Научная статья на тему 'Маркетинговые исследования лекарственных препаратов и косметических средств, предотвращающих выпадение и стимулирующих рост волос'

Маркетинговые исследования лекарственных препаратов и косметических средств, предотвращающих выпадение и стимулирующих рост волос Текст научной статьи по специальности «Фундаментальная медицина»

CC BY
761
89
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВЫПАДЕНИЕ ВОЛОС / HAIR LOSS / АЛОПЕЦИЯ / ALOPECIA / ПАРАФАРМАЦЕВТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА / PARAPHARMACEUTICAL MEANS

Аннотация научной статьи по фундаментальной медицине, автор научной работы — Пантюхин А.В., Архангельская А.А., Еремина М.Г., Локаткова О.Н.

Проблема потери волос волнует всё население. Мужчины переносят уменьшение объема шевелюры, связывая это с генетической предрасположенностью и сравнительно спокойно относятся к подобным изменениям во внешности, то для женщин выпадение волос становится серьезной проблемой. Данная проблема негативно сказывается на психологическом состоянии пациента. Следствие этого плохая адаптация в социуме. С проблемой выпадения волос к врачу или специалистам эстетической медицины обращаются лишь в единичных случаях, не зависимо от пола и возраста. Основополагающим фактором в выборе средств является собственный опыт и рекомендации знакомых, при этом предпочтение отдается средствам с растительными компонентами и витаминными комплексами.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

MARKETING RESEARCH OF MEDICINAL DRUGS AND COSMETIC MEANS THAT PREVENT BALDNESS AND STIMULATE HAIR GROWTH

The problem of hair loss worries the entire population. Men suffer a reduction in the volume of the hair, linking it with a genetic predisposition and relatively calm about such changes in appearance, then for women hair loss becomes a serious problem. This problem negatively affects the psychological state of the patient. The consequence of this is poor adaptation in the society. With the problem of hair loss to a doctor or specialists in aesthetic medicine are coming only in isolated cases, regardless of gender and age. The fundamental factor in the choice of funds is their own experience and recommendations of acquaintances, with preference given to products with plant components and vitamin complexes.

Текст научной работы на тему «Маркетинговые исследования лекарственных препаратов и косметических средств, предотвращающих выпадение и стимулирующих рост волос»

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.62.009 Пантюхин А.В.1, Архангельская А.А.2, Еремина М.Г.3, Локаткова О.Н.4

1ORCID: 0000-0002-8932-6503, доктор фармацевтических наук, заведующий кафедрой фармацевтической

технологии и биотехнологии, Саратовский государственный медицинский университет им. В.И. Разумовского 2ORCID: 0000-0002-2396-5345, ассистент кафедры фармацевтической технологии и биотехнологии, Саратовский государственный медицинский университет им. В.И. Разумовского 3ORCID: 0000-0002-8206-6120, кандидат медицинских наук, доцент кафедры кожных и венерических болезней, Саратовский государственный медицинский университет им. В.И. Разумовского 4ORCID: 0000-0003-1346-0703, ассистент кафедры фармацевтической технологии и биотехнологии, Саратовский государственный медицинский университет им. В.И. Разумовского МАРКЕТИНГОВЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛЕКАРСТВЕННЫХ ПРЕПАРАТОВ И КОСМЕТИЧЕСКИХ СРЕДСТВ, ПРЕДОТВРАЩАЮЩИХ ВЫПАДЕНИЕ И СТИМУЛИРУЮЩИХ РОСТ ВОЛОС

Аннотация

Проблема потери волос волнует всё население. Мужчины переносят уменьшение объема шевелюры, связывая это с генетической предрасположенностью и сравнительно спокойно относятся к подобным изменениям во внешности, то для женщин выпадение волос становится серьезной проблемой. Данная проблема негативно сказывается на психологическом состоянии пациента. Следствие этого - плохая адаптация в социуме. С проблемой выпадения волос к врачу или специалистам эстетической медицины обращаются лишь в единичных случаях, не зависимо от пола и возраста. Основополагающим фактором в выборе средств является собственный опыт и рекомендации знакомых, при этом предпочтение отдается средствам с растительными компонентами и витаминными комплексами.

Ключевые слова: выпадение волос, алопеция, парафармацевтические средства.

Pantyukhin A.V.1, Arkhangelskaya A.A.2, Eremina M.G.3, Lokatkova О.^4

1ORCID: 0000-0002-8932-6503, PhD in Pharmaceutics, Head of the Department of Pharmaceutical Technology and Biotechnology, Saratov State Medical University named after V.I. Razumovsky

2ORCID: 0000-0002-2396-5345, Assistant of the Department of Pharmaceutical Technology and Biotechnology, Saratov

State Medical University named after V.I. Razumovsky

3ORCID: 0000-0002-8206-6120, MD, Associate Professor of the Department of Skin and Sexually Transmitted Diseases, Saratov State Medical University named after V. I. Razumovsky

4ORCID: 0000-0003-1346-0703, Assistant of the Department of Pharmaceutical Technology and Biotechnology, Saratov

State Medical University named after V.I. Razumovsky MARKETING RESEARCH OF MEDICINAL DRUGS AND COSMETIC MEANS THAT PREVENT BALDNESS AND STIMULATE HAIR GROWTH

Abstract

The problem of hair loss worries the entire population. Men suffer a reduction in the volume of the hair, linking it with a genetic predisposition and relatively calm about such changes in appearance, then for women hair loss becomes a serious problem. This problem negatively affects the psychological state of the patient. The consequence of this is poor adaptation in the society. With the problem of hair loss to a doctor or specialists in aesthetic medicine are coming only in isolated cases, regardless of gender and age. The fundamental factor in the choice offunds is their own experience and recommendations of acquaintances, with preference given to products with plant components and vitamin complexes.

Keywords: hair loss, alopecia, parapharmaceutical means.

В погоне за внешним видом большое внимание уделяется такому элементу, как волосы. Густые и здоровые в олосы являются украшением и предметом гордости их носителя, повышает самооценку и не редко определяют особенности поведения в обществе. Основная функция волос на теле человека, это выполнение защитной функции от неблагоприятных природных условий. Состояние волосяного покрова и причины потери волос интересуют ученых в эстетической медицине и косметологии.

Цель работы: анализ потребительского предпочтения при выборе косметических и лекарственных препаратов, направленных на борьбу с выпадением и стимулирование роста волос.

Результаты исследования и их обсуждение. Кажый волосяной фолликул постоянно проходит через три стадии: роста (анагена), инволюции (катагена) и покоя (телоген). Примерно 90-93% фолликулов на волосистой части головы находятся в фазе анагена, а остальные преимущенственно в стдии телогена. Скорость роста волос на голове составляет от 0,37 до 0,44 мм в день или примерно один сантиметр в месяц. [1, С 807]. Нормальным обновлением волос считается, когда за сутки выпадает около 50-100 волосинок, на месте выпавших волос вырастают новые. Состояния, когда количество выпавших волос превышает указанный лимит, называемых алопецией, многочисленны и по мнению ученых связаны с нарушениями в организме, среди которых наиболее распространённые: стрессы, эндокринные изменения, большие кровопотери, радиация, химиотерапия [2, С. 45], [3, С. 430]. Наиболее распространенными причинами потери волос у обеих полов являются:

• симптоматическая,

• андрогенетическая,

• гнездная (очаговая).

Симптоматическая встречается чаще всего и является следствием системных заболеваний, сопровождающихся нарушениями обмена веществ и кровоснабжения. Характеризуется равномерным выпадением волос по всей волосистой части головы, что связано с нарушением цикла развития волос. Симптоматическая алопеция обратима,

восстановление волосяного покрова начинается после исчезновения первопричины. Андрогенетическую алопецию связывают с повышенной чувствительностью волосяных луковиц к мужским половым гормонам. В случае не равномерного выпадения волос, в виде отдельных участков, причем иногда выпадают также брови и ресницы, то имеет место очаговая или гнездная алопеция. В любой момент времени примерно у 0,2% населения наблюдается гнездная алопеция, а примерно у 1,7% населения эпизод гнездной алопеции отмечался в течении жизни. В некоторых случаях отдельные очаги облысения сливаются и оказывается поражена вся волосистая часть головы. К такому виду алопеции наиболее часто приводят стрессы, различные травмы и инфекционные заболевания, возможна также генетическая предрасположенность [4, С. 6], [5, С. 12].

В аптечном ассортименте средств против выпадения волос выделяются четыре основных группы средств:

1. Лекарственные препараты;

2. Лекарственные препараты индивидуального изготовления;

3. Гомеопатические средства;

4. Парафармацевтические средства;

Терапия лекарственными препаратами местного применения чаще всего представляет собой использование топических кортикостероидов, раствора миноксидила. Лекарственные препараты, в т.ч. индивидуального изготовления, прописываются врачом для конкретного пациента, с учетом анамнеза больного и дополнительных исследований. [6, С. 2], [7, С. 178].

Гомеопатические средства широко представлены в аптечном ассортименте. Наиболее часто в состав данных препаратов включены кофеин, экстракт хмеля, биотин, кератин, гидролизат коллагена, витамин А, экстракт крапивы в различных комбинациях. Определенной системы назначения гомеопатических препаратов, их комбинаций и дозировки не просматривается. Сведения об их терапевтической эффективности не однозначны, отсутствует четкая система назначения. [8, С. 32], [9, С. 132].

Парафармацевтические средства составляют большую часть ассортимента аптечных учреждений и являются одним из значимых источников дохода аптечной организации. [10, С. 425], [11, С. 118], [12, С. 430].

Условно парафармацевтические средства можно разделить на две подгруппы:

• БАДы с системным действием на организм, такие как витаминные комплексы для приема внутрь. БАДы для наружного применения: масло репейное, различные масла и препараты с растительными экстрактами. Некоторые производители предлагают комплексное решение проблемы алопеции в виде набора препаратов для внутреннего и наружного применения: различные сочетания фармакологически активных веществ.

• Косметические средства, реализуемые через аптечные организации и специализированные магазины. Основное отличие средств из категории эстетической медицины от средств ежедневного использования заключается в наличии компонентов оказывающих терапевтическое действие. Основная масса таких средств в своей основе содержит активные вещества природного происхождения, за редким исключением, которые содержат активные компоненты, аналогичные лекарственным средствам.

С целью выяснения отношения населения к проблеме красивых и здоровых волос проведен опрос. Опрос проводился в аптеках города Саратова, проанкетировано 200 посетителей из которых 100 женщин в возрасте от 20 до 60 лет и 100 мужчин в возрасте от 25 до 55 лет.

Анализ результатов показал, что 91% опрошенных женщин различного возраста страдают от выпадения волос, из них 6 % ответило, что считаю это облысением (женщины в возрасте от 40 до 60 лет). К врачу обращались 7 % опрошенных женщин в возрасте от 25 до 35 лет, остальные 93 % с проблемой выпадения волос борются самостоятельно. БАДы, с целью устранения исследуемой проблемы, принимают 80% опрошенных женщин в возрасте от 24 до 40 лет, из которых БАДы содержащие седативные средства растительного происхождения принимают 60% в возрасте от 25 до 50 лет. Масло репейное для укрепления и роста волос используют все 100% опрошенных.

Половина мужчин в возрасте от 40 до 55 лет отметили, что страдают от выпадения волос, причем из них никто не обращался за врачебной помощью и консультаций специалистов эстетической медицины. Алопецией данное состояние считают всего 2% из опрошенных мужчин в возрасте от 50 до 55 лет. Половина мужчин предпочитают пользоваться специализированными шампунями, и только 20% мужчин в возрасте от 30 до 45 лет пользуются БАДами с витаминными комплексами.

В процесс опроса также установлено, что в большей степени на приобретение средств оказывает собственное мнение, основанное на собственном опыте. Значительное влияние также оказывают советы подруг, многие из которых являются подругами только по социальным сетям. В меньшей степени оказывает влияние консультации специалистов и возможность ознакомиться с инструкцией и информационными материалами при открытой выкладке. Анализируя ответы о месте покупки установлено, что примерно половина покупателей предпочитают делать покупки средств для лечения и профилактики алопеции в аптечных организациях. Еще около половины опрошенных совершают покупки в специализированных магазинах, только в одном из пяти случаев покупки совершаются в гипермаркетах и универсальных магазинах. При покупках предпочтение отдается средствам, содержащим действующие вещества из растений и витамины, примерно по 18% опрошенных отдают предпочтение так же средствам, содержащим морские комплексы и синтетические вещества.

Выводы: Из проведенного исследования видно, оптимальную терапию выпадения волос можно обеспечить лишь комплексным воздействием взаимодополняющих средств, ориентируясь на вид алопеции (мужская или женская) и, конечно, только после консультации врача. К сожалению, проведенный опрос показал, что за редким исключением по проблеме выпадения волос к врачу или специалистам эстетической медицины обращаются лишь в единичных случаях, не зависимо от пола и возраста. Основополагающим фактором в выборе средств является собственный опыт и рекомендации знакомых, при этом предпочтение отдается средствам с растительными компонентами и витаминными комплексами.

Список литературы / References

1. Дерматология Фицпатрика в клинической практике, том 1. Клаус Вольф, Лоуэлл А Голдсмит и др. Под редакцией академика РАМН, д.м.н.. проф А.А. Кубановой. С 807.

2. Халдина М.В. Теории из первых рук: Почти в 90% случаев выпадение волос у женщин связано со стрессом // Здоровье. - 2013. - №8. С. 44-46.

3. Шимовонян К.Т. Фармакологическое изучение эффективности разработанных липосомальных препаратов для ухода за волосами / К.Т. Шимовонян, Л.М. Кузякова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Химия. Биология. Фармация. - 2006. - № 2. - С. 429-432.

4. Кузякова Л.М. Липосомальное средство для лечения и ухода за жирным типом волос. Л.М. Кузякова, Э.Ф. Степанова, К.Т. Шимовонян, А.В. Умнов. Патент РФ № 2266733 от 09.09.2004. - 12 с.

5. Евсеева С.Б. Использование природных минеральных солей в современных косметических рецептурах: ассортимент продукции, характеристика сырья и особенности технологии / С.Б. Евсеева, Б.Б. Сысуев // Фармация и фармакология. - 2016. - Т. 4., № 2 (15). - С. 4-25.

6. Пантюхин А.В. Гетерогенные наносистемы в технологии биологически активных добавок (сообщение 1) / А.В. Пантюхин, А.А. Архангельская // Современные проблемы науки и образования. - 2010. - № 6. - С. 3.

7. Пантюхин А.В. Теоретические аспекты разработки биологически активных добавок в виде корригированных сиропов / А.В. Пантюхин, С.В. Райкова, А.А. Архангельская // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Медицина. Фармация. - 2011. - Т. 4., № 13. - С. 177-186.

8. Еремина М.Г. Особенности восприятия собственной внешности мужчинами и женщинами при заболеваниях кожи / М.Г. Еремина // Успехи современного естествознания. - 2014. - № 5-2. - С. 32-40.

9. Корянова К.Н. Перспективы использования дерматологических лекарственных форм с димебоном в косметологии / К.Н. Корянова, А.В. Майорова, Э.Ф. Степанова, Е.И. Хартюнова // Запорожский медицинский журнал. - 2011. - Т. 13. - № 3. - С. - 132-133.

10. Володина Т.А. Исследование репаративных свойств фитогеля, содержащего экстракты чабреца и солодки / Т.А. Володина, Н.А. Пеньевская, С.И. Викторов и др. // Фундаментальные исследования. - 2012. - № 11-2. - С. 472-477.

11. Кузякова Л.М Исследование потребителей парфюмерно-косметической продукции центрального и северокавказского федеральных округов России / Л.М. Кузякова, М.А. Черницова // Международный журнал экспериментального образования. 2015. - № 3-1. - С. 117-120.

12. Шимовонян К.Т. Фармакологическое изучение эффективности разработанных липосомальных препаратов для ухода за волосами / К.Т. Шимовонян, Л.М. Кузякова // Вестник воронежского государственного университета. Серия: Химия. Биология. Фармация. - 2006. - № 6. - С. 429-432.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Dermatologiya Ficpatrika v klinicheskoj praktike [The Fitzpatrick dermatology in clinical practice], volume 1. Klaus Vol'f, Louehll A Goldsmit i dr. Pod redakciej akademika RAMN [Under the editorship of academician of RAMS], d.m.n.. prof A.A. Kubanovoj. P. 807. [in Russian],. Klaus Wolff, Lowell A goldsmith, etc., MD prof.. A. A. Kubanova. With 807.

2. Haldina M.V. Teorii iz pervyh ruk: Pochti v 90% sluchaev vypadenie volos u zhenshchin svyazano so stressom [the Theory firsthand: Almost 90% of hair loss in women due to stress] // Zdorov'e. [Health] - 2013. - №8. P. 44-46. [in Russian]

3. Shimovonyan K.T. Farmakologicheskoe izuchenie ehffektivnosti razrabotannyh liposomal'nyh preparatov dlya uhoda za volosami. [Pharmacological study of the effectiveness of the developed liposomal preparations for hair care] / K.T. Shimovonyan, L.M. Kozakova // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Himiya. Biologiya. Farmaciya. [Herald of the Voronezh state University. Series: Chemistry. Biology. Pharmacy]. - 2006. - No. 2. - P. 429-432. [in Russian]

4. Kuzyakova L.M. Liposomal'noe sredstvo dlya lecheniya i uhoda za zhirnym tipom volos [Liposomal for the treatment and care of oily hair type] / L.M.Kuzyakova, EH.F. Stepanova, K.T. SHimovonyan, A.V. Umnov Patent RF № 22667 33 ot 09.09.2004. - 12 s. [in Russian]

5. Evseeva S.B. Ispol'zovanie prirodnyh mineral'nyh solej v sovremennyh kosmeticheskih recepturah: assortment produkcii, harakteristika syr'ya i osobennosti tekhnologii [Use of natural mineral salts in cosmetic formulations: the product range, characteristics of raw materials and characteristics of the technology] / S.B. Evseeva, B.B. Sysuev // Farmaciya i farmakologiya [pharmacy and pharmacology]. - 2016. - V. 4., № 2 (15). - P. 4-25. [in Russian]

6. Pantyuhin A.V. Geterogennye nanosistemy v tekhnologii biologicheski aktivnyh dobavok (soobshchenie 1) [Heterogeneous nanosystems in technology of biologically active additives (1 message)] / A.V. Pantyuhin, A.A. Arhangel'skaya // Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya [Modern problems of science and education]. - 2010. - № 6. -P. 3. [in Russian]

7. Pantyuhin A.V. Teoreticheskie aspekty razrabotki biologicheski aktivnyh dobavok v vide korrigirovannyh siropov [Theoretical aspects of the development of biologically active additives in the form of corrected syrups] / A.V. Pantyuhin, S.V. Rajkova, A.A. Arhangel'skaya // Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Medicina. Farmaciya [Bulletin of Belgorod state University. Series: Medicine. Pharmacy]. - 2011. - V. 4., № 13. - P. 177-186. [in Russian].

8. Eremina M.G. Osobennosti vosprijatija sobstvennoj vneshnosti muzhchinami i zhenshhinami pri zabolevanijah kozhi [Peculiarities of perception of own appearance men and women with skin diseases] / M.G. Eremina // Uspehi sovremennogo estestvoznanija [Successes of modern natural science]. - 2014. No. 5-2. - S. 32-40. [in Russian]

9. Korjanova K.N. Perspektivy ispol'zovanija dermatologicheskih lekarstvennyh form s dimebonom v kosmetologii [Prospects of use of dermatological dosage forms with Dimebon in cosmetology] / K.N. Korjanova, A.V. Majorova, Je.F. Stepanova, E.I. Hartjunova // Zaporozhskij medicinskij zhurnal [Zaporozhye medical journal]. - 2011. - Vol. 13. - No. 3. - S. 132-133. [in Russian]

10. Volodina T.A. Issledovanie reparativnyh svojstv fitogelja, soderzhashhego jekstrakty chabreca i solodki [Study of the reparative properties of fitogeli containing extracts of thyme and licorice] / T.A. Volodina, N.A. Pen'evskaja, S.I. Viktorov i dr. // Fundamental'nye issledovanija [Fundamental research].- 2012. - No. 11-2. - S. 472-477. [in Russian]

11. Kuzjakova L.M Issledovanie potrebitelej parfjumerno-kosmeticheskoj produkcii central'nogo i severo-kavkazskogo federal'nyh okrugov Rossii [a Study of consumers of perfumery and cosmetic products in Central and Severo-Caucasian Federal districts of Russia] / L.M. Kuzjakova, M.A. Chernicova // Mezhdunarodnyj zhurnal jeksperimental'nogo obrazovanija [international journal of experimental education]. 2015. - No. 3-1. - P 117 - 120. [in Russian]

12. Shimovonjan K.T. Farmakologicheskoe izuchenie jeffektivnosti razrabotannyh liposomal'nyh preparatov dlja uhoda za volosami [Pharmacological study of the effectiveness of the developed liposomal preparations for hair care] / K.T. Shimovonjan, L.M. Kuzjakova // Vestnik voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Himija. Biologija. Farmacija [Herald of the Voronezh state University. Series: Chemistry. Biology. Pharmacy]. - 2006. - . No. 6. - P. 429-432. [in Russian]

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ / PHYSICS AND MATHEMATICS

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.62.026 Антоновская О.Г.1, Зайцева М.Н.2

1ORCID: 0000-0002-5688-7996, Кандидат физ.-мат. наук, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет 2ORCID: 0000-0002-3649-0385, Нижегородский государственный автомеханический техникум ПОСТРОЕНИЕ УСЛОВНО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

Аннотация

В работе решается задача построения условно-экстремальной функции Ляпунова для непрерывной динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка. Это квадратичной функции Ляпунова, гарантирующая минимальность времени до попадания траектории линеаризованной в окрестности состояния равновесия системы, в сечение функции Ляпунова, вписанное в заданную полосу. В отношении квадратичной функции Ляпунова предполагается выполнение условия равенства отношения минимума модуля первой производной функции Ляпунова на сечении к значению самой функции заданному числу. Условно-экстремальная функции Ляпунова ищется как квадратичная функция Ляпунова рассматриваемого класса, на сечение которой, вписанное в полосу, попадает траектория линеаризованной в окрестности состояния равновесия системы с заданной начальной точкой.

Ключевые слова: непрерывная динамическая система, система дифференциальных уравнений, квадратичная функция Ляпунова.

Antonovskaya O.G.1, Zaytseva M.N.2

1ORCID: 0000-0002-5688-7996, PhD in Physics and Mathematics, Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering

2ORCID: 0000-0002-3649-0385, Nizhny Novgorod State Automotive Technical School

CONSTRUCTION OF THE CONDITION-EXTREMAL LYAPUNOV FUNCTIONS IN STUDIES OF THE TRAJECTORIES BEHAVIOR OF CONTINUOUS DYNAMIC SYSTEMS ON A PLANE

Abstract

The paper presents the solution of the problem of constructing a conditionally extremal Lyapunov function for a continuous dynamical system described by a system of second-order differential equations. This is a quadratic Lyapunov function, which guarantees the minimality of the time before the linearization of a trajectory in a neighborhood of the equilibrium state of the system, into the section of the Lyapunov function inscribed in a given band. With respect to the quadratic Lyapunov function, it is assumed that the condition of equality of the ratio of the modulus minimum of the first derivative of the Lyapunov function on the section to the value of the function itself to a given number is fulfilled. A conditional-extremal Lyapunov function is sought as a quadratic Lyapunov function of the class under consideration, the cross-section of which, inscribed in the strip, is the trajectory of a system linearized in a neighborhood of the equilibrium state with a given initial point.

Keywords: continuous dynamical system, system of differential equations, quadratic Lyapunov function.

1. Введение

При исследовании динамики систем одной из наиболее важных является проблема определения длительности переходных процессов в системе. Причем критерием окончания переходного процесса в системе может оказаться попадание траектории на заданное, быть может, неограниченное множество, содержащее состояние равновесия, соответствующее рабочему режиму системы [1-3]. И тот факт, что траектория попала на заданное множество, не гарантирует того, что она в дальнейшем этого множества не покинет. Таким образом, возникает задача оценивания подобластей притяжения, гарантирующих окончания переходного процесса с заданной точностью. Для решения этой задачи может быть использован второй (прямой) метод Ляпунова или метод функций Ляпунова [4 -6], когда изучается поведение некоторой вспомогательной функции вдоль траекторий системы. При этом функцию Ляпунова нелинейной

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.