Математическая модель аналога плоской электромагнитной волны, используемого для нелинейно-дифракционного способа фазирования в конформных антенных решетках Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.677

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛОГА ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМОГО ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИФРАКЦИОННОГО СПОСОБА ФАЗИРОВАНИЯ

В КОНФОРМНЫХ АНТЕННЫХ РЕШЕТКАХ

А.А. Неудакин, К.А. Малугин

Проведены исследования поведения фаз биений двух сферических электромагнитных волн (ЭМВ) в пространстве, которые предполагается использовать в качестве аналога плоской ЭМВ при нелинейно-дифракционном способе фазирования (НДСФ) в конформных антенных решетках. Определены критерии соответствия аналога параметрам плоской ЭМВ и выведена его математическая модель

Ключевые слова: диаграмма направленности, конформная антенная решетка, нелинейнодифракционный способ фазирования

Введение. В конце ХХ - начале XXI в. все больше внимания стало уделяться использованию в качестве антенных систем на борту летательных аппаратов (ЛА) конформных антенных решеток (КАР), представляющих собой совокупность высокочастотных датчиков, встроенных в обшивку ЛА [1]. Причиной тому частично явились планы и программы ведущих стран в авиастроении по созданию перспективного авиационного разведывательно -ударного комплекса (РУК) 5-го поколения. Тактико

- технические требования, предъявляемые к РУК 5го поколения, в разных государствах видятся по своему, но общим мнением считается, что ключевым звеном будет являться его бортовой радиоэлектронный комплекс, оснащенный активной фазированной антенной решеткой (АФАР).

Достаточно широко изученные линейные и плоские фазированные антенные решетки (ФАР) имеют ряд существенных недостатков (ограниченный сектор сканирования, высокая углочастотная чувствительность луча, сужающая рабочую полосу пропускания антенны с ростом ее направленности действия, высокий уровень боковых лепестков и другие), устранение которых возможно за счет размещения излучателей на соответствующей криволинейной поверхности [2]. Однако, несмотря на большое количество достоинств КАР [2], существует и целый ряд проблем, стоящих перед разработчиком, как на этапе теоретических исследований, так и в плане практической реализации, одной из которых является разработка системы управления лучом (СУЛ).

Традиционные СУЛ, используемые в плоских ФАР, достаточно проблематично реализовать в КАР, в силу их специфики [3]. Одним из вариантов решения задачи управления амплитудно-фазовым распределением предлагается использование нели-нейно-дифракционого способа фазирования. Неудакин Александр Александрович - ВАИУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732) 366467 Малугин Константин Анатольевич - ВАИУ, адъюнкт, тел. (4732) 366467

Цель работы - определить критерии соответствия вспомогательного излучения (аналога) при НДСФ параметрам плоской ЭМВ, на основании полученных критериев вывести математическую модель аналога плоской ЭМВ.

Использование плоской волны для фазирования в КАР. Рассмотрим КАР, излучатели которой расположены на некоторой поверхности. При этом предполагается, что взаимное влияние между излучателями отсутствует. Известно, что в дальней зоне комплексная ДН по полю АР с произвольной геометрией излучающего раскрыва описывается соотношением (без учета поляризационных свойств излучателей) [4, 5]:

Е = ^А^г (©,д>,t);[ [)-(®)], (1) г=1

где: где N - число излучателей; Аг - амплитуда сигнала возбуждения г-го излучателя; 0, ф - координаты сферической системы координат; t - время; Ег(0,ф,О - амплитудная ДН г-го излучателя; ^г(0,Ф,О - фаза парциальной волны в дальней зоне, определяемая положением излучателя, без учета фазового набега на расстоянии г до дальней зоны, одинакового для всех излучателей ц г (©,^,t)= к • гг ()= к • г0 • гг (), где Г;(0 -координатный вектор г-го излучателя, характеризующий положение излучателя в пространстве относительно начала произвольной системы координат; г0 - единичный вектор для направления 0, ф; к

- волновой вектор; к=2ПХ - волновое число); й?г(0о,фо,О - управляемый фазовый сдвиг, определяемый сигналом возбуждения, для заданных углов сканирования 00, ф0.

Основной задачей сканирования (управления лучом или фазирования) является обеспечение максимума ДН в заданном направлении, характеризуемое волновым вектором к0, |Е(в0,ф0)\ = шах. Согласно соотношению (1) это можно обеспечить

(при определенном амплитудном распределении), если:

Vi (© ^ t )= dt (© 0,ф0, t) (2)

При этом:

di (© 0 , ^0 ,t) = k о ri (t) = k r о ri (t), (3)

0

где r0 - направляющий вектор для заданных углов

©о, ф0, и мгновенное значение сигнала возбуждения (например, напряжения) для i-го излучателя при нулевом значении начальной фазы будет иметь вид: ui (ri ,t)= Ai C0s (nt - k 0ri (t)) , (4)

где Q - рабочая частота КАР.

Управляемый фазовый сдвиг d,(©0,^0,t)

определяется однозначно, если положение всех излучателей КАР задано и стационарно. Любое изменение взаимного положения излучателей при неизменной управляемой фазе в сигнале ui(ri,t) ведет к искажению ДН, при этом искажения ДН уже существенны при отклонениях излучателей на расстояние более 1/4 длины волны [6]. Чтобы формировать требуемые управляемые фазовые сдвиги необходимо знать координаты расположения излучателей.

Рассмотрим плоскую ЭМВ с длиной волны Л (частотой Q), распространяющуюся в заданном направлении г0 и питающую излучатели. Мгновенное значение напряженности электрического поля в текущей точке r для данной волны запишется в следующем виде:

e(r,t)= Em cos (Qt - k0r), (5)

где Em - амплитуда плоской ЭМВ. В точке расположения i-го излучателя выражение (5) примет вид:

e (ri , t )= E mi C0S (Q t - k 0 ri (t )X) . (6)

Сравнивая соотношения (4) и (6), можно отметить, что требуемые управляемые фазы в излучателях КАР d,(©0,y0,t) (3) равны текущим пространственным фазам плоской ЭМВ, распространяющейся в заданном направлении r0 (в направлении луча КАР). Следовательно, управлять лучом КАР возможно внешней плоской ЭМВ, направление распространения которой изменяется.

Использование такого способа управления лучом целесообразно использовать в КАР, у которых излучающий раскрыв имеет сложную геометрическую форму и излучатели подвержены смещениям.

Изменение ДН АР при смещении излучателей объясняется тем, что фаза парциальной волны, соответствующей переместившемуся излучателю, приобретает в дальней зоне дополнительный фазовый сдвиг Д y/i, определяемый изменением расстояния от излучателя до точки наблюдения. Например, для произвольной точки наблюдения, перемещение излучателя на величину Д1 в направлении луча приводит к изменению фазы парциальной волны на величину Д^- = кД1 cos у , где у - угол между лучом АР и направлением на точку наблюдения.

При использовании внешней плоской ЭМВ для управления лучом фазовращатели не используются, при этом компенсация фазовых ошибок Дцг происходит автоматически без измерения координат излучателей. Для точек наблюдения, лежащих на оси луча (у =0), происходит полная компенсация фазовых ошибок. В других направлениях компенсация также имеет место, однако по мере удаления от оси компенсация становится все менее точно.

Известно, что плоская ЭМВ это идеализация, которая может быть использована на практике в случае рассмотрения относительно небольшого участка волновой поверхности (обычно сферической), находящегося на значительном расстоянии от излучателя. Например, исходя из условия для границы дальней зоны, квадратный участок сферической волновой поверхности со стороной 40Л можно считать локально плоским при максимальной фазовой погрешности фронта п / 8, если точечный источник находится на расстоянии Лд>2404Л (например, Лд>600м при Л=3см).

Плоскую ЭМВ можно образовать и на более близких расстояниях от источника возбуждения [7]. В этом случае используются специальные антенны, например коллиматоры, формирующие в значительном объеме ближней зоны излучения поле близкое к плоской ЭМВ. Коллиматоры обычно используются для антенных полигонов, при этом их размеры превышают испытуемые антенны в 3...4 раза. Размер коллиматора можно выполнить и меньших размеров, незначительно превышающих испытуемую антенну, если обеспечить в апертуре коллиматора специальное распределение поля [8].

Отмеченные способы образования плоской ЭМВ, которую предлагается использовать для управления лучом КАР, очевидно, трудно реализовать в бортовой КАР. Поэтому следует предложить для фазирования такое вспомогательное излучение, которое выполняет такие же функции при фазировании в КАР, как и плоская ЭМВ, но при этом процесс формирования вспомогательного излучения должен быть реально выполним. Такое вспомогательное излучение в дальнейшем будем называть аналогом плоской ЭМВ (или аналогом).

Требования к аналогу плоской волны. Под аналогом плоской ЭМВ понимается вспомогательное излучение, у которого какой-либо параметр имеет такую же зависимость от пространственных координат и времени, как поле плоской ЭМВ, распространяющейся в заданном направлении [9]. Определим требования к аналогу, которые также будем считать критериями соответствия вспомогательного излучения плоской ЭМВ.

1. При облучении (возбуждении) АР аналогом какой-либо параметр его должен изменяться в пространстве и во времени согласно выражению:

Я = Яш -£(кан,г)], (7)

где ^ - параметр вспомогательного излучения, рассматриваемого в качестве аналога, Яш - амплитуда

параметра, £(к ан ,г) - фаза определяемая волновым вектором аналога к ан и положением рассматриваемой точки в пространстве г .

2. Поверхности равных фаз параметра 5 в пространстве должны быть плоскими и перпендикулярными заданному направлению г00 . Отклонения реальной формы поверхностей равных фаз параметра 5 от плоской допустимы, но не более, чем на доли длины волны. Это условие можно представить в виде:

|к 0 г-#(к ан , г) - С <8, (8)

где: к 0 г - фаза в точке пространства, характеризующейся вектором г, для идеально плоской волны (выражение (5)); 8 - допустимая фазовая погрешность; С - постоянная величина, определяющаяся выбором начала отсчета сравниваемых фаз.

3. Скорость перемещения V поверхностей равных фаз параметра 5 должна совпадать или быть близкой к скорости света, V = О /|к ан | = с.

4. Для того, чтобы можно было осуществлять сканирование АР, аналог должен быть легко управляемым по направлению перемещения поверхностей равных фаз параметра 5.

Рассматривая известные положения теории колебаний и волновых процессов в случае суммирования гармонических волн [10], а также связанные с этим научные разработки [11], можно прийти к выводу, что сумма (суперпозиция) двух монохроматических ЭМВ с близкими частотами может удовлетворять требования, предъявляемым к аналогу.

Использование двух сферических ЭМВ для формирования аналога плоской волны. Рассмотрим суперпозицию двух сферических ЭМВ с разнесенными центрами кривизны, мгновенное значение электрического поля которых в пространстве описывается выражениями:

е1 = Ешгсоя^ - к1г1), (9)

е2 = Еш2с0я(а - k2r2), (10)

где Еш1, Еш2 - амплитуды ЭМВ; а>\, а2 - круговые частоты волн (а- ®2=П >0; ®1>>П, а>>^); кь к2 - волновые числа для сферических волн (к1=2п/Л1, к2=2л/12); г1, г2 - расстояния от точечных источников до точки суперпозиции.

Известно, что при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами возникают биения, обычно характеризуемые интенсивностью суммарного колебания [10]

I = (е1 + е2)2 = е12 + 2е1е2 + , где черта означает

усреднение по времени т, определяемое инерционностью приемника, регистрирующего суммарное колебание. Усредняя слагаемые последнего соотношения, при условиях т{{ 2п/(а1 -а2) и

2п/а1 <т<2п/а2, можно поучить следующее

соотношение для переменной составляющей интенсивности суммарного колебания:

1 = (Еш1Еш2)с05[О - (к1Л1 - к2Л2)] . (11)

Согласно (11), при суперпозиции двух гармонических сферических ЭМВ, в пространстве биения имеют место в каждой точке, причем частота биений во всех точках пространства одинакова. Выражение (11) аналогично (7) при Бш = Еш1Еш2 и ^(кан, г) = к1г1 - к2г2, что соответствует первому требованию к аналогу, т.е. в качестве параметра 5 для суммарного колебания (вспомогательного излучения) рассматривается переменная составляющая инте нсивности I .

Фаза биений в каждой точке пространства в общем случае своя. Фазовое распределение биений, согласно (11), зависит от взаимного положения центров кривизны сферических волн. Чтобы определить поведение фазы биений в пространстве, достаточно рассмотреть полную фазу в выражении (11), приравняв ее, например, к 2пп, где п=0,1,2,.... В результате получим:

О - (к1г1 - к2г2) = 2пп . (12)

Уравнение (12) описывает в пространстве и во времени поверхности в трехмерном пространстве или линии в двумерном пространстве, на которых амплитуда биений максимальна (при этом учитывается, что г1 и г2 больше расстояния между точечными источниками р). Если переменную г2 заменить выражением г2 = ^г12 + р2 - 2г-!рсо5а (на

основании теоремы косинусов), то это уравнение можно представить в полярной системе координат для произвольной плоскости (рис. 1), включающей точечные источники, в следующем виде:

(1 - Ь2)г12 + (2аЬ - 2рсояа) + (р2 - а2) = 0, (13) где г и а - текущие координаты полярной системы координат, а = (2пп + О) / к2, Ь = к1 / к2.

Рис. 1. Пояснительный рисунок к определению характера изменения фазы биений в пространстве

Выражение (13) является уравнением второго порядка, решение которого имеет вид:

Л =

аЬ - р соя а ^2

2 2-1 р - а аЬ -рсояа

. (14)

1 - ь 2 ; 1 - ь 2 1 - ь 2

Последнее соотношение описывает в плоскости, при изменении п, семейство кривых, характе-

ризующих распределение фазы биений. Для построения кривых необходимо ввести ряд условий и допущений (что для качественной оценки оправдано): время t фиксировано и такое, что а = 2пп /к2; Ь=1,1 (исходя из а1 ^®2); Х2 / Л = Ь -1 = 0,1 (получено из соотношения 1/ Л = 1/ Я1 -1/ Л,2); р =10Л,2 (исходя из условия относительно меньшего взаимного влияния точечных источников -р))Х1(Х2)). Линии одинаковых фаз биений, показанных на рис. 2, получены для произвольной полной фазы (12), следовательно, при других значениях полной фазы характер кривых будет аналогичным (на рисунке также показаны точечные источники и прямоугольная система координат ХОТ).

Рис. 2. График распределения линий одинаковых фаз биений

В динамике (при изменении 0 каждая отдельная линия будет перемещаться относительно положения точечных источников, что свидетельствует о волнообразном поведении биений в пространстве.

Линии одинаковых фаз представляют собой фронты бегущей волны интенсивности с частотой О (длиной волны Л). В общем случае бегущая волна интенсивности, как видно из рис. 2, неплоская. Однако, в ограниченной области, отмеченной прямоугольником на рис. 2, фронт становится близким к плоскому. Эта область формируется на относительно небольшом расстоянии Я от точечных источников (в сравнении с расстоянием до дальней зоны).

Исходя из условия (8), рассмотрим вид (форму) области, в которой формируется бегущая волна интенсивности с фронтом, незначительно отличающимся от плоского и оценим ее размеры и удаление от излучателей. Условие (8) будем рассматривать для случая распространения биений двух идеально плоских волн в направлении оси, проходящей через излучатели, в сторону источника с

меньшей частотой т2 (рис. 1). В этом случае неравенство (8) примет вид:

|(kj - к2)r cos а - (k1r1 - к2 r2) - C| < 8 , (15)

где (kj - к 2 )rj cos а = (k j - к 2 )r = к 0 r — текущая фаза параметра I для идеально плоских ЭМВ; kjrj - к2r2 = ^(kан, r) — текущая фаза параметра I для излучателей сферических волн. Постоянную величину С можно определить при начальных условиях а= 0 и 8= 0, C = -к2р .

Вид области получим в полярной системе координат для произвольной плоскости, проходящей через излучатели, при допустимой фазовой погрешности |<5| < п/8, для угловых координат | а | < п/2, р=Л (рис. 1). Неравенство (15) примет вид:

(к1 - к 2 )r1 cos а- (к1г1 -

к2tJr12 + р2 -2rpcosa) + к2р

где r2 =-\jr12 + р2 - 2r1 р cos а . Решая полученное

неравенство относительно r /Л, получим искомую область, показанную на рис. 3, где заштрихованным участком отмечена область относительно двух излучателей сферических волн с частотой излучения юь ю2, в которой формируется волна интенсивности с фронтом, незначительно отличающимся от плоского, в пределах которой погрешность фаз не превышает значения п/8.

На рис. 3 показаны линии нулевой фазовой погрешности L] и L2, на которых 8 = 0, при этом L2 близка к полуокружности с радиусом R, проведенным из точки О. Как видно из рисунка, имеется достаточно большая по размерам центральная область, центр которой характеризуется точкой пересечения линий L] и L2.

Рис. 3. Область формирования аналога плоской ЭМВ

Используя левую часть соотношения (16), которая описывает линии равных фаз, можно найти (путем определения точки экстремума данной функции) выражение для расстояния Я, характеризующего центр большой зоны:

(16)

п

8

Я = рЛ / ^. (17)

Сравним Я с расстоянием до дальней зоны, которое определяется известным соотношением

Я Д

2 Д/

Л

где Д — максимальный размер пло-

щадки, относительно которой рассматривается дальняя зона при длине волны Л. Будем считать,

что Яд =

2 Р‘ Л

■. В центральной области, где |<5| <

п/8 (рис. 3), на расстоянии Я=10Л можно свободно разместить перпендикулярно оси 02 пластину размером Д=10Л, расстояние Яд относительно которой составит 200Л.

Следовательно, фронт волны, излучаемой точечным источником, можно считать плоским в пределах пластины размером 10Л только на расстоянии удаления от источника Яд > 200Л (в нашем случае это расстояние Я > 10Л).

Таким образом, на относительно небольшом расстоянии от точечных источников (Я << Яд), определяемым выражением (17), в достаточно большой ограниченной области формируется бегущая волна интенсивности, фронт которой близок к плоскому, что удовлетворяет второму требованию для аналога.

Для проверки соответствия третьему требованию аналога рассмотрим скорость перемещения поверхностей равных фаз бегущей волны интенсивности, рассматриваемой в пределах центральной области (рис. 3).

С целью определения скорости перемещения поверхностей равных фаз волны интенсивности введем локально плоские волны, рассматриваемые для произвольной точки суперпозиции, с векторами к 1 = к1г10 и к 2 = к2г20. Тогда скорость перемещения волны интенсивности в каждой точке можно определить как и при суперпозиции плоских ЭМВ

. (1 -а2 )

|к1 - к21

к2

выражением:

или учитывая, что

а>л =

кі

і = — и (й2 =

_2_

С

(к1 к2 |к1 - к 2

(18)

На прямой, проходящей через точки положений излучателей (рис. 3), скорость V равна скорости света с, так как направление векторов г10 и г° или к 1 и к 2 на этой прямой совпадают, при этом

(к1 - к2) = |к1 - кг\.

Очевидно, что в области, отмеченной на рис. 3, исключая прямую, проходящую через излучатели, скорость V будет отлична от скорости света, но близка к ней, т. к. угол между направлениями г10 и г20 для этой области относительно небольшой и к1 = к2. Следовательно, излучение, представляю-

ще е с о бо й су перпо зицию двух сферических ЭМВ, соответствует третьему требованию к аналогу.

Направление перемещения фронта бегущей волны интенсивности в каждой точке определяется вектором (к 1 - к 2), который для центральной области, показанной на рис. 3, приблизительно совпадает с направлением оси 02, т.е. можно записать (к1 - к 2 ) = кан. Это направление, как показали проведенные исследования, определяется взаимным положением точечных излучателей. Фронт волны интенсивности перпендикулярен прямой, проходящей через излучатели, и перемещается в направлении от излучателя с большей частотой к излучателю с меньшей частотой, следовательно, для изменения направления вектора к ан достаточно изменить взаимное положение центров кривизны сферических ЭМВ при р=сош1 так, чтобы прямая, проходящая через эти центры, совпадала с заданным направлением г0 . Задача такого изменения центров кривизны относительно проста, ее решение будет определяться конструктивными особенностями точечных источников. Следовательно, рассматриваемое излучение соответствует четвертому требованию к аналогу.

Вывод. Таким образом, результаты исследований поведения биений двух сферических ЭМВ в точках пространства позволяют сделать следующие выводы. Излучение, состоящее из суммируемых сферических ЭМВ, при определенных условиях отвечает всем требованиям для ВЧ аналога плоской ЭМВ, вследствие чего, может быть использовано для фазирования КАР, при этом математическая модель аналога для произвольной системы координат определяется следующей совокупностью соотношений:

е\ = Еш1 соя(®^ - к^); е2 = Еш2С05^ - к2Г2); а1 - а2 = О > 0 , а1 >> О , а2 >> О ; т > 2 п/а 1 ,т > 2 п/а 1 ,т << 2 п/(® 1 - а 2 );

л > р, Л2 > р;

~ = (Еш1 Eш2)c0S[Оt - (к1Л1 - к2Л2)] ;

|к0г - (к!л - к2Г2) - С| < 8 ;

Я =•

ркі = р®і = рЛ ;

кі — к 2 ^ ^і

V = С; (к 1 — к 2 ) = к ан.

Результаты исследований достаточно точно описывают вспомогательное излучение при НДСФ, однако, имеют несколько приближенный характер в силу идеализированных начальных условий (точечный источник сферических волн). Несмотря на указанное приближение, данная модель считается вполне пригодной для проектирования СУЛ КАР с НДСФ.

V = С

Литература

1. Чабанов В.А. Технология разработки конформных антенн // Авиационные системы. Научно - техническая информация. №6. - М.: Научно-информационный центр ГосНИИАС, 2007. - С. 19-24.

2. Воскресенский Д.И. Выпуклые сканирующие антенны. - М.: Сов. радио,1978. - 304 с.

3. Малугин КА. Актуальность использования конформных антенных решеток для бортовых радиотехнических систем /

КА. Малугин, АА Неудакин, АС. Артюх // Инновации в авиационных комплексах и системах военного назначения: сб. стат. Всероссийской НПК, часть 11 - Воронеж: ВАИУ. - 2009. - с. 122

- 126.

4. Бахрах Л.Д., Кременецкий С.Д. Синтез излучающих систем. Теория и методы расчета. - М.: Сов. радио, 1974. -154 с.

5. Фельд Я.Н., Бененсон Л.С. Антенны сантиметровых и дециметровых волн. Часть I. - М.: ВВИА им. НЕ. Жуковского,

1955. - 186 с.

Военный авиационный инженерный университет (г. Воронеж)

MATHEMATICAL MODEL OF THE ELECTROMAGNETIC PLANE WAVE ANALOGY USED IN CONFORMAL ARRAY WITH NON - LINEAR DIFFRACTION PHASING

A.A. Neudakin, K.A.Malugin

It’s researched phases conduct of the beat two spherical waves in space, which are supposed to use as an analogy of electromagnetic plane wave in conformal array with non - linear diffraction phasing. It’s determined the criterions of conformity analogy to parameters plane wave and has been received its mathematical model

6. Молочков ЮБ. Авиационные антенно - фидерные устройства. - М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1983. - 288 с.

7. Куммер ВХ, Джиллепси Э. С.Антенные измерения // ТИИЭР. - 1978. - Т.66, №4. - с. 143-153.

8. Беляев Б.Г. Синтез апертуры плосковолнового устройства компактного полигона. // Антенны № 35 - М.: Радио и связь, 1988 - с. 25-34.

9. Неудакин А.А. Принцип фазирования нежесткой активной ФАР. / АА. Неудакин, С.Н. Степаненко, В А. Хорошулин // Учебно - методические материалы - М ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1993. - с. 12 - 18.

10. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. - М.: Госиздат, 1950. -178 с.

11. Бахрах Л Д. Современное состояние и перспективы развития голографии. / под. ред. Л.Д. Бахраха, Г.Х. Фридмана -Л.: Наука, 1974. - с. 5 -13.

Key words: pattern, conformal array antenna, non - linear diffraction phasing