CC BY
10
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ И СДВИГОВАЯ (ФИЗИЧЕСКАЯ) ФАЗА В
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКЕ
А.Е. Рождественский.
ООО «Физико-техническая корпорация НРС», г. Москва, 104076, Басманный тупик, д. 12/10, к.95. тел. 55 44 265 499 8
А.С. Рождественский.
МГУ, Физический факультет, студент, 6 курс.
АННОТАЦИЯ
В математическом определении сдвиг фаз определяется как часть аргумента между функциями вида sin, cos, имеющих одинаковую частоту. Для краткости назовем эту фазу «математической». В природе сдвиги между феноменами математически характеризуются множеством гармонических сдвигов фаз, каждый из которых соответствует своей фиксированной гармонике в представлении феномена рядом Фурье. Показано, что сдвиг меду произвольными феноменами можно описать одним числом как «сдвиговой фазой» в рамках физического представления о работе обобщенных сил по обобщенным перемещениям.
ABSTRACT
Mathematic ( harmonic) phase concerns argument in functions (sin ), (cos) with the same frequency. For common description any differences between physics phenomenon are suggefled the Shift phase ore Physics phase. Shift phase is non size energy due common forces with common displacements.
Ключевые слова: фаза математическая, гармоническая сдвиговая, физическая , сравнение феноменов
Keywords: «Mathematic» (ore harmonic) phase, «Shift» phase ore «Physics» phase, common forces and common displacements in energy transport and transform.
Введение
В работе дано определение понятия "сдвиговой фазы", необходимость которого возникла исходя из физических задач и приложений. "Сдвиговая" фаза отражает «непохожесть» объектов, деформированных путем сдвига. В этом смысле сдвиговая фаза есть также фаза «физическая», т.к сдвиг можно выразить через работу обобщенных сил по обобщенным перемещениям. Сравнение двух феноменов с помощью бесконечного набора гармонических фаз ( спектр любой ограниченной функции бесконечен) возможно, но мало информативно. Слово "интегральная" указывает, что такая фаза определяется в целом, "интегрально" для процесса, явления, без математического разложения на гармоники. Существенно, что сдвиговая «физическая» фаза с точностью до размерной константы может отвечать за процессы трансформации и передачи энергии, т.к. эти процессы, выраженные в форме «физической фазы», тождественно удовлетворяет принципу минимума производства энтропии в системе ( условию Эйлера как необходимому условию ) [2] , и с точностью до размерной константы количественно определяет физические процессы переноса, сдвигов, изменения плотности источников в сравниваемых полях.
Понятие сдвиговой, интегральной (физической) фазы было использовано в работах научной школы чл -корр. АН СССР Лаппо С.С. его сотрудником А.Е. Рождественским [ 1-4]. Эти публикации касались анализа переноса механической, лучистой, тепловой энергии в сплошных средах, в геофизической системе океан - атмосфера-земля .
"Метод сдвиговой фазы" дает количественную оценку различиям как собственно математическим объектам , так и физическим процессам и явлениям (определение позиции или положения объекта, «узнавание объекта, нахождение потоков энергии, массы, импульса в материальной среде).
В сфере математических представлений метод предназначен для вычисления (нахождения) фазы произвольного объекта (или же его положения), явления , сигнала, без при-
менения гармонического (Фурье) анализа. В материальном мире метод дает величину временного или пространственного сдвига , а также количественные характеристики в виде потоков энергии, массы импульса для "распределенных объектов", таких как распределенные среды, большие системы.
С одной стороны "фаза" в нашем определении есть кинематическое понятие, -сдвиг или (или интегральная) фаза как параметр различия между формами , фигурами, поверхностями (функциями). С другой стороны выражение для физической фазы пропорционально величине переноса (массы, энергии, импульса) в материальной сплошной среде или в большой системе. Практические следствия этого совпадения форм обсуждаются ниже.
2. Определение - «Сдвиговая» фаза»
Введем определение сдвиговой (физической) фазы. Какие есть основания, чтобы назвать фазу «физической». Ниже будет представлено кинематическое и динамическое обоснование. Фаза, которую мы назовем "физической" фазой, определяется для объекта числом, кинематически представляет собой «сдвиг», и ответственна за физические процессы переноса передачи энергии.
О п р е д е л е н и е
Физической (сдвиговой , интегральной, активационной ) фазой между двумя функциями f1 и f2 будем называть интеграл вида -ф = C |f1 d (f2),(1)
где C = Сопй- размерная и нормирующая константа,
Q - область определения фазы. Исходя из ( 1) пространственный фазовый сдвиг между f1 и f2 равен :
ф= C 1 f1 V f2 d~c ,( 2 )
где d с - элемент площади на области Q = Q ( х ), а знак фазы соответствует знаку скалярного произведения .
Соответственно временная фаза равна:
ф = C|T f1 (5f2 /5 t) dt, где Т - отрезок времени (3)
Данное определение фазы совпадает с классическим , если функции f1, f2 являются гармоническими функциями.
Пусть f1 = A1 Sin ( ю х ) , f2 = A2 Sin ( юх + т ) , Т -период
Подставляя значения f1, f2 в интеграл (2) имеем -ф = C 1 A2 JT Sin(rax+ т) [ 5/ 5x (Sin ( юх ) ] dx = = СА1 A2 ( ю/2) JT ( Sin (т)+ Sin (2x + т) dx = C A1 A2 Т ( ю/2) Sin т.
Выбираем константу в виде C = (2 / A1 А22юТ), откуда получаем - ф= Sirn , откуда при т^-0, ф~т.
Мы видим, что выбранное определение сдвиговой фазы дает совпадение с классическим определением для гармонических функций. Предложенное определение дает и другую интересную характеристику -количественный па-
раметр различия между функциями, который можно кратко назвать -"сдвиг". Связь «сдвига» с математической фазой тривиальна - для гармонических функций сдвиг и фаза одно и то же. Для произвольных функций такой связи нет (как и самого понятия математической фазы). Связь сдвига и физической фазы рассмотрим в следующем пункте.
3. Сдвиговая ( физическая) фаза и кинематический сдвиг Определение физической фазы позволяет дать кинематическую интерпретацию как количественный параметр различия между функциями в виде «сдвига».
Положим, что одна функция отличается от другой сдвигом т.е.
f 2 (х) = й(х + т), рис. 1.
Без ограничения общности положим, что функция й финитна и вне области [А,В1] равна нулю.
Рис.1
Вычислим сдвиговую (физическую) фазу между «конгруэнтными» финитными функциями й , 12 в соответствии с определением
/ 2 7/. ^ -
ф = С 4 = С А дх (3)
Функцию 12 представим в виде степенного ряда по степеням т,
2/п я п / , п
12 = 11 ( X + т) = п ст / п! + 0 (т ) (4)
Подставляя значение 12 в виде ряда (4) в интеграл вида
(3), имеем при малых т-
ф~Сопй * (т). (6)
Интеграл типа (1-3 ) в данном примере дает фазу как «чистый сдвиг» между произвольными финитными функциями при достаточно малом значении этого сдвига.
Вернемся к примеру на рис. 1 , и рассмотрим финитную функцию 11, которая симметрична на отрезке А,В, и фазу между 11 и сдвинутой на функцией 12 , см. рис. 2.
В случае симметричной на отрезке А,В функции ( 11 ) выражение для фазы вида (5) принимает вид:
в+т г г 2п+1 /
+1 | (/1/1 ПР
I /1/12
= 0
как рядов наблюдений) могут иметь разные произвольные значения, например ^(А) = 12(В) + С. Тогда в тех же предположениях 11 (х) = 12 (х + т) будем иметь -
ф~ СОПЙ
I М 2
< т) + Сопй (
/(В) - /(А)
В - А
)(9)
В этом ряду первое слагаемое тождественно равно нулю
для любой финитной функции, т.к. /1 (А) = /1 (В + т) . В разложении вида (7) все члены ряда с четными степенями т также обращаются в нуль при интегрировании, как интегралы от нечетной на отрезке функции. Для четной (симметричной на отрезке (А,В) ) функции имеем из (7):
ф= С 0 а (8)
Таким образом, в нашем определении фаза, согласно (8), всегда имеет знак сдвига (т ), т.е. всегда показывает направление сдвига.
Если мы повторим рассуждение о сдвиге и фазе на отрезке сдвига для ассиметричной функции на отрезе, т.е если ^ в (5) будет несимметричной на (А,В), то в ряду типа (5,7) все интегралы вида
I = А , как интегралы от антисимме-
тричной функции на отрезке. Любую функцию на отрезке можно представить в виде суммы симметричной и несимметричной функции. Поэтому для произвольной финитной функции 1 сдвиг фаз между 1 (х) и Дх + т ) всегда будет иметь вид ряда (7,8) по нечетным степеням т и при малых т ф~т.
Таким образом, фазовый сдвиг между финитными функциями в смысле введенного определения, в предельных случаях имеет вид и «чистой фазы ф» (гармонические функции), равной «чистому сдвигу т» (малые сдвиги).
Единственным ограничением, которое использовалось выше для вывода равенства (6), заключалось в том, чтобы сравниваемые функции в концах отрезка , на котором вычисляется фазовый сдвиг, были равны одной и той же величине, т.е финитны с точностью до константы. В практике вычисления фазовых сдвигов для разных физических процессов, эти величины (значения функции на концах отрезка,
Первый член в (9) представляет «чистый» сдвиг, а второй - «чистый» наклон -тангенс угла наклона на отрезке. Мы видим, что физическая фаза есть направленный параметр различия между формами, фигурами, поверхностями ( функциями), который совпадает в предельных случаях с понятием кинематического сдвига и (или) с понятием математической фазы.
5. Сдвиговая ( физическая) фаза и коэффициент «корреляции».
На первый взгляд интеграл в определении сдвиговой
(физической) фазы между двумя функциями /1, /2 ( т.е интеграл вида ф=1^2) похож на интеграл для определения коэффициента корреляции между ними. Оговоримся, что сходство это отдаленное - фаза имеет знак , коэффициент корреляции знака не имеет.
Сравним понятие физической фазы между функциями
/1, /2 с понятием коэффициента корреляции между ними на одном и том же отрезке при условии «чистого сдвига», т.е
при условии /1 (х) = /2 (X + т) . Оговоримся, что мы не рассматриваем принятые понятия корреляционной и функциональной связей. Существует бесконечное количество математических выражений для тех или иных коэффициентов корреляции - в зависимости от поставленной задачи. Оговоримся, что здесь под коэффициентом корреляции мы будем понимать выражение типа R = ^(х)*^)^.
Коэффициент корреляции между /1, /2 как функция т на отрезке (А, В+ т) в принятых обозначениях равен ( см. рис. 1,2 ) -
R =
в+ГАхЖх+ту = | /,[/ + /т + +
(10)
В выражении (10) все члены с нечетными степенями
будут равны нулю , как интегралы вида R = R () от антисимметричных на отрезке функций. В итоге мы получаем, что для функций/2, отличающихся на отрезке только сдвигом, коэффициент корреляции представим рядом по четным степеням сдвига, а фазовый сдвиг в смысле принятого определения - рядом по нечетным степеням сдвига, т.е.-
да
IКТ
R = 0 , R = Сопй т—0, (11)
да
т2и+1
ф= 0 , ф=т т—»0
При малых сдвигах т фазовый сдвиг между финитными функциями равен самой величине сдвига т, а коэффициент корреляции малые сдвиги т не «чувствует», и направление сдвига коэффициент корреляции не «замечает». Из (11) следует приближенное выражение при малых т -R ~ 1 - (Сопй) * ф2 (12)
В кинематическом сдвиге форм (функций), коэффициент корреляции дает степень «сходства», «похожести» форм , а физическая фаза есть степень их «непохожести». Поскольку коэффициент корреляции не зависит от направления сдвига (от знака (ф), поэтому зависимость R(ф) квадратична в (12).
Выводы. Понятие сдвиговой (физической) фазы позволяет оценивать объекты в экспериментальной физике с точки зрения их различий и сдвигов, а также изменения в больших системах с точки зрения их смещений и деформации
(формы, координаты, время) по экспериментальным данным. Это понятие содержательно использовано в физике при анализе больших систем, в том числе в климатической системе для нахождения крупномасштабных потоков тепла и прогноза температур [1-4] , для определения кпд реальной тепловой машины, для эффективности предприятий (производства), для определения понятия информации, для «узнавания» и обнаружения феноменов [5,6].
Прим. - феномен есть любое нечто, отличающееся от любого нечто.
Литература
1. Гулев С.К., Лаппо С.С., Рождественский А.Е. Крупномасштабное взаимодействия в системе океан-атмосфера и энергоактивные зоны мирового океана. Л. Гидрометеоиз-дат, 1990, с. 60-83, 298-306.
2. Рождественский А.Е., Лаппо С.С. Крупномасштабный теплоперенос между океаном и атмосферой в годовом цикле. ДАН СССР, сер. мат. физика,1989 т. 307, №1.
3. Малышев Г.А. Крупномасштабный теплоперенос в атмосфере над океанами. Автореферат диссертации, М. ГОИН, 1992, 23 с.
4. Рождественский А.Е., Лаппо С.С. Технология фазовых инвариантов в прогнозе температур» . Журнал «Наукоемкие технологии», №3, 2006, т.7.
5. Рождественский А.Е. Физика общественного производства. Воронеж, 2008, рец. акад. РАН Д.С. Львова, ISBN 978- 5- 89981 - 518, с. 30,34, 67-90, 101-1104, 114118,
6. Рождественский А.Е. Информация как результат формального взаимодействия. Материалы конф. «Физика фундаментальных взаимодействий» Секции ядерной физики отделения общей физики РАН. М. ИТЭФ.2007.
ВВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА В ВОЗМУЩЕННОЙ
ЗАДАЧЕ БАРРАРА
Севрюков Павел Фёдорович
кандидат физ.-мат. наук, доцент, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь
АННОТАЦИЯ
Вводятся функции эксцентриситета в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара.
ABSTRACT
Functions are introduced with eccentricity in a well-known problem of the perturbed motion of a satellite in a field that is set by the gravitational Barrar potential.
Ключевые слова: спутник, гравитационный потенциал, возмущённая задача Баррара, канонические оскулирующие переменные.
Keywords: satellite, gravitational potential, perturbed task of Barrar, canonical variables and true.
fm
Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль оси динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид
и =
1 +
X г11 Рп С)
гс=1
(1)
где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, г - модуль радиус-вектора, 1п - постоянный параметр, Рп -полином Лежандра п - го порядка.
