Management rectification column close to the optimal Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

И. Б. Фуртат (к.т.н., доц.)

Управление ректификационной колонной, близкое к оптимальному

Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина, кафедра физической и коллоидной химии 119991, г. Москва, В-296, ГСП -1, Ленинский проспект, 65; тел. (499) 2339225,

e-mail: [email protected]

I. B. Furtat

Management rectification column close to the optimal

Gubkin Russian State University of oil and gas 65, Leninskii av., 119991, Moscow, Russia; ph. (499) 2339225, e-mail: [email protected]

Решена задача робастного управления ректификационной колонной близкого к оптимальному, математическая модель которой подвержена влиянию параметрических и внешних неконтролируемых возмущений. Решение задачи основано на введении вспомогательного контура специальной структуры, который позволил, как выделить неопределенности, действующие на объект управления, так и обеспечить близость процесса к оптимальному. Результаты аналитических расчетов проверены на численном примере моделирования ректификационной колонны, модель которой описывается дифференциальным уравнением одиннадцатого порядка.

Ключевые слова: робастное управление; ректификационная колонна; дифференциальное уравнение.

На сегодняшний день ректификационная колонна находит широкое применение во многих областях промышленности: химической, нефтеперерабатывающей, фармакологической, пищевой и т.д. Область применения ректификационной колонны постоянно расширяется. Этому способствуют внедрение в производство новых продуктов и технологических процессов, повышение требований к защите окружающей среды и т.п. К тому же ректификационные колонны являются существенной составляющей инвестиционных вложений в нефтеперерабатывающие заводы.

Для качественного управления ректификационной колонной необходимо создание простых и надежных регуляторов, которые бы обеспечивали в системе управления заданные показатели качества. В настоящее время для оптимального управления ректификационной колонной предложено не много решений.

Дата поступления 20.09.11

We solve the problem of robust control rectification column close to the optimal mathematical model which can be affected by parametric and external uncontrollable disturbances. The problem is solved by the introduction of the auxiliary circuit a specially structure, which allowed, how to select the uncertainty acting on the object management and process to ensure proximity to the optimum. Results of analytical calculations verified by numerical simulation example of modeling distillation column model is described by the differential equation eleventh order.

Key words: robust control; distillation column; a differential equation.

Так, в 1 при предположении полной определенности параметров объекта управления и о том, что модель объекта описывается линейным дифференциальным уравнением одиннад-2

цатого порядка , предложено оптимальное управление, минимизирующее интегральный критерий качества. Решение задачи основано на использовании нечеткого регулятора 3'4. Задача классического оптимального управления ректификационной колонной, описываемой линейным дифференциальным уравнением одиннадцатого порядка, предложена в 5.

Отметим, что решения 1,5 получены для моделей ректификационной колонны, где все параметры и внешние воздействия известны. Однако в работе 6 отмечено, что процессы в ректификационной колонне в значительной степени чувствительны к изменению внешних потоков и в меньшей степени чувствительны к изменению внутренних процессов в колонне. Поэтому, даже при незначительном отличии параметров модели от исходной (прототипа)

приведет к невыполнению заданных показателей качества или к потере устойчивости, если при проектировании системы управления использовать алгоритмы 1,5>

Управление неопределенным процессом ректификации, математическая модель которого описывается линейным структурно неопределенным дифференциальным уравнением, было предложено в 6. Решение базируется на использовании метода //"-оптимизации.

Однако структура регулятора 6 и расчет настраиваемых параметров в ней достаточно сложны. Поэтому возникает интерес решить задачу управления ректификационной колонной, математическая модель которой описывается параметрически и сигнально неопределенным дифференциальным уравнением, и при этом разработанный алгоритм должен быть простым как в технической реализации, так и в расчете настраиваемых параметров, и обеспечивать заданные показатели качества в системе управления.

В статье предложен близкий к оптимальному алгоритм робастного управления ректификационной колонной, математическая модель которой представлена параметрически и сигнально неопределенным линейным дифференциальным уравнением. Цель управления состоит в синтезе непрерывного закона управления, обеспечивающего слежение выхода ректификационной колонны за эталонным сигналом с заданной точностью, при этом ошибка слежения должна быть близка к некоторой номинальной ошибке, поведение которой было оптимально в соответствии с заданным критерием качества. Решение основано на использовании подхода к решению задач оптимального управления неопределенными объектами в 7, вспомогательного контура, предложенного в 8 и обобщенного для субоптимального управления в 9,1°. Работоспособность схемы проиллюстрирована на числовом примере для модели ректификационной колонны, взятой из 1,2.

Постановка задачи

Рассмотрим ректификационную колону, представленную на рис. 1.

Пусть динамические процессы в ректификационной колонне описываются уравнением:

ХД/) — концентрация легкой фракции в вер хнем продукте (ректификате);

Хп(/) — концентрация легкой фракции в холодильнике;

Х2(/), ..., Хп_,(/) — концентрации легкой фракции в камерах № 2, ..., №я—1;

.*,(/) — концентрация легкой фракции в нагревателе;

Ху(/) — концентрация легкой фракции в той части колонны, куда поступает исходная смесь (сырье);

х/,(0~ концентрация легкой фракции в ниж нем продукте;

Рс(1)— давление в верхней камере колонны;

К (0~ обратный расход нижнего продукта;

и{() — (/) — расход орошения в верхней части колонны;

ш=[рм т, р,(о, зд]т-

вектор номинальных значений входных потоков;

Р/(0 , /*Х0 игД/) — давление, расход и концентрация легкой фракции в исходной смеси (сы рье);

/*„.(/), Ху(1)— давление и содержание легких фракций в обратном потоке нижнего продукта;

л/)=[др/(о, дт лг/о, држ лзд]т-

вектор неконтролируемых отклонений от номинального вектора;

/ш(0. А е Л("+5Ил+5), Яе/Г5. £>6/?<"+5)*5-неизвестные матрицы и вектор;

Эт е /?(л+5)х5, С = [0, 1, 0, ..., 0] е /?1х("+5) -известные матрицы;

ДГ0— неизвестные начальные условия.

*4

т = МО + Ви(!) + Ят/т (/) + £>/(/), у(1) = Сх(1), *(0) = х0,

Рис. 1. Схема ректификационной колонны

где

3(0, ре(/), К(0 вектор состояния;

Качество процесса регулирования определим эталонной моделью, которая задана уравнением:

(0 = Дл (/) + Втит (Г ) + £>„/„ (')> ут(0 = Схт(0, хт(0) - 0.

Метод решения. Принимая во внимания условия структурных соотношений (предположение 2), преобразуем уравнение (1) к виду:

Здесь хт(/)е/гл+5— вектор состояния эталонной модели, мт(/)еЛ и ут{1)&Я — задающие воздействия и выход эталонной модели, Ал € Д<"+5Ил+5>, вт е /?л+5, е Я(л+5),<5 - матрицы и вектор с известными постоянными значениями. Все сигналы и параметры в (2) имеют тот же физический смысл, что и соответствующие сигналы и параметры в (1). Очевидно, что уравнение (2) представляет идеальный случай модели (1), то есть когда модель (1) не подвержена воздействию параметрических (неопределенность параметров модели и начальных условий) и сигнальных (неконтролируемое воздействие /(/)) возмущений.

При решении задачи на объект управления накладываются следующие ограничения.

Предположения:

1. Неизвестные элементы матриц Л, В и О зависят от некоторого вектора неизвестных параметров 3<еЕ, где « — известное множество.

2. Выполнены структурные соотношения: А = Аш+ВясТ, В = Вт+кВт, й = йг. где

т т ' пх т ' т '

с е Д"+5. к е Я. /е Л5 — неизвестные вектор, число и матрица.

3. Пара (А, В) — управляема и пара (Ь, А) — наблюдаема.

4. Объект управления (1) — минимально-фазовый.

5. В системе управления доступны измерению сигналы у(1), «(/) и ут(/) .

Требуется спроектировать систему управления, которая обеспечивала бы выполнение неравенств:

иЫ')-е(0И (3)

при г>Т для У<9еН

где <5, >0, б2> 0, Т > 0 — время, по истечении которого с начало работы системы должны выполняться неравенства (3);

е(0 = У(0~Ут(0. ет(0 - номинальное значение сигнала е(О, сформирование которого будет описано ниже. Причем, в системе управления должен быть минимизирован функционал качества 00

•1=\{яе1«) + ги1{ 0)Л (4)

о

Здесь г>0 — весовые коэффициенты, выбираемые разработчиком, и0(0 — оптимальное управление.

т = Атх{/) + Вти(/) + Ят/И(0 + вт(р, (/), (5)

где <р(1) = с' х(1) + ки(1) + г/(1)- функция, содержащая в себе параметрические и внешние возмущения (1).

Учитывая (2) и (5), составим уравнение для ошибки £(/) = х(/)-хт(/) в виде:

¿(1) = Ате(0 + Вти(0 + Вт<р2(0, е(0 = Ье(1), (6)

где <р20) = <р1(0-ит0).

Если бы ректификационная колонна не была бы подвержена действию неопределенностей, то есть ^?2(/) = 0, то уравнение ошибки (5) приняло бы некоторый номинальный вид:

¿т(0 = Атет(0 + Вти«), е.«)-Le.it) (7)

Известно что если в (7) доступен был бы измерению вектор состояния £т(1), то критерий качества (4) и оптимальный закон управления можно сформировать в виде

J = ){erm(t)Qsm(t) + ru20(t)}ií,

0 • (8) ио(1) = -г~1ВТтНеК(0,

где () = д/,7 Ь, положительно определенная матрица Я определяется из матричного уравнения Риккати НАт + А1тН-г-1НВтВТтН = -д.

Добавим и вычтем в (6) оптимальное управление, аналогичное (8). Тогда (6) можно переписать в виде

¿(1) = А0е(1) + Вт<р^), е(1) = Ье(1\ е(0) = 0, (9)

где Аа = Ат -г'хВТтН , = ВТтНе(1).

Оптимальное управление в (8) минимизирует функционал качества (4) если в (6) (р2(1)~ 0- Тогда, при (рг(/) Ф 0 необходимо ввести обратную связь, позволяющую скомпенсировать функцию #>2(/). Для этого, со гласно работам 8, рассмотрим сначала вспомогательный контур

¿а(0 = Аоеа(0 + аВти(1),

вв (/) = !*„ (О,

(10)

где £•„(/) е /?"*5 — вектор состояния (10), а >0 , и с учетом (9) и (10) составим функцию рассогласования о-(/) = е(/) -«■„(/):

&(0 = М(0+ва<р4(0,

£(/> = ¿<7(0, <7(0) = 0.

(11)

Здесь сг(/) е /?"+6 — вектор состояния (11), ^4(/) = (1-ог)м(0 + ^з(0 • Преобразуем уравнение (11) к форме вход-выход

(12)

где 0о(р) и Я„,(р) — дифференциальные операторы, полученные при переходе от (11) к (12), р = с1 /— оператор дифференцирования.

Выделим в (12) сигнал <рл(1) в виде

0=#44^(0 = ■^гтС(')+ПЖ(0

Здесь Ь(р) и — операторы, полученные при выделении целой части в неправильной дробно-рациональной функции

0о(Р) *т(р)

, degТ(р) = у , у -п-т .

Для компенсации неопределенностей зададим сигнал управления и(0 в виде

м(0 = -а

Цр) ЫР)

ао+цркм

(13)

где С(0 ~ °Иенка функции ^(/) , полученная с наблюдателя 12:

|(/) = о0#(/)+я0(<Г(0-<Г(0),

С(0 = ьД0

(14)

В уравнениях (14): £(0 е Яг,

° I

, 1у_, — единичная матрица

^0 =

г-0 0

порядка Г, ¿2/Л ..., ко-

эффициенты ¿/2, ..., с1г выбираются так, чтобы матрица С = была гурвицевой,

Ц =[1, 0, ..., 0], 0 = [йГ„ </2, ..., ¿Г]Т, ц>0 - достаточно малая величина.

Для оценки точности наблюдения введем вектор отклонений

т=г-*(т-т),

где Г = <Каг{//-', цТ'г, ..., ц, 1},

3(о=[<г(о> Ло.-. <Ло] ■

Продифференцировав по времени с учетом уравнения (14), и преобразовав полученный результат в уравнения эквивалентные относительно выхода д(/), получим:

7(0 = ^^7(0 + ^(0. А(0 = ^"'^(0 (15)

где 77,(/) = 7,(0 — первые компоненты векторов //(/) и ?7(/) соответвенно, ¿ = [1, 0, ..., О]1.

Принимая во внимание уравнения (13), (14) и (15), уравнение (6) преобразуем к виду

¿(0 = ао£(0+^']ВЛА(0, е(/) = 1,5(0, (13) где Д(0 = [71(0,7,(0,-,7,(г)(0Г;

Я — вектор, составленный из коэффициентов оператора Q0 (р) и записанных в обратном порядке.

Утверждение. Пусть выполнены условия предположений 1—5. Тогда существуют числа а > 0 и //0 > 0 такие, что при /л< система управления (10), (13), (14) обеспечивает выполнение целевых условий (3).

Доказательство утверждения аналогично доказательству утверждения в 9,1°, поэтому здесь не приводится.

Ниже на рис. 2 представлена общая схема робастного близкого к оптимальному управления ректификационной колонной.

Примеры моделирования. Рассмотрим модель ректификационной колонны (1), которая содержит семь тарелок с входным потоком /\ поступающим на четвертую питающую тарелку 1,г. Такая колонна предназначена для разделения бензино-толуоловой смеси.

Согласно 1,2, параметры в эталонной модели (2) определим в виде:

0135 0,0063 0 0 0 0 0 0 0 0 0

029 -0,0436 0,0168 0 0 0 0 0 0 0 -0,049

0 0,029 -0,0457 0.212 0 0 0 0 0 0 -0,0908

0 0 0,029 - 0,0502 0,029 0 0 0 0 0 -0,1369

0 0 0 0,027 -0,0626 0,0346 0 0 0 0 -0,1176

0 0 0 0 0,0356 -0,0702 0,0446 0 0 0 -0,1369

0 0 0 0 0 0,0356 -0,0802 0,0548 0 0 -0,124

0 0 0 0 0 0 0,0356 -0,0904 0,0628 0 -0,0892

0 0 0 0 0 0 0 0,0081 -0,0157 0 -0,0123

0 0 0 0 0 0 0 0 -15,224 -5,0086 299,42

0 0 0 0 0 0 0 0,0004 0,0283 0,0084 -0,6868

0 0 0 0 0 0 '

0,533 -0,0005 0 0 0 0

0,0988 -0,009 0 0 0 0

0,152 -0,0014 0 0 0 0

0,1653 -0,0019 -0,1169 0,0086 0 0

Л. = 0,1129 -0,0011 0,1129 0 0 0

0,1023 -0,001 0,1023 0 0 0

0,0736 -0,0007 0,0736 0 0 0

0,0102 -0,0001 0,0102 0 0 0

0 0 0 0 0,6229 1,4409

0,0005 0 0,0005 0 0 0

/. = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 о]

Рис. 2. Схема робастного управления ректификационной колонной

Зададим, также, в эталонной модели (2): ги (0 = 0.05608, /„(/) = 0.08[1 1 1 1 lf и ;с(0) = 0.

Отметим, что при исследовании модели ректификационной колонны, представленной первым уравнением в 1 с параметрами (14), выявлено, что только передаточная функция по выходу ym{t) и задающему воздействию r{t) — минимально-фазовая передаточная функция. Поэтому в этой статье, в силу предположения 3, строится система регулирования качеством верхнего продукта (ректификата).

Очевидно также, что передаточная функция по выходу ym{t) и задающему воздействию r(t) — устойчивая с относительной степенью у = 1.

Цель управления состоит в разработке алгоритма управления, обеспечивающего выполнение целевых условий (3) и ограниченность всех сигналов в системе управления.

Согласно зададим в (4) <7=0.008, г=0.2. Тогда

7 = /(0.008^(/) +0.2^(0) Л (15)

о

Сформируем уравнение номинального объекта управления (4). Для номинального объекта (7) с параметрами (12), перепишем критерий качества (15) и сформируем закон оптимального управления (8) в виде

о

ио(0 = -г-'В'тН£(1).

Зададим « = 0,01 и введем вспомогательный контур (10):

¿а(О = ДА(О + 0.04Яиу(О, еа(0 = Ь£а(П, £а(0) = 0.

Для оценки производных сигнала <£"(/) воспользуемся фильтром (14), где ¿) = [г/„ с12]т = [2, 1]т, // = 0,02. В результате, наблюдатель определится в виде

£(/) = -£(О-2-50(£(/)-аО). £(О = -1-502 (£(/)-<(')),

Воспользовавшись уравнениями наблюдателя, сигнал управления (13) можно записать как

и( 0 = -100 [18.762£ (0 + 0.405 £ (/) -

5.75-10-у + 3.53-10'У+ 1.9Ы0"У + ри1 + 6.18р10 + ЗЛбр9 + 0.984/?8 + 0.1 Ар1 + +4.27-10"4/?6 +4.86-10"У -ьЗ-Ю"6р* + +0.012р6 + 5.96 10~4р5 +1.81 10"5/?4 +

+9.97 • 10"8 р* +1.68 • 10''У +1.27 • 10'" р + 3 • 10"14 +3.23-10"У+ 3.2-10~У+ 1.62-10~> + 3-10-14

Пусть данные в ректификационной колонне (1) следующие (см. ниже).

Легко посчитать, что ректификационная колонна с такими параметрами неустойчива. На рис. 3 приведены результаты моделирования по выходу _у(/), на рис. 4 по ошибке е(/) и на рис. 5 для ет (/) - е(/) .

0.8 0.6 0.4 0.2 0

Л о ! Г——

---1-- 1, с

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Рис. 3. Переходные процессы по у(()

Результаты аналитических расчетов и численного моделирования показали, что значение критерия (15) для номинального объекта при подаче на вход оптимального управления приблизительно составляет 0.3555, для объекта (1) приблизительно 0.3607 (если бы в критерии качества вместо сигнала ет(() был бы е(0 ). То есть параметрические и внешние нео-

А =

-0.0135 0.0063 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0823 0.0097 0.0701 0.0533 0.0533 0.0533 0.0533 0.0533 0.0533 0.0533 0.0533

0.0988 0.1278 0.0531 0.12 0.0988 0.0988 0.0988 0.0988 0.0988 0.0988 0.008

0.152 0.152 0.181 0.1018 0.1018 0.152 0.152 0.152 0.152 0.152 0.0124

0.1653 0.1653 0.1653 0.1923 0.1027 0.1999 0.1653 0.1653 0.1653 0.1653 0.0477

0.1129 0.1129 0.1129 0.1129 0.1485 0.0427 0.1575 0.1129 0.1129 0.1129 -0.024

0.1023 0.1023 0.1023 0.1023 0.1023 0.1379 0.0221 0.1571 0.1023 0.1023 -0.0217

0.0736 0.0736 0.0736 0.0736 0.0736 0.0736 0.1092 -0.0168 0.1364 0.0736 -0.0156

0.0102 0.0102 0.0102 0.0102 0.0102 0.0102 0.0102 0.0183 -0.0055 0.0102 -0.0021

0 0 0 0 0 0 0 0 -15.224 -5.0086 299.42

0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0009 0.0288 0.0089 -0.6863

5 = 3

0

0,533 0,0988 0,152 0,1653 0,1129 0,1023 0,0736 0,0102 0

0,0005

Е = 2

0

-0.0005 -0.009 -0.0014 -0.0019 -0.0011 -0.001 -0.0007 -0.0001 0 0

0 0 о о

-0.1169 0.1129 0.1023 0.0736 0.0102 0

0.0005

0 0 0 0

0.0086 0 0 0 0 0 0

0 0 0 о о о о о о

0.6229 0

0 0 0 0 0 0 0 0 о

1.4409 0

х(0) = [0.5 0.8 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5]7 ,

/(0 = (1 + 2яп/, 0.2 + 2яп1.5г, 1 + 2зт2/, 1 + 2апЗ/, 1+2зт0.5*] +и>,

— белый шум.

пределенности в (1) практически не сказываются на результатах переходных процессов. Отметим, что качество переходных процессов зависит от коэффициента а во вспомогательном контуре (10) и законе управления (13), а также величины т в наблюдателе (14). Важно отметить, что реализация системы управления и расчет параметров в ней значительно проще по сравнению со схемой управления неопределенными процессами ректификации в 6, а по сравнению с 1>5, позволяет управлять неопределенным процессом ректификации.

1

0.5

-0.5

e(t) \

-i---- il 1 с

О 100 200 300 400 500 Рис. 4. Результат моделирования по e(t)

-3

2 0 •2 -4 -6 -8 -10

х 10

em(t)~e )

t, с

2000

4000

SOOO

8000

Рис. 5. Результат моделирования по вт(0 —

В статье предложен алгоритм робастного управления ректификационной колонной близкого к оптимальному, математическая модель которой подвержена воздействию параметрических и внешних неконтролируемых возмущений. Задача решалась с использованием метода вспомогательного контура, впервые предложенного в 8 и обобщенного для субоптимального управления в 9,1°. Цель управления состояла в синтезе непрерывного закона управления, обеспечивающего слежения выхода

ректификационной колонны за эталонным сигналом, а также слежение ошибки слежения за некоторым ее номинальным значением, который ведет себя оптимально в соответствии с поставленным критерием качества. Моделирование показало хорошие показатели качества переходных процессов и подтвердило результаты аналитических расчетов.

В отличие от работы 6, здесь предложен алгоритм, который прост в технической реализации и расчете настраиваемых параметров, а также обеспечивает лучше показатели качества переходных процессов при любых типах возмущений, действующих на объект управления из указанного класса. Причем, в отличие от 1,5 представленный регулятор позволяет обеспечить управления близкое к оптимальному, когда модель ректификационной колонны подвержена воздействию неконтролируемых внутренних и внешних возмущений.

Литература

1. Буяхияуй К., Григорьев Л., Лаауад Ф. // Автоматика и телемеханика,— 2005.— №2.— С. 36.

2. Khelassi A. Analysis and assessment of interaction in process control systems, PhD Dissertation, University of Nottingham, England.— 1991.

3. Tanaka K., Wang H. O. Fuzzy control systems analysis and design: A linear matrix inequality approach.- N. Y.: Wiley.- 2000.

4. Tanaka K., Tainguchi T., Wang H. O. Fuzzy control based on quadratic performance function // In 37th IEEE Conf. Decision Contr., 198. Tampa, FL. P. 2914-2919.

5. Афанасьев В. H., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления.— М.: Высш. шк., 2003.— 614 с.

6. Skogestad S., Morari M., Doyle J. // IEEE Transaction on Automatic Control.— 1988.— V. 33, №12,- P.1092.

7. Буков В. H. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем.— Калуга: Издательство научной литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006,- 720 с.

8. Цыкунов А. М. // Автоматика и телемеханика.-'2007,- №7,- С. 103.

9. Фуртат И. Б. // Мехатроника, автоматизация, управление.— 2009. №7,— С.7.

10. Фуртат И. Б. // Промышленные АСУ и контроллеры.— 2010.— №3,— С.16.

11. Методы классической и современной теории автоматического управления. Теория оптимизации автоматического управления / Под ред. Пупкова К. А. и Егупова Н. Д.— М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, Т.4, 2004 - 744 с.

12. Atassi А. N.. Khalil H. К. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1999,- V.44, №9 - P. 1672.

Работа при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-пе-дагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы.