CC BY
10Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 4. С. 671-696. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 531.36:534.1 М8С 2010: 34М10, 70К65
Малые плоские колебания спутника на эллиптической орбите
П. С. Красильников
Исследуется уравнение плоских нелинейных колебаний спутника на слабоэллиптической орбите, содержащее два малых параметра. Исследованы различные виды редукций уравнения колебаний, приводящие его к случаю одного малого параметра. Описаны недостатки такого подхода. На основе обобщенного метода усреднения с независимыми параметрами получены новые эффекты вращения спутника при внешнем и параметрическом резонансах.
Ключевые слова: независимые параметры, усреднение, малые колебания, редукции
Основы теории малых нелинейных колебаний небесных тел на слабоэллиптической орбите заложены в работах Лапласа, Тиссерана, Рауса [1—3], занимавшихся теорией движения Луны относительно ее центра масс. Были исследованы различные типы либраций Луны, амплитуда которых имеет первый порядок малости по е. Первые исследования вращательных движений искусственных спутников Земли на эллиптической орбите при е ^ 1 проведены в статьях [4-7]. Они повторяют в основном результаты классических исследований, когда анализ эксцентриситетных колебаний основан на уравнениях линейного приближения. В работах [8, 9] содержится вывод строгих уравнений плоских колебаний спутника на эллиптической орбите и уравнение малых колебаний, исследованы эксцентриситетные колебания в первом приближении метода усреднения, построена область параметрических колебаний. Резонансные эксцентриситетные колебания исследовались в работах [10, 11]. Работа [12] посвящена исследованию квазилинейных нерезонансных колебаний спутника, статьи [13, 14] содержат результаты исследований, когда в качестве независимой переменной принята средняя аномалия, при этом уравнения движения разлагаются в ряды Тейлора и Фурье, колебания спутника описываются с точностью до е2. Подробный обзор цитируемых работ дан в монографии [15]. Большой цикл работ [16-20] посвящен изучению периодических вращений спутника.
Получено 23 апреля 2013 года После доработки 5 сентября 2013 года
Красильников Павел Сергеевич кгаБИОбйгашЫег .ги
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) 125871, Россия, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4
При исследовании малых колебаний обычно предполагают (по умолчанию) наличие связи между малыми параметрами e и е, где e — эксцентриситет орбиты, е — мера отклонения фазовой точки от начала координат, определяемая как отношение характерного размера по угловым переменным и скоростям к фиксированным единицам измерения (заданным в системе SI, CGS или MKS). К примеру, во всех рассмотренных выше работах полагается е ~ e, то есть е = ae, где а — постоянная величина порядка единицы. Однако наиболее интересные резонансные эффекты вращений спутника были обнаружены в работе [21] вдоль кривой е = el/'3: исследована задача о существовании, бифуркациях и устойчивости периодических движений спутника с периодом, равным периоду обращения его центра масс по орбите.
Цель настоящей работы — провести сравнительный анализ асимптотических методов интегрирования уравнения плоских колебаний спутника (как использующих редукцию, так и свободных от редукции), описать новые эффекты вращений спутника на основе обобщенного метода усреднения с независимыми малыми параметрами [23].
1. Виды редукций уравнения Белецкого
Исследуем уравнение плоских колебаний спутника
(1 + есо$и)(Щ- - 2е sin + 3??2sin¿ = 4esinz/. (1.1)
dv2 dv
Здесь приняты следующие обозначения: и2 = (A — C)/B, A, B, C — главные центральные моменты инерции аппарата, e — эксцентриситет орбиты спутника, 5 — удвоенный угол между радиус-вектором центра инерции аппарата и осью z, направленной по его главной центральной оси инерции, относительно которой момент инерции равен C, v — истинная аномалия.
Полагаем значение 5 малым: ó = eó, ó' = eó . Здесь 5,5 — величины порядка единицы, £ — малый параметр. Тогда колебания спутника будут описываться сингулярно возмущенным уравнением
е(1 +ecosí/)-^|-2etsinz/4^ + w2sin(t¿) = 4esinz/, uj = лДп. (1.2)
dv2 dv
Линеаризуя это уравнение по еб, получим уравнение малых колебаний
(1 + ecos и)Щг — 2esin v^- + шЧ = 4l sin г/, uj = л/зп, dv2 dv £
частным случаем которого (при е = 1) является уравнение линейных колебаний спутника, полученное в работе [8].
Рассмотрим редукции задачи, приводящие уравнение (1.2) к виду, содержащему один малый параметр. Будем считать, что однопараметрическое семейство кривых f (е, е, а) = 0, f (0, 0,а) =0 (а — параметр семейства), покрывает всю плоскость параметров {е, е}, когда а пробегает область допустимых значений Л. Вдоль каждой кривой семейства уравнение (1.2) зависит от одного малого параметра.
Поделив уравнение (1.2) на (1 + еcos v), разложим его в ряд по малым параметрам е, е. С этой целью представим функции (1 +ecosz/)-1 и sin(t^) в виде рядов:
1
1 + е cos v
E(-1)r
MeS) = £(-1)
(eS)
2k+1
n=0 k=0
Принимая во внимание формулу Коши произведения рядов
те /к \
a.sbk-s
(2k + 1)!
те те
i=0 j=0 к=0 \s=0
получим, после преобразований, уравнение плоских колебаний спутника в виде ряда по независимым малым параметрам е, е:
б" + си26 = 2 sin г/ (еб' + ^(-1)гае'г cos" г/
n=0
— W
Е
к=1
(-1)к cosk V
ek-s£2sfs+l
к
^'cos"i/(2s + 1)!
s=0 v '
(1.3)
Параметр ¡л = е/е будем называть сингулярным, так как его значение не определено при е,е ^ 0. Уравнение (1.3) содержит его как величину нулевого порядка, поскольку сумма показателей е и е равна нулю. Такое определение порядка малости ¡л является формальным, не учитывающим его сингулярный характер. Ниже покажем, что порядок малости ¡(е, е) как функции двух независимых параметров определяется условием полосы и, как следствие, зависит от асимптотического поведения в нуле границы области изменения аргументов. Поэтому для разных областей в плоскости параметров е, е будем иметь разные порядки ¡. Аналогично, порядок малости параметра ¡, ограниченного на любую кривую из семейства редукции, зависит от асимптотики этой кривой в нуле, при этом он будет отличаться, вообще говоря, от порядка малости ¡л как функции двух переменных (неинвариантность порядка малости функции двух переменных по отношению к редукции).
Удерживая члены до третьего порядка малости включительно по е и е, будем иметь:
5 + и2 5 =4/л sin v + е 25 sin v + и2 5 cos v — 2/j, sin 2v
+ Щг U2t-
e
+ e
5 sin 2v + u)26 cos2 v — 4ц cos2 v sin v
+
(1.4)
26 cos2 v sin v + uj26 cos3 v — 4ц cos3 v sin v
2W2T3 — ее —6 cos и. 6
Для приведения уравнения (1.4) к регулярному случаю необходимо исключить (в плоскости малых параметров) особую прямую е = 0 вместе с малой окрестностью. Для этого достаточно потребовать, чтобы при определенных значениях а кривые редукции «плотно» прилегали к этой прямой, формируя означенную окрестность при условии отсутствия касания их с прямой е = 0 в нуле. В случае касания имеем е = о(е), поэтому л ^ ж при е ^ 0 вдоль кривой редукции; следовательно, ¡л сохраняет сингулярность и за пределами указанной окрестности.
Отметим, что параметр е играет существенную роль при исследовании малых колебаний спутника, несмотря на то, что исходное уравнение (1.1) не содержит его явно. Дело
к
в том, что для большинства редукций задачи укороченные уравнения, содержащие первые главные члены регулярных разложений, имеют разный вид в зависимости от величины е. Увеличивая е непрерывным образом, получим переход от одного вида уравнений к другому. Уменьшая е (при фиксированном е = 0), попадаем в сингулярную окрестность прямой е = 0, где необходимо использовать теорию сингулярных возмущений.
Исследуем подробно различные виды редукции. Для начала рассмотрим простейший ее тип.
1.1. Линейная редукция
Положим
е = ае,
где а — постоянная положительная величина, меняющаяся в пределах от нуля до бесконечности (напомним, что е и е — положительные величины). Пусть а* — достаточная малая константа. Тогда параметр ц = 1/а всюду в плоскости малых параметров, за исключением узкой конической окрестности 0 ^ е < а*е сингулярной прямой е = 0, имеет порядок малости, равный единице, так как удовлетворяет условию полосы 0 ^ у ^ 1/а*.
Здесь следует отметить, что понятие малости ц как функции двух аргументов е, е мы определяем через условие полосы, так, как это сделано в работах [22, 23].
Определение. Функцию ¡л(е, е) будем называть функцией к-го порядка малости по е, е, если для любых малых положительных ¿1, 52 существуют постоянные А\ (¿1, 52) ^ 0, А 2 (¿1, ¿2) > 0 и две скалярные формы к-го порядка
^(е,е) = ^ а*1,32 е31 е32, ^(е,е) = ^ 081>82 е31 е32, «1+«2 = к в1+в2=к
положительно определенные в положительном конусе {е,е: е > 0,е > 0}, такие, что выполняется условие полосы
А1 (51,52(е,е) < \у(е,е)\ < А2(5,2)*2(е,е), (1.5)
когда 0 <е ^ 51, 0 < е ^ 52.
Отметим, что в этом определении можно отказаться от требования полиномиальности , по малым параметрам е, е. Достаточно потребовать, чтобы эти функции удовлетворяли условию однородности:
(1е, 1е) = 1к(е, е), (0,0) =0, ] = 1,2,
где к — любое вещественное число. Тогда определение порядка малости сохранится.
Итак, считаем, что е ^ а*е. Подставим в уравнение (1.4) выражение ае вместо е, получим:
т" от 4 • о + со 8 = ^ эш V + е
—/ 2— 2
28 эш V + и 8 соэ V — — эш 2ь>
е
+ е
т' • ^ 2Т 2 4 2- ГУ2 2тЗ
8 §т2и + со дсоэ и ——сов и —— со 8
а 6
+
(1.6)
—.1 2 • 2Т '-{ 4 '-{ ГУ2 2Т^
28 ссе V эш V + со 8 сов и — — сов и эшг/——со 8 соей
а6
Здесь а ^ а*. Редуцированное уравнение (1.6) зависит от параметра а, однако порядок малости отдельных его членов от а не зависит, следовательно, вид уравнения не меняется при изменении а. Варьируя а непрерывным образом, можно исследовать влияние малых параметров е, е на характер плоских колебаний спутника, но с ограничениями. Дело в том, что линейная связь между е, е делает невозможным исследование колебаний вдоль нелинейных кривых /(е, е, а) = 0, с которыми часто связаны наиболее интересные нелинейные эффекты.
Предельное уравнение имеет вид линейного неоднородного уравнения второго порядка:
т" 9Т 4 • о + сод = ^ вт v.
1.2. Нелинейная редукция в явном виде
Рассмотрим зависимость между малыми параметрами в виде показательной функции
При а > 1 уравнение (1.2) является сингулярно возмущенным (так как ц стремится к бесконечности при e — 0), неравенство 0 < а ^ 1 отвечает регулярному случаю.
Несложно видеть, что если в правой части удержать первый главный член разложения, то редуцированное уравнение имеет, в зависимости от области изменения а, следующие формы представления:
регулярный случай
п ^ « ^ 1 d2Ó , , ,2Т , ;2'2aÓ3 /Л
0 < а < тт —т + LO о = lo е —т, (1.7)
3 dv2 3!
« = ! 0+W2á = e2/3^2|+ 4sin^, (1.8)
1<а< 1 Щ + lo26 = 4е1~а sin v, (1.9)
3 dv2
a = 1 Щ - 2esinz/^ + w2á(l -ecos г/) = 4(1 - e eos г/) sin г/, (1.10)
dv2 dv
сингулярный случай
а > 1, a е [k,k + l) Щ + иЧ = (-l)k~4sm г/ v (к = 1,2,3,...). (1.11)
dv2 ea k
В вырожденном случае, когда e = 0, а параметр а удовлетворяет строгим неравенствам 0 < а < 1 (первые три уравнения), имеем
Щ+ш25 = 0. (1.12)
dv2
Это уравнение описывает малые порождающие колебания спутника на круговой орбите в окрестности положения равновесия 6 = 0. Его легко получить из (1.1) с помощью предельного перехода е ^ 0 и последующего разложения оставшихся функций в ряд по 5.
е = еа.
Случай а = 1 стоит особняком. Его предельное уравнение (e = 0) имеет вид
Щ +шЧ = 4 sin г/, (1.13)
dv 2
отличный от (1.12). Уравнение (1.13) нельзя получить из (1.1) с помощью предельного перехода e — 0 и последующего удержания членов порядка 5, поскольку указанная последовательность действий предполагает выполнения условия а < 1, так как члены уравнения (1.1), содержащие эксцентриситет e сомножителем, должны стремиться к нулю быстрее, чем 5. Уравнение (1.13) можно получить из (1.1), выделяя главные члены порядка эксцентриситета — б", со25 и 4esinz/ (напомним, что 5 = еб).
Заметим, что уравнение (1.13), в отличие от (1.12), нельзя рассматривать как уравнение малых колебаний спутника на круговой орбите. Это уравнение описывает (в первом приближении по малому параметру e) некоторые малые колебания спутника на слабоэллиптической орбите, причем эти колебания никак не связаны с его относительным равновесием, так как ни уравнение (1.10), ни его предельный случай (1.13) не имеют решения 5 = const.
Исследуем области фазового пространства, отвечающие уравнениям регулярного случая. С этой целью рассмотрим отображение фазового пространства на себя
5 = еа6, 6' = eat, е < 1, (1.14)
варьируя параметр а в пределах от нуля до бесконечности. Пусть
К [а, Ъ] = t: а2 +б'2 < Ъ2 }
есть кольцо, принадлежащее фазовому пространству. Здесь a — его внутренний радиус, b — внешний радиус. Полагаем, что a,b ~ 1. В этом случае кольцо K[a,b] будет представлять собой множество точек фазового пространства переменных 8, , отстоящих от начала координат на расстояниях порядка единицы.
Очевидно, что при каждом фиксированном а отображение (1.14) порождает преобразование кольца в кольцо:
K[a,b] — K[eaa, eab].
Кольцо K[eaa, eab] соответствует области в фазовом пространстве исходных переменных 5, 5, удаленной от начала координат на величину порядка ea.
Открытому интервалу 1 < а < соответствует отображение кольца во внутренность круга радиуса eb (ea — 0 при а — ж, если e < 1):
K[a, b] — K[0, eb].
Интервалу 1/3 < а < 1 отвечает отображение K[a,b] — K[ea,e 1/3 b], а интервалу 0 <а < < 1/3 — отображение K[a, b] — K [e1/3 a, b].
Если нанести все эти образы кольца K[a, b] на фазовую плоскость, то получим некоторое семейство G колец, которое схематически можно представить набором соответствующих отрезков оси 5 (см. рис. 1). Кольцо K[m,n] представлено здесь отрезком [m,n]. Из рисунка следует, что
K[ea, eb] = K[0, eb] П K[ea, e1/3b], K[e1/3a, e1/3b] = K[ea, e1/3b] П K[e1/3a, b].
Это значит, что «пограничное» множество K[ea, eb], отвечающее случаю а = 1, принадлежит также областям фазового пространства, для которых 1 < а < ж и 1/3 < а < 1. Аналогично, «пограничное» множество K [e1/3a,e1/3b], отвечающее случаю а = 1/3, принадлежит областям фазового пространства, для которых 1/3 < а < 1 и 0 < а < 1/3.
-•-•-•-•-•-•-•-►
О ea eb е1/5а е1/3Ь a b 8
Рис. 1. Семейство G.
Из этих рассуждений следует, что окрестность начала координат фазовых переменных 5, 5' (точнее, b-окрестность) разбивается на пять кольцевых областей в зависимости от значений параметра а. Кольцу K[0,ea] отвечает укороченное уравнение (1.11) сингулярного случая. Кольцам K[ea, e1/3b], K[e1/3a, b] отвечают укороченные уравнения (1.9), (1.7) соответственно. «Пограничным» кольцам отвечают несколько уравнений одновременно. Так, кольцо K[ea,eb] связано с уравнениями (1.9), (1.10), (1.11), а кольцо K[e1/3a,e1/3b] — с уравнениями (1.7), (1.8), (1.9). Последнее означает, что исследование решений из области K[ea, eb] либо K[e1/3a,e1/3b] можно проводить с помощью любого из трех уравнений, отвечающих выбранному кольцу, только надо следить за тем, чтобы параметр а был близок к а = 1 в первом случае и к а = 1/3 — во втором.
Заметим, что решая задачу Коши для уравнения (1.2), необходимо следить за моментом перехода из одной кольцевой области в другую, поскольку этот переход сопровождается сменой типа укороченного уравнения.
Продолжим анализ уравнений регулярного случая, удерживая в редуцированных уравнениях члены более высокого порядка малости по e. Для этого подставим ea вместо е в уравнение (1.4), получим
б" + и2 8 = 4е1~а sin г/ + е
2ó' sin v + и2 8 eos v
- 2e2-a sin 2v +
+ e2aO¿J__e2 6
8 sin 2v + и 8 eos v
+ 4e3-a cos2 v sin v + (1.15)
+ e3
2б' eos2 v sin v + u28 eos3 v
, d—rv 4 • 1-1-9™ Ll12~F3
— 4e eos v sin v — e ^ —^8 cos v.
6
Рассмотрим случай 0 ^ а < 1/3. Соотношения между малыми параметрами правой части уравнения (1.15) задаются неравенствами
е2« > е1-« > е > е2«+1 > е2-« > е2 > е3-« > е3 > е4-«.
Если ограничиться первыми тремя последовательными членами правой части, то, с учетом этих неравенств, получим
2 jf
Т + и28 = e2oí¿L2_ + 4е1-° sin v + e
6
28 sin v + lo 8 cos v
(1.16)
Дальнейший анализ показывает, что удержание в уравнении (1.4) всех членов до 4-го порядка малости включительно вносит существенные коррективы в уравнение (1.16). К примеру, член 4-го порядка со>2(55£4/120 приводится, с помощью редукции, к виду, содержащему
малый параметр е сомножителем. Этот сомножитель удовлетворяет неравенствам
е2а > е4а > е1'" при 0 < а <
5
е1-а > е4а > е п 1 ^ а ^ 1
5 4
е > е4а > е2 а при ^ < а <
поэтому соответствующий ему член необходимо удержать в правой части уравнения (1.16). Остальные члены уравнения имеют более высокий порядок малости. Тогда укороченное уравнение запишется в виде совокупности уравнений
О < а ^ \ 5
\<а<\
5 + со26 = е
27 _ „2а Ш2б3 , ЛаигЧ^ , д А-а 6 ^ 120 ^
81П V,
5 + со26 = е
2а и2 5
+ 4е
1—(у . Л(\ {¿р1 г-5
ъти + е ,
5 + и2 5 = е
2а
и2Т 6
+ 4с1 а эш V + е ( 25' эш и + сог5 сое и ).
Член шестого порядка ьо25' /7\ также оказывает влияние на уравнение (1.16), когда 0 < < а ^ 1/7, увеличивая число укорочений. Окончательно, уточненное уравнение (1.16) предстанет в виде системы уравнений
0 < а < у
О-ТГО 9 г- 9 т
■ ,2"? _ '2а СО 5 , Ла СО Т5 , „6а СО Т<
5 + и2 5 = е2
6
^ 120 + 7! '
О-ТгЗ О г
/ + иЧ = е2»^ + + 4е1"»
6 120
81П V,
5 + ио25 = е
2Т^ 2а СО 0
6
+ 4е
1—о; . Л(у (х)^1 г-5
а8\пи + е ^^5 ,
у.
+ соЧ = е2а^~ + 4е1"° 8т и+ е Г25' 8т г/ + соЧеов и ).
На этом закончим работу с уравнением (1.16). Если в укороченном уравнении удержать большее число членов (четыре, пять членов, и так далее), то потребуется последующая его корректировка с учетом членов четвертого, пятого, шестого (и выше) порядков по е, е. Основная причина такого эффекта состоит в том, что правая часть уравнения (1.3) содержит ряд
и
-е 5
Й (2* + 1)!
каждый член которого влияет на укороченное уравнение, разбивая фиксированный интервал (0, 1/3) изменения а на все более мелкие части и увеличивая число укороченных уравнений. Вызвано это тем, что е2к = е2ка стремится к единице при а — 0, поэтому каждый член этого ряда проявляет себя как один из главных членов разложения.
Итак, число укороченных уравнений резко возрастает с ростом числа удерживаемых членов, что весьма затрудняет анализ системы. Сложность исследований связана также с нетейлоровским разложением правой части уравнения в ряд по малому параметру е и с принципиальной невозможностью приведения такого ряда к стандартному виду теории возмущений. В самом деле, рассмотрим, к примеру, укороченное уравнение, отвечающее
6
интервалу (1/4,1/3) изменения а. Оно содержит малые параметры вида е2«, е1-«, е. Стандартное представление правой части предполагает наличие малого параметра А, удовлетворяющего условиям
е2« = Ага, е1-« = Ат, е = Ар, где п, т, р — целые числа, подчиненные неравенствам п < т < р. Отсюда явствует, что
р — т
су, =-
3р — п — 2т
поэтому а — рациональное число. Следовательно, при иррациональном значении а приведение последовательности е2«, е1-«, е к стандартному виду невозможно. Предельное уравнение имеет вид линейного осциллятора
á" + w2á = 0. (1.17)
Пусть а = 1/3. Положим А = е1/3, тогда укороченное уравнение, содержащее три главных члена разложения, имеет вид
б" + w2á = А2 sin г/ + ^-f^j + A3 (tf sin г/ + w2á cos г/) -
Правая часть этого уравнения приведена к стандартному виду теории возмущений, предельное уравнение имеет вид (1.17).
Оставшийся случай 1/3 < а ^ 1 исследуется аналогично.
1. Неявный вид нелинейной редукции (а). Исследуем редукции, представленные в неявном виде. Для того чтобы получить уравнение относительно кривых редукции, наложим дополнительное требование на параметр ц: порядок его малости должен быть постоянной величиной во всей области изменения величин е, е за исключением малой окрестности прямой е = 0. Положим, к примеру, этот порядок равным 2/3. Тогда параметр у должен удовлетворять условию полосы
0 < | < Ае2/3 + De2/3 (1.18)
при условии, что форма, стоящая в правой части неравенства, положительно знакоопреде-лена в положительном конусе е > 0, е > 0. Кривые редукции определим равенством
f (е, е) = е - е (Ле2/3 + De2/3) = 0, (1.19)
описывающим одну из границ области (1.18) (другая граница — ось е = 0).
На рисунке 2 изображено семейство кривых, описываемых уравнением (1.19), когда Л =1, а D меняется в пределах от 100 безразмерных единиц до малых отрицательных значений. Кривые покрывают всю плоскость малых параметров, при этом форма
е2/3 + De2/3)
будет положительно определенной при Б > 0 и знакопеременной, если Б < 0. При Б > 0 кривые редукции заметают область, ограниченную сверху кривой е = е1/3, отвечающей
нулевому значению параметра V. В этой области вдоль каждой кривой семейства порядок малости параметра ц равен 2/3. Более того, всюду выше любой из этих кривых ц имеет тот же порядок малости, так как выполняется условие полосы (1.18).
Семейство кривых, отвечающее отрицательным значениям V, принадлежит области, расположенной выше кривой е = е1/3. Вдоль любой из этих кривых условие полосы (1.18) при А = 1, V < 0 теряет силу как определение порядка малости ц. Этот же вывод следует из поведения кривых: они не проходят через нуль и поэтому не могут задавать порядок малости ц в окрестности нуля.
Получим явную зависимость е от е, ограничиваясь положительными значениями параметра V. Разрешим уравнение (1.19) относительно е, рассматривая А, V как произвольные параметры. Легко видеть, что /'£(е,е) =0 в точке е = е = 0, поэтому теорема о неявной функции не применима.
Воспользуемся методом многоугольника Ньютона. Положим к = е1/3, Л = е1/3. Тогда уравнение (1.19) примет вид
д(к, Л) = Ак3Л2 + Бк5 - Л3 = 0. (1.20)
Будем искать решение к = к(Л) в виде
к = с1 Ла + с2Ла2 +----, а2 > а1.
Определим а1, исходя из условия тождественного обращения уравнения (1.20) в нуль при подстановке в него искомого решения:
АЛ2 (с1Ла1 + С2Ла2 + ... )3 + V (с1Ла1 + С2Ла2 + ••• )5 - Л3 = 0.
Раскрывая скобки, видим, что наименьшую степень имеет один или несколько членов, входящих в сумму
Бс51Л5а1 + АЛ2с3Л3а1 - Л3.
Чтобы уравнение (1.20) было тождественно равно нулю, необходимо, чтобы член с наименьшим показателем степени не был единственным, так как иначе этому члену не с чем сократиться. Поэтому а1 следует выбирать так, чтобы среди показателей
5а1,2 + 3а1,3 (1.21)
параметра Л по крайней мере два имели одно и то же значение, остальные показатели должны иметь большие значения. Приравнивая между собой пары показателей, получим следующее множество возможных значений о^:
сц = 1,
3 I
5' 3'
Легко видеть, что только параметр а1 =3/5 удовлетворяет дополнительному условию минимальности значений соответствующей пары {5а1, 3} на множестве показателей (1.21). Очевидно, что уравнение относительно С1 имеет вид
Бе!Л3 - Л3 = 0.
Отсюда следует, что С1 = Б-1/5, поэтому
' \ 3/5
4)
в)
если Б = 0. Для случая Б = 0 имеем е = е1/3.
Построим следующее приближение для кривой е = е(е), когда Б = 0. Для этого положим
к = Б-1/5Л3/5 + г и введем дополнительное обозначение в =
Л1/5.
В новых переменных уравнение (1.20) примет вид
Бг5 + 5Б4/5в3г4 + (10Б3/5в6 + Ав10) г3 + (10Б2/5в9 + 3АБ-1/5в13) г2+
+ (5Б1/5в12 + 3АБ-2/5в16) г + Б-3/5Ав19 = 0.
Ищем решение г в виде
г = ев7.
Если теперь подставить это выражение в последнее уравнение и выделить в каждом из шести его мономов главные слагаемые, получим совокупность членов вида
Бе5в5~<, 5Б4/5е4в3+4^, 10Б3/5е3в6+3^, 10Б2/5е2в9+2^, 5Б1/5ев12+7, Б-3/5Ав19.
Несложно видеть, что при 7 = 7 последние два слагаемых имеют одинаковый показатель степени величины в, минимальный на множестве всех показателей в для выписаных членов. Следовательно, чтобы удовлетворить алгебраическому уравнению относительно г, необходимо сумму последних двух членов положить равной нулю. В результате имеем уравнение относительно е:
5Б1/5 ев12+7 + Б-3/5Ав19 = 0, 7 = 7.
Отсюда следует, что
поэтому
= -Ап-4/5 я = В-1/5Хг/5 _ А Д-4/5Л7/5
= Б~3/5е3/5 - —Б~6/5е13/15 5
(1.22) -3
е
Получим уравнения колебаний спутника вдоль кривых редукции. Для этого подставим найденное значение е в правую часть уравнения (1.3) и разложим ее в ряд по е. Будем иметь
5" + и25= 4D3/5 sinz/e2/5 + ^Asiní/e2'3 + Щ^-8тиеи/15 +
5 25 D3/5
/ ■ ,_3 \ (1-23)
+ (Я- sin „ + „ W „) е + (jff^j sin „ + ^ +
Если рассматривать кривые, изображенные на рисунке 2, то следует положить А = 1, при этом D будет параметром редукции. Заметим, что он входит в знаменатель многих выражений правой части, при этом показатель его степени непрерывно растет. Следовательно, его влияние сингулярно в окрестности точки D = 0: с уменьшением этого параметра необходимо удерживать члены все более высокого порядка малости по е. Предельная кривая е = е1/3, отвечающая значению D = 0, является особой для уравнения Белецкого: вид уравнения вдоль этой кривой резко меняется и принимает форму
ó" + lü25 = е2/3 sin г/ + ^-f^j + е fé sin г/ + lü25 cos г/) - e4/3^¿5 + • • • . (1.24)
Кроме того, если ограничить уравнение на кривые, расположенные в области D < 0, то уравнение теряет силу асимптотического описания движений при е ^ 0, е ^ 0, так как кривые редукции не проходят через тривиальную точку е = е = 0.
Заметим, что первые члены правой части уравнений (1.23), (1.24) образованы из выражения 4fsin(^), поэтому они должны иметь порядок малости, равный 2/3. Справедливость этого замечания очевидна для уравнения (1.24), однако уравнение (1.23) указывает на то, что порядок малости по е равен 2/5. В этом нет противоречия, так как вдоль кривой (1.22) с асимптотикой е = е3/5 параметр f имеет два порядка малости: 71 =2/5 (по е) и 72 = 2/3 (по е). Таким образом, кривые е = е1/3 и е = е3/5 находятся в «двойственном» отношении: вдоль них ц(е,е) имеет один и тот же порядок малости, равный 2/3.
2. Неявный вид нелинейной редукции (в). Рассмотрим теперь однопараметри-ческое семейство кривых, обобщающее нелинейную редукцию е = еа, исследованную выше. Для этого положим
е (е1-а + Ае1-а)
F(e,e)=e- -= 0, А ^ 0. (1.25)
Здесь А считаем заданной величиной, а — параметр редукции.
Из определения порядка малости функции двух переменных следует, что порядок величины f = е/е равен (1 — а) в замкнутой области
(е1-а + Ае1-а)
0 < е./е < -------, (1.26)
' " (1 + А) V '
ограниченной кривой е = 0 и кривой (1.25).
Случай а > 1 отвечает сингулярным значениям f, поэтому полагаем а Е (—ж, 1]. При А = 0 из представления (1.25) следует классическая редукция е = еа с ограничениями в виде 0 < а ^ 1. Таким образом, обобщенная редукция снимает ограничения на область изменения а, считая нижний предел изменения а равным бесконечности.
На рисунке 3 изображено семейство кривых редукции (1.25) при фиксированном значении параметра А, когда величина а меняется в пределах от —то до единицы. При фиксированном значении а область (1.26) расположена выше кривой (1.25).
Получим явное представление кривой Г(е, е) = 0 при а € (—то, 1) (случай а = 1 тривиален, так как имеем е = е). Очевидно, что
дГ е1-а + Ае1-а . . А а дГ (1 — а\ е
а
де 1 + А 1 + А де \ 1 + А / е'
Отсюда следует, что производная от Г по е равна нулю при е = е = 0, в то время как производная от Г по е не определена при е = е = 0, когда 0 < а < 1. Таким образом, функция Г(е, е) неаналитична в нуле, поэтому классическая теорема о неявной функции не применима.
Заметим, что производная от Г по е, вычисленная вдоль кривой (1.25), принимает конечное значение в нуле:
дГ е 1 — а 1 а 1 — а
= I__
1 + А
„ — 1----е =1--;--► 1 при е, £ —0.
де е1 + А г л н ,
1 + А
е1-а + Ае1-а
Это обстоятельство наводит на мысль, что возможно представление е от е в виде ряда по е. Итак, будем искать е(е) в виде формального решения уравнения (1.25), которое мы запишем в виде
е - , е1~а = А > 0. (1.27)
(1+ А) 1 + А
0 1 е
Рис. 3. Кривые редукции при А = 0.1 и а ^ 1.
Заметим, что если из левой части уравнения отбросить второй член, то решение уравнения находится сразу:
А _2-а
е
1 + А
е
При подстановке этой формулы в уравнение (1.27) члены порядка еа2 3а+3 останутся некомпенсированными. Учитывая, что при а < 1
еа2-3а+3 = о (е2-а)
приходим к выводу, что полученная формула для е является первым членом формального ряда решения исследуемого уравнения. Если взять выражение
А1-
„а2-3а+3
(1 + А)2-а
в качестве второго члена ряда, получим, что некомпенсированные члены имеют порядок малости а2 — 3а + 3 + (а — 1)2, более высокий, чем (а2 — 3а + 3 • Следовательно, приближение искомого решения указанными двумя членами ряда имеет асимптотический характер.
Продолжая этот процесс далее, получим следующий вид формального решения (нетейлоровское разложение):
А
е=
2а
1 + А
+
апе
X2 - 3а+3+п(а-1)2
(1.28)
п=0
Здесь
ао
А1-а А1-2а
а,\ = (1 — а)-
(1 + А)2
(1 + А)3—2а'
а2
(1 — а)(2 — 3а) А1-3а
2
(1 + А)4-3а'
Ограничим уравнение Белецкого на кривые редукции (1.28), удерживая первые два члена ряда (1.28) и первые пять главных членов правой части уравнения:
при —то < а <
3 - л/5
8 + ш28 = 4
А
1 + А
е1-а +
А1-
е
а2 - 3а+2
£ 9Т3 6
3 - л/5 1
при —-— < а < -
(1 + А)2-а
1—а ^ / —/ — \
_а2-3а+3 81п V + Ш28 СОви),
А / -/ , -
(1 + А)2
<Г + и28 = 4
А
1 + А
А1-а
е1-а +
А
1а
(1 + А)
2а
.а2 - 3а+2
+ (25'8т1/ + и;25со8 1/) + ^си283,
(1 + А)2-а 6
А ( -!
эш V + --7£'2~а (зш V + и28 сое V ) +
1+ А
ь2 отЗ
при — ^ а < 1
<Г + и28 = 4
А 1 а А1-
Е +
+
1 + А
А1-а
.а2 - 3а+2
А ( -! , -
эш V + --7£'2~а (вт V + и28 сое V ) +
1 + А V
(1 + А)2-а
(1 + А)2-а
-а2-з«+з ^25' 8т V + иЧ сов г/) - 2 (ь3_2° 2г/'
Итак, исследуемое уравнение распадается на совокупность укороченных уравнений, в зависимости от области изменения а. Правые части уравнений представлены нетейлоровским рядом по е.
2
а
Заключение. Анализ редукций уравнения плоских колебаний спутника на слабоэллиптической орбите приводит к следующим выводам.
1°. Редуцированное уравнение не эквивалентно исходному. Как следствие, редукция ведет к потере информации о колебаниях системы, так как редуцированные уравнения не пригодны для исследования движений вдоль произвольных кривых, принадлежащих пространству малых параметров и не включенных в семейство редукции.
2°. Редуцированное уравнение колебаний распадается, как правило, на семейство укороченных уравнений в зависимости от области изменения параметра редукции; число таких уравнений резко возрастает с увеличением числа удерживаемых главных членов разложения.
3°. Представление укороченных уравнений в виде ряда по малому параметру часто имеет нетейлоровский вид, что весьма затрудняет применение методов теории возмущений в приближениях высокого порядка.
4°. Редуцированные укороченные уравнения малых колебаний отвечают разным кольцевым областям фазового пространства. Поэтому необходимо следить за моментом перехода из одной кольцевой области в другую, поскольку этот переход сопровождается сменой типа укороченного уравнения, и сшивать решения в момент перехода.
5°. При редукции невозможно исследовать бифуркации решений модельных уравнений теории возмущений, за исключением вырожденного случая, когда семейство кривых редукции покрывает бифуркационную поверхность (см. [23]).
2. Резонансные колебания спутника при независимых малых параметрах
2.1. Колебания при резонансе ш — 1 = 0
Исследуем малые резонансные колебания спутника, описываемые уравнением (1.2), когда частота и равна частоте вынуждающей силы 4у sin v, то есть и = 1.
Если у = e/e порядка единицы, то есть удовлетворяет условию полосы
где К — любое конечное число, сколь угодно большое, то, проводя усреднение по быстрой переменной V с учетом медленного изменения резонансной фазы, получим уравнение с неопределенным временным средним. Дело в том, что интеграл, описывающий временное среднее, содержит члены вида cos(0 ± Т), cos(0 + 3Т), предел которых не существует при Т ^ ж (Т — верхний предел интегрирования в формуле временного среднего). Причина такого положения дел — наличие секулярных членов в решении порождающего уравнения
Для того чтобы обойти эти сложности, изменим условие полосы, рассматривая ц как малый параметр порядка (1 — 7), где 7 — любое число, меньшее единицы. Это значит, что у удовлетворяет неравенству
0 ^ у ^ K,
= 4у sin и.
dv 2
d2ó
0 ^ у ^ K
(e1-7 + Ae1-Y)
(2.1)
(1 + A)
задающему некоторую замкнутую область в плоскости малых параметров е, е. Эта область лежит выше кривой
e (e1-Y + Ae1-Y - = К—-
(1 + А)
= -- > (2-2)
которая похожа на кривую (1.25). Область сингулярного изменения ц расположена ниже этой кривой. Уменьшая 7 при фиксированном К, имеем увеличение этой области вследствие возрастающего порядка касания кривой (2.2) с осью е в нуле и увеличения максимума кривой. Однако при больших К кривая (2.2) сильно прижимается к оси е. Таким образом, при К ^ 1 всюду в любой области, расположенной выше кривой (2.2), параметр ц будет иметь порядок малости (1 — 7), за исключением очень узкой окрестности оси е = 0, лежащей ниже кривой (2.2).
Будем считать ц и е независимыми малыми величинами, принадлежащими замкнутой области в пространстве параметров ц, е, описываемой неравенством (2.1). Тогда е, как зависимый параметр, вычисляется по формуле е = це. Очевидно, что е — величина второго порядка малости. Уравнение плоских колебаний спутника, с точностью до членов третьего порядка малости, примет вид
8 + 8 = 4¿t sin V + це 28 sin v + 8 cos v + ^—8 . (2.3)
-г!! т
6
Порождающее уравнение описывает гармонические колебания:
/ + 5 = 0.
Введем новые координаты а, 9 по формулам
8 = acos(9 + г/), §' = — asin(0 + и). Тогда уравнения движения примут вид
а' = -f(9, и) sin(9 + и), в' = -1/(0, и) coS(9 + и).
Здесь
2
f(9, и) = 4¿í sin v — ¡xea [2 sinz/sin(0 + и) — cos г/cos(9 + г/)] + ^r«3 cos(0 + г/)3.
Усредненные уравнения первого приближения приводить не будем, так как они описывают хорошо известные колебания при линейном резонансе
б" + 8 = 4¿í sin v, (2.4)
для которого характерно неограниченное линейное нарастание амплитуды колебаний по углу 8.
Рассмотрим второе приближение метода усреднения. Используя символику усреднения стандартной по Боголюбову системы со многими малыми параметрами и считая x = (а, 9), получим
^ = цХoí (ж, и) + е2Х20(х, и) + цеХц{х, и).
Здесь
Х01 (х) =
Хц (х) =
— 4 ЭШ V 8Ш (в + V) 4
--втг/соэ (в + и)
а
Х20 (х) =
а3
--ссе3 (в + и) эт (в + и)
6
а2
-^ГС084 (в + и) 6
а (2 эш V эт (в + V) — соэ V соэ (в + V)) эт (в + V) (2 эт V эт (в + V) — соэ V соэ (в + V)) соэ (в + V)
Проводя усреднение по схеме, описанной в работе [23], получим усредненные уравнения второго приближения в переменных а, в в виде
а' = —2ц, соэ в, 6 - 16'
Система уравнений (2.5) имеет первый интеграл
е2а4 — 128ац вт в = С.
(2.5)
(2.6)
Фазовый портрет системы в переменных а, в для значений параметров ц = 0.004, е = 0.01 изображен на рисунке 4. Жирным выделена сеператриса, отвечающая значению константы С = 0.
Рис. 4. Фазовый портрет при резонансе ш = 1.
Стационарным решениям а — а*, в — в* отвечают уравнения
—2ц соэ в* = 0, 2ц
эт в
* 2 а*
= 0
а* - 16
Отсюда следует, что
в, = £ + Ъг, а* = ±2
(2.7)
2 е2
Константа С*, отвечающая положению равновесия а = а*, в = в*, может быть выражена
как
С* = -192
Кривая сеператрисы имеет две ветви:
а = 0, а = ±4^1-j sin в.
Отсюда следует, что максимальное значение а* амплитуды колебаний в зоне либрации описывается равенством
|а*| =4^5 = 4^. (2.8)
Теперь можем сделать выводы. Малые резонансные колебания спутника в окрестности особой точки ó = 5 = 0 имеют неограниченный характер, если колебания исследовать в линейном приближении (первое приближение метода усреднения). Нелинейные члены, входящие во второе приближение метода усреднения, меняют характер колебаний. Во-первых, появляются зоны либрации, в которых амплитуда колебаний а и резонансная фаза 9 меняются со временем периодически в окрестности стационарной точки (2.7), достигая максимальных значений по амплитуде (2.8) при 9 = 9+. Во-вторых, движения спутника могут быть чисто вращательными, отвечающими непрерывному росту резонансной фазы при ограниченных периодических колебаниях амплитуды а.
Как следует из формулы (2.8), амплитуда колебаний имеет по ц и е порядок малости, равный ( — 1/3). Это значит, что переменная ó = eó достигает величин порядка 1/3 по е, или 2/3 по ц и е.
В то же время, вдоль кривой ц = е2 (e = е3), принадлежащей области (2.1), максимальная амплитуда а* либрационных колебаний и значение а* стационарной точки (2.7) не зависят от е и, следовательно, размах колебаний по углу 5 будет гораздо меньше — порядка е. Более того, вдоль кривой ц = е2+7 (7 > 0) из области (2.1) амплитуда колебаний а стремится к нулю, когда е — 0! Такое «аномальное» поведение системы в окрестности сингулярной точки 5 = 5' = 0 объясняется преобладанием (вдоль указанной кривой) нелинейного члена
_2 " _/ _
e2ó /6 над слагаемыми 4ц sin и, ¡де 25 sin v + <S cos v , поэтому уравнение колебаний (2.3)
принимает вид возмущенного уравнения Дуффинга.
Все это означает, что размах колебаний при резонансе и = 1 существенно зависит от соотношений между малыми параметрами ц, е (e, е соответственно), несмотря на то, что колебания по углу 5 зависят только от параметра e; как следствие, формулы, описывающие эти колебания, могут быть приведены к виду, не содержащему е явным образом.
Результаты по исследованию резонанса и = 1 методами усреднения с одним малым параметром e описаны в работе [24]. Сравнительный анализ результатов исследования приводит к следующим выводам.
1. Исследования В.В.Белецкого относятся к случаю е = 1 (уравнения (2.3), (2.5) совпадают с соответствующими уравнениями из [24] при е = 1).
2. Как следствие, уравнения (2.5), описывающие колебания во втором приближении метода усреднения с двумя малыми параметрами ц, е, совпадают с усредненными уравнениями первого приближения цитируемой работы.
3. Исследования колебаний с двумя независимыми малыми параметрами содержат описание новых эффектов, обусловленных влиянием е: увеличение максимальной амплитуды колебаний а* в зоне либрации с уменьшением е (при фиксированном ц), что непосредственно связано с явлением внешнего резонанса в малой окрестности точки 5 = 5' = 0;
наличие «аномальных» кривых в плоскости параметров f, е (в плоскости параметров e, е соответственно).
Отметим также, что подробное исследование влияния параметра е на резонансные колебания спутника описано в работе [21], когда малые параметры связаны равенством е = e1/3.
2.2. Колебания при резонансе 2w — 1 = 0
Исследуем колебания спутника в первом и во втором приближениях метода усреднения, когда частота и его собственных колебаний равна половине частоты вынуждающей силы 4f sin v, то есть и = 1/2. С этой целью представим уравнение (1.4) в упрощенном виде, предполагая параметр f величиной нулевого порядка малости: 0 ^ f ^ K, где K — постоянная, достаточно большая величина. Удерживая члены до второго порядка малости включительно, получим:
б" + и2 8 = Ац sin v + е 2б' sin v + и28 eos v — 2¿t sin 2v
F2 2t3 + ¿ -
6
e
8 sin 2v + uj28 eos2 v — 4¿t eos2 v sin v
(2.9)
Здесь, в отличие от резонанса и = 1, возмущающий член 4f sin v не является резонансным, поэтому порождающее уравнение берем в виде
—г// 2Т Л
8 + и 8 = 4f sin v. Его решение описывает периодические колебания вида
8 = a cos р +
4f
и21
sin и, 8 = —аш sin р +
4f
и21
cos v,
где р = ши + ро.
Используя эти равенства как замену переменных 8,8 —>■ а, р, приведем уравнения колебаний (2.9) к следующей форме:
da 1 ,./ ч • dp 1
= - v. v) sm V, ^ = w - m¿f(a> v) eos v?.
(2.10)
Здесь
f (a,p,v) = e
—2аш sin г/ sin ip --^ sin 2г/ + w2o; cos г/ cos y?
и21
+ e2
4^(1 + 2¿t) . 2 2 2
---sm v cos v — to cos v a cos p
и21
+ е
2 UT_ 6
a cos p +
4f
au sin2v sin p—
3
и21
sin v
Вводим в рассмотрение резонансную расстройку А = 2ш — 1 (А = е7, 0 ^ 7 ^ 1) и резонансную фазу 9 = 2р — V, медленно меняющуюся со временем. В новых переменных а, 9 уравнения колебаний будут иметь вид (2.10) при условии замены р на (9 + V)/2, замене первого слагаемого в уравнении по р на А с удвоением второго слагаемого.
2.2.1. Первое приближение метода усреднения
Для того чтобы получить усредненные уравнения первого приближения, удержим в функции (2.10) члены первого порядка малости. После усреднения правых частей по V, получим систему уравнений, не содержащую е:
dv 4
dv 2
Учитывая, что и = (А + 1)/2, первый интеграл усредненных уравнений примет вид
а2 [-4А + e cos в (А - 3)] = C. (2.11)
Сначала рассмотрим случай строгого резонанса, когда резонансная расстройка А равна нулю. Тогда амплитуда колебаний будет зависеть от в следующим образом:
a=W- С
3e cos в
Отсюда следует, что при 9 = п/2 + кп амплитуда а принимает бесконечные значения, что приводит к недопустимой раскачке колебаний спутника. Можно показать, что амплитуда колебаний растет со временем по экспоненте при любом малом е, поэтому колебания являются параметрическими.
Если изменить частоту и таким образом, что резонансная расстройка станет отличной от нуля, зона экспоненциального роста колебаний сохранится, а кроме того, появится зона ограниченного изменения а. Действительно, из интеграла (2.11) явствует, что в случае
4А
(3 - А) e
< 1 (2.12)
амплитуда а стремится к бесконечности при 9 ^ 9*, при условии, что значение 9* вычисляется по формуле
4Д
cos в* =
е(А - 3)'
Если неравенство (2.12) выполняется с противоположным знаком, колебания имеют ограниченный характер, так как коэффициент, стоящий при а2 в левой части интеграла (2.11), отличен от нуля при любых значениях 9 и е.
Элементарный анализ показывает, что неравенство (2.12) эквивалентно неравенству
4 - е 4 + е
определяющему область параметрического резонанса.
2.2.2. Второе приближение метода усреднения
Исследуем колебания спутника во втором приближении метода усреднения. Чтобы привести уравнения (2.10) к стандартному по Боголюбову виду, введем дополнительные переменные z, ф по формуле
z = в — ф, ф = Av.
Тогда уравнения (2.10) примут вид
da 1 т-,/ , ч . z + ф + v dz 2 т-,/ , ч z + ф + v dф
= -^Р(а,г, ф,и)8т-1-, ^ = ~^jF(a, z, ф, и) eos-1-, -± = е/З,
dv
dv
где
EV I \ ff z + ф + v F{a, z, ф, v) = f(a,---, v).
Полагая вектор-столбец х равным (а, z, ф)Т, преобразуем эти уравнения к следующему виду:
^ = еХ01 + е2Х2о + е2Хо2.
Здесь приняты следующие обозначения (угол р = (^+ф+v)/2 использован для сокращения записи):
X01 =
2a sin v sin p —
4 sin v sin p —
6f
u(u2 — 1)
12f
au(u2 — 1)
sin 2v — ua cos v cos p
sin 2v — 2u cos v cos p
sin p
cos p
X20 =
и 6 и 3a
в
4f sin v
a cos p H--5—-
и2 — 1
4f sin v
w2-l
a cos p +
sin p
cos p
X02 =
2 (4f(1 + 2f) \
eos v —-- sin v + ojo, cos p \ — a sin 2v sin p
V u(u2 — 1) /
2 (8f (1 + 2f) . |2 . 2 . 2 .
eos v -—z-- sin v + 2oj cos p \ — 2 sin 2v sin p
\au(u2 — 1)
0
sin p
cos p
Проведя усреднение этих уравнений (см. [23]), содержащих два независимых малых параметра е, е, получим усредненные уравнения второго приближения, зависящие только от одного малого параметра е:
de . e , .
— = А--(uj — 2) cos в — со
dv 2 '
в2
+
4e2
|_8 (u2 — 1)2J
e2 ~2
и
(u + 2)2
(2.13)
Здесь в = еa, в = z + ф — резонансная фаза.
3
3
0
8
Уравнения (2.13) допускают интеграл
F(в, в) = в2 (1967e2 + 18в2 + 144еА cos в - 432e cos в - 576А) = C. (2.14)
Рассмотрим случай строгого резонанса: А = 0. Тогда интеграл (2.14) упростится:
С(в, в) = в2 (1967e2 + 18в2 - 432e cos в) = C.
Следует различать два принципиально разных случая колебаний. В первом случае выражение, стоящее в скобках, больше нуля при любых значениях в, а, следовательно, в может меняться непрерывным образом от -то до при этом амплитуда в будет ограничен-
ной функцией резонансной фазы, фазовые кривые незамкнуты. Такое поведение решений усредненной системы возможно только тогда, когда
1967e2 - 432e > 0,
то есть при
е>е„ е. «2
1967'
Во втором случае выражение, стоящее в скобках, может обращаться в нуль при некоторых значениях 9, что отвечает нулевому значению постоянной С. Появляются области на фазовой плоскости, содержащие положения равновесия и замкнутые траектории. Таким образом, характер колебаний усложняется, так как наряду с чисто вращательными движениями предыдущего случая появляются периодические колебания.
Для построения фазового портрета необходимо найти все положения равновесия уравнений (2.13). Проще всего это сделать, если воспользоваться теоремой Рауса, которая утверждает, что если первый интеграл уравнений движения принимает невырожденное стационарное значение в некоторой точке (на некотором многообразии), то эта точка представляет собой положение равновесия системы (интегральное многообразие).
Условия стационарности функции С(в, 9) имеют вид
Щ=Р (72/32 - 864е cos в + 3934е2) = 0,
Щ = 432/32esin0 = 0. дв
(2.15)
Отсюда следует, что
в* = 2кж, ¡3* = \/12е-±|ре2.
Значения 9* = (2к + 1)п мы отбрасываем, поскольку им отвечает комплексное значение амплитуды. Очевидно, условие существование в* задается неравенством е < е*.
Из уравнений (2.15) также следует, что условию стационарности функции С(в,9) удовлетворяет нулевое значение амплитуды в. Это значит, что многообразие в = 0 является интегральным.
На рисунке 5 изображен фазовый портрет колебаний в переменных в, 9. Жирным выделена сепаратриса, отвечающая значению С = 0. Ее параметрическое представление следует из интеграла С(в, 9) = 0:
¡3{в) = ± \/24ecos в —
Отсюда вытекает, что максимальная амплитуда колебаний в зоне либрации вычисляется по формуле
V432е - 1967е2
ßmax(e) —
л/18
Несложно найти стационарную точку этой функции и значение максимума в ней:
ßm ax — ßmax(e*/2) —
36у/3934 1967
— 1.14793.
Интеграл G(ß,9) — C позволяет исследовать эволюцию колебаний при изменении параметра е. Расчеты показывают, что при малом значении эксцентриситета появляется зона периодических движений вблизи оси ß — 0 с максимальной амплитудой колебаний ßmax. Фазовый портрет колебаний имеет вид, изображенный слева на рисунке 5. При увеличении е высота зоны колебаний возрастает, достигая максимума ßmax при е — е*/2. Последующее возрастание эксцентриситета ведет к ее уменьшению вплоть до нулевых значений при е — е*. При е ^ е* зона либрации исчезает; портрет колебаний представлен справа на рисунке 5.
Рис. 5. Фазовый портрет при резонансе 2ш = 1 для случаев в < е+ и в ^ е+
Фазовые кривые уравнений (2.13) описываются равенством
ß(d) — ±
\j432ecos 9 - 1967е2 + \J(432ecos 9 - 1967е2)2 + 72С
6
(2.16)
следующим из интеграла О (в, 9) = С. Отсюда явствует, что изменение 9 на 2кп радиан сохраняет значение амплитуды в, поэтому случай монотонного изменения 9 (см. незамкнутые кривые на рис. 5) будем рассматривать как периодический, так как указанные приращения по 9 сохраняют значения правых частей уравнений (2.13) и мы оказываемся в тех же условиях, что и в начальный момент V = 0 (на цилиндрической фазовой поверхности с локальными координатами в, 9 (0 ^ 9 < 2п) кривые в = в(9) будут замкнутыми).
Вернемся к переменным 5, 5', зависящим от в, 9:
5 = ¡3 cos ® \ V Л--Аё— sm ^
и*- 1
и*- 1
(2.17)
Очевидно, что интегральному многообразию в = 0 отвечает 2п-периодическое решение
8 = 04е sin и, 8' = 4е cos и, ! . 12 1 / . 12
4е
ш2- 1
ш2- 1
(2.18)
стационарным точкам 9 = 2kn, в = в* — 4п-периодические решения
5 = (-1 )k/3* cos £ + sin и, 8' = (-1 )к+1/3*ш sin Щ + - cos и,
ш2 - 1
ш2 - 1
движению вдоль сеператрисы С = 0 — двоякоасимптотическая к (2.18) траектория.
Однопараметрическому семейству в = в(9,с),с = в(0) периодических решений из области либрации отвечают квазипериодические функции §(и), 8' (V), за исключением случая существования рациональных соотношений между периодом Т(с) указанного семейства и периодом изменения функций (2.17) по явно входящему аргументу V. Это соотношение имеет вид
(2.19)
Т(с) = f 4тг,
где р, д — взаимно простые числа.
При выполнении этого равенства переменные 8, 8' будут 4рп-периодическими функциями V. Учитывая, что семейство в = в(9, с) является ляпуновским (интеграл С(@, 9) положительно определен в окрестности 9 = 2кп, в = в* при е < е*), можно воспользоваться известной формулой для вычисления периода Т(с). Тогда из равенства (2.19) находим в(0) = с, интегрируем уравнения (2.13) с начальными условиями в(0) = с, 9(0) = 0; подставляя найденные решения в(V), 9(^) в формулы (2.17), получим 4рп-периодические функции 8^), 8'(^).
Случай монотонного убывания 9 исследуется похожим образом. Пусть Т(С) — промежуток изменения V (С — постоянное значение первого интеграла С(в,9)), по истечении которого угол 9(^) получит приращение, равное (—4п). Тогда если Т(С) кратен 4п, то 8(^), 8'(^) — 4п-периодические функции V. Таким образом, условие периодичности решений есть
Т (С) = 4кп, если Т(С) при этом вычисляется по формуле —4п
Г
d9
о A--(w-2) cos в-и
в(9)2
+
4е2
8 (ш2 - 1)2
2
ш
(и+ 2 У 8
вытекающей из уравнений (2.13) после разделения переменных. Здесь в(9) вычисляется по формуле (2.16).
Поскольку в областях монотонного изменения 9 характерный размер угла в составляет величины порядка единицы, из равенства (2.17) следует, что замкнутая фазовая кривая 8' = 8'(8), удовлетворяющая условию периодичности, близка по форме к эллипсу
¿2 8>2
02 (М2
= 1.
Теперь можем сделать выводы. Исследование малых колебаний на основе обобщенного метода усреднения с независимыми параметрами дает полную информацию о колебаниях
2
е
спутника в первом и втором приближениях метода усреднения. Точность приближения есть величина второго порядка малости по малым параметрам на асимптотически большем промежутке времени порядка 1/||(ц,е)|| в случае резонанса и = 1 и на промежутке времени порядка 1/||(е,е)|| при резонансе и = 1/2. Результаты исследований свободны от редукции, содержат дополнительную информацию (в сравнении с классической схемой усреднения) о влиянии малого параметра е на характер колебаний при резонансе и = 1.
Список литературы
[1] Laplace P. S. Traité de la Mécanique Céleste: T. 2. Paris: Duprat, 1799. 382 pp.
[2] Tisserand F. Traite de la Mecanique Celeste: T. 2: Theorie de la figure des corps celestes et de leur mouvement de rotation. Paris: Gauthier-Villars, 1891. 552 pp.
[3] Routh E. J. A treatise on the dynamics of a system of rigid bodies: P. 2. The advanced part. 6th ed. New York: Macmillan, 1905. См. также: New York: Dover, 1955 (reprint).
[4] Baker R. M. L. Jr. Passive stability of a satellite vihicle // Navigation, 1958, vol. 6, no. 1, pp. 64-65.
[5] Baker R. M.L.Jr. Librations on a slightly eccentric orbit // ARS Journal, 1960, vol.30, no. 1, pp.124-126.
[6] Klemperer W. B., Baker R. M.L.Jr. Satellite librations // Astronaut. Acta, 1957, vol.3, no. 1, pp.16-27.
[7] Stocker T. A., Vachino R. F. The two-dimensional librations of a dumbbell-shaped satellite in a uniform gravitational field // Proc. of the Western Regional Meeting of the AAS (August, 1958) / N.V.Peterson, H.Jacobs. (Advances in Astronaut. Sci., vol.3.) New York: American Astronautical Society, 1958. AAS 58-037.
[8] Белецкий В. В. О либрации спутника // Искусственные спутники Земли: Вып. 3 / Л. В. Курно-сова. Москва: АН СССР, 1959. С. 13-31.
[9] Белецкий В. В. Либрация спутника на эллиптической орбите // Искусственные спутники Земли: Вып. 16 / Л.В.Курносова. Москва: АН СССР, 1963. С.46-56.
[10] Бардин Б. С. О ветвлении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова // ПММ, 1999, т. 63, №4, с. 538-548.
[11] Bardin B. S. On nonlinear motions of a Hamiltonian system in the case of external resonance // Rep. Math. Phys., 2002, vol. 49, nos. 2-3, pp. 133-142.
[12] Демин В. Г., Сингх Р. Б. Нелинейные плоские колебания спутника на эллиптической орбите // Космические исследования, 1973, т. 11, №2, с. 192-197.
[13] Schechter H. B. Dumbbell librations in elliptic orbits // AIAA Journal, 1964, vol. 2, no. 6, pp. 10001003.
[14] Liu F.C. Periodic solution of plane libration motion of a satellite // AIAA Journal, 1971, vol.9, no. 7, pp. 1240-1244.
[15] Сарычев В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников. (Итоги науки и техники. Исследование космического пространства, т. 11.) Москва: ВИНИТИ, 1978. 223 с.
[16] Маркеев А. П. К задаче о плоских периодических вращениях спутника на эллиптической орбите // МТТ, 2008, №3, с. 102-115.
[17] Сарычев В. А., Сазонов В. В., Златоустов В. А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования, 1979, т. 17, №2, с. 190-207.
[18] Сарычев В. А., Сазонов В. В., Златоустов В. А. Несимметричные периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования, 1980, т. 18, №1,
с. 3-10.
[19] Брюно А. Д. Семейства периодических решений уравнения Белецкого // Космические исследования, 2002, т. 40, №3, с. 295-316.
[20] Варин В. П. Критические семейства периодических решений уравнения колебаний спутника: Препринт №101. Москва: ИПМ РАН, 1996. 30 с.
[21] Маркеев А. П. Нелинейные колебания спутника при резонансе 1:1:1 // ПММ, 2012, т. 76, № 1, с. 52-68.
[22] Красильников П. С. Метод усреднения как процедура выделения главных членов в рядах решений // Сборник научно-методических статей по теоретической механике / Ю.Г. Мартыненко. Москва: МГУ, 2009. С. 56-68.
[23] Красильников П. С. О нелинейных колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании // ПММ, 2012, т. 76, №1, с. 36-51.
[24] Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. Москва: МГУ, 1975. 308 с.
Small plane oscillations of satellite in an weakly elliptical orbit
Pavel S. Krasilnikov
Moscow Aviation Institute (State University of Aerospace Technolodgies) Volokolamskoe st. 4, Moscow, 125871, Russia krasil06@rambler.ru
The equation of plane nonlinear oscillations of satellite in an weakly elliptical orbit is investigated. Suppose, that equation of motion contains two small parameters. Various kinds of procedure which reduce the equation to one small parameter case are investigated. Lacks of such procedure are described. New resonance effects of satellite's rotation are described with the help of the generalized averaging method with independent small parameters.
MSC 2010: 34M10, 70K65
Keywords: independent parameters, average, small oscillations, reductions
Received April 23, 2013, accepted September 5, 2013
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2013, vol. 9, no. 4, pp. 671-696 (Russian)
