Математическая и программная обработка данных спектрофотометрических измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ И ПРОГРАММНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ СПЕКТРОФОТОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Е.В. Альтшулер Научный руководитель - д.т.н., профессор Э.С. Путилин

Одной из основных задач при осаждении пленок является контроль толщины осаждаемого покрытия. В статье рассказывается о некоторых существующих методах и о новом, разработанном методе контроля.

Введение

При изготовлении интерференционных покрытий в вакууме одной из основных задач является точный контроль толщины слоев в процессе осаждения. В настоящее время широко распространены два метода контроля толщины: резонансный по массе и спектро-фотометрический по R или T. Оба метода - косвенные и имеют свои недостатки: первый - пористость покрытий (контрольная масса), второй - оптическая толщина n • d, т.е. зависимость оптических постоянных слоя от технологических факторов [1]. При изготовлении металлодиэлектрических покрытий необходимо не только точно контролировать толщину слоя, но также и отслеживать значения n и к, так как они оказывают влияние на фазовый сдвиг при отражении. Приведем формулы расчета R и T для поглощающего слоя, т.е. прямой задачи [2]. Обозначим ф = ф - iф' - фазовая толщина слоя, где

ф = 2 п n d / X , ф ' = 2 п к d / X , (1)

где X - длина волны падающего излучения. При таком представлении матричные элементы можно записать в виде:

mii = cos ф ch ф' m 22 = cos ф ch ф';

mh = sin ф sh ф'

m

22

= sin ф sh ф';

m 12 =

n sin ф ch ф' + к cos ф sh ф'

22 n + к

m12 =

к sin ф ch ф' - n cos ф sh ф'

(2)

22 n + к

m

m

21

21

= n sin ф ch ф' - к cos ф sh ф', = - к sin ф ch ф' - n cos ф sh ф'.

Поскольку в ходе измерений определяются энергетические коэффициенты отражения и пропускания, то формулы для амплитудных коэффициентов отражения и пропускания не приводятся. Энергетические коэффициенты отражения и пропускания определяются по следующим формулам:

R =

V2 + Z2 X 2 + Y 2

T =

4n0n1 X 2+ Y 2

(3)

где

V = n0m11 + m21 - n1 (n0m12 + m22 ) + к1 (n0m12 - m22 ); z = ^mh - m21 + щ (n0mu - m'22) + ке ^m^ + m22 );

X = n0mn - m21 - щ (m^ - m22) + ке (m^ + m'22); Y = n0m11 + m21 + n1 (n0m12 + m22)+ к1 (n0m12 -m22).

(4)

Постановка задачи

Для контроля толщины слоя во время осаждения необходимо решать обратную спектрофотометрическую задачу. Так как в приведенных выше уравнениях присутст-

вуют три неизвестных, то для их определения необходимо не менее трех измеряемых параметров. Измерения Я' (обратного отражения) существенного вклада не дает, поэтому остается измерение Я и Т на двух длинах волн или измерение Я и Т при разных значениях одной из полубесконечных сред, ограничивающих систему. При этом следует помнить, что при измерении на двух длинах волн надо априорно знать дисперсию ~ (комплексный показатель преломления).

Поэтому мы посчитали целесообразным проводить измерения Я и Т на двух подложках с разным п 1 , что к тому же позволит снизить машинное время, так как п 1

входит только в конечные формулы (4), а X - во все элементы матрицы интерференции. Следует заметить, что время расчета - весьма немаловажный фактор, так как слои металлов осаждаются с большой скоростью.

Методы исследований

В процессе осаждения можно измерить величины Т1, Т2, Я1, Я 2 , удовлетворяющие неравенствам. Поскольку система из четырех уравнений (3) может иметь несколько решений, вводим дополнительные условия, накладывающие определенные рамки на диапазон решений: во-первых, диапазон, в котором ожидается нахождение п и к, а во-вторых, условие, что ё возрастает от измерения к измерению, начиная с нуля и далее с некоторым конечным приращением.

Для решения обратной задачи можно выделить 3 варианта.

Вычисление данных методом последовательного поиска. Задаются начальное значение для толщины слоя ё (например, от 0 до 80), а также граничные условия для параметров п (от 1,8 до 2,2) и к (от 2,7 до 3,3). Задаются допустимые отклонения расчетных параметров Т1, Т2, Я1, Я 2 от реальных. При совпадении всех четырех условий значения п, к, ё, для которых это совпадение произошло, заносятся в буфер. Если при том же значении параметра ё, но уже других п и к, опять происходит выполнение условий, то текущие значения п и к снова заносятся в буфер. Затем все занесенные в буфер значения по п и к усредняются. Алгоритм работает достаточно точно, но его применение нецелесообразно в силу низкой скорости выполнения. Как правило, нужно контролировать значения параметров п, к, ё во время осаждения.

Метод поиска решения из сформированного массива данных. Этот метод отличается от предыдущего тем, что решение прямой задачи и поиск обратного решения разделены во времени. Предварительно проводится решение прямой задачи для всего диапазона данных и инициализируется массив. При этом адрес каждого элемента массива равен значению Т1, Т2, Я1, Я 2 , а сам элемент содержит значения показателей п и к и толщину ё. После того как массив создан, все значения п, к, ё усреднять не имеет смысла, в силу огромных вычислительных затрат. Далее, в процессе осаждения из получающихся значений Т1, Т2, Я1, Я 2 формируется адрес массива, считываются его элементы и затем усредняются. Скорость получения результатов при таком способе огромна.

В представленных формулах выделить обратную зависимость

' п = Е1 (Ть Т 2 , Я!, Я 2 )

< к = Е 2 (Ть Т2, Я!, Я 2 )

. ё = Е 3 (Ть Т2, Я ь Я 2 )

не представляется возможным. Однако достаточно собрать все формулы воедино, привести их к алгебраическому виду и решать систему любых 3-х уравнений:

^ - /1(п, к, а )=0

я2 - / (п, к, а )=о - /3 (, к, а)=о ,

Т2 - /4 (, к, а ) = о

относительно 3-х неизвестных п, к, а. Т.е. получается, что ранг матрицы равен количеству неизвестных, и тогда получаем достоверное решение системы уравнений. Если решать систему таким образом, чтобы были актуальны все 4 уравнения для 3 неизвестных, то удовлетворять решению системы будет несколько наборов искомых параметров п, к, а. Тогда можно исключить непересекающиеся корни.

Для решения системы нелинейных уравнений можно применять численные методы решения СНАУ, например метод Ньютона, метод наискорейшего спуска, метод простой итерации и т. п. Основной недостаток градиентных методов - медленная сходимость итерационного процесса по мере приближения к решению. Метод Ньютона пригоден для решения обширного класса нелинейных задач. Идея его заключается в последовательной линеаризации системы нелинейных уравнений на каждом шаге итерации. Решение линеаризованной системы дает значение неизвестных, которое ближе к решению, чем предыдущее приближение.

Остановимся подробнее на 3-м варианте решения обратной задаче - численном.

В отличие от систем линейных уравнений, для систем нелинейных уравнений неизвестны прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно. Например, для системы из двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного. Поэтому итерационные методы для нелинейных систем приобретают особую актуальность.

Более подробно остановимся на методе Ньютона, потому что он обладает наиболее высокой степенью сходимости.

Рассмотрим нелинейную систему уравнений:

71 ( ^ к, хп )=0

/2 (х1, х2, к , хп ) = 0

/п (х1, ■

,Хп )= °

или в векторной форме

/ (X ) = о,

где

/ =

" /1" " х1 "

/2 — х2

, х =

_ /п _ _ хп _

(5)

(6)

(7)

Для решения системы (5) будем пользоваться методом последовательных приближений. Предположим, известно к-е приближение,

х (к) = (X (к) х (к)

л- — ул-1 , л-2 ,

(к )

одного из изолированных корней х = (х1, х 2,

, х,

(8)

) векторного уравнения (6). Тогда

точный корень уравнения (6) можно представить в виде

х = х(к) + А х(к)

п

где Ах(к) = (ах|к\ Ах2кV-- , Ах(- поправка (погрешность корня). Подставляя выражение (9) в (6), будем иметь

7 (х(к ) + А х(к ))= 0. (10)

Предполагая, что функция 7 (х) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей х и х(к), разложим левую часть уравнения (10) по степеням малого вектора А х(к), ограничиваясь линейными членами:

7 (х(к) + А х(к ))= 7 (х(к))+ 7'(х(к ))А х(к ) = 0, (11)

или, в развернутом виде,

> + А 1. ., хП ^ + А хП ' )= ) 1- ., х}к >)+А + ■ дх1 . +А хп(к )д71 = 0, дхп

7п (> + А >,. ., хП)+а хП >)= 7п (( >.. ... *)+А + . дх1 .. + Ахп(к)д7п = 0 [1 -"Л дхп

(12)

Из формул (11) и (12) вытекает, что под производной 7 (х) следует понимать матрицу Якоби системы функций 71, 72, ■ ■ ■, 7п относительно переменных х1, х2, к, хп т. е.

7 (х) = W(х) =

д71 д71 д71

дх1 дх 2 дхп

дЛ д72 д72

дх1 дх 2 дхп

7 дЛ

д7п

5х1 дх 2

дхп

или в краткой записи

7 (х)= W(х) =

д/г

д х.

(, ] = 1,2,■ , п).

Если W (х )= ёе1

^ 0, то Ах (к ) = - W-1 (х(к))7 (х(к)).

Поэтому формула (11) может быть записана в следующем виде:

7 (х(к))+ W (х(к ))А х(к ) = 0.

дх

Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы (5) состоит в построении итерационной последовательности

х(к+1) = х(к) - W-1 (х(к))7 (х(к)), к = 0,1, 2, к .

Если все поправки становятся достаточно малыми, счет прекращается. Иначе новые значения хг используются как приближенные значения корней, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение или не станет ясно, что получить его не удастся.

Если оценивать сходимость метода Ньютона, то можно отметить следующее. Условия сходимости метода Ньютона зависят от значений первых и вторых производных функций невязок по искомым параметрам, а также от близости предыдущего, а в конечном итоге начального приближения к решению. При этом погрешность последующего приближения связана с погрешностью предыдущего решения квадратичной зависимостью. В этом смысле говорят о квадратичной сходимости метода Ньютона. По ме-

ре приближения к решению сходимость резко ускоряется. При задании начального приближения, достаточно далекого от решения, итерационный процесс метода Ньютона может быть расходящимся.

Теперь вернемся к нашей обратной задаче. Исходная система уравнений, вообще говоря, не является алгебраической. Модифицируем уравнения (2), введя замену переменных:

cos ф = Zj, chф'= Zь sin ф = Z2, shф'= Z2. Тогда уравнения (2) примут вид:

m

11 - Z1Z1

m

22 = Z1Z 1;

m

11 - Z 2Z 2

m

22 - Z 2 Z 2

(13)

m12 -

nZ 2 Z1 + kZ 1Z 2

2 Г2

n + k

m12 -

kZ 2 Z1 - nZ 1Z 2

2 Г2 ' n + k

(14)

m

21 = nZ 2 Z1 - kZ 1Z 2

m

21 = - kZ 2 Z1 - nZ 1Z 2:

а система (4) будет выглядеть следующим образом (в предположении, что к1 = 0 ):

V - nоZ1Z1 - kZ 2Z1 - nZ 1Z2 - n¡no k 2Z2—nZ21 Z2 - n¡Z 1Z1 -

n 2 + k 2

- (n0 - nl )Z 1Z1 - k

n7n

l" 0

1 +

V n 2 + k

Y IZ 2 Z1'-n

nln

l0

1 -

V n 2 + k

- I Z1 Z 2:

(15)

' ' ' nZ 2 Z1'+kZ 1Z 2 ' Z - n0Z2Z2 - nZ 2Z1 + kZ 1Z2 + nin0-2-2--niZ2Z2 -

n 2 + k 2

- (n0 - ni )Z2 Z2 + k

f

nln

lfl 0

f

1 + о о

V n2 + k2

Z1Z 2'-n

nln 0 v n2 + k2

1-

Z 2 Z1,

(16)

X - n0Z1Z1 + kZ 2Z1 + nZ 1Z2 - ntn0 kZ 2Z2—nZ1 Z2 + n¡Z 1Z1 -

n 2 + k 2

- (n0 + nl )z 1Z1 + k

nln0

v1 n 2 + k 2

Z 2 Z1'+n

1 +

nln

l0

Z1 Z '

(17)

2 , 2 V n + k J

Л7 V rj' ry ry' Try ry' nZ 2 Z1'+ kZ 1 Z 2 '

7 - n0Z2Z2 + nZ 2Z1 - kZ 1Z2 + nln0-2-2-+ nlZ2Z2 -

n 2 + k 2

- (n0 + nl )Z2Z 2 - k

1-

nln

l0

Z1Z 2 '+n

2 , 2 |~1^2 V n + k J

nl n

l0

1 +'0 о

V n2 + k2

Z 2 Z1.

(18)

Если ввести обозначения

а = п0 - пI, а = п0 + п

b - k

f

1 +

Г

n 0 n

0" l

V n2 + k2

e - k

n 0 nl

с - - n

nn

0" l

V1 n 2 + k 2

, f - n

V1 n2 + k2, n 0 nl

(19)

1 + o o

V n2 + k2

то уравнения (15) - (18) примут вид: V = аХ 1Z1 - ¿Х 2 Z1 + сХ 1Z -2 Z = аХ 2 Х 2 + ¿Х1Х 2 + сХ 2 Х1 X = дХ 1Х1 + еХ 2 Х1 + /Х1Х 2 7 = аХ 2 Х 2 - еХ ! Х 2 + /Х 2 Х1

V2 = a2Zf2Zf2 + b2Zf Zf2 + с2Zf2Z22 - 2abZ fZf2Z2 + 2acZ f2ZfZ2 - 2bcZfZfZ2Z2 Z 2 = a 2 Z 2 Z 22 + b 2 Zf2 Z 22 + с 2 Zf Zf2 + 2 abZ 2 Z ^22 Zf + 2 acZ | Z 2 Zf + 2bcZ fZfZ2 Z2 X2 = d2Zf2Zf2 + e2Z|Zf2 + f 2Zf2Z22 + 2deZfZf2Z2 + 2dfZf2ZfZ2 + 2efZ 1ZfZ2Z2 (2f)

Y2 = d2ZfZ22 + e2Zf2Z22 + f 2ZfZf2 - 2deZ2Z22Zf + 2dfZ|ZfZ2 - 2efZfZfZ2Z2. Перепишем формулы (3) таким образом: RX 2 + RY 2 - V 2 - Z 2 = 0

TX 2 + TY 2 - 4n0nt = 0. (22)

Тогда

(d2 - a2 )(z2Zf2 + Z22Z22 )+ (Re2 - b2 ))2Zf2 + Zf2Z22 )+ (Rf 2 - c2 )(z2Z22 + Z22Zf2 )-

2(Red + ab)R22 - Zf2 )zfz2 + 2(R fd - ac)(zf2 + Z2? )zfz2 = 0 Td 2 (z2 Zf2 + Z22 Z 22 )+ Te 2 (z 2 Zf2 + Zf2 Z22)+ Tf 2 (z2 Z22 + Z 22 Zf2 )-2Ted (z 22 - Zf2 )zfz 2 + 2T fd ( + Z | )zfz2 - 4 n0 nl = 0

R = {Rf, R2} t = {Tf, T2}.

Таким образом, решая эту систему, мы получим значения неизвестных Zf,Zf,Z2,Z2. Далее остается решить систему уравнений (13) относительно неизвестных n, к, d :

„ f 2 п nd ^^ ' , f 2 п kd Z f = cos I -I Z f = ch

^ ) К ^

. Г 2 п п^ ' , ( 2 п kd Л (23)

72 = 51п 72 = ^ |

Так как в системе (23) на 4 уравнения приходится всего 3 неизвестных, то решений будет несколько. Для выбора достоверного ответа предполагается руководствоваться физическими соображениями.

Заключение

Рассмотренные методы решения обратной задачи позволяют определять оптические постоянные и толщину слоя с погрешностью < 4% при измерении коэффициента пропускания (К) и отражения (Т) с погрешностью 0,1%.

Метод выборки из массива позволяет обрабатывать измеряемые данные со скоростью, превышающей быстродействие (более 60 Гц) матрицы ПЗС.

Для повышения быстродействия и точности расчетов ведется работа по созданию алгоритма решения обратной задачи методом Ньютона.

Литература

1. Андреев С.В., Карасев Н.Н., Путилин Э.С., Шакин А.О. Автоматизация фотометрического контроля толщины осаждаемых слоев // Известия вузов. Электроника. -2003. - № 6. - С. 85-90.

2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1970. - 721 с.