CC BY
40
УДК 621.313.3
С.Ю. Логинов, асп., 89602271125, [email protected] (Россия, Псков, ПГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БЕСПОДШИПНИКОВОЙ ИНДУКТОРНОЙ МАШИНЫ
Обозначены преимущества бесподшипниковых машин. Построены аналитическая модель бесподшипниковой индукторной машины и модель методом конечных элементов. Определены зависимости радиальных сил от перемещений ротора и токов в обмотках двигателя, а также момента от угла поворота ротора.
Ключевые слова: бесподшипниковая индукторная машина, математическая модель, магнитная проводимость, радиальные силы, момент.
В настоящее время в некоторых специфических областях электропривода используются двигатели и генераторы с подвесом роторов в активных магнитных подшипниках (АМП) [1]. Магнитные силы притяжения, действующие на ротор со стороны электромагнитов, управляются с помощью электронной системы управления. Такая система, естественно, дороже обычных шарикоподшипников, однако она позволяет получить ряд неоспоримых преимуществ: практически неограниченный ресурс; снижение расходов на обслуживание; малый коэффициент трения; малая отдача теплоты в окружающую среду; возможность работы на высоких скоростях, в вакууме, при низких и высоких температурах, в условиях агрессивных сред, в сверхчистых технологиях; возможности создания контролируемых микроперемещений ротора в зазоре, системы активного гашения колебаний ротора; вращение ротора вокруг оси инерции (самоцентрирование ротора) и отсутствие вибраций вследствие дисбаланса; отсутствие шума и вибраций; контроль нагрузки на подшипники, положения ротора, дисбаланса и балансировки ротора. Данные преимущества позволяют использовать их во многих отраслях промышленности с достижением значительного экономического эффекта.
Развитием АМП является бесподшипниковая электрическая машина (БЭМ). Идея БЭМ состоит в том, чтобы объединить электродвигатель и АМП в одной машине. В этом случае в зазоре должно действовать такое электромагнитное поле, при взаимодействии которого с ротором возникали бы как вращающий момент, так и управляемые радиальные силы. Это позволяет уменьшить длину ротора, что главным образом сказывается на увеличении критических скоростей и расширении диапазона частот вращения, а также улучшении массово-габаритных показателей по сравнению с использованием АМП.
Существуют различные варианты исполнения БЭМ на основе электродвигателей различных типов: асинхронные двигатели, двигатели с постоянными магнитами, индукторные и другие, в которых нет механиче-
58
ского контакта между статором и ротором. Описание их конструкции изложено в [2]. Каждый тип двигателя имеет как свои преимущества, так и недостатки. К преимуществам индукторного двигателя можно отнести простоту в изготовлении (в отличие от двигателей с постоянными магнитами), температурнонезависимыми (в отличие от двигателей с постоянными магнитами, в которых меняется магнитная проводимость от температуры и асинхронных, в которых меняется электрическая проводимость ротора). Однако индукторные двигатели обычно обладают меньшим значением КПД по сравнению с двигателями на постоянных магнитах.
В Псковской Инженерной компании совместно с ОАО «Электропривод» (г. Киров) разработана бесподшипниковая индукторная машина (БПИМ) оригинальной конструкции.
Разрез данной бесподшипниковой индукторной машины представлен на рис. 1.
Рис. 1. Разрез бесподшипниковой индукторной машины
Обмотки привода располагаются в малых пазах статора. Все секции обмотки привода включаются последовательно, согласно или встречно, в зависимости от направления потоков возбуждения, так чтобы наводимые в них МДС складывались.
При смене полярности тока в обмотке привода, изменяется поле, создаваемое этой обмоткой, а, следовательно, и распределение МДС под зубцами, что приводит к созданию вращающего момента.
Статор БЭМ имеет 16 полюсов, ротор - 8 полюсов. Статор имеет 5 однофазных обмоток: обмотка привода «т» и обмотки подвеса х1, х2, у1, у2. Обмотку привода образуют 16 катушек привода с числом витков wm каждая и с одинаковым током т и МДС Гт = wmim .
Подвес ротора в направлении оси х осуществляют обмотки х1 и х2, в направлении оси у - обмотки у1 и у2. Каждая из этих обмоток образована двумя катушками, намотанными на пару соседних полюсов с ^^ витками. Токи в обмотках подвеса ¡х1, ¡х2, ¡у1, ¡у2 создают МДС = wsixl,
Fx2 - wsix2
Fy1 - wsiy1■.
Fy2 - wsiy2. МДС катушек одной обмотки
имеют противоположное направление. Зубцовая полярность этих МДС: N-N-N-N-5-5-5-5-....
Для всестороннего изучения и исследования данной машины необходимо получить для нее адекватную математическую модель.
Связь потокосцеплений обмотки привода Чт и обмоток подвеса
¥Х1, Чх2, Ту!, Чу2 с токами в обмотках привода ¡т и подвеса ¡х1, ¡х2, ¡у1, ¡у 2 выражается через матрицу индуктивностей Ь:
f y ^ T m ( T ^m Mm, x1 Mm,x2 Mm, y1 Mm, y 2 ^ (i }
Yx1 Mm, x1 Lx1 Mx1,x2 Mx1,y1 Mx1, y 2 ix1
Yx 2 - Mm, x 2 Mx1,x2 Lx2 Mx2,y1 Mx2, y 2 х ix 2
Yy1 Mm, y1 Mx1,y1 Mx2,y1 Ly1 My1, y 2 iy1
ч Yy 2 , ч Mm, y 2 Mx1,y2 Mx2,y2 My1,y2 Ly 2 , ч ly 2 ,
(1)
или
Y- L х i.
T
где Y- (Ym, Yxi, Yx2, Yyi, Yy2) , i - (im, ixi, ix2, iy 1, iy2) - векторы-
столбцы потокосцеплений и токов соответственно.
Для получения математической модели требуется найти выражения для самоиндуктивностей Ьт, ЬХ1, ЬХ2, Ьу1, Ьу 2 и взаимоиндуктивностей
Мт,x1, Мт,х2, Мт, y1, Мт, у2, Мх1,х2, М
М,
Mm,yb Mm,y2
xl,yi, Mx1,y2 , Mx2,yb
M
x2,y2
y1, y 2-
Определение зависимостей индуктивности от положения ротора. Схема замещения магнитной цепи БПИМ приведена на рис. 2.
На рис. 2 Ф1,...,Ф16 - магнитные потоки через полюса, G1, ..., G16 - магнитные проводимости под полюсами.
Используем метод двух узлов, по которому магнитный поток через k-й полюс равен:
Ф к - (Fk -jab )Gk, (2)
1
16
где Fk - МДС k-й ветви, A; jab -— Z FkGk
G к-1
магнитный потенциал
между узлами «ш» и « Ь», A; О = Gl + G2 +... + О^ - суммарная проводимость всех зазоров, Гн.
Рис. 2. Схема замещения магнитной цепи БПИМ
Для определения самоиндуктивности обмотки привода Ьт найдем потоки Фк и примем ток ¡т = 1, а токи ¡Х1 = ¡х2 = ¡у1 = ¡у2 = 0.
Тогда собственная индуктивность обмотки привода вычисляется
как
Ьт = -™тФ1 + ™тФ2 - ™тФ3 + ^Ф4 + ™тФ5 - ™тФ6 + ™тФ7 - ™тФ8 -
- ^тФ9 + ™тФ10 - ^тФ11 + ™тФ12 + ^тФ13 - ^тФ14 + ^тФ15 - ^тФ16. (3) Определив потоки по (2) и подставив их в (3) получим:
Ь
4w
т
т
О
(О1 + О3 + О5 + О7 + О9 + О11 + О13 + О15) х
х (О2 + О4 + О6 + О8 + О10 + О12 + О14 + О16). Аналогично определяются остальные индуктивности. Для определения индуктивностей необходимо знать магнитные проводимости зазоров при различных положениях ротора.
Расчет проводимостей воздушных путей потока можно выполнить по приближенным формулам, приведенным в [3].
тт - ^ 26,.. 2а.
Для двух перпендикулярных поверхностей О = ^0 —1п(1 +--),
р g
где а - ширина проводящего материала, м; Ь - длина, м; g - расстояние ме-
-7
жду поверхностями, м; ^0 = 4рх10 Гн/м - магнитная постоянная.
тт ~ ^ аЬ
Для двух параллельных поверхностей О = ^0 —.
g
Используя формулы, приведенные выше, получена зависимость магнитной проводимости от смещения ротора относительно статора О1( х) (рис. 3, а). Длина ротора £ =0,07 м, высота воздушного зазора g=0,0003 м, ширина зубца -п=0,006 м
Максимальная проводимость вычисляется по формуле
Lt 2L t
max =mo — + 2m^ln(1 +
g p g
минимальная проводимость - по формуле
2£ 2- 2£ t /2 £ От1д = 2т0 - 1п(1 + ^) + 2т0 —1п(1 + ) = 4т0 - (1п(5) + 1п(2)) — -п / 2 - -п / 2 —
Зависимость О(ф) весьма близка к косинусоиде:
G(j):
^J-m ax +
'max
min
G
max
- G
min
cos(8j).
(4)
2 2
Для оценки полученных результатов было проведено моделирование проводимости методом конечных элементов в программной среде БЕММ (рис. 3, б).
а
б
Рис. 3. Зависимости магнитной проводимости от смещения ротора
Как видим, результаты расчетов различными методами весьма схожи. Для дальнейших расчетов аппроксимируем зависимость G(j) косинусоидой (4).
Примем данную аппроксимацию к описанию проводимостей всех 16 полюсов. Учитывая, что зависимость величины зазора от углового положения и смещения ротора по осям х и у имеет вид [2]: g = go - х cos f - y sin f, получим следующее выражение для максимальной проводимости k-го зубца статора:
О
тах
= т о
а
п
и
+2то—1п р
gо - X соб
1 +
(2к - 1)р 16
■у Б1П
(2к - 1)р 16
+
1п
gо - X соб
(2к - 1)р 16
У Б1П
(2к - 1)р 16
/у
Учитывая аппроксимацию зависимости проводимость от угла поворота ротора косинусоидой, можно записать функцию Ок = / (х, у, к, ф):
Ок(X У, к, Ф)
= Отах (х,у,к ) + От1п + Отах( х,у,к) О,
тт
соб(8ф) .
2 2
Таким образом, определены зависимости собственных и взаимных индуктивностей всех обмоток от радиального смещения и угла поворота ротора.
Определение момента вращающения и радиальных сил. Момент вращения и радиальные силы БПИМ можно найти как частные производные от магнитной энергии по углу поворота ротора и радиальным смещениям.
Магнитная энергия находится по соотношению Ж = 12 .
Учитывая то, что БПИМ представляет собой систему из пяти токовых контуров и используя выражение (1), можно записать
(5)
+
ж = У2 {Ти.
Раскрывая выражение (5) получим:
1 2 1 2 1 2 12 1 2
Ж = ^ ит1ш + ^ их1х1 + ^ их 2*х 2 + 2 иу1*у1 + 2 иУ 2 ¿у 2 +
+ Мт, х1^т^х1 + Мт, х 2^x2 + Мт, у1Ш*у1 + Мт, у 2*т*у 2 + + Мх1, х 2г'х1х2 + Мх1, у1х1у1 + Мх1, у 21х11у 2 + Мх2, у1х 2гу1
+ Мх2,у 21х21у 2 + Му1,у 2*у1*у 2. (6)
Здесь первая строка описывает магнитную энергию самоиндуктивностей, вторая строка - энергию взаимных индуктивностей обмотки привода и обмоток подвеса, третья и четвертая строки - энергию взаимных индуктивностей между обмотками подвеса. Подставляя полученные выражения ин-дуктивностей в (6), определяем магнитную энергию системы
Ж = /(х, у, ф, ш, х, ¿х2, ¿у 1, ¿у2 ) .
Вращающий момент определяется как частная производная магнитной энергии Ж по углу вращения ф :
,, ЭТ
M = . (7)
Эф
Fx = —, Fv = —. (8)
Радиальные силы Fx и Fy определяются как частные производные магнитной энергии по х и у соответственно:
ЭТ F =ЭТ
Эх ' у Эу
В ходе работы была построена модель электромагнитной системы БПИМ в среде моделирования методом конечных элементов БЕММ.
В ходе ее исследований были получены следующие зависимости:
а) силы по оси х_ от смещения ротора по оси х Fx _ х _ / = / (х _);
б) силы по оси х от тока в 1-й обмотке подвеса Fx _ ¡ _ х1_ / = / (¡' _ х1_);
в) силы по оси у от тока в 1-й обмотке подвеса Fv _ ¡ _ х1_ / = / (/ _ х1_);
г) момента от угла поворота ротора М _ ф _ / = / (ф _).
Для оценки адекватностей моделей построим данные зависимости используя данные модели, рассчитанные методом конечных элементов, и модели, рассчитанные аналитически по (7) и (8) в среде МаШсаё: Fx _ х _ - = / (х _), Fx _ ¡ _ х1_ - = / ^ _ х1_), Fv _ i _ х1_ - = / ^ _ х1_), М _ ф _ - = / (ф _). На рис. 4 показаны эти зависимости.
Из рис. 4, а видно, что на незначительных перемещениях ротора зависимость имеет практически линейный характер, причем результаты моделирования аналитическим методом и в среде БЕММ практически полностью совпадают.
Из рис. 4 видно, что, результаты моделирования различными ието-дами качественно совпадают. Завышенные результаты силы в аналитической модели объясняются пренебрежением индуктивностями рассеяния.
Из рис. 4, г следует, что полученные моменты также практически полностью совпадают.
Данная модель позволяет получить зависимости радиальных сил и момента от токов в обмотках и положения ротора. Вычисляя командные силы в зависимости от положения ротора (например, по закону ПИД - регулирования) и зная зависимости сил от токов, можно рассчитать командные токи средствами вычислительной техники (в качестве вычислительного устройства может служить контроллер). В усилителях мощности формируются токи, необходимые для удержания ротора в центральном положении.
Рис. 4. Виды зависимостей: а - зависимости силы по оси х от смешения ротора по оси х; б - зависимости силы по оси х от тока в 1-й обмотке подвеса; в - зависимости силы по оси у от тока в 1-й обмотке подвеса; г - зависимости момента от угла поворота ротора
Таким образом, управление подвесом ротора в БПИМ осуществляется аналогично подвесу в АМП.
Список литературы
1. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники: теория, расчет, применение. СПб.: Политехника, 2003. 206 с.
2. Magnetic Bearings and Bearingsless Drives / A.Chiba [et al.]. ELSEVIER, 2005. 381 p.
3. Постоянные магниты: справочник / А.Б. Альтман [и др.]; под ред. Ю.М. Пятина. М: Энергия, 1980. 488 с.
S.Y. Loginov
MA THEMATICAL MODEL OF THE BEARINGLESS RELUCTANCEMOTOR The advantages of bearingless motors are pointed out. An analytical model of the bearingless reluctance motor and a finite element model were created. The dependences of radial forces from rotor shifts and currents in the motor winding are shown as well as moment from rotation angle.
Key words: a bearingless reluctance motor, a mathematical model, a magnetic conductance, a radial force, a moment.
Получено 09.11.11
УДК 681.51
А.В. Ладонкин, асп., 89105555847, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
М.Н. Машнин, асп., 89190816199, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
СИСТЕМА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КОРРЕКЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ АВТОПИЛОТА БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Рассмотрена система автоматизированного проектирования коэффициентов автопилота по каналам управления, исходя из требований к переходному процессу.
Ключевые слова: автопилот, беспилотный летательный аппарат, коэффициенты автопилота, воздушная скорость, программное обеспечение.
Неотъемлемой частью беспилотного летательного аппарата (БПЛА) является система автоматического управления (САУ), задачей которой является управление БПЛА в воздушном пространстве (стабилизация углового положения, полет по заданной траектории и т.д.) [1].
В процессе проектирования САУ встает задача определения коэффициентов автопилота, при вычислении которых стараются упростить задачу и принять ряд допущений: САУ линейная система, скорость полета постоянна (крейсерская) и т.д. Это вносит неточности при переходе к реальной нелинейной САУ.
Во время полета БПЛА появляется необходимость изменять путевую скорость на конкретных участках либо, наоборот, выдерживать ее по-
