическая энергия звена определится по формуле [2]:

1| r |2

dKi = — R0i dm ;

2 I

Учитывая, что

|R 0i|2 = tr[lR 0iR 0iT ]

и, используя выражение

l

R 0i = V Uij — • Ri = Vi • Ri; V dt

получим [2]:

6К = 1 й-^М^УЛ ]с1т.

Полную кинетическую энергию звена определим с помощью интегрирования [2]:

Ki = - tr 2

-

Vi J RiRiT dm ViT

J _(m) _

=1 tr[viHiViT 1 2 L }

Определим Н1 по формуле [1]:

Hi = J RiRiTdm =

(m)

J Xfdm J XiZidm J Xiyidm J X

m) (m) (m) (m)

J XiZidm J Zfdm J Ziyidm J Z

) (m) (m) (m)

J Xiyidm J Ziyidm J yfdm J

yidm

(m) (m)

J Xidm J Zidm

(m) (m)

(m) (m)

J yidm mi

(m)

dt

ЭК

dq

Кинетическая энергия всех звеньев динамической системы будет равна:

К = X - 0-[у1И1У1Т ].

1=1 2

Продифференцируем это выражение и получим

1 к Г 1

^^ фуИИ^ ] 3=1 1=1

Потенциальную энергию системы определим как сумму потенциальных энергий звеньев в поле тяготения Рд и потенциальной энергии упругих элементов Ру [1]:

Р = Ру + Pg .

Потенциальную энергию в поле сил тяготения Рд, для принятой расчетной схемы определим по формуле [1]

к т

Pg = X т^в т ТЯ

1=1

где в =[0 1 0 0]Т; д - ускорение свободного падения.

Потенциальную энергию упругих элементов Ру определим из уравнения Клайперона [2]:

Ру = X СиЯ2и ,

и=1

где Си - коэффициент упругости и-го упругого элемента; Я2 - полная деформация иго упругого элемента.

Для принятой расчетной схемы последнее выражение запишется следующим образом [2]:

А г 2 Ру = X СиЯи

и=1

С учетом выражений Яо = Т • Я: и

г 1 г

Яви = X Ми] • 4] • Яи можно записать:

3=1

Py = ¿tr[QuNuQT ],

u=1

где Nu = Cu

RuRu

; ди = X Ми] • д

и=1

Уравнение для полной потенциальной энергии примет вид [2]:

Р = X т^вт та!+1X И-О^Т

1=1 2 и=1

Продифференцируем данное уравнение и получим [2]:

^ = X migG т 1 X XX 1г[ми]КиМТ] ].

1=1 2 3=1 и=1

Диссипативная функция системы Ф представлена в виде функции Релея [1]:

n -о

Ф = V buX2u,

u=1

где bu - приведенный коэффициент вязкости u-го элемента; X u - скорость деформации u-го элемента.

Для принятой расчетной схемы последнее выражение примет вид [2]:

n r

Ф = V bullu

u=1

Продифференцируем это выражение и получим [2]:

Ф = -2

1 ¿tr[wuBuWuT ];

u=1 Bu = bu

R uR T

Wu = V M uj • qj.

u=1

n

Внешние силы, воздействующие на рабочий орган и элементы ходового оборудования, представлены в виде вектора столбца обобщенных сил Qjf, действующих по обобщенным координатам. Элементы вектора столбца определяются по формуле [1]:

О = ¿Б ^,

где Б- - силы, приложенные к звеньям

расчетной силы; Яог - вектор координат точки приложения силы в инерциальной системе координат.

Для принятой расчетной схемы получим [2]:

О] = IБ-ЩЯ-,

г=1

где Я1г - вектор координат точки приложенной в локальной системе координат.

Подставим в уравнение Лагранжа второго рода выражения кинетической и потенциальной энергий, диссипативной функции и обобщенных сил и получим систему уравнений, каждое из которых имеет вид [1]:

11 фцйи^ ] (] +111г[Ми]БиМТУ ] с +

1 = 1 ] = 1 и = 1 ] = 1

п 1 г -.к т

+ II 0-[Ми]ШМТ1У ] я +1 т^вТ и1]Я1 = I Бги1]Я1г .

и=1 ]=1 1=1 г =1

Полученная система уравнений в вектор-но-матричной форме будет иметь вид [1]:

АсС + ВсС + СяС = О ,

где Ар, Вр, Ср - матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений размером

19х 19; (,С[- матрицы размером 19х1, представляющие малые значения соответственно ускор ений, скоростей и обобщенных

координат; - матрица сил размером 19х1.

Элементы матриц Ар, Вр, Ср определяются по следующим формулам [2]:

ajv =

]Ttr[uijHiUTv];

i=1

bjv = ]^tr[MujBuMTv];

u=1

¿tr[MujNuMTv] .

Заключение

Разработанная математическая модель динамической системы "экскаватор - оператор", представляющая собой систему с девятнадцатью дифференциальными уравнениями 2 порядка с переменными коэффициентами, являющимися функциями конструктивных параметров и больших значений обобщенных координат с точностью, достаточной для решения инженерных задач, позволяет проводить исследование влияния конструктивных параметров, динамических свойств элементов системы при приложении к ней динамических воздействий.

Библиографический список

1. Вибрация в технике: Справочник в 6-ти Т. /Под ред. К. В. Фролова. - М.: Машиностроение, 1981. - 456 с.

2. Снижение динамических воздействий на одноковшовый экскаватор: Монография / В. С. Щербаков, П. А. Корчагин. - Омск: Изд-во СибАДИ, 2000. - 147 с.

MATHEMATICAL MODEL OF THE DYNAMIC

SYSTEM «EXCAVATOR - OPERATOR»

P. A. Korchagin

In this article is described mathematical model of dynamic system "excavator - driver" and the scheme of one-ladle excavator. The equations of geometrical connection and the methodic formation of the equations of dynamics for system "excavator - driver" are given in article.

Keywords: mathematical model, excavator.

Bibliographic list

1. Vibration in engineering: a Handbook 6 Tons /Ed. by K. V. Frolov. - M: machine-building, 1981. -456 C.

2. Reduction of dynamic loads on a single bucket excavator: Monograph / V. S. Shcherbakov, P. A. Korchagin. - Omsk: Omsk in SibADI, 2000. - 147 C.

Корчагин Павел Александрович - доктор технических наук, профессор, Каф. «Механика» Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)». новное направление научных исследований: развитие научных основ проектирования виброзащитных систем строительных и дорожных машин. Общее количество публикаций - 52. e-mail: korchagin_pa @mail. ru

Cjv =

u=1

m