Математическая модель анализа дисперсного состава сбросных водных потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пригожий И.Р., Стенгерс И. Порядок из хаоса. - М.: Прогресс. 1986.

2. Хакен Г. Синергетика . - М.: Мир, 1980.

3. Математические модели в экологии и генетике. - М.: Наука, 1981. -176с.

4. Мопсеев Н.Н. Модели экологии и эволюции. - М.: Знание, 1983. № 10

(Сер.Математика и кибернетика). - 62 с.

5. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. - М.: Знание, 1990. № 5 (Сер.Математика и кибернетика) . - 42 с.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА ДИСПЕРСНОГО СОСТАВА СБРОСНЫХ ВОДНЫХ ПОТОКОВ

АЛ. Пуресев, В. А. Лепихова

При оценке степени вредности сбросных водных потоков важное гигиеническое значение имеет мониторинг качественного состава и количественного содержания химических и биологических примесей сбросных потоков производственных и жилищно-коммунальных предприятий. Разработка методик и средств контроля материальных примесей в сбросных потоках по спектрограммам дает возможность для успешного решения существующих экологических проблем. Существующие методы контроля гранулометрического состава водных систем характеризуются большими затратами времени и трудоемкостью, они не позволяют оценить эффективность работы очистных сооружений, контролировать очистку, совершенствовать технологию. Существующие методы контроля гранулометрического состава водных систем характеризуются большими затратами времени и трудоемкостью, они не позволяют создать систему оперативного и непрерывного измерения и слежения в реальном .

Развитие современных технических и вычислительных средств позволяет решать вопрос о разработке новых методик и средств дисперсного анализа по созданию систем непрерывного контроля за сбросными потоками. Теоретические и экспериментальные исследования с использованием методов математического моделирования позволяют избавиться от взаимной зависимости некоторых параметров, оценить погрешность измерения и провести диагностику дисперсного состава движущегося сбросного водяного потока.

Одним из перспективных направлений является определение дисперсного состава примесей в водном потоке по сигналам акустической эмиссии с выделением подспектров Фурье [1], содержащих информацию о пофракционной концентрации.

Акустический сигнал (АС) от взвешенных частиц в сбросном водном потоке, как всякий составной звуковой сигнал, состоит из периодических компонент. Разложение АС на элементарные составляющие, при анализе дисперсного состава взвешенных частиц в химических и биохимических примесях сбросных потоков является

. -

ракционных концентраций интервалов дисперсности примесей и отображать диагностическую роль этих интервалов в формировании акустического сигнала. Этим условиям удовлетворяет разложение АС на гармонические ортогональные составляющие, , -

.

Академиком В.А. Котельниковым была доказана теорема, утверждающая, что всякий сигнал может быть представлен дискретным набором его отсчетов через равные промежутки времени без всякой потери информации, при условии, что частота отсчетов не менее чем вдвое превышает максимальную частоту анализируемого

. -

мощью интегральных преобразований Фурье - Лапласа, по полиномам Чебышева, Бесселя и т.д. [2].

Для анализа сбросных потоков с точки зрения доступности и практического приложения рационально разлагать сигналы АЭ на компоненты с помощью интегрального преобразования Лапласа. С математической точки зрения преобразование Фурье является частным случаем интегрального преобразования Лапласа. Разложение АС на компоненты с помощью интегрального преобразования Фурье - Лапласа [3] весьма перспективно в области анализа примесей в сбросных водных потоках.

При использовании математической модели определения пофракционных концентраций на основе интегрального преобразования Фурье - Лапласа требуемая точность аппроксимации случайного процесса пылепереноса достигается сохранением достаточного количества значимых тембровых гармоник в полученном экспериментально спектре Фурье. Так осуществляется переход от физических параметров потока к параметрам частотно-амплитудного энергетического спектра, полученного из временного ряда отсчетов, сигнала, дискретным быстрым преобразованием Фурье: -1 с

U t) = Z (Ck • cos2nfk • t + Sk • sin2nfk • t) + +

k=2

+ X (Ck • cos2nfk • t + Sk • sin2nfk • t),

k=1

где fk = k • f = k, k = —ro...— 3,- 2,-1,0,+1,+ 2,+ 3,...+ ro.

Трансформанты Фурье представляют собой математические абстракции, оперирующие с несуществующими физически отрицательными частотами на левой полуоси (- < t <0). Преобразование Лапласа, являясь обобщением преобразования

,

, .

обратное преобразование частотного спектра в порождающий его временной ряд чрезвычайно усложняется вследствие необходимости вычисления интеграла от комплексного переменного p = а + jot с бесконечны ми пределами.

Из приведенного сравнения (табл.1) видно, что аргументом прямого преобразования Лапласа является комплексная переменная p = а + j (соt), а в преобразовании Фурье содержится под интегралом чисто мнимая компонента “p”, равная

- jot .

Однако обратное преобразование Лапласа, в отличие от преобразования Фу, -лах, с обязательным условием, что все полюсы изображения U (p) в пространстве изображений остаются слева от контура интегрирования аналитической функции.

, -но, а потому выполняется только теоретическим интегрированием в виде формулы (в ) , в изображающем пространстве и пространстве оригиналов. В изображающем пространстве содержится информация о физическом смысле источников элементарных , -ции колебаний элементов измерительной системы, передаваемых цепочкой (частица

- - - ). -, -

ния гармоник частотных подспектров, что приводит к двум практически равноценным математическим моделям анализа дисперсного состава примесей: полинома Фурье в виде энергетического спектра (первая модель) или амплитудно-ф^ового спек-( ). -

ального сигнала вследствие диссипации энергии сигнала во времени перейдут в следующие математические выражения:

I модель: Энергетический спектр

C т

U t) = ~Т + X t • cos2nfk • t + Sk • sw2nfk ■ t)

2 k=1

k = 1,2,3...# (N - номер гармоник); T - период анализируемого сигнала.

II :

N N

U(t) = ^ (Ck cos kOt + Sk sin kOt) = ^ Ak cos(kOt + ^), k=1 k=1

где Ak =^сГ+&2 , (pk = -arctg ^ , k'O = m .

Ck

Таблица 1

Прямое интегральное преобразование Фурье Прямое преобразование Лапласа

- «> С/ (ю) = — ■ [и ()• е_ю^ 2п и (р) = | е~ ^’,u(^) ■ dt, 0

] = V-!, гДе р = с + ]Ш = = Ке (р) + } 1т(р)

М () - функция времени, подвергаемая интегральному преобразованию Фурье в частотную область () Ле (р) - вещественная часть комплексной переменной р($, где с = Ке(р) ; 1т (р) - мнимая часть комплексной переменной р(?); ю 1 = 1т (р)

Обратное преобразование Фурье Обратное преобразование Лапласа (интеграл Бромвича)

и( ) =— Ги (со)в^Ж 2п - с1+ & и () = |и (р)ep,dt ,

^ = 7-Т - мнимая единица

Восстанавливает по спектру и(ю) временной ряд иф с точностью до Т=2п, т.к. акустический сигнал -функция периодическая Производит восстановление временной функции и(0 в пространстве оригиналов по известному ее образу и(р) из пространства изображений

Использование преобразования Фурье дает возможность точного описания и вычисления частотно-амплитудных соотношений на ЭВМ, путем обработки сигнала быстрым дискретным преобразованием Фурье в режиме реального времени.

Учитывая особенности обработки сигнала акустической эмиссии на ЭВМ и

, ,

дискретные разрывные, но (периодические) составляющие и континуальные участки

,

форме прямого и обратного дискретного преобразования Фурье:

1 N-1

Р(п) =1■ ^ /(к)■e-^пІ■nk/N , (п = о, 1, . . ., Ш ) ;

N к=0

N-1

/(к) = £ ^(п) ■ е2п/пк7N , (к = 0, 1, . . ., N-1) ; ] = 7-1,

к=0

где ^(п)- вещественная функция целого дискретного параметра, п - коэффициент дискретного преобразования Фурье (ДПФ); / (к) - выборка из временного ряда, состоящего из N отсчетов, вследствие финитности спектра, к - дискретное время.

Использование методов диагностики и обработки АС по предложенным математическим моделям с одной основной низкочастотной гармоникой малоэффективно. Это связано с тем, что АС от частиц пылевого потока перекрывается технологическим шумом оборудования, инструментальными шумами и т. д. Для устранения этих недостатков целесообразно использовать высшие тембровые гармоники, где , -. -шающую способность измерительного тракта. Так, например, если первая основная частотная гармоника для несущей газовой среды отличается всего на А от основной гармоники для твердой фазы потока

то высшие гармоники всегда кратные основной гармонике, отличаются уже на к хА, ..

где к - коэффициенты кратности тембровых гармоник; /~ - осредненная частота

а

для чистой водной среды; / - частота звучания твердых частиц примесей в сброс-

■'п

. , -

формацию об амплитудно-частотных параметрах сбросного потока и позволяют различать сигналы АЭ по уровням мощности дисперсных составляющих примесей от чистой водной среды.

1. Пат. 2222807 РФ, в0Ш29/02. Способ обработки сигналов акустической эмиссии

генерируемых дисперсных систем / А. И. Пуресев, В А. Лепихова, О.А. Торопов, ЕЛ. Малых, Н.П. Сорокин. 2001103942/38 (22); Заявл. 12.02.01; Опубл. 27.01.04. Бюл. № 3.

2. ., . : . . -М.: Мир, 1974. - 463 с.

3. . : .

нем. - М.: Наука, 1965. - 287 с.

Практически любая математическая модель, описывающая те или иные фи, , -нах исследуемого водоема. Зачастую, отметки замера глубин располагаются неструктурированно, что крайне неудобно для определенного класса задач. Требования, предъявляемые к точности решения задач, а также используемые при этом численные методы, заставляют использовать расчетные сетки с малым шагом, что, в свою очередь, требует наличия большого числа отметок глубин на единицу площади. Та, . -

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ТРЕХМЕРНЫЕ ПРЕЦИЗИОННЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДНА ВОДОЕМОВ

А.В. Гончаров С.В. Кирильчик