МАСШТАБИРОВАНИЕ НЕРЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С НЕРЕКУРСИВНЫМИ ЛАТЕРАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.38

Масштабирование нерекурсивных цифровых фильтров с нерекурсивными латеральными связями

В. П. Бакалов, Е. А. Субботин

В статье излагаются способы масштабирования цифровых фильтров (ЦФ) с латеральными обратными связями (ЛОС). Рассматриваются модели четырех типов ЦФ с ЛОС при их нерекурсивной реализации. Масштабирование фильтров осуществляется с использованием импульсной характеристики к, и АЧХ цепи. Полученные результаты позволяют, с одной стороны, предотвратить переполнение разрядной сетки ЦФ с ЛОС, а с другой - существенно повысить его помехоустойчивость и эффективность.

Ключевые слова: нерекурсивные цифровые фильтры, нерекурсивные латеральные обратные связи, масштабирование, ограничение максимума сигнала, ограничение энергии сигнала, ограничение максимума АЧХ цепи.

1. Введение

Как известно, при цифровой обработке сигналов сложение чисел с фиксированной запятой может приводить в цифровом фильтре (ЦФ) к такому опасному явлению, как переполнение [1, 2]. Чтобы в ЦФ не возникало переполнения, применяют в определенных точках фильтра процедуру масштабирования множителей, которая позволяет, с одной стороны, предотвратить переполнение, а с другой - сохранить максимально возможное отношение сигнала к уровню шума округления в ЦФ.

Особенно важна проблема масштабирования в ЦФ с латеральными обратными связями (ЛОС), использование которых позволяет существенно повысить помехоустойчивость и эффективность цифровых фильтров [4-6]. В статье [8] рассматривались вопросы масштабирования ЦФ с ЛОС при их рекурсивной реализации.

В данной работе рассматриваются вопросы расчета масштабных множителей для четырех типов ЦФ с ЛОС при их нерекурсивной реализации по условиям ограничения максимума сигнала, максимума энергии и максимума АЧХ цепи.

2. Цифровой фильтр с ЛОС 1-го типа

Рассмотрим модель двухканального одноуровневого ЦФ с ЛОС 1-го типа [3], представленную на рис. 1.

Рис. 1. Двухканальная система с ЛОС. Тип № 1

Будем считать, что ЦФ и ЛОС реализуются в виде нерекурсивных цепей п-го порядка.

Положим, что шумы квантования и округления на выходе каждого из умножителей и на выходе аналого-цифровых преобразователей (АЦП) некоррелированы между собой и некор-релированы с входными последовательностями каждого канала. Причем источники шума е\... еп имеют одинаковую дисперсию и определяются уравнениями

'к

а дисперсия шума на выходе ЦФ - уравнением:

а 2 =ст 2 (кТ ) = Д 2/12

а 2 =

Д2 п , 2

— I ч 12 к=1 к

(1)

(2)

где Д определяется числом используемых разрядов; Нк - импульсная характеристика ЦФ.

С учетом вышеизложенного на рис. 2 изображена шумовая модель ЦФ с ЛОС этого типа, где ео - шумовой сигнал, учитывающий шум квантования входного сигнала; ^1, вп - шумовой сигнал, учитывающий квантование сигналов в умножителях.

Рис. 2. Модель НЦФ с НЛОС 1-го типа Передаточная функция нерекурсивного цифрового фильтра (НЦФ1) определяется урав-

нением

N1

Н1 ( 7 )= I ап12

—п

(3)

п=0

где N - количество умножителей прямой связи НЦФ1.

Аналогично определяется передаточная функция НЦФ2:

N 2

Н2 (^)=Ъап2?П , (4)

п=0

где N2 - количество умножителей прямой связи НЦФ2.

Передаточная функция нерекурсивного фильтра ЛОС1 определяется уравнением:

N1

НЛОС1(*)= 2 а'п^ п , (5)

п=0

где N1 - количество умножителей прямой связи нерекурсивного фильтра ЛОС1. Передаточная функция нерекурсивного фильтра ЛОС2 определяется уравнением:

N2

Н ЛОС2 ( * )= 2 а'п2 * П , (6)

п=0

где N2 - количество умножителей прямой связи нерекурсивного фильтра ЛОС2; ап\, ап2 -коэффициенты, характеризующие веса нерекурсивной части ЦФ1 и ЦФ2 соответственно; а'п1, а'п2 - коэффициенты, характеризующие веса нерекурсивной части ЛОС1 и ЛОС2 соответственно.

Определим масштабные коэффициенты данного фильтра с использованием максимума сигнала, максимума энергии сигнала и максимума АЧХ цепи.

Положим, что импульсная характеристика ЦФ с ЛОС (или его части) равна к/(п), тогда выходной сигнал фильтра (или его части) у/(п) будет ограничен величиной

ж

шах| у( п )|< тах| х ( п ^ 2 п ^ . (7)

п=0

Если принять, что шах | х(п ) | < 1, то необходимым условием отсутствия переполнения является:

ж

2 \к(п)< 1. (8)

п=0

Для обеспечения данного условия введем масштабные коэффициенты X, :

ж

X; 2 (п)< 1. (9)

п=0

Откуда находим X, по условию ограничения максимума сигнала:

Х<-1-, (10)

ж

ж (п)|

п=0

где к/(п) - импульсная характеристика участка ЦФ от входа до выхода /-го сумматора.

Для определения масштабного множителя по условию (10) найдем импульсные характеристики 1 -го канала для данного типа ЦФ с ЛОС.

Для первого сумматора передаточная функция определяется уравнением:

Н^(*) = Н2(*)НЛОС2 (*), (11)

где Н 2(*) и Н лос 2 ( * ) определяются формулами (4) и (6).

Для второго сумматора импульсная характеристика соответствует передаточной функции всего фильтра Н\ ( * ), определяемой (3).

После нахождения передаточных функций И2 (z) и И\ (z) импульсные характеристики определяются с помощью обратного z-преобразования [7]. В частности, для первого сумматора импульсная характеристика будет равна:

hlz(n) = — | H"2{z)zn-Xdz, (12)

2m'\z\=l

для второго сумматора:

h2Tj(n) = — |f Hl(z)zn~1dz, (13)

lz 1=1

где И i(z), H 2(z) определяются формулами (3), (11).

После нахождения импульсных характеристик hi(n) масштабные коэффициенты для первого Але и второго А2Е сумматоров определяются согласно (10) и из них выбирается наименьший: А = min Ае.

Аналогичным образом можно использовать импульсные характеристики hi при масштабировании ЦФ с ЛОС при ограничении энергии сигнала [8]:

А< , 1 , (14)

, X h2 (n)

\n=0

где hi(n) определяется согласно (12), (13).

При расчете масштабных множителей по условию ограничения усиления цепи необходимо задаться неравенством

А =-^, (15)

max И (ю)

где И (ю ) = Ие&Л.

При этом максимальное значение АЧХ цепи Hmax(ra) определяется на частоте, равной собственной частоте нуля или полюса передаточной функции H(z) [7].

Учитывая, что масштабирование обычно приводит к существенному уменьшению отношения сигнал/шум на выходе ЦФ, определим дисперсию шума на выходе ЦФ с ЛОС для различных схем реализации.

На основании шумовой модели (рис. 2) и уравнений (1), (2) определим дисперсию шума на выходе НЦФ с НЛОС с учетом масштабирования:

_2 А? ( 2 "ЙАЦП1 )

2

12

X ^ X

О X гу

Е hl (n)+ Е h32 (n)

n=0 n=0

+ -

(2 Ьумн )

2

(16)

12

X г. X г. X г.

N2 Е ht (n) + N[ Е h2 (n) + N2 Е К (n) + N1

n=0 n =0 n=0

где Н\ (п ) +И\(г); кз (п Н\ (2 )• НлоС1 (2 Н2 (z ) ;

Й4 ( п Н2 ( 2 )• Н ЛОС2 ( г ^ Н1( г ) ; к6 ( п ) + Н ЛОС2 ( г ^ Н1( г ) .

Из формулы (16) следует, что дисперсия шума на выходе нерекурсивного ЦФ с нерекурсивной ЛОС будет определяться суммой дисперсий отдельных составляющих, причем наибольший вклад в дисперсию шума на выходе вносят умножители, хотя вклад этот существенно меньше, чем в рекурсивных ЦФ с рекурсивной ЛОС [8].

3. Цифровой фильтр с ЛОС 2-го типа

Рассмотрим масштабирование ЦФ с ЛОС 2-го типа (рис. 3).

Рис. 3. Двухканальная система с ЛОС. Тип № 2

На рис. 4 представлена шумовая модель этого фильтра при нерекурсивной реализации. Для этого фильтра передаточная функция первого сумматора равна нулю, а второго сумматора - определяется передаточной функцией ЦФ1 и передаточной функцией Н2(*) согласно (11).

При этом импульсная характеристика второго сумматора будет равна:

к2 2( п ) = к1 (п) + к2( п)-(Н1 (*) + Н2( *)), (17)

где Н1(*) определяется (3), а Н2(*) - формулой (11).

После нахождения к2 2( п ) по формуле (10) находим масштабные коэффициенты Х12 и

Х22 по условию максимума сигнала и выбираем из них наименьший.

Аналогичным образом определяются масштабные множители по условиям (14) и (15).

Рис. 4. Модель НЦФ с НЛОС 2-го типа

Дисперсия шума на выходе НЦФ с НЛОС 2-го типа после масштабирования определяется уравнением:

а,

.2

-2 ( 2-ЬАЦП1 )2

12

X к2(п)+ X А2(п)

п=0 п=0

-

2 ( 2-ЬаЦП2 )2

+

12

п=0

X А?(п)+

+

Ьумн

)2

(18)

12

(N1) X ¿7 (п) + (N2 + N1) X А92 (п) + (N1 + N2 )

п=0

п=0

где А (пН(г) ; (п#ЛОС1 (2)-НлоС2 (2)-Н(г) ;

¿4 ( п Н Н2 ( 2 )-Н ЛОС2 ( 2 ); ¿7 ( п Н Н ЛОС1 ( 2 )-Н ЛОС2 ( 2 ) ; ¿9 ( п Н Н ЛОС2 ( 2 ).

Анализ уравнения (18) показывает, что, несмотря на увеличение дисперсии от шумов АЦП, дисперсия шума на выходе НЦФ не так сильно увеличивается по сравнению с 1-й схемой за счет дополнительного увеличения путей прохождения шума и суммарной дисперсии шума умножителей и существенно меньше дисперсии шума в рекурсивном варианте ЦФ с ЛОС.

4. Цифровой фильтр с ЛОС 3-го типа

Рассмотрим ЦФ с ЛОС 3-го типа (рис. 5), шумовая модель которого изображена на рис. 6.

Рис. 5. Двухканальная система с ЛОС. Тип № 3

Передаточная характеристика первого сумматора равна нулю, а второго - определяется передаточной функцией Н1(2) (3) и передаточной функцией ЛОС2 согласно (6).

После нахождения ¿2X(пН\(2) + НдоС2(2)) множители - определяются по формулам (10), (14), (15) в зависимости от условий масштабирования.

Дисперсия шума на выходе НЦФ с НЛОС 3-го типа после масштабирования определяется уравнением:

2 X2 (2-ЬАЦП1 )2 х2 (2-ЬАЦП2 )2 (2-Ьумн )2

а2ых =-1---I (п)+ ---X А42(п)+— — - [(N1 + N2)4], (19)

12 л=о 12 л=о 12

где ¿1 (п) ^Н1 (2) ; ¿4(п) ^НЛОС2(2).

Анализ уравнения (19) показывает, что шумы АЦП в схемах 1 и 3 при одинаковых разрядных сетках примерно одинаковы и меньше, чем во 2-й схеме, а шумы умножителей в 3-й схеме существенно меньше, чем в предыдущих схемах, и тем более, чем в схемах рекурсивных ЦФ, за счет уменьшения путей прохождения шума, что приводит к уменьшению суммарной дисперсии шума на выходе НЦФ с НЛОС 3-го типа.

5. Цифровой фильтр с ЛОС 4-го типа

В заключение рассмотрим схему ЦФ с ЛОС 4-го типа (рис. 7), шумовая модель которого изображена на рис. 8.

Рис. 7. Двухканальная система с ЛОС. Тип № 4

Импульсная характеристика первого сумматора определяется передаточной функцией ЛОС НЛОС2 ( г ) (6).

Импульсная характеристика второго сумматора определяется передаточной функцией Н! ( г ) (3).

После нахождения импульсных характеристик для 1 -го и 2-го сумматоров определяются соответствующие масштабные множители согласно (10), (14), (15). Аналогичным образом находятся масштабные множители для 2-го канала.

Рис. 8. Модель НЦФ с НЛОС 4-го типа Дисперсия шума на выходе ЦФ с ЛОС 4-го типа после масштабирования определяется

уравнением:

а,

(2-ЬАЦП1 )2

+ -

12

—Ьумн

I к*(п)+ Е к52(п)

п=0 п=0

+

А, *(2—Ь ) со ,

2 — Е к* (п) +

12

п=0

)2

(20)

12

с - с - с -

N2 Е к2 (п) + N1 Е к2 (п) + N2 Е к52 (п) + Ы1

п=0 п=0 п=0

где к (пН1(г) ; кА (пН(г)-НлОС2 (*); ¿5 (п НлОС1 (*)• НлОС2 (*)• Н(г ) .

Анализ уравнения (20) показывает, что в данной схеме дисперсия шума АЦП, как и в рекурсивном ЦФ с рекурсивной ЛОС, при прочих равных условиях больше, чем дисперсия шума АЦП в схеме № 1 и схеме № 3, и одинакова с дисперсией шума АЦП в схеме № 2. Дисперсия шума от умножителей в схеме № 4 значительно выше, чем в схемах первых трех моделей, что приводит к существенному увеличению дисперсии на выходе НЦФ с НЛОС этого типа в целом.

Анализируя рассмотренные шумовые модели следует отметить, что в схеме 4-го типа шумы от источников а'п1 и а'п2 имеют, как и при рекурсивной реализации, циклические пути Н ЛОС1( * )' Н ЛОС2 ( * ) • Н2 ( г ) и Н ЛОС1( * )' Н ЛОС2 ( * ) • Н ( г ), то есть дисперсия шума в такой схеме будет увеличиваться. Из рассмотренных схем также следует, что, как и для рекурсивных ЦФ с рекурсивной ЛОС, наиболее оптимальной с точки зрения минимума дисперсии шума на выходе является 3-я схема. Причем для всех рассмотренных схем дисперсия шума на выходе НЦФ с НЛОС будет существенно меньше дисперсии шума на выходе соответствующих схем рекурсивных ЦФ с рекурсивной ЛОС. Это объясняется существенно меньшим количеством умножителей в НЦФ с НЛОС, вносящих наибольший вклад в результирующий шум на выходе фильтра.

Если сравнивать по помехоустойчивости масштабируемые нерекурсивные ЦФ с нерекурсивными ЛОС, то лучший результат дает схема 3, затем схемы 2 и 4, а наименьший выигрыш дает схема 1.

Полученные результаты по масштабированию ЦФ с ЛОС можно обобщить и на п-канальную систему с ЛОС. Причем в зависимости от вида помех могут изменяться характер ЛОС, структура охвата каналов латеральными связями (каждый канал с каждым, по группам мешающих параметров и т.д.), подбор глубины обратной связи.

В заключение следует отметить, что процесс масштабирования в цифровых фильтрах, как отмечалось, приводит к существенному уменьшению отношения сигнал/шум на выходе фильтра по сравнению с отношением сигнал/шум на входе, что, в свою очередь, ухудшает помехоустойчивость ЦФ в целом [1]. Использование же принципа ЛОС, как показано в [3], позволяет существенно повысить помехоустойчивость ЦФ даже при отношении сигнал/помеха на входе меньше единицы. Таким образом, при масштабировании ЦФ с ЛОС не происходит уменьшение отношения сигнал/шум на выходе фильтра, что существенно повышает его помехоустойчивость по сравнению с традиционными методами масштабирования ЦФ.

6. Заключение

Исследованы вопросы масштабирования нерекурсивных двухканальных одноуровневых цифровых фильтров (ЦФ) с нерекурсивными латеральными обратными связями (ЛОС) по условиям максимума сигнала, максимума энергии сигнала и максимума АЧХ.

Определены масштабные коэффициенты по условиям ограничения максимума сигнала, энергии сигнала и максимума АЧХ для 4-х типов ЦФ с ЛОС.

Показано, что при масштабировании ЦФ с ЛОС 1-го и 2-го типов определяющую роль играют передаточные функции ЦФ1, ЦФ2, НЛОС2(2). При масштабировании ЦФ с ЛОС 3-го и 4-го типов определяющую роль играют передаточные функции ЦФ1 и НЛОС2(2). Определена дисперсия шума на выходе НЦФ с НЛОС после масштабирования для различных схем реализации. Показано, что с точки зрения помехоустойчивости наилучшей является типовая схема 3, а наихудшей - типовая схема 1. Причем помехоустойчивость ЦФ с ЛОС при нерекурсивной реализации будет выше, чем при рекурсивной реализации.

Таким образом, полученные результаты по масштабированию нерекурсивных ЦФ с нерекурсивными ЛОС позволяют, с одной стороны, предотвратить переполнение разрядной сетки, а с другой - обеспечить максимально возможное отношение сигнала к шуму округления по сравнению с рекурсивной реализацией.

Приведенные в статье данные по масштабированию ЦФ с ЛОС с использованием импульсных и передаточных функций для типовых одноуровневых двухканальных ЦФ с ЛОС можно обобщить и на п-канальную многоуровневую систему с различной структурой охвата каналов ЛОС.

Литература

1. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. 256 с.

2. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

3. Бакалов В. П., Субботин Е. А. Обработка сигналов в системах с латеральными связями. М.: Горячая линия - Телеком, 2017. 178 с.

4. Бакалов В. П., Черных Ю. С. Использование принципа латеральных связей для обработки дискретных сигналов // Вестник СибГУТИ. 2012. № 1. С. 43-50.

5. Бакалов В. П., Субботин Е. А. Исследование помехоустойчивости дискретных фильтров с латеральными связями // Вестник СибГУТИ. 2015. № 3. С. 89-95.

6. Бакалов В. П., Черных Ю. С. О потенциальной скорости передачи информации в инфо-коммуникационных сетях с латеральными связями. // Вестник СибГУТИ. 2012. № 2. С. 62-70.

7. Бакалов В. П., Крук Б. И. Теория электрических цепей. М.: Горячая линия - Телеком, 2018. 537 с.

8. Бакалов В. П., Субботин Е. А. Масштабирование цифровых фильтров с латеральными связями // Вестник СибГУТИ. 2018. № 4. С. 12-19.

Статья поступила в редакцию 14.03.2019.

Бакалов Валерий Пантелеевич

д.т.н., профессор, заведующий кафедрой теории электрических цепей СибГУТИ (630102, Новосибирск, ул. Кирова, 86), тел. 286-80-35, e-mail: bvp@sibsutis.ru.

Субботин Евгений Андреевич

к.т.н., доцент, УрТИСИ СибГУТИ, тел. (343) 242-14-83.

Scaling nonrecursive of digital filters with nonrecursive lateral feedbacks V. P. Bakalov, E. A. Subbotin

The article states ways to scale digital filters (DF) with lateral feedbacks (LFB). Models of four types of DF with LFBs with their nonrecursive implementation are considered. Filters are scaled using hi impulse response and scaling using the amplitude-frequency characteristic of the circuit. The obtained results allow, on the one hand, to prevent overfilling of the grade graticule of the DF with LFBs, and on the other hand, to significantly increase its noise immunity and efficiency.

Keywords: nonrecursive digital filters, nonrecursive lateral feedbacks, scaling, limiting the maximum signal, maximum signal energy, maximum amplitude-frequency characteristic of the circuit.