Математическая формализация общей научной концепции детерминированного процесса пожаротушения мобильными средствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

УДК 614.842.83.07

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ОБЩЕЙ НАУЧНОЙ КОНЦЕПЦИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ПРОЦЕССА ПОЖАРОТУШЕНИЯ МОБИЛЬНЫМИ

СРЕДСТВАМИ

А.Н. Денисов

Формализованы основы моделирования динамической системы оперативного управления пожарно-спасательными подразделениями при ведении оперативно-тактических действий при пожаре. Ключевыми элементами моделей выбраны площади пожара и тушения. Приведен обобщенный алгоритм математического моделирования сложной социальной и экономической системы управления силами и средствами при пожаротушении.

Ключевые слова: алгоритм, динамическая система, модель, пожаротушение, управление.

Введение. Использование математики при формализации управления пожарно-спасательными подразделениями при ведении оперативно-тактических действий на месте пожара не имеет долгой истории. Существует ряд мнений, что нет ни одного фундаментального достижения в пожаротушении, полученного с помощью математической теории; роль математиков, знающих пожаротушение, заключается не в выявлении законов управления при пожаротушении, а в интерпретации событий при исследовании математических моделей и предоставлении качественных и/или количественных оценок.

Рассмотренные математические модели, классифицируются как: разностные уравнения (с дискретным временем), обыкновенные

дифференциальные уравнения (конечномерные с непрерывным временем), уравнения в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения (бесконечномерные). Не рассмотрены вероятностные модели.

Ниже формализованы отображения сложной социальной и экономической системы оперативного управления силами и средствами при пожаротушении в формальные структуры -математические модели.

Динамика тушения пожара. Рассмотрим помещение, в котором развивается пожар в условиях отсутствия газообмена (практически герметичном помещении), тактические возможности первичного

тактического подразделения караула (отделение) позволяют его потушить. В том случае если для анализа системы пожаротушения нас интересует только временная динамика, то её состояние описывается единственным числом - площадью пожара (8п), температурой (Т), количеством личного состава, задействованного в тушении (Млс), расходом огнетушащего вещества (Р) и т.п. Тогда модели, не учитывающие пространственную организацию пожаротушения (позиции, участки, сектора тушения пожара), назовём локальными. В терминах пожарной тактики это означает: во-первых, пожарная нагрузка в помещении одного типа и распределена равномерно, во-вторых, развитие пожара во все стороны равновероятно.

Для формализации и анализа математических моделей определимся с единицами измерения. Так как площадь (тушения или пожара) не может быть отрицательной, поэтому пространство состояний запишем:

8т =

где Я+ = (8 е Я: 8 > 0}.

Трактуя площадь тушения как функцию времени: Б^) е (8 е г: 8 > 0}.

(+ М)- ^

Величина -—- отображает

среднюю скорость роста площади тушения на промежутке времени (^ t+At]. В том случае если величина площади тушения пожара велика, то скачки

пожара, вызванные неравномерностью пожарной нагрузки, выглядят незначительными на графике функции S(t). Следовательно, принимаем существование производной по времени:

dSjt)= lim (S (t + At)-S (t)) dt At ^ 0 At '

Примечание: Производную по времени будем обозначать точкой, размещённой сверху

S„ = k ■ S , k > 0

- dST (t)_ л

переменной -= Sx

dt

и тогда отношение

S,

отражает усреднённый вклад позиции по тушению в уменьшение площади пожара.

Анализ описаний пожаров позволяет сделать вывод о том, что скорость роста площади пожара пропорциональна её количеству. Поэтому динамику рассматриваемой системы опишем простейшим дифференциальным уравнением:

(1)

где 5"п - площадь пожара, м в момент времени, /, сек, а к - коэффициент, характеризующий темп роста площади пожара.

Граничные условия, в которых осуществляется тушения пожара, пожарная нагрузка в помещении одного типа и распределена равномерно, являются упрощением

действительности. Для более правильного описания развития пожара в помещении во времени необходимо знать не только общую пожарную нагрузку и её распределение, но также другие признаки, оказывающие влияние на развитие и тушение пожара.

Введя обозначение пространства признаков - РР, опишем состояние системы функцией 5"(у1, 1),

где VI е РР.

Существуют два основных класса признаков, предопределяющих неоднородность развития пожара: структурные признаки, такие как пространство и пожарная нагрузка, которые для конкретного объекта меняются со временем; неизменные признаки, например, категория по пожарной и взрывопожарной опасности, которая, как правило, неизменна в течение всего срока эксплуатации.

Решением уравнения (1) является функция

() = • вк4, где - площадь пожара в момент

его обнаружения. Эта функция описывает изменение площади при «стандартном» пожаре (рис. 1) [1, 2]

тБОЗН

Рис. 1. График требуемого и фактического расходов огнетушащих веществ, площадей пожара и его тушения: Кривые: 1 - изменение площади пожара во времени $п = f (т) > кривая 2 - изменение площади

тушения или требуемого на тушение расхода ОВ во времени Sт(бтр) = /(т ) (при круговой форме развития

пожара - пунктирная линия); ломаная 3 - изменение фактического расхода во времени ^ф = f (т); Точки: твозн

- время возникновения пожара; тсер - время свободного развития пожара; ттуш - время тушения пожара; тт1 -время ввода первых пожарных стволов; тлик - время ликвидации пожара

Из уравнения (1) следует, что если в любой момент времени начать наблюдение за распространением горения и продолжать его в течение короткого периода Д/, то часть площади, пройденной огнем в течение этого периода, будет равна к Д/, где к - постоянная. Уравнение (1) справедливо для ограниченного периода развития горения, так как в конечном счете пожар прекратит распространяться. Горение может иногда

стабилизироваться на некотором устойчивом значении, а также испытывать регулярные или нерегулярные колебания, или может уменьшаться, в зависимости от пожарной нагрузки, газообмена и других факторов. Изменение площади пожара, стабилизируемой на некотором устойчивом уровне (рис. 1, тлок), опишем с помощью логистического уравнения (П. Ферхюльста):

S = к ■ S - b ■ S,

(2)

Таким образом, второй член уравнения ограничивает возможность горения и называется «демпфирующим».

Осуществив преобразования уравнения (2)

С ^

S = Sn ■(к -b■ Sn); S = Sn ■ к■

введем

обозначения

1-S" I к

к ~ S

J

тогда:

S = S„ ■ к ■

( ^

S

V Sr JJ

(3)

где Ь - коэффициент, характеризующий темп

уменьшения площади пожара; - доступная для

2

горения площадь, м .

Аналитическим решением этих уравнений являются функции:

S(t) = S0 ■ Sr ■ вы или S(t) = S - S0 + S0 ■ ек 1

(4)

Продифференцировав, например, выражение (4) два раза по / и проанализировав полученный результат, делаем вывод о том, что кривая £(/) имеет

точку перегиба 1ln (Sr - S0 ). Sr

координатами

S

у) (рис. 2).

■ площадь пожара скорость роста площади пожара ускорение роста площади пожара

Рис. 2. Изменение площади пожара

На рис. 2 в плоскости площадь-время (8п, 1) приведены графики интегральных кривых для различных начальных значений 80. Положения равновесия отображены на оси 8п - точками и стрелками - направления движения фазового потока. Фазовое пространство в данном примере одномерно, а траектории системы управления отображены в виде отрезков прямой площади пожара, движение по которым осуществляется в направлении верхней точки (в данном примере - 100).

Определение 1. Динамической системой управления силами и средствами при пожаротушении мобильными средствами назовём элементы {8п, УЯ}, где 8п - возможная площадь пожара (пространство состояний), УЯг -«однопараметрическое семейство» [3]

трансформационных операторов, удовлетворяющее свойствам [4]:

YR> = id (YR).

(5)

(

с

YRtut2 = YRn о YRt2,

(6)

где id - тождественное отображение решения управленческих задач РТП при пожаре пожарно-спасательными подразделениями, YR.

Эти свойства означают, что динамическая система не меняет своего состояния самопроизвольно и она автономна.

= f fc),

8т ^ 8т ^^ Rn

/: ^ ^ и является системой

автономных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если определено начальное состояние Бт(0) = Б0 е 8т, то в случае выполнения требований «теоремы существования и единственности решения задачи Коши (если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие)» [5], трансформационный

оператор принимает вид: = £т (я0, t).

Правая часть - это есть решение задачи (7) при начальном условии Бт(0) = Б0.

Определение динамической системы оперативного управления пожарно-спасательными подразделениями при ведении оперативно-тактических действий при пожаре представляет математическую формализацию общей научной концепции детерминированного процесса и включает множество возможных состояний системы (фазовое пространство) и закон трансформации системы управления во времени.

Существенным признаком динамической системы оперативного управления пожарно-спасательными подразделениями при ведении оперативно-тактических действий при пожаре является размерность пространства состояний, подразделяющаяся на конечномерные и бесконечномерные.

Вышеизложенное позволяет представить (1) для динамической системы с дискретным временем в следующем виде:

S , = кр• S , kp > 0,

п t+1 * п Р г '

где kp - коэффициент пропорциональности.

Определение 2. Множество возможных позиций Бт = (б1, ..., Бп), назовём «пространством состояний или фазовым пространством системы (7)»[4].

Пространство состояний динамической системы (7) охватывается множеством Яп = {бт : Бт > 0}.

Определение 3. Кривую vt(s0) назовём фазовой кривой (траекторией) системы управления (7). График функции = (1; Б0), всех i = 1, 2, ..., п на множестве Бт = (б1, ..., Бп, 1) назовём интегральной кривой системы управления (7).

Определение 4. Положениями равновесия динамической системы (7) назовём те точки фазового

Формализуем закон изменения в виде дифференциальных уравнений. Для этого допустим, что пространство состояний динамической системы представлено подмножеством 8 = 8т с Кп, с позициями Бт = (б1, ..., Бп) и закон изменения задается неявно:

(7)

пространства б*, для которых /(я*) = 0. То есть б* -

это решение, так как я* = 0.

Прямая параллельная оси 1 (рис. 2) с координатами (0, 100) (для данного примера) - это интегральная кривая (прямая в пространстве КхЯп), соответствующая положению равновесия.

Определение 5. Фазовым портретом назовём семейство фазовых траекторий, полученных в результате разбиения фазового пространства на траектории.

Отобразить семейство фазовых траекторий на рисунке не представляется возможным, поэтому отображаются только опорные траектории, в результате получается фазовый портрет.

Утверждение 1. Решения уравнения (7) представляют из себя монотонные функции во времени.

Доказательство. Зафиксируем некоторое начальное условие Б0, при этом ^0) ^ 0, а графическое отображение решения б0) в

некоторый момент времени и содержит локальный максимум/минимум, эквивалентный б*.

Тогда, Б0(/*) = _/(б*) = 0, а это означает, что б* -положение равновесия, т.е. уравнение (7) обладает решением, тождественно равным б*, а это не согласуется с утверждением теоремы существования и единственности решения.

Семантически утверждение свидетельствует о том, что в одномерных динамических системах с непрерывным временем невозможны периодические решения. Фазовый портрет этих систем сводится к совокупности отрезков (ориентированных) прямых, стремящихся к равновесному положению или в противном случае стремящихся в бесконечность. В том случае если траектория одномерной динамической системы ограничена, как, например, в случае тушения стандартного пожара, то ее асимптотические состояния находятся всегда в положении равновесия.

Распространение пожара. Абстрагируясь, разбиваем пожарную нагрузку, по которой развивается пожар, на три непересекающихся множества: Sн - огонь ещё не дошел, Sо - охвачена огнём, Sно - созданы условия для перехода на неё огня. В этом случае пространство состояний: 8 е (8н, 8о, 8но), тогда в любой момент времени (пока не вводятся огнетушащие вещества) должно

т

выполняться SH + S0 + SHO = S, если наша система замкнута (взрыва не будет, ограждения не сгорят).

Наложение ограничения «равенства» на состояние рассматриваемой системы означает, что фазовое пространство двумерно.

Замена локальной модели (процессы пространственно однородны) на распределённую (процессы пространственно неоднородны) позволяет уточнить описание протекающих процессов в системе управления. Для этого необходимо учитывать Sн = S^x, t) и = S^(x, t)

пространственное распределение параметров, т.е. двумерное фазовое пространство замещается бесконечномерным.

С учётом (1, 2) и SIR модели [6] математическая модель распространения пожара с учётом равномерности пожарной нагрузки и постоянной скоростью тушения, vt:

4 = -vp- £н ■ So So = vP ■ S* ■ So - Vt ■ So,

L=vP■ So

где vp, vt - скорости распространения пламени и тушения, соответственно.

Система пожаротушения. Обстановка с пожаротушением в пределах определенной области (объекте, помещении, территории) O опишем вектором с неотрицательными компонентами S = (Si, S2, ... , Sn) е R+n, где Sn — площадь тушения на n-й позиции. Тогда, R+n = {S е Rn : S > 0}, где: S > 0 для вектора S означает, что Sn > 0 для всех n.

Система «тушение-пожар». Состояние этой системы опишем двумя значениями: Т -характеристика пожаротушения в рассматриваемой области (объекте, помещении, территории); П -характеристика пожара (пожарная нагрузка, опасные факторы пожара, геометрические параметры). Тогда фазовое пространство: S = R2+.

Пространственные характеристики

пожаротушения и развития пожара обладают свойством неоднородности и, следовательно, пространства вектор-функций запишем: Т(х, t), Р(х, t),

где x е О с R2, в том случае если рассматривается процесс пожаротушения на плоскости; x е О с R3, в объёме (фазовое пространство становится бесконечномерным, равно как и пространство функций).

Эволюция динамической системы пожаротушения определяет трансформацию состояния системы со временем t е T, где T -упорядоченное множество. Теории управления пожарно-спасательными подразделениями

оперируют двумя типами динамических систем (непрерывные, дискретные), когда: T = R, с непрерывным временем; T = Z, с дискретным временем.

Ключевой составляющей любой динамической системы является закон её изменения,

определяющий состояние системы в момент времени 1 - 84 при условии, что её начальное состояние известно 80. В общем виде формализуем закон изменения: УЯ( : £ ^ £.

Т.е. для любого времени / определено отображение 8 на 8, которое транслирует «начальное состояние в другое»: £ = ' £.

Трансформация динамической системы происходит в условиях воздействия на входящие в неё элементы. Пусть на пожар воздействуют огнетушащие вещества с фактическим расходом, Рф 4 и фактической интенсивностью, 1ф ь так что локализация не происходит. Т.е. окружающая среда (пожар) способна перерабатывать и поглощать до определенного предела внешнее воздействие (огнетушащие вещества):

ь < <

1ф t < 1тр t ,

где Рф с - фактический расход огнетушащих веществ, л/с; ртр с - требуемый расход огнетушащих веществ, л/с; 1ф с - фактическая интенсивность подачи огнетушащих веществ (линейная, поверхностная, объемная); 1тр с - требуемая интенсивность подачи огнетушащих веществ (линейная, поверхностная, объемная).

В этом случае изменение системы «тушение-пожар» опишем системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

Оф t < QtP t ;

\T = ß- tr T - f (П ,T)

[П = g(n)- h(nj) '

где / - мощность пожаротушения за единицу времени; /г - коэффициент, характеризующий темп роста (относительная скорость) площади пожара; Т) > 0 -

функциональная переменная, описывающая взаимодействие огнетушащих веществ и пожара; g(П) - функциональная переменная, описывающая динамику пожара при отсутствии подачи огнетушащих веществ; И(П, Т) > 0 - функциональная переменная, описывающая влияние пожаротушения на пожар [7].

Обобщённый алгоритм математического моделирования сложной социальной и экономической системы управления силами и средствами при пожаротушении:

1. Замена множества дискретных объектов системами уравнений.

2. Анализ решения систем уравнений (при всех возможных параметрах).

3. Интерпретация в терминах пожарной

тактики.

Заключение

Любая модель - это идеализация реальности.

Реальное развитие пожара - это распространение пожара по множеству дискретных объектов (пожарной нагрузке), которые обладают своими индивидуальными чертами

(пространственные координаты, масса и низшая теплота сгорания и т.п.).

Детерминированные динамические системы управления пожаротушением мобильными средствами - это не единственно возможная идеализация систем управления при пожаре.

Библиография

1. ГОСТ Р 54081-2010 (МЭК 60721-2-8:1994) Воздействие природных внешних условий на технические изделия. Общая характеристика. Пожар.

2. Денисов А.Н., Усманов Р.А. Методы оперативного реагирования пожарно-спасательных подразделений для зданий повышенной этажности [Электронный ресурс] // Интернет-журнал "Технологии техносферной безопасности " (http://ipb.mos.ru/ttb). - № 4 (68) 2016 г. (дата обращения: 07.08.2017).

3. Крейн С.Г., Хазан М.И. Полугруппа нелинейных операторов //Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 458-459. — 623 с.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр. — М.: Наука, 1981. — 918 с.

5. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мир, 1972. — 720 c.

6. Kermack W.O. andMcKendrick A.G. Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, Proceedings of the Royal Statistical Society A. 1927. - Vol. 115. - P. 700-721.

7. Братусь А.С., Мещерин А.С., Новожилов А.С. Математические модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой // Вестник МГУ, серия Вычислительная математика и кибернетика. - № 6. - 2001. - С. 140-148.

Описание управленческих систем также осуществляется с помощью вероятностных (стохастических) процессов, учитывающих дискретность и целочисленность реальных пожаров, с учётом случайных факторов.

References

1. GOST R 54081-2010 (MEHK 60721-2-8:1994) Vozdejstvie prirodnyh vneshnih uslovij na tekhnicheskie izdeliya. Obshchaya harakteristika. Pozhar.

2. Denisov A.N., Usmanov R.A. Metody operativnogo reagirovaniya pozharno-spasatel'nyh podrazdelenij dlya zdanij povyshennoj ehtazhnosti [EHlektronnyj resurs] // Internet-zhurnal "Tekhnologii tekhnosfernoj bezopasnosti" (http://ipb.mos.ru/ttb). - № 4 (68) 2016g. (data obrashcheniya: 07.08.2017).

3. Krejn S.G., Hazan M.I. Polugruppa nelinejnyh operatorov // Matematicheskaya ehnciklopediya. — M.: Sovetskaya ehnciklopediya, 1985. — T. 5. — S. 458-459. — 623 s.

4. Andronov A.A., Vitt A.A., Hajkin S.EH. Teoriya kolebanij. — 2-e izd., pererab. i ispr. — M.: Nauka, 1981. — 918 s.

5. Hartman F. Obyknovennye differencial'nye uravneniya. — Mir, 1972. — 720 c.

6. Kermack W.O. and McKendrick A.G. Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, Proceedings of the Royal Statistical Society A. 1927. - Vol. 115. - P. 700-721.

7. Bratus' A.S., Meshcherin A.S., Novozhilov A.S. Matematicheskie modeli vzaimodejstviya zagryazneniya s okruzhayushchej sredoj // Vestnik MGU, seriya Vychislitel'naya matematika i kibernetika. - № 6. - 2001. - S. 140-148.

THE MATHEMATICAL FORMALIZATION OF GENERAL SCIENTIFIC CONCEPT OF A DETERMINISTIC PROCESS CELL FIRE-EXTINGUISHING MEANS.

Formalized of modeling of dynamic system the operational management offire and rescue departments in the conduct of tactical actions in case offire. Key elements of models of the selected area of the fire and extinguish it. The generalized algorithm of mathematical modeling of complex social and economic system offorces and means for fire-fighting.

Keywords: algorithm, dynamic system, model, fire-fighting, management.

Денисов Алексей Николаевич,

профессор, доктор философских наук, доцент,

Академия ГПС МЧС России, Управление пожарной тактики и обслуживания,

Россия, г. Москва,

тел.: 84956172724,

mail: dan_aleks@mail.ru,

Denisov A.N.,

professor, Ph. D., associate Professor,

Academy of State fire service of EMEPKOM ofRussia, Department offire tactics and service, Russia, Moscow.

© Денисов А.Н., 2017