А. Ф. Терпугов, Н.П. Щирова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СКЛАДА
Рассматривается математическая модель деятельности склада, где особое внимание уделено применению релейно-гистере-зисного управления ценой на товар. Правило управления устанавливается в зависимости от пороговых значений объемов товара, имеющегося в наличии на складе. Рассматриваются такие величины, как вероятности возникновения «упущенной выгоды» и осуществления продаж товара. Исследуется плотность вероятностей величины товара на складе.
Пусть имеется предприятие, результатом деятельности которого, является выпуск однородной продукции с постоянной скоростью 0 единиц в единицу времени. Следовательно, за период времени ДГ предприятием будет произведено 0-ДГ.
Для хранения готового продукта существует специальное помещение - склад. Через Q(t) обозначим количество товара на складе в момент времени Г.
Естественно, что реализация готового продукта зависит от спроса покупателей. Итак, обозначим Х(5) - интенсивность потока покупателей, где 5 - стоимость единицы продукции. Очевидно, что монотонно убывает X(S) с ростом цены S. Случайное количество продукции, которое забирают с собой покупатели, обозначим *. Будем считать, что покупки * имеют
экспоненциальное распределение р* (х) = -^ехр[ - — |.
а ^ а)
РЕЛЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙ НА ПРОДУКЦИЮ С ГИСТЕРЕЗИСОМ
Устанавливается два пороговых значения для величины товара на складе Ql и Q2 (Q1 < Q2). В области Q < Q1 всегда устанавливается цена 51, что приводит к интенсивности потока покупок величины Х1 = Х(51). В области Q > Q2 всегда устанавливается цена 52, что приводит к интенсивности потока покупок величины Х2 = Х(52). Причем 51 < 52, тогда Х2 > Хь что уменьшает риск переполнения склада.
Для области Q1 < Q < Q2 используем следующее правило: если мы попали в эту область из области Q < Q1, то цена на товар сохраняется со значением 51 и, следовательно, X = Х1; если же мы попали в эту область из области Q > Q2, то значение цены сохраняется величиной 52 и, следовательно, X = Х2.
Найдем плотность вероятностей р^) количества продукции Q на складе во всех областях.
Начнем с области Q > Q2. Согласно нашей модели, в этой области интенсивность потока покупателей X = = Х2; через р2®) обозначим плотность вероятностей в этой области. Выведем явное выражение для р2^). Пусть мы имеем некоторый момент времени Г. Тогда получить количество продукции Q на складе мы можем двумя путями:
а) в момент времени Г - ДГ количество товара на складе было равно Q - 0ДГ, и за интервал времени ДГ было произведено продукции 0ДГ с вероятностью (1 - Х2ДГ) + о(ДГ);
б) с вероятностью Х2ДГ + о(ДГ) за период времени ДГ удалось реализовать продукцию в размере *, так что в момент времени Г - ДГ количество продукции на складе составило Q + * - 0ДГ.
Для вывода явного вида используем идеологию вывода обратных уравнений Колмогорова для марковских процессов:
Р2 (Q) = Р2 ^ - 0АГ) ( - Х2АГ) +
ОТ
+ X2ДГ| р2 ( + х) р2 (х) с1х + о (ДГ). (1)
0
Разложим р2^ -0-ДГ) в ряд Тейлора
Р2© -0ДГ) = Р2©) - р2 ©)0ДГ + о(ДГ) и подставим в (1)
Р2 Ш) = [Р2 Ш)-Р2(Q)0ДГК1 -Х2ДГ) +
ОТ
+ Х2 ДГ| р2 ( + х) р* (х) сСх + о (ДГ).
0
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
о = - р2( Q )0Дг - X 2 р2 (Q )дг +
ОТ
+ X 2 ДГ | р2 ( + х) р* (х )х + о (ДГ).
0
Последнее выражение делим на ДГ и устремляем к нулю ДГ——0. С учетом того, что
р^х) = a exp (- xa),
получим
ш 1 ( х \ 1ш Q/ - у/
J р2 (Q + х)—expI — Idx = — J р2 (y)е'а e 'а dx.
0 а У а) aQ
Имеем
1 Q/ ^ - у/
P2(Q)0+^2P2 (Q)-^2-ea J P2 (y )e /ady = 0. (2)
Умножим (2) на е 'а :
, - / - / 1 ОТ - 0_
р2 (°)е а 0+X2e ар2 (Q)-X2 - | р2 (у)е аСУ = °.
aQ
Дифференцируем по Q:
p2(Q)е /а0 - аар2 (Q)е /а0 + !2p2(Q)е /а -
- —р2 Ш)е ^ + —р2 (Q)е ^ = о.
а а
Все выражение умножим на eQ 1 а и соберем подобные слагаемые:
р^ )0 + p2(Q) = о. (3)
Обозначим для краткости
аХ2 -0
а0
■ = к1, причем
Kj > 0 . Тогда общее решение уравнения (3) будет иметь вид
Р2 (Q)= Qe- Kj Q + D2. (4)
Заметим, что lim p2 (Q) = 0 и, следовательно,
Q^<»
D2 = 0.
Q
Для удобства дальнейших записей возьмем С2 в виде С2 = С еК1 Q 2. (5)
Тогда окончательно для р2 (Q) получаем
р2 (Q) = Се-К1 ( - Q 2); Q > Q2. (6)
Вид р2 (Q) в области Q > Q2 изображен на рис. 1.
С учетом того, что р, (х) = —ехр| - — ), рассмот-
а І а і
рим интеграл по слагаемым:
Є 2 - е
о
е 2- е
[ Д01 — е аёх = Ц
а
о
ї ехр (е + х)) — ехр (
( - е_2. + Є
1 - е а а
V і
— а
= ехр
е і ае у V в =
а9
аХГ
екое - е а е 9 е :
Рис. 1
Перейдем к рассмотрению области Q1 < Q < Q2. Здесь возможны два варианта: X = X1 или X = !2. Рассмотрим ситуацию при X = X1. Соответствующую плотность вероятностей будем обозначать ро1 (°) . Здесь существует одно условие: при скачке вверх величина Q + х должна быть меньше Q2, т.е. Q + х < Q2, х < Q2 - Q. Тогда за период ДГ рассмотрение исходов приводит к уравнению
ро1 ( Q) = ро1 - 0ДГ) ( - ЬДГ) +
Q 2 - Q
+ X1ДГ | ро1 ( + х))*(х) Сх. (7)
о
Как и выше, р^^ - 0-ДГ) раскладываем в ряд Тейлора:
ро1 ( Q - 0ДГ) = ро1 ( Q) - ро1 ( Q)0ДГ + 0(ДГ).
Полученное выражение подставим в (7). Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:
ро1 (° )0+Xl ро1 (Q ) =
Q2-Q
= Xl | ро1 (Q + х)р*(х)Сх + о (ДГ). (8)
о
Далее используем те же рассуждения, что и в (1) -(6), что приводит к дифференциальному уравнению
ро'1 ( Q) 0 - ро 1 ( Q) = о. (9)
0 - а!, „гг,
Обозначим ----------= ко ; ко >о. Тогда общее
а0
решение уравнения (9) имеет вид
ро1 ( Q) = Аи - Со1еКо °. (1о)
Знак «минус» перед вторым слагаемым взят для удобства окончательного результата. В отличие от предыдущей части, здесь константы Со1 и Бо1 не могут быть произвольными, так как в (8) в верхнем пределе интеграла стоит Q2 - Q, а не бесконечность. Подставим выражение (1о) в (8). Имеем
ро1 ( Q) 0 + ^ ро1 ( Q) =
Q 2 - Q
= Xl | ро1 (Q + х))*(х) сСх + о(ДГ).
Д
Тогда, собирая выражения при константах С01 и
і
" - ТГ Є2 1
сол~ е а
находим вид
• еа - Д01ХГе
Є 2 Є а • еа = 0,
Д01 = С01
ек0<2
аХГ
и вид плотностей вероятностей
Р01 (е) = С01 (Их,
ек0<2 2 - еК0е
9
(11)
Заметим, что 0 > aX1, т.е. --> 1. Далее, посколь-
aX1
ку ко > о и Q1 < Q2, то eKоQ 2 > eKоQ и выражение,
стоящее в скобках, должно быть положительным. Следовательно, Со1 > о. Коэффициент Со1 будет определен позже. Вид этой зависимости приведен на рис. 2.
Найдем теперь вид плотностей вероятностей величины в области Є— < Є < Є2, но при условии X = Х2. Обозначим ее через р1Г(Є). Рассматривая переходы за интервал времени Д, можем записать
Ріі ( Є) = (Г - Х2Д/)Рі1 ( Є - 9Д/) +
'е 2- е
І Ріі (е + х)р^(х)<Лх +
+ І Р2 (е + х) (х) ^х
е 2 - е
о
И как ранее
0 p\\ (Q) + Х2Р\\ (Q) = K2
62-Q
j Р\\(Q + x)prq(x)dx +
+ I р2 ( + х)р*(х)Сх . (12)
Q2 -Q
При экспоненциальном распределении покупок *, используя те же рассуждения, что и выше, получаем
р’1 ( /) + р1' ( /) = о.
Ранее был введен коэффициент К’, который опре-
аX, -0
делялся как к, = — ----------, согласно которому мы мо-
а0
жем последнее дифференциальное уравнение записать как
Рп ( Q) + К’р’’ ( Q) = о. (13)
Общее решение (13) имеет вид
p\\ ( Q) = D\\ C\\ei
- K1 Q
(14)
p\\ ( Q\ ) = K2At
+ o(t ).
+ | Р2 ((? + х)р*(х)Сх Q 2 - Q _
Устремим ДГ— о и получим условие
Р’1 ( Q1) = о. Тогда
Ви = С„е-К 1 Q ’. (15)
Следовательно,
Р’1 ( Q) = С,, (е-к 1 Q 1 - е-к 1 Q). (16)
Так как Q > Q1, то е~к’ Q 1 > е~к’ Q и выражение, стоящее в скобках, положительно. Поэтому С11 > о. Видри^) в области Q1 < Q < Q2 приведен на рис. 3.
Рис. 3
Для нахождения связи между Си и С2 решение (16) нужно подставить в интегрально-дифференциальное уравнение (12). Выпишем еще раз (12):
0 p\\ (Q) +K2p\\ (Q) = К2
Q2-Q
j p\\(Q + x)prq(x)dx +
+ j p2 (Q + x)p^(x)dx .
Q2 -Q _
Из (16) следует, что
\) p\'\ (Q ) = C\\K\e-K Q.
Рассмотрим слагаемые в квадратных скобках. При этом учитываем, что продажа товара имеет экспоненциальное распределение.
ОТ
2) j p2 ( Q + x) p>= (x) dx =
Q 2 - Q
от 0-aK
= C2 j e
Q2 -Q
----— (Q+x) \ -a 0-—e adx =
a
Теперь задача заключается в определении констант. В нашем случае Q2 граница может быть пересечена только сверху, так как пересечение процессом Q(Г) границы Q1 снизу дает нам значение X = X,, а не X = X2. Тогда за интервал времени ДГ [Q 2 - Q
| Р11 ((? + х)Р*(х) Сх +
= Ce KlQ - j e 0 dx = C
a Q2 -Q ^ aK2
Q2-Q
3) j p\\(Q + x)p^(x)dx =
0 -j
C\\
a
0
Q2-Q
e-îQi - e_K\(Q+x)
x
e adx.
Результаты из «1», «2» и «3» подставляем в (12), приводим подобные слагаемые и получаем
-X2C11e^KlQ + С„ -ее~ + С2 -ее~ ^ = о, (17)
а а
откуда находим зависимость между С2 и Сц:
Ьа ек’( х 2 - Q 1)- ’
или
C2 = С\
C\\ = C2 aK
K2aeKi( Q 2- Q 1 )- \
Так как —2 > 1 и Q2 > Q1, то и выражение в квадрат-
0
ных скобках тоже положительно, при условии
Ql < Q < ^
(еК1( ( 2- Q 1 ^ - еК1( 2- Q^
CI
p\\( Q) =
K2a eKi( Q 2- Q 1 )- ,
(18)
Рассмотрим ситуацию при Q = Q2 и вычислим константу Со1. При Q > Q2 имеем плотность вероятностей вида р2 (Q). При Q < Q2 могут быть процессы
Q(Г) с X = X’ и X = Яз. Поэтому, рассматривая интервал времени ДГ, получим
р2 ( °2 ) = (’ - X2ДГ)[ро1 ((?2 - 0ДГ) +
+ Р’1 ((2 - 0ДГ)] + °(ДГ).
Устремим ДГ— о, что приводит нас к
р2 ( Q2 ) = ро1 ( Q2 ) + р11 (Q2 ). Подстановка решений дает
(19)
(20)
C =
C ( eK (-Ql )-1) K2a eK1 (б2- Ql )- \
+ Co
aK,
■-1
eK0Q2
( 21)
OT
OT
Из последнего соотношения находим
X2a eкі(Є2_Qi)_ eKi(Qi_Qi)
X2 aeK (Q2 _Qi ) i Ï—_ il
L 0 J aXi
(22)
Окончательно вид для р01 (б) таков:
Р01 ( б) =
= с
X 2a _ i| eKi( Q 2 _ Q 1) e- Ko Q :
X2a eKi( Q 2_ Q 1 )_ 1
aXi
_ i
aXi
eK0 Q 2 _ eK0 Q
(23)
X2a i _ 0 _ eKi( Q 2 _ Q i ) , e~ K0 Q 2
X2a eKi( Q 2 _ Q i) i 0 e i 0
aXi _ i
aXi
ek0 Q 2 _ eK0 Q i
Окончательный результат имеет вид
Р01 ( б) = С
X2a _ i
eKi (Q 2_ Qi ) , e~K0Q 2
X2a eKi(Q 2_ Q i )_ i 0 e i
"_0_
aXi
aXi _ i
_eK0 Q 2 _ eK0Q
eKi(Q 2 Q i )_ eKi(Q 2 Q)
Pii ( Q ) = C e Xa ( \--------:
X2a eKi(Q 2_ Q i )_ i 0 e i
P2 ( Q) = с e- Ki( _ Q 2).
Константа C определяется из условия нормировки
Q i Qi
j Po (Q)dQ + j[Poi (Q) + Pii (Q)dQ + j Pi (Q)dQ = i-
- •» Qi Qi
Вычисляя входящие интегралы, получим 1
с
- +
X2a i 0 0 eKoQ2 L. eKi(Q2 Qi )eKoQi aXi kl
0 " X2 a eKi(Q2_Qi )
aXi _ i 0 e
aXi
_ i
- (i
Ki v
_—(i + e
K
Ki (Q2 _Qi ) _ eKi (Q2 _Qi Я
Рассмотрим область б < б1, плотность вероятностей процесса б(0 обозначим р0(б). Отметим, что
X = Х1 и 9 - аХ1 > 0, т.е. -—а—1 = к0 ; к0 > 0. Исаи
пользуя вывод уравнений (1)-(6), можно получить
Р0 ( б) = С еК0 б + Б0. (24)
Но при Дб—— - ш плотность вероятностей р0( б) должна стремиться к нулю. Это означает, что Б0 = 0. Для удобства представим р0( б) в виде
Р0 ( б) = С ек°( - б 1). (25)
Рассмотрим б = б1. Тогда
Р01 (б1) = ( - Х1Д?)Р0 (б 1 - 9Д^) + °(Д0.
После предельного перехода при устремлении Д — 0 получаем условие сшивания на границе б = бь р01(б1) = Ро(б1). Данное условие позволяет нам найти константу С0 :
Co = C
+ K. + л
Ki Ko
i _ eK0( 2_ Q i)
eKi (Q2 _Qi ) JL_ i"
aXi
_X2a i 0 eKoQ 2 _ eKiQ
0 aXi
eKi (Q 2 Q i )e- k0Q 2
X2a eKi(Q 2_ Q i) l Ï— _ il
L 0 J aXi
= i.
Можно попытаться найти численно С.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Как и ранее,
0
X2a l 0 eK0Q2 _ eKiQ
Ko 0 aXi
i _ e
k0 (Q 2_ Q i
eKi (Q 2_ Q i )e_K0Q 2
X2a eKi(Q 2_ Q i ) i Г—_ il
L 0 J aXi
(26)
представляет собой вероятность того, что у компании будет «упущенная выгода», т.е. спрос покупателей остается неудовлетворенным.
Следующая характеристика - вероятность осуществления продаж, т.е. товар будет востребованным:
ш б2
П1 =| Р2 (бИб + | Р11 (бИб =
б 2 б1
=с
X 2 a l 0 0 eKoQ2 — eKi ^Q2 _Qi )eKoQ aXi kl
" 0 " aXi _ i X2 a eKi (Q2 _Qi ) 0 e
aXi L L ( + eKi (2 Qi )_ eKi(Q2 Qi ))
X 2 aeKi (Q2 _ Qi ) 0 e aXi L
. (27)
Зная С, величины можно найти численно. Задавая величины (б1 - б2) и П0 и П1 из уравнений (26), (27), можно найти 9 и бь
ЛИТЕРАТУРА
1. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск.: Изд-во Том. ун-та, 1988.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика и информатика» 25 апреля 2003 г.
+
к
X
+
+