CC BY
41
УДК 621.313.32 ББК 31.261 М 32
Кашин Я.М.
Кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой электротехники и электрических машин Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, e-mail: jlms@mail.ru
Кашин А.Я.
Помощник командира корабля (на самолетах АН-26), Знаменск, e-mail: jlms_1@mail.ru Князев А.С.
Инженер группы обслуживания авиационной эскадрильи, Липецк, e-mail: knyazev.aleksei.87@gmail.com Копелевич Л.Е.
Кандидат технических наук, доцент кафедры электротехники и электрических машин Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, e-mail: kkllev@mail.ru Самородов А.В.
Кандидат технических наук, доцент кафедры электротехники и электрических машин Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, e-mail: alex.samorodoff@gmail.com
Массогабаритная оптимизация эквивалентных синхронных электрических машин*
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматривается вопрос выбора массогабаритных показателей электрической машины с учетом ее формы на этапе проектирования. Приводятся результаты исследований зависимости массы активных материалов и габаритов синхронных электрических машин одной и той же мощности от их формы для радиального, аксиального и конического конструктивного исполнения.
Ключевые слова: электрическая машина, синхронная электрическая машина, эквивалентные электрические машины, массогабаритная оптимизация синхронных электрических машин.
Kashin Ya.M.
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Electrical Engineering and Electrical Machines, Kuban State University of Technology, Krasnodar, e-mail: jlms@mail.ru
Kashin A.Ya.
Copilot (in the Antonov An-26 airplanes), Znamensk, e-mail: jlms_1@mail.ru Knyazev A.S.
Engineer of Group of Aviation Squadron Service, Lipetsk, e-mail: knyazev.aleksei.87@gmail.com
Kopelevich L.E.
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Electrical Engineering and Electrical Machines, Kuban State University of Technology, Krasnodar, e-mail: kkllev@mail.ru
Samorodov A.V.
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Electrical Engineering and Electrical Machines, Kuban State University of Technology, Krasnodar, e-mail: alex.samorodoff@gmail.com
Optimization of weight and dimensions of the equivalent synchronous electrical machines
Abstract. The paper deals with the choice of weight and dimensions of the electric machine taking into account its shape at a design stage. The authors present the results of researches on dependence of weight of active materials and dimensions of synchronous electric machines of the same power on their shape for a radial, axial and conic design.
Keywords: the electric machine, the synchronous electric machine, equivalent electric machines, optimisation of weight and dimensions of synchronous electric machines.
При проектировании электрических машин (ЭМ) для подвижных локальных объектов, например, автомобилей, самолетов и т.д., к ним предъявляется ряд требований, касающихся максимально допустимых габаритных размеров и (или) массы при определенной мощности. Масса, габариты и мощность ЭМ тесно связаны друг с другом, и при заданных параметрах перед инженерами могут возникнуть противоречивые условия проектирования
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Краснодарского края в рамках научного проекта 16-48-230500 «р_а».
- обеспечение требуемой мощности может быть достигнуто только при определенных габаритах, которые не всегда соответствуют заданным, а с другой стороны, при заданных габаритах и массе не всегда возможно достижение требуемой мощности ЭМ. Поэтому при выполнении массогабаритной оптимизации ЭМ необходимо искать наиболее оптимальный вариант построения ЭМ, который позволил бы обеспечить наибольшую мощность при наименьших габаритах и массе [1].
Возможны различные варианты построения синхронных электрических машин: аксиальные [2-9], цилиндрические [2, 5, 7, 8, 10], с коническим ротором [1, 2, 6, 11] в зависимости от соотношения требуемых габаритных размеров (рис. 1) и от взаимного расположения магнитопроводов якоря и индуктора (рис. 2).
Рис. 1. Электрические машины с разным соотношением габаритных размеров
Рис. 2. Магнитопроводы синхронных электрических машин с различным расположением якоря и индуктора
Рассмотрим ЭМ с коническим ротором (рис. 3) как наиболее общий случай ЭМ. Проведем прямую, проходящую через середину воздушного зазора и пересекающую ось вращения ротора под некоторым углом а - углом наклона воздушного зазора к оси вращения ротора ЭМ. Тогда при а=0° получится радиальная, а при а=90° аксиальная ЭМ. То есть все радиальные и аксиальные ЭМ можно рассматривать как частный случай ЭМ с коническим ротором.
дидяюр
воздушный зазор
Рис. 3. Сечение магнитопровода электрической машины с коническим ротором
В настоящей работе исследованы только такие ЭМ с коническим ротором, у которых все соприкасающиеся поверхности магнитопроводов статора перпендикулярны друг другу и все соприкасающиеся поверхности магнитопроводов ротора перпендикулярны друг другу [7, 6, 11].
Для любой ЭМ с известными параметрами, у которой значение угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора равно а1, можно определить такую ЭМ со значением угла наклона воздушного зазора а2, у которой результат электромагнитного преобразования энергии будет идентичным или эквивалентным. Тогда электрическую машину с углом наклона воздушного зазора к оси вращения ротора а1 и известными параметрами назовем исходной, а ЭМ с углом наклона воздушного зазора к оси вращения ротора а2 назовем эквивалентной.
Под эквивалентностью результатов электромагнитного преобразования энергии понимается получение одинаковых энергетических показателей (КПД, мощность, выходное напряжение и т.д.) при одинаковых входных величинах, причем эквивалентность результатов должна соблюдаться при любой частоте вращения ротора и любом значении тока, подаваемого в соответствующие обмотки исходной и эквивалентной ЭМ.
Нахождение эквивалентной ЭМ для исходной назовем эквивалентным преобразованием ЭМ. Суть эквивалентного преобразования ЭМ состоит в том, чтобы для ЭМ с известными характеристиками и имеющей один угол наклона воздушного зазора а1 определить геометрические размеры, форму и положение в пространстве магнитопроводов статора и ротора эквивалентной ЭМ, имеющей другой угол наклона воздушного зазора а2.
Для любой ЭМ с известными параметрами, у которой значение угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора равно а1, можно определить такую ЭМ со значением угла наклона воздушного зазора а2, у которой результат электромагнитного преобразования энергии будет идентичным или эквивалентным [7].
Рассмотрим сечение одного из магнитопроводов ЭМ с коническим ротором (рис. 4). Построим плоскость, перпендикулярную оси вращения ротора и проходящую через точку О, которая располагается в середине сечения воздушного зазора. В этой плоскости проведем окружность, имеющую центр на оси вращения ротора и проходящую через точку О. Построенную окружность назовем «эталонной». Для исходной ЭМ эквивалентное преобразование выполняется относительно эталонной окружности, которая сохраняет свое положение и размер при любом значении а, поэтому радиус эталонной окружности RO является постоянной величиной для рассматриваемой ЭМ, то есть RO=const.
Для магнитопровода (статора или ротора) поверхность, соприкасающуюся с воздушным зазором, назовем активной поверхностью магнитопровода, поверхность, прилегающую к ней, назовем боковой поверхностью (всего получим две боковые поверхности), а поверхность, противоположную активной, назовем тыльной. Обозначим расстояние между активной и тыльной поверхностями магнитопровода статора как hCT, расстояние между боковыми поверхностями магнитопровода (длина активной зоны) статора как lCT, расстояние между активной и тыльной поверхностями магнитопровода ротора как hP, расстояние между боковыми поверхностями магнитопровода (длина активной зоны) ротора как lP. Будем считать, что длины активных зон статора и ротора равны, то есть
1СТ — lp — I. (1)
Рассмотрим один из магнитопроводов исходной ЭМ (рис. 4). При известных параметрах а, ё, RO, l, h расстояния Rc, R1, R2, R3 и R4 (рис. 4) будут равны:
Rc — RO +—cos (a) , (2)
S l
R = RO + — • cos(a) - 2 • sin(a),
S l R = RO +---cos (a) +— sin(a),
R3 = Ro +1 h + 2
R4 = RO +1 h+2
• cos (a) + 2 • sin(a),
• cos (a) - -2 • sin(a),
(3)
(4)
(5)
(6)
где а - угол наклона воздушного зазора к оси вращения ротора, 5 - ширина воздушного зазора, Яо - радиус эталонной окружности, I - длина активной зоны магнитопровода, к - высота магнитопровода, ЯС, Яь, Я2, Я3 и Я4 - расстояния от оси вращения ротора до соответствующих вершин рассматриваемого сечения магнитопровода, причем точки 1 и 2 лежат на активной поверхности магнитопровода.
На рисунке 5 представлено сечение ЭМ, у которой все соприкасающиеся поверхности магнитопровода статора взаимно перпендикулярны и все соприкасающиеся поверхности магнитопровода ротора взаимно перпендикулярны.
Рис. 5. К определению зависимостей габаритов электрической машины с коническим ротором от ее параметров
Введем прямоугольную систему координат с осями x и y таким образом, чтобы ось x совпала с осью вращения ротора рассматриваемой ЭМ, а ось y находилась в плоскости рассматриваемого сечения. Габаритные размеры ЭМ по осям x и y обозначим как LX и LY соответственно. Тогда габаритный размер LX, измеряемый вдоль оси вращения ротора, будет равен:
LX = (кСТ + hp) • Бт(б) +1 • cos(6) + 8 • s^(6) . (7)
Габаритный размер LY, измеряемый перпендикулярно оси вращения ротора, будет равен:
(8)
Выражение (7) получено для случая, когда габаритный размер LY определяется магни-топроводом статора (рис. 5). Но если а > 90°, то ситуация изменится и габаритный размер Ly будет определяться магнитопроводом ротора, тогда выражение (8) будет иметь вид:
Ly = 2RO + 2hp ■ cos (б) +1 ■ s^(6) + 8 ■ cos(6). (9)
Для случая, представленного на рисунке 5, найдем соотношение габаритных размеров LX и LY :
Ly = 2RO + 2hCT • cos (б) +1 • sin(6) + S • cos (б).
Ьх (кСТ + кР) sin(б) +1 ■ cos(б) + 5 ■ ят(б) Ьу 2RO + 2ИСТ ■ ^(б) +1 ■ sin(б) + 5 ■ ^(б)
Как видно из выражений (7)-(9), габаритные размеры ЭМ с коническим ротором зависят от величины угла наклона воздушного зазора а , от длины активной зоны I и от высоты магнитопроводов кСТ статора и кР ротора. Причем, эти зависимости таковы, что при
изменении этого угла будут меняться не только сами габаритные размеры Ьх и Ьу, но и их соотношение.
Так как наружный диаметр Бн статора и Б ротора находятся в определенном соотношении БН=кдНБ, то для радиальных ЭМ, у которых а=0°, выражение (10) примет вид:
Ьт.==, (11)
Ьу Бн кдн Б
где кдд - коэффициент наружного диаметра радиальной ЭМ, а величина — представляет
собой известное отношение длины магнитопровода I радиальной ЭМ к наружному диаметру Б ротора [12, с. 33].
Как известно, выбор величины соотношения -Б является очень важным при проектировании, так как от этого зависит множество других параметров радиальных ЭМ. Для аксиальных ЭМ, у которых а=90°, выражение (10) будет иметь вид:
Ьх = кСТ + К +5 (12)
Ьу 2RO +1 '
Как видно из выражений (11) и (12), при увеличении длины активной зоны I величина
отношения Ь— для радиальных ЭМ будет увеличиваться, а для аксиальных - уменьшаться. Ьу
Для ЭМ, имеющих одинаковые размеры I, кСТ, кР, ниже представлены графики, отражающие зависимость величин Ьх, Ьу,от угла наклона воздушного зазора к оси вра-
Ьу
щения ротора а при изменении его значения в диапазоне от 0° до 180°.
На рисунках 4 и 5 показано, как меняются габаритные размеры эквивалентных ЭМ с коническим ротором (у которых активная и тыльная стороны перпендикулярны боковым) при изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора.
Как видно из рисунка 6, наименьшее значение Ьх достигается при а=0°, а=90°, а=180° (зависит от конкретных значений размеров I, кСТ, кР), то есть когда ЭМ является радиальной или аксиальной, а наибольшее значение Ьх достигается при а=45°, а=135°.
Рис. 6. Изменение габаритного размера Ьх при изменении угла а наклона воздушного зазора к оси вращения ротора
Как видно из рисунков 7, наименьшее значение Ьу достигается при а=0°, а=90° или при а=180° (зависит от конкретных размеров I, кСТ, кР), то есть когда ЭМ является радиальной или аксиальной, а наибольшее значение Ьу достигается при а=45°, а=135°.
О 10 20 50 40 SO 6« 70 80 90 100 110 120 1Э0140 ISO 3,60 170 180
в)
Рис. 7. Зависимость габаритного размера Ьу от угла а наклона воздушного зазора к оси вращения ротора при условии: а) ИСТ>ИР; б) ИСТ=ИР; в) ИСТ<ИР
L
Как видно из рисунков 7 (а, б, в), наименьшее значение достигается при а=0°,
Ьт
а=90° или при а=180° (зависит от конкретных размеров I, ИСТ, ИР), то есть когда ЭМ является радиальной или аксиальной, а наибольшее значение Ь— достигается при а=45°, а=135°.
в)
LX
Рис. 8. Зависимость соотношения габаритного размера т от угла а наклона воздушного зазора к оси вращения ротора при условии: а) НСТ>НР; б) ИСТ=ИР; в) НСТ<НР
Для представления о том, как меняется форма и конфигурация эквивалентных ЭМ при изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора, на рисунке 9 представлены магнитопроводы якоря (верхний ряд) и индуктора (нижний ряд) при различных значениях этого угла. В частности, при а=0° имеем радиальную ЭМ, при а=90° имеем аксиальную ЭМ, при а=180° получим обращенную радиальную ЭМ, то есть электрическую машину, у которой ротор и статор «поменялись» местами. Причем, если для магнитопровода статора
угол наклона воздушного зазора к оси вращения ротора равен а, то для ротора он будет равен а+180° [7].
a=60° а= эо" а=120° а=135° a=iso° а=180°
mm
Рис. 9. Изменение конфигурации эквивалентных синхронных электрических машин при изменении угла наклона воздушного зазора в диапазоне от 0° до 180°
Форма магнитопровода ЭМ с коническим ротором, у которой активная и тыльная поверхности перпендикулярны боковым поверхностям, задается взаимным расположением четырех конусов, соотносящихся между собой определенным образом. Для установления этого соотношения через уравнения обратимся к рисунку 10, на котором изображено одно из сечений магнитопровода плоскостью, проходящей через ось вращения ротора. Поверхность магнитопровода, через которую проходит прямая 3-4, является боковой поверхностью одного из «образующих» усеченных конусов с углом раствора а, у которого одно из оснований имеет радиус, равный R3, а второе основание имеет радиус, равный R4. Обозначим объем этого усеченного конуса как V34, а высоту как h34.
Рис. 10. К определению соотношения формы и размеров магнитопровода в зависимости от угла а
Поверхность магнитопровода, через которую проходит прямая 2-3, является боковой поверхностью второго «образующего» конуса с углом раствора 90°-а, у которого одно из оснований имеет радиус, равный R3, а другое основание имеет радиус, равный Обозначим объем этого усеченного конуса У23, а высоту - к23.
Поверхность магнитопровода, через которую проходит прямая 1-4, является боковой поверхностью одного из «исключающих» усеченных конусов с углом раствора 90°-а, у которого одно из оснований имеет радиус, равный R1, а второе основание имеет радиус, равный R4. Обозначим объем этого усеченного конуса У14, а высоту - к14.
Поверхность магнитопровода, через которую проходит прямая 1-2, является боковой поверхностью второго «исключающего» конуса с углом раствора а, у которого одно из оснований имеет радиус, равный R1, а другое основание имеет радиус, равный R2. Обозначим объем этого усеченного конуса У12, а высоту - к12.
Объем магнитопровода, не имеющего пазов, обозначим как УЗАГ, а объем магнитопровода с пазами обозначим как УМ. Тогда объем УЗАГ найдем по формуле:
УЗАГ=У34+У23-У13-У12. (13)
На рисунке 11 изображен усеченный конус с радиусами оснований, равными г1 и г2, и высотой к.
Рис. 11. Усеченный конус Объем усеченного конуса в общем виде вычисляется по формуле:
V = 3 жк (г2 + щ + г22).
(14)
Тогда для случая, представленного на рисунке 10, будут справедливы следующие выражения:
V34 = 3 жк34 ( + Я3Я4 + Я42) = 3 ж1 ■ соэ(а) • (( + ^зЯ4 + Я42),
V23 = 3ж\ъ (( + RR3 + R2 ) = ) • sin (а) • (( + R,R + R2), ^4 = 3 жк,4 (Ri2 + R1R4 + R2) = 3 жк • sin (а) • (R12 + R1R4 + R2), ^2 = -Ж (R12 + RR2 + R22)= 3ж1- cos(a) • (R12 + RR + R22).
3 1 1 ^ ^ 3 Объем магнитопровода без пазов (объем заготовки) будет равен:
(
V =£
Узаг 3
l • cos(a) • (R32 + R3R4 + R42 - R12 - R1R2 - R2) -
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
+h • sin (а) • (R2 + RR3 + R2 - R2 - RR4 - R42)
С учетом выражений (3-6) уравнение (20) примет вид:
ГЗАГ = Шж (2 RO + (hK + 5) cos(a)). (20)
Для якоря, у которого высота магнитопровода равна h=h^, площадь сечения паза равномерна по всей его длине и равна Sn, а количество пазов равно Z, объем магнитопровода якоря с пазами будет равен:
v ЯК = V заг - Sn • l • Z = тшж(2Ro + (hяK + 5) cos(a)) - Sn • l • Z. (21)
Тогда масса магнитопровода якоря будет равна:
MЯК = VЯК • Pct
= lPCT (hякж(2R + (h^ +5)cos(a))-Sn • Z), (22)
где pCT - плотность стали.
Магнитопровод индуктора синхронной ЭМ (рис. 9, нижний ряд) состоит из ярма и закрепленных на нем полюсов. Каждый полюс состоит из сердечника полюса и полюсного наконечника. В плоскости, перпендикулярной оси вращения ротора и проходящей через середины активных поверхностей полюсов, проведем окружность с центром на оси вращения ротора (рис. 12). Длина дуги окружности, соединяющей по кратчайшему расстоянию точки пересечения построенной окружности с плоскостями, проходящими через боковые поверхности полюсного наконечника, определяет ширину полюсного наконечника и является ее проекцией на указанную окружность. Длину этой дуги при а=0° обозначим как LnH. Тогда, если средняя высота полюсного наконечника равна hnH, то объем полюсного наконечника будет равен:
Vnn = (2R - (hnH + S) cos(a)) -
h lL
21 RO + — cos(a)
(23)
Рис. 12. К определению зависимости длины полюсных наконечников у эквивалентных электрических машин, имеющих разный угол наклона воздушного зазора
В случае, если рассматривается ЭМ, у которой а^0°, то длина проекции ширины полюса на окружность, проведенную через середины активных поверхностей полюсов ЬПН для подстановки в уравнение (20), может быть найдена через длину Ь'ПН (рис. 12) по формуле:
ТПН ТПН '
R +* * 2
*
RO + -cos («')
(24)
Масса полюсного наконечника будет равна:
M ПН = Упн
Рст
hnh '1' тпн ' Рст
(2Ro -(пн + *)cos (а)).
(25)
21 RO +—cos(a) I
2 4 )
В плоскости, перпендикулярной оси вращения ротора и проходящей через середины активных поверхностей полюсов, проведем окружность с центром на оси вращения ротора (рис. 13). Длина дуги окружности, соединяющей по кратчайшему расстоянию точки пересечения построенной окружности с плоскостями, проходящими через боковые поверхности полюсного наконечника, определяет ширину полюсного наконечника и является ее проекцией на указанную окружность. Длину этой дуги обозначим как ЬСП (при а=0°). Тогда, если высота полюсного наконечника равна кСП, то объем полюсного наконечника будет равен:
h ' 1' Т
"СП 1 ^СП
(2Ro -(2h
+ h +
пн ^ "СП ^
*)cos(a)).
(26)
Рис. 13. К определению зависимости длины сердечников полюсов у эквивалентных электрических машин, имеющих разное значение угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора
В случае если рассматривается ЭМ, у которой а^0°, то длина проекции ширины сердечника полюса на окружность, проведенную через середины активных поверхностей полюсов LСП1 для подстановки в уравнение (26), может быть найдена через длину иСП (рис. 13) по формуле:
Lcn Lcn '
R0 + — O 2
2
Тогда масса сердечника полюса будет равна:
hcn ' l ' Lcn ' р
RO +—cos(a')
Mcn Vcn ' Рст
СП
СП СТ
21 RO + —•cos (a)
(2Ro -(( + hcn
+ 5)cos (a) )•
Если ЭМ имеет 2p полюсов, то общая масса всех полюсов ЭМ равна:
MП = 2 p ((ПН + MСП ) = pl
hnn ' LnH ' Рст
Ro + 2cos (a)
-(2Ro -(пн +—)cos(a))-
hcn ' Lcn ' РСТ
Ro + — cos(a)
(2Ro - (2hnH + hcn + 5)cos(a)
(27)
(28)
(29)
Объем ярма, имеющего высоту h^P, равен: Vяр = ж^яр
(2Ro -(2hnH + 2hcn + ^p + ^)-cos(a)) . (30)
Масса ярма индуктора будет равна:
MЯР = жШЯРрСТ (2RO - (2hnH + 2hcn + hЯР + 8)-cos(a)) . (31)
Масса магнитопровода индуктора равна:
Mинд = Mn + ЫЯР =к1 (1p^(hnHРстФпн (2RO -(пн +8)cos()) +
+hcn РстРсп (2RO -(2hnH + hcn
+8)cos (а))+
+hяpPcт (2Ro - (2hnH + 2hcn + hяp +8) cos (a))). (32)
Для всей ЭМ масса магнитопроводов (масса стали) равна:
Мст_ЭМ=МЯК+МИНД. (33)
Учитывая, что угол наклона воздушного зазора для магнитопроводов якоря и индуктора отличаются на 180°, получим:
MСТэи = lPCT (((2RO + (Кк + 8) cos (a)) - Sn •Z ) + +nl (t8p°(hnh Рст^пн (2ro -(пн +8)cos ( +180°)) +
+hcnPcT Pen (2Ro - (2hnH + hcn +5) cos (a +180°)) + +ИЯРрСТ (2Ro -(2hnH + 2hcn + hЯР +5)cos (a +180°))) .
(34)
Рассмотрим такую ЭМ, у которой при а=0° индуктор располагается внутри якоря (рис. 14).
Для такой ЭМ ниже представлены графики, описывающие изменение массы магнитопроводов якоря (рис. 15) и индуктора (рис. 16) при изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора в пределах от 0° до 180° (при а=180° якорь и индуктор меняются местами).
Рис. 14. Электрическая машина, у которой индуктор располагается внутри якоря
Мяк
MIN
Мяк
Мяк
МАХ
Рис. 15. Зависимость массы магнитопровода якоря от угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора
МинДим МинАНдХ МИНД
Рис. 16. Зависимость массы магнитопровода индуктора от угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора
В зависимости от параметров магнитопровода якоря (высоты магнитопровода, количества и размеров пазов) и магнитопровода индуктора (количества полюсов, высоты полюсного наконечника, высоты и ширины сердечника полюса, ярма) масса стали всей ЭМ может изменяться в диапазоне между кривыми 1-1 и 2-2 (рис. 17).
Рис. 17. Диапазон изменения массы электрической машины при изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора
Кривая 1-1 соответствует случаю, когда при изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора от 0° до 180° уменьшение массы якоря больше увеличения массы индуктора:
ДМяк>ЛМИНД. (35)
Кривая 2-2 соответствует случаю, когда при изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора от 0° до 180° уменьшение массы якоря больше увеличения массы индуктора:
ДМяк<ДМинд. (36)
Определим зависимость массы обмоток якоря и индуктора от угла наклона воздушного зазора.
Длина обмотки якоря с шагом yz, имеющей wЯК витков, будет равна:
^ЯК - WЯК
( ( 5 Л Л 4я\ RO + — cos (а) I- Z • ЬП
21 + уг
+2 уЬп
(37)
где ЬП - ширина паза магнитопровода якоря, 2 - количество пазов. Длина обмотки возбуждения равна:
ЬВОЗВ - 4p •w
ВОЗБ
l + L
'СП
Ro + -cos (а) Ro
O 2 у
(38)
где р - число пар полюсов, LСП - длина сердечника полюса на среднем диаметре при а=0°
(рис. 13), которая может быть найдена по формуле (27), wВОЗБ - число витков в обмотке возбуждения.
Масса меди для всей ЭМ:
ММЕДИ _ ЭМ ~ Рм (^обмЯК ' LЯК + ^ обмВОЗБ ' LВОЗБ ) _
Г Г Г я \ \ \
-Ры (S
MVJ обмЯК "ЯК
Wc
( ( 5 Л Л 4^ RO + — cos(a) I-Z• ЬП
2l + yz
+2 yZn
(
+s
обмВОЗВ
• 4 p • w
ВОЗВ
RO + —cos(a)
Л
l + L
СП
Ro +-
(39)
2 у
где 8обМяк - площадь поперечного сечения проводника обмотки якоря, ^обмВОЗБ - площадь
поперечного сечения проводника обмотки возбуждения, рМ - плотность меди.
Зависимость массы обмотки якоря от угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора представлена на рисунке 18; зависимость массы обмотки возбуждения от угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора представлена на рисунке 19.
Ьяк.
1-Я к.
1-Я к
'-""МАХ
Рис. 18. Зависимость массы обмотки якоря от угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора
[_возб
MIN
[_возб
Ьвозб
МАХ
Рис. 19. Зависимость массы обмотки возбуждения от угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора
Несмотря на то, что масса обмоток действительно зависит от угла наклона воздушного зазора, максимальное изменение LякMAX-LякMIN и LвозбмAx-LвOзбмIN составляет примерно 0,5-0,8% от всей длины соответствующей обмотки. В связи с этим можно считать, что при изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора масса меди почти не меняется, а изменение массы всей ЭМ определяется только изменением массы стали.
Таким образом, в зависимости от параметров якоря и индуктора наименьшую массу ЭМ будет иметь в одном из двух случаев, представленных на рисунке 20, а именно когда а=0° или когда а=180°, то есть когда ЭМ является радиальной. В каком именно случае масса синхронной ЭМ будет наименьшей, зависит от конкретных значений следующих параметров: длина активной зоны I, высота магнитопровода якоря hяк, количество пазов в магни-топроводе якоря Z, площадь паза магнитопровода якоря SП, высота полюсного наконечника индуктора hПН, высота сердечника полюса индуктора ^П, высота ярма индуктора hЯР, число полюсов индуктора 2p.
Рис. 20. Варианты конструкции эквивалентных электрических машин с наименьшей массой
Так как изменение угла наклона воздушного зазора а к оси вращения ротора сопровождается изменением ширины зубцов в магнитопроводе якоря, то при массогабаритной оптимизации эквивалентных ЭМ следует учитывать ограничения, накладываемые на их конструкцию исходя из прочности и максимально допустимой электромагнитной нагрузки. В случае, если при изменении угла а ширина зубца на внутреннем диаметре магнитопровода якоря достигла минимально допустимого значения, то можно утверждать, что для рассматриваемого эквивалентного преобразования ЭМ с заданными параметрами достигнут критический угол наклона воздушного зазора к оси вращения ротора акр.
Критический угол наклона воздушного зазора к оси вращения ротора для эквивалентных ЭМ рассчитывается в зависимости от минимальной величины ширины зубца якоря на внутреннем диаметре (в точке 1 на рис. 4).
При известной длине активной зоны l можно вычислить радиус окружности с радиусом R1 и центром на оси вращения ротора:
8 l
R = RO +—cos (а) - ^sin(a). (40)
Длина окружности с радиусом R1 и центром на оси вращения ротора равна:
L = 2nRx = 2^ RO + 8 cos(a) -2 sin(a) j. (41)
Тогда ширина зубца на этой (внутренней) окружности будет равна:
27 | Ra + 8 cos(a) -l sin(a) | - Z ■ bn
Ьвн = ^ = 1 O 2 ( Z 2 j " . (42)
Для bZBH = bZsMN вычислим критический угол наклона воздушного зазора к оси вращения ротора аКР :
8
27(Ra + - cos(aкр )) - Z [Квнты + bn ) sin (акр) =-2---. (43)
7l
Величина воздушного зазора S обычно не превышает 1,5 мм, величина S-cos(aкр ) не превышает величины S, поэтому для упрощения расчетов будем считать, что по сравнению с величиной Ra она мала и ею можно пренебречь. Это даст небольшую погрешность при определении критического угла наклона воздушного зазора аКР к оси вращения ротора, од-
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (196) 2017 нако упростит его определение:
Г 2жЯ0 - Z (bZMN + bn ^ (44)
аКР = arcsin
Til
Минимальное значение величины Ь2внШЫ может быть определено исходя из ограничений по прочности конструкции или по максимальной электромагнитной нагрузке на зубец магнитопровода якоря.
Исходя из (42) следует, что при выбранном значении Ъ2внМт для радиальной ЭМ не
всегда можно найти эквивалентную аксиальную ЭМ, но для любой аксиальной ЭМ всегда можно найти эквивалентную радиальную ЭМ.
Результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие выводы:
1. При а=30о, а=450, а=60о, а=120о, а=1350, а=150о корпус электрических машин может быть конусообразным (рис. 9), что позволяет устанавливать их в объекты подходящей формы, например, беспилотные ЛА или другие подвижные локальные объекты, в которых важно полезно использовать весь объем внутреннего пространства корпуса объекта. Однако сложность технологии производства магнитопроводов конусообразной формы может привести к увеличению стоимости ЭМ без получения каких-либо ощутимых преимуществ, кроме нестандартной формы, что может сделать изготовление таких ЭМ нецелесообразным.
2. При изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора в эквивалентных синхронных ЭМ масса меди меняется очень незначительно, а масса стали магнито-проводов якоря и индуктора изменяется в значительной степени. Изменение угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора, приводящее к уменьшению массы магнитопрово-да индуктора, сопровождается увеличением массы якоря и, наоборот, при этом наименьшее значение массы среди эквивалентных ЭМ достигается при радиальном исполнении.
3. При изменении угла наклона воздушного зазора к оси вращения ротора изменяется не только масса, но и расстояние от центра масс магнитопровода до оси вращения ротора. Для ротора это означает изменение момента инерции, а для всей ЭМ - изменение скорости протекания переходных процессов. Поэтому при массогабаритной оптимизации необходимо учитывать этот факт исходя из предназначения проектируемой ЭМ.
4. Ограничения, накладываемые на конструкцию ЭМ исходя из прочности и максимально допустимой электромагнитной нагрузки, уменьшают количество вариантов возможного построения ЭМ с заданными массогабаритными показателями, поэтому перед началом проектирования и оптимизации необходимо определить область допустимых значений всех основных параметров ЭМ.
Примечания:
1. Исследование зависимости мощности синхронных электрических машин от главных размеров и частоты вращения ротора / Я.М. Кашин, А.Я. Кашин, А.С. Князев, А.В. Ракло // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 3 (186). С. 99-108. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Сквозное проектирование синхронных электрических машин с постоянными магнитами / Я.М. Кашин, А.Я. Кашин, А.С. Князев, А.В. Ракло // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 3 (186). С. 114-121. URL: http://vestnik.adygnet.ru3
3. Патент на изобретение RUS 2402858. Аксиальный бесконтактный генератор постоянного тока / Б.Х. Гайтов, Я.М. Кашин, Т.Б. Гайтова, А.Я. Кашин. 12.10.2009 г.
References:
1. Research on dependence of capacity of synchronous electric machines on the main sizes and frequency of the rotor rotation / Ya.M. Kashin, A.Ya. Kashin, A.S. Knyazev, A.V. Raklo // The Bulletin of the Ady-ghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 3 (186). P. 99-108. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Through designing synchronous electric machines with permanent magnets / Ya.M. Kashin, A.Ya. Kashin, A.S. Knyazev, A.V. Raklo // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 3 (186). P. 114121. URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Patent for Invention RUS No. 2402858. Axial contact-less DC generator / B.Kh. Gaytov, Ya.M. Kashin, T.B. Gaytova, A.Ya. Kashin. 12.10.2009.
4. Патент на изобретение RUS № 2450411. Аксиальная двухвходовая бесконтактная электрическая машина-генератор / Б.Х. Гайтов, Я.М. Кашин, Т.Б. Гайтова, А.Я. Кашин, Д.В. Пауков, А.В. Го-лощапов. Опубл. 12.01.2011 г. Бюл. № 13.
5. Кашин Я.М., Кашин А.Я., Пауков Д.В. Обоснование и разработка перспективных конструкций генераторных установок для систем автономного электроснабжения // Известия вузов. Электромеханика. 2012. № 1. С. 46-53.
6. Кашин А.Я., Князев А.С. Радиальные и аксиальные электрические машины как частный случай электрических машин с коническим ротором. Основные определения // Технические и технологические системы «ТТС-15»: материалы VII Между -нар. науч. конф. / под общ. ред. Б.Х. Гайтова. Краснодар: Издательский дом - Юг, 2015. С. 121127.
7. Определение основных размеров аксиальных электрических машин / Я.М. Кашин, А.Я. Кашин, А.С. Князев, Б.Н. Абзалов // Наука. Техника. Технологии (Политехнический вестник). Краснодар: Издательский дом - Юг, 2016. № 1. С. 111-121.
8. Гайтова Т.Б., Кашин Я.М. Нетрадиционные электротехнические комплексы. Теория, расчет, конструкции. Краснодар: Изд-во КВАИ, 2004. 404 с.
9. Патент на изобретение RUS 2561504. Аксиальный двухвходовый бесконтактный ветро-солнечный генератор / Б.Х. Гайтов, Я.М. Кашин, А.Я. Кашин, Л.Е. Копелевич, А.В. Самородов. 16.06.2014 г.
10. Кашин Я.М., Кириллов Г.А., Ракло А.В. Авиационное оборудование самолетов. Ч. 1 / под общ. ред. Я. М. Кашина. Краснодар: Изд-во Краснодар. высш. воен. уч-ща летчиков, 2006. 197 с.
11. Князев А.С. Эквивалентное преобразование электрических машин с коническим ротором // Технические и технологические системы «ТТС-15»: материалы VII Междунар. науч. конф. / под общ. ред. Б.Х. Гайтова. Краснодар: Издательский дом - Юг, 2015. С. 127-132.
12. Балагуров В.А. Проектирование специальных электрических машин. М.: Высш. шк., 1982. 272 с.
4. Patent for Invention RUS No. 2450411. Axial two-way contactless electric machine generator / B.Kh. Gaytov, Ya.M. Kashin, T.B. Gaytova, A.Ya. Kashin, D.V. Paukov, A.V. Goloschapov. It is published on 12.01.2011. Bul. No. 13.
5. Kashin Ya.M., Kashin A.Ya., Paukov D.V. The statement and the development of advanced generating sets designs for systems of autonomous power supply // News of Higher Educational Institutions. Electrome-chanics. 2012. No. 1. P. 46-53.
6. Kashin A.Ya., Knyazev A.S. The radial and axial electric machine as a particular case of electrical machines with a conical rotor. Basic definitions // Technical and technological systems "TTS-15": materials of the VII Intern. scient. conf. / general ed. by B.Kh. Gaytov. Krasnodar: Publishing House - Yug, 2015. P. 121127.
7. Determination of main dimensions of axial electric machines / Ya.M. Kashin, A.Ya. Kashin, A.S. Knyazev, B.N. Abzalov // Science. Technique. Technology (Polytechnic Bulletin). Krasnodar: Publishing House - Yug, 2016. No. 1. P. 111-121.
8. Gaytova T.B., Kashin Ya.M. Innovative electrical systems. Theory, calculation, construction. Krasnodar: KVAI Publishing House, 2004. 404 pp.
9. Patent for Invention RUS No. 2561504. Axial two-input contactless wind and solar generator / B.Kh. Gaytov, Ya.M. Kashin, A.Ya. Kashin, L.E. Kope-levich, A.V. Samorodov. 16.06.2014.
10. Kashin Ya.M., Kirillov G.A., Raklo A.V. Aircraft equipment of planes. Pt. 1 / general ed. by Ya.M. Kashin. Krasnodar: KVVAUL Publishing House, 2006. 197 pp.
11. Knyazev A.S. Equivalent transformation of electric machines with conical rotor // Technical and technological systems "TTC-15": VII Intern. scient. conf. / general ed. by B.Kh. Gaytov. Krasnodar: Publishing House - Yug, 2015. P. 127-132.
12. Balagurov V.A. Designing of special electric mashi-nes. M.: Higher School, 1982. 272 pp.
