Научная статья на тему 'Математическая модель деятельности склада'

Математическая модель деятельности склада Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
817
100
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Терпугов Александр Фёдорович, Щирова Надежда Петровна

Рассматривается математическая модель деятельности склада, где особое внимание уделено применению релейно-гистерезисного управления ценой на товар. Правило управления устанавливается в зависимости от пороговых значений объемов товара, имеющегося в наличии на складе. Рассматриваются такие величины, как вероятности возникновения «упущенной выгоды» и осуществления продаж товара. Исследуется плотность вероятностей величины товара на складе.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

One considers the storehouse function with control the price of goods in dependence its quantity. One takes into account the probability of missing gain and the probability of overflow and finds the probability density of amount of goods in the storehouse.

Текст научной работы на тему «Математическая модель деятельности склада»

А. Ф. Терпугов, Н.П. Щирова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СКЛАДА

Рассматривается математическая модель деятельности склада, где особое внимание уделено применению релейно-гистере-зисного управления ценой на товар. Правило управления устанавливается в зависимости от пороговых значений объемов товара, имеющегося в наличии на складе. Рассматриваются такие величины, как вероятности возникновения «упущенной выгоды» и осуществления продаж товара. Исследуется плотность вероятностей величины товара на складе.

Пусть имеется предприятие, результатом деятельности которого, является выпуск однородной продукции с постоянной скоростью 0 единиц в единицу времени. Следовательно, за период времени ДГ предприятием будет произведено 0-ДГ.

Для хранения готового продукта существует специальное помещение - склад. Через Q(t) обозначим количество товара на складе в момент времени Г.

Естественно, что реализация готового продукта зависит от спроса покупателей. Итак, обозначим Х(5) - интенсивность потока покупателей, где 5 - стоимость единицы продукции. Очевидно, что монотонно убывает X(S) с ростом цены S. Случайное количество продукции, которое забирают с собой покупатели, обозначим *. Будем считать, что покупки * имеют

экспоненциальное распределение р* (х) = -^ехр[ - — |.

а ^ а)

РЕЛЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙ НА ПРОДУКЦИЮ С ГИСТЕРЕЗИСОМ

Устанавливается два пороговых значения для величины товара на складе Ql и Q2 (Q1 < Q2). В области Q < Q1 всегда устанавливается цена 51, что приводит к интенсивности потока покупок величины Х1 = Х(51). В области Q > Q2 всегда устанавливается цена 52, что приводит к интенсивности потока покупок величины Х2 = Х(52). Причем 51 < 52, тогда Х2 > Хь что уменьшает риск переполнения склада.

Для области Q1 < Q < Q2 используем следующее правило: если мы попали в эту область из области Q < Q1, то цена на товар сохраняется со значением 51 и, следовательно, X = Х1; если же мы попали в эту область из области Q > Q2, то значение цены сохраняется величиной 52 и, следовательно, X = Х2.

Найдем плотность вероятностей р^) количества продукции Q на складе во всех областях.

Начнем с области Q > Q2. Согласно нашей модели, в этой области интенсивность потока покупателей X = = Х2; через р2®) обозначим плотность вероятностей в этой области. Выведем явное выражение для р2^). Пусть мы имеем некоторый момент времени Г. Тогда получить количество продукции Q на складе мы можем двумя путями:

а) в момент времени Г - ДГ количество товара на складе было равно Q - 0ДГ, и за интервал времени ДГ было произведено продукции 0ДГ с вероятностью (1 - Х2ДГ) + о(ДГ);

б) с вероятностью Х2ДГ + о(ДГ) за период времени ДГ удалось реализовать продукцию в размере *, так что в момент времени Г - ДГ количество продукции на складе составило Q + * - 0ДГ.

Для вывода явного вида используем идеологию вывода обратных уравнений Колмогорова для марковских процессов:

Р2 (Q) = Р2 ^ - 0АГ) ( - Х2АГ) +

ОТ

+ X2ДГ| р2 ( + х) р2 (х) с1х + о (ДГ). (1)

0

Разложим р2^ -0-ДГ) в ряд Тейлора

Р2© -0ДГ) = Р2©) - р2 ©)0ДГ + о(ДГ) и подставим в (1)

Р2 Ш) = [Р2 Ш)-Р2(Q)0ДГК1 -Х2ДГ) +

ОТ

+ Х2 ДГ| р2 ( + х) р* (х) сСх + о (ДГ).

0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

о = - р2( Q )0Дг - X 2 р2 (Q )дг +

ОТ

+ X 2 ДГ | р2 ( + х) р* (х )х + о (ДГ).

0

Последнее выражение делим на ДГ и устремляем к нулю ДГ——0. С учетом того, что

р^х) = a exp (- xa),

получим

ш 1 ( х \ 1ш Q/ - у/

J р2 (Q + х)—expI — Idx = — J р2 (y)е'а e 'а dx.

0 а У а) aQ

Имеем

1 Q/ ^ - у/

P2(Q)0+^2P2 (Q)-^2-ea J P2 (y )e /ady = 0. (2)

Умножим (2) на е 'а :

, - / - / 1 ОТ - 0_

р2 (°)е а 0+X2e ар2 (Q)-X2 - | р2 (у)е аСУ = °.

aQ

Дифференцируем по Q:

p2(Q)е /а0 - аар2 (Q)е /а0 + !2p2(Q)е /а -

- —р2 Ш)е ^ + —р2 (Q)е ^ = о.

а а

Все выражение умножим на eQ 1 а и соберем подобные слагаемые:

р^ )0 + p2(Q) = о. (3)

Обозначим для краткости

аХ2 -0

а0

■ = к1, причем

Kj > 0 . Тогда общее решение уравнения (3) будет иметь вид

Р2 (Q)= Qe- Kj Q + D2. (4)

Заметим, что lim p2 (Q) = 0 и, следовательно,

Q^<»

D2 = 0.

Q

Для удобства дальнейших записей возьмем С2 в виде С2 = С еК1 Q 2. (5)

Тогда окончательно для р2 (Q) получаем

р2 (Q) = Се-К1 ( - Q 2); Q > Q2. (6)

Вид р2 (Q) в области Q > Q2 изображен на рис. 1.

С учетом того, что р, (х) = —ехр| - — ), рассмот-

а І а і

рим интеграл по слагаемым:

Є 2 - е

о

е 2- е

[ Д01 — е аёх = Ц

а

о

ї ехр (е + х)) — ехр (

( - е_2. + Є

1 - е а а

V і

— а

= ехр

е і ае у V в =

а9

аХГ

екое - е а е 9 е :

Рис. 1

Перейдем к рассмотрению области Q1 < Q < Q2. Здесь возможны два варианта: X = X1 или X = !2. Рассмотрим ситуацию при X = X1. Соответствующую плотность вероятностей будем обозначать ро1 (°) . Здесь существует одно условие: при скачке вверх величина Q + х должна быть меньше Q2, т.е. Q + х < Q2, х < Q2 - Q. Тогда за период ДГ рассмотрение исходов приводит к уравнению

ро1 ( Q) = ро1 - 0ДГ) ( - ЬДГ) +

Q 2 - Q

+ X1ДГ | ро1 ( + х))*(х) Сх. (7)

о

Как и выше, р^^ - 0-ДГ) раскладываем в ряд Тейлора:

ро1 ( Q - 0ДГ) = ро1 ( Q) - ро1 ( Q)0ДГ + 0(ДГ).

Полученное выражение подставим в (7). Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:

ро1 (° )0+Xl ро1 (Q ) =

Q2-Q

= Xl | ро1 (Q + х)р*(х)Сх + о (ДГ). (8)

о

Далее используем те же рассуждения, что и в (1) -(6), что приводит к дифференциальному уравнению

ро'1 ( Q) 0 - ро 1 ( Q) = о. (9)

0 - а!, „гг,

Обозначим ----------= ко ; ко >о. Тогда общее

а0

решение уравнения (9) имеет вид

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ро1 ( Q) = Аи - Со1еКо °. (1о)

Знак «минус» перед вторым слагаемым взят для удобства окончательного результата. В отличие от предыдущей части, здесь константы Со1 и Бо1 не могут быть произвольными, так как в (8) в верхнем пределе интеграла стоит Q2 - Q, а не бесконечность. Подставим выражение (1о) в (8). Имеем

ро1 ( Q) 0 + ^ ро1 ( Q) =

Q 2 - Q

= Xl | ро1 (Q + х))*(х) сСх + о(ДГ).

Д

Тогда, собирая выражения при константах С01 и

і

" - ТГ Є2 1

сол~ е а

находим вид

• еа - Д01ХГе

Є 2 Є а • еа = 0,

Д01 = С01

ек0<2

аХГ

и вид плотностей вероятностей

Р01 (е) = С01 (Их,

ек0<2 2 - еК0е

9

(11)

Заметим, что 0 > aX1, т.е. --> 1. Далее, посколь-

aX1

ку ко > о и Q1 < Q2, то eKоQ 2 > eKоQ и выражение,

стоящее в скобках, должно быть положительным. Следовательно, Со1 > о. Коэффициент Со1 будет определен позже. Вид этой зависимости приведен на рис. 2.

Найдем теперь вид плотностей вероятностей величины в области Є— < Є < Є2, но при условии X = Х2. Обозначим ее через р1Г(Є). Рассматривая переходы за интервал времени Д, можем записать

Ріі ( Є) = (Г - Х2Д/)Рі1 ( Є - 9Д/) +

'е 2- е

І Ріі (е + х)р^(х)<Лх +

+ І Р2 (е + х) (х) ^х

е 2 - е

о

И как ранее

0 p\\ (Q) + Х2Р\\ (Q) = K2

62-Q

j Р\\(Q + x)prq(x)dx +

+ I р2 ( + х)р*(х)Сх . (12)

Q2 -Q

При экспоненциальном распределении покупок *, используя те же рассуждения, что и выше, получаем

р’1 ( /) + р1' ( /) = о.

Ранее был введен коэффициент К’, который опре-

аX, -0

делялся как к, = — ----------, согласно которому мы мо-

а0

жем последнее дифференциальное уравнение записать как

Рп ( Q) + К’р’’ ( Q) = о. (13)

Общее решение (13) имеет вид

p\\ ( Q) = D\\ C\\ei

- K1 Q

(14)

p\\ ( Q\ ) = K2At

+ o(t ).

+ | Р2 ((? + х)р*(х)Сх Q 2 - Q _

Устремим ДГ— о и получим условие

Р’1 ( Q1) = о. Тогда

Ви = С„е-К 1 Q ’. (15)

Следовательно,

Р’1 ( Q) = С,, (е-к 1 Q 1 - е-к 1 Q). (16)

Так как Q > Q1, то е~к’ Q 1 > е~к’ Q и выражение, стоящее в скобках, положительно. Поэтому С11 > о. Видри^) в области Q1 < Q < Q2 приведен на рис. 3.

Рис. 3

Для нахождения связи между Си и С2 решение (16) нужно подставить в интегрально-дифференциальное уравнение (12). Выпишем еще раз (12):

0 p\\ (Q) +K2p\\ (Q) = К2

Q2-Q

j p\\(Q + x)prq(x)dx +

+ j p2 (Q + x)p^(x)dx .

Q2 -Q _

Из (16) следует, что

\) p\'\ (Q ) = C\\K\e-K Q.

Рассмотрим слагаемые в квадратных скобках. При этом учитываем, что продажа товара имеет экспоненциальное распределение.

ОТ

2) j p2 ( Q + x) p>= (x) dx =

Q 2 - Q

от 0-aK

= C2 j e

Q2 -Q

----— (Q+x) \ -a 0-—e adx =

a

Теперь задача заключается в определении констант. В нашем случае Q2 граница может быть пересечена только сверху, так как пересечение процессом Q(Г) границы Q1 снизу дает нам значение X = X,, а не X = X2. Тогда за интервал времени ДГ [Q 2 - Q

| Р11 ((? + х)Р*(х) Сх +

= Ce KlQ - j e 0 dx = C

a Q2 -Q ^ aK2

Q2-Q

3) j p\\(Q + x)p^(x)dx =

0 -j

C\\

a

0

Q2-Q

e-îQi - e_K\(Q+x)

x

e adx.

Результаты из «1», «2» и «3» подставляем в (12), приводим подобные слагаемые и получаем

-X2C11e^KlQ + С„ -ее~ + С2 -ее~ ^ = о, (17)

а а

откуда находим зависимость между С2 и Сц:

Ьа ек’( х 2 - Q 1)- ’

или

C2 = С\

C\\ = C2 aK

K2aeKi( Q 2- Q 1 )- \

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Так как —2 > 1 и Q2 > Q1, то и выражение в квадрат-

0

ных скобках тоже положительно, при условии

Ql < Q < ^

(еК1( ( 2- Q 1 ^ - еК1( 2- Q^

CI

p\\( Q) =

K2a eKi( Q 2- Q 1 )- ,

(18)

Рассмотрим ситуацию при Q = Q2 и вычислим константу Со1. При Q > Q2 имеем плотность вероятностей вида р2 (Q). При Q < Q2 могут быть процессы

Q(Г) с X = X’ и X = Яз. Поэтому, рассматривая интервал времени ДГ, получим

р2 ( °2 ) = (’ - X2ДГ)[ро1 ((?2 - 0ДГ) +

+ Р’1 ((2 - 0ДГ)] + °(ДГ).

Устремим ДГ— о, что приводит нас к

р2 ( Q2 ) = ро1 ( Q2 ) + р11 (Q2 ). Подстановка решений дает

(19)

(20)

C =

C ( eK (-Ql )-1) K2a eK1 (б2- Ql )- \

+ Co

aK,

■-1

eK0Q2

( 21)

OT

OT

Из последнего соотношения находим

X2a eкі(Є2_Qi)_ eKi(Qi_Qi)

X2 aeK (Q2 _Qi ) i Ï—_ il

L 0 J aXi

(22)

Окончательно вид для р01 (б) таков:

Р01 ( б) =

= с

X 2a _ i| eKi( Q 2 _ Q 1) e- Ko Q :

X2a eKi( Q 2_ Q 1 )_ 1

aXi

_ i

aXi

eK0 Q 2 _ eK0 Q

(23)

X2a i _ 0 _ eKi( Q 2 _ Q i ) , e~ K0 Q 2

X2a eKi( Q 2 _ Q i) i 0 e i 0

aXi _ i

aXi

ek0 Q 2 _ eK0 Q i

Окончательный результат имеет вид

Р01 ( б) = С

X2a _ i

eKi (Q 2_ Qi ) , e~K0Q 2

X2a eKi(Q 2_ Q i )_ i 0 e i

"_0_

aXi

aXi _ i

_eK0 Q 2 _ eK0Q

eKi(Q 2 Q i )_ eKi(Q 2 Q)

Pii ( Q ) = C e Xa ( \--------:

X2a eKi(Q 2_ Q i )_ i 0 e i

P2 ( Q) = с e- Ki( _ Q 2).

Константа C определяется из условия нормировки

Q i Qi

j Po (Q)dQ + j[Poi (Q) + Pii (Q)dQ + j Pi (Q)dQ = i-

- •» Qi Qi

Вычисляя входящие интегралы, получим 1

с

- +

X2a i 0 0 eKoQ2 L. eKi(Q2 Qi )eKoQi aXi kl

0 " X2 a eKi(Q2_Qi )

aXi _ i 0 e

aXi

_ i

- (i

Ki v

_—(i + e

K

Ki (Q2 _Qi ) _ eKi (Q2 _Qi Я

Рассмотрим область б < б1, плотность вероятностей процесса б(0 обозначим р0(б). Отметим, что

X = Х1 и 9 - аХ1 > 0, т.е. -—а—1 = к0 ; к0 > 0. Исаи

пользуя вывод уравнений (1)-(6), можно получить

Р0 ( б) = С еК0 б + Б0. (24)

Но при Дб—— - ш плотность вероятностей р0( б) должна стремиться к нулю. Это означает, что Б0 = 0. Для удобства представим р0( б) в виде

Р0 ( б) = С ек°( - б 1). (25)

Рассмотрим б = б1. Тогда

Р01 (б1) = ( - Х1Д?)Р0 (б 1 - 9Д^) + °(Д0.

После предельного перехода при устремлении Д — 0 получаем условие сшивания на границе б = бь р01(б1) = Ро(б1). Данное условие позволяет нам найти константу С0 :

Co = C

+ K. + л

Ki Ko

i _ eK0( 2_ Q i)

eKi (Q2 _Qi ) JL_ i"

aXi

_X2a i 0 eKoQ 2 _ eKiQ

0 aXi

eKi (Q 2 Q i )e- k0Q 2

X2a eKi(Q 2_ Q i) l Ï— _ il

L 0 J aXi

= i.

Можно попытаться найти численно С.

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Как и ранее,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0

X2a l 0 eK0Q2 _ eKiQ

Ko 0 aXi

i _ e

k0 (Q 2_ Q i

eKi (Q 2_ Q i )e_K0Q 2

X2a eKi(Q 2_ Q i ) i Г—_ il

L 0 J aXi

(26)

представляет собой вероятность того, что у компании будет «упущенная выгода», т.е. спрос покупателей остается неудовлетворенным.

Следующая характеристика - вероятность осуществления продаж, т.е. товар будет востребованным:

ш б2

П1 =| Р2 (бИб + | Р11 (бИб =

б 2 б1

X 2 a l 0 0 eKoQ2 — eKi ^Q2 _Qi )eKoQ aXi kl

" 0 " aXi _ i X2 a eKi (Q2 _Qi ) 0 e

aXi L L ( + eKi (2 Qi )_ eKi(Q2 Qi ))

X 2 aeKi (Q2 _ Qi ) 0 e aXi L

. (27)

Зная С, величины можно найти численно. Задавая величины (б1 - б2) и П0 и П1 из уравнений (26), (27), можно найти 9 и бь

ЛИТЕРАТУРА

1. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск.: Изд-во Том. ун-та, 1988.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика и информатика» 25 апреля 2003 г.

+

к

X

+

+

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.