Малые колебания осесимметричного космического аппарата с тросовой системой Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

202 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).

МЕХАНИКА

УДК 531.36+534.1

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ТРОСОВОЙ

СИСТЕМОЙ

© 2008 В.С.Асланов1 Н.Р. Стратилатов2

Рассматривается движение вокруг центра масс осесимметричного космического аппарата (КА) с тросовой системой, предназначенной для спуска с круговой орбиты возвращаемой капсулы. При развертывании тросовой системы направление и величина силы натяжения троса медленно меняются во времени и, если точка приложения силы натяжения не совпадает с центром масс тела, возникает момент, приводящий к колебаниям тела с переменными амплитудой и частотой и стремящийся установить космический аппарата вдоль линии действия силы натяжения троса. Помимо этого момента на вытянутое тело вдоль оси симметрии действует гравитационный момент, который стремиться установить КА вдоль местной вертикали. В предположении о медленном изменении силы натяжения троса по величине и направлению в линейной постановке найдено приближенное аналитическое решение дифференциального уравнения возмущенного движения и получена простая формула для оценки микроускорений, возникающих из-за колебаний КА.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект №06-01-00355)

Ключевые слова: троссовая система, космический аппарат, круговая орбита, линия действия силы, сила натяжения.

1. Постановка задачи

В большинстве работ, посвященных анализу космических тросовых систем, объект исследований — трос и груз, причем спутник рассматривается

1 Асланов Владимир Степанович ([email protected]), кафедра теоретической механики Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П. Королева, 443086, Россия, г. Самара, Московское ш., 34.

2Стратилатов Николай Ремирович ([email protected]), Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ-Прогресс», 443009, Россия, г. Самара, ул. Земеца, 18.

как материальная точка [1—5]. В предлагаемой работе считается, что закон силы натяжения троса и траектория груза, закрепленного на тросе, известны, и изучаются колебания КА как твердого тела под действием силы натяжения троса и гравитационного момента.

Рассматривается движение осесимметричного тела вокруг центра масс в процессе динамического развертывания тросовой системы (ТС) с возвращаемой капсулой. При динамическом развертывании трос выпускается быстрее, чем при статическом развертывании [2,3], и под действием кориолисо-вой силы капсула отклоняется от вертикали, а затем, после того как трос развернут на полную длину, начинается возвратное движение капсулы к вертикали. Переменная по величине и направлению сила натяжения троса создает дополнительный момент, под действием которого спутник совершает нестационарные колебания относительно центра масс, что в свою очередь приводит к возникновению нежелательных дополнительных микроускорений. Определяющее влияние на движение ТС оказывают гравитационные и кориолисовы силы, лежащие в плоскости орбиты КА, поэтому вполне оправданно рассмотрение плоского движения ТС и тела.

Цель работы — получение приближенного аналитического решений уравнения возмущенного движения вокруг центра масс КА с тросовой системой и аналитических формул для определения микроускорений, возникающих на борту КА. Отметим, что подобная задача, без учета гравитационного момента решена в работе [6].

2. Возмущенное движение

Рассмотрим механическую систему (рис. 1), состоящую из КА c центром масс в точке O, троса P\P2 и возвращаемой капсулы P2. Будем считать, что сила натяжения троса мала по сравнению с гравитационной силой, поэтому ее влияние будем учитывать при рассмотрении движение КА вокруг центра масс. В плоскости орбиты введем систему координат Ox\y\, в которой ось Oxi совпадает с местной вертикалью, и связанную со спутником систему координат Oxyz, в которой плоскость Oxy совпадает с плоскостью орбиты, ось Ox направлена по продольной оси КА. Запишем уравнения плоского движения центра масс КА и относительно центра масс, воспользовавшись теоремой об изменении кинетического момента [7] в проекции на ось Oz, перпендикулярную плоскости движения Oxy (на рис. 1 орбита показана штриховой линией) и уравнениями движение тела в центральном поле [8]

3n2

С(а + =--—-(1 + е eos - A) sin a eos а - ТА sin(a - ф),

(I-*2)3 „ (2.1)

§ = 71-5^79 í1 + е cos '

(1 - в2)3'2

Рис. 1. КА с тросовой системой

где а — угол между продольной осью тела и местной вертикалью, ф — угол между линией действия силы натяжения троса и местной вертикалью, Ф — угол истинной аномалии, е — эксцентриситет орбиты; А < В = С — главные компоненты тензора инерции тела в связанной системе координат Oxyz, Т —

величина силы натяжения троса, Д = ОР\ (рис. 1); п = ^уМ/г^, у— универсальная гравитационная постоянная, М — масса Земли, гз —расстояние от тела до центра Земли.

Поскольку ставится задача изучения влияния силы натяжения троса в сочетании с гравитационным моментом на движение КА относительно центра масс, то влиянием эксцентриситета орбиты будем пренебрегать. При реализации космического эксперимента YES2 [9] эксцентриситет орбиты был весьма малым. Пусть сила натяжения троса и угол между линией действия силы натяжения троса и вертикалью — медленно меняющиеся функции медленного времени т = ег, е — малый параметр. С учетом сделанных замечаний перепишем систему (2.1) в виде

а + й(т) вт а - Ь(т) сое а + с зт а сое а = 0,

(2.2)

Д

я(т) = с°8 Ф(т)> Д

Ь( т) = Г(т)— 8111 ф(т),

(2.3)

с = Зп

ВА

С

> 0.

Отметим, что угол отклонения троса от местной вертикали в процессе

развертывания ТС всегда по модулю меньше значения п/2, следовательно, в уравнении (2.2) переменный коэффициент а(т) > 0. Будем полагать, что угол отклонения оси симметрии КА от местной вертикали мал (sin а ~ а, cos а ~ 1), тогда уравнение (2.2) запишется следующим образом

а + (а(т) + cjа - Ь(т) = 0. (2.4)

3. Невозмущенное движение. Порождающее решение

При невозмущенном движении (е = 0) уравнение (2.4) допускает первый интеграл — интеграл энергии

• 2 2 а2 а2

Е = — + (а + с)—— ba = h = const, (3.1)

где a, b, c, h — некоторые постоянные.

Найдем решение уравнения невозмущенного движения, рассматривая только колебательное движение между двумя положениями: а1 = а^ и а2 = атах. Выберем следующие начальные условия:

t = 0 : ао = а2, oto = 0.

Тогда имеем

а2

h = - ba2, (3.2)

где

со = л/а + с. (3.3)

Разделяя переменные в уравнении (3.1) получим

а

■sja^a2 + «¡a + «2

где ao = -œ2, a\ = 2b, = 2h.

С помощью [10] вычислим квадратуру (3.4)

/da ,

i 2 (3-4)

\ an a2 + a a + ao

I b - œ2 a \ со t = arcsin — -

\ Vb2 + 2ЙС02/

a2

и с учетом (3.2) представим порождающее решение — общее решение уравнения невозмущенного движения в виде

b / b \ . .

a{t) = — + a2--т cos(co0- (3.5)

ш2 v ш2'

a

4. Интеграл действия и приближенное решение

Для возмущенной системы с медленно меняющимися параметрами (2.2) представляет интерес рассмотрение интеграла действия [11], который можно представить следующим образом

Та

■Л,

J a2dt, (4.1)

1(т) =

0

где Ta = 2л/ш — мгновенный период колебаний угла а. Возмущенное уравнение (2.4) содержит медленно меняющиеся параметры а(т) и Ь(т), а правая часть этого уравнения равна нулю, тогда согласно [11] интеграл действия (4.1) сохраняет свое значение, т. е. Является адиабатическим инвариантом возмущенного движения

I = const. (4.2)

Воспользуемся решением (3.5) для вычисления интеграла действия (4.1)

Та 2п

I = со2(а2--т) I sin2(co0^? = w(a2--т) I sin2(y)£fy = jTCo(a2--т),

v ш2/ J v ш2/ J v ш2/

00

тогда в силу (4.2) получим

b

л!а + c(a 2--) = const. (4.3)

v a + c!

При возмущенном движении величина силы натяжения троса и ее направление определяются известными медленно меняющимися функциями Т = Т(т), ф = ф(т) [2]. Очевидно, что будут изменяться и амплитудные значения угла отклонения тела от вертикали: ai = a^n, a2 = amax. Эти значения связаны интегралом энергии (3.1)

E(amax, a = 0) = E(amin, a = 0). (4.4)

С учетом этих замечаний и согласно (3.3) перепишем (4.3) в виде

у/а( т) + с(ашах(т)--7~~—) = const-

v а(т) + c >

Разрешая эту формулу относительно amax(T), получим уравнение огибающей кривой максимального угла отклонения КА относительно местной вертикали

const Ь(т)

СщахСс) —

л/а( т) + с а(х) + с'

Воспользуемся соотношениями (2.3) и запишем максимальный угол отклонения КА относительно местной вертикали как функцию силы натяжения и угла отклонения этой силы от вертикали

const л[С

amax(T) =

л/Т(х)А cos ф(т) + Ъп2(В - А) ц

Т (т)Д sin ф(т)

+

Т(т)Д cos ф(т) + 3n2(B - A)'

Минимальный угол отклонения КА относительно местной вертикали определяется из (4.4).

5. Оценка микроускорений на борту КА

Колебательный процесс, возникающий вследствие развертывания тросовой системы, вызывает появление дополнительного ускорения

где = а2г, Wт = а г — нормальное и касательное ускорения (г — расстояние от точки, в которой определяется ускорение, до центра масс КА).

Очевидно, что в точках траектории, соответствующих экстремальным значениям угла отклонения оси симметрии КА от местной вертикали, производная этого угла по времени равна нулю. Тогда оценка полного ускорения будет равна

Заключение

В статье рассмотрено влияние силы натяжение троса в сочетании с гравитационным моментом на движение КА относительно цента масс. Записано дифференциальное уравнение возмущенного движения КА вокруг центра масс и получены весьма простые формулы, позволяющие оценивать углы отклонения продольной оси КА относительно местной вертикали, а также уровень микроускорений, возникающих на борту КА из-за его колебаний.

Литература

[1] Белецкий В.В. Динамика космических тросовых систем / В.В.Белецкий, Е.М.Левин - М.: Наука, 1990. - 329 с.

[2] Zimmermann, F. Optimization of the tether-assisted return mission of a guided re-entry capsule / F.Zimmermann, U. Schottle, E. Messerschmid // Aerospace Science and Technology. - 2005. - V. 9. - №8. - P. 713—721.

[3] Дигнат, Ф. Управление колебаниями орбитальной тросовой системы / Ф.Дигнат, В. Шилен // Прикладная математика и механика, - 2000. -Т. 64. - Вып. 5. - С. 747-754.

[4] Сидоров, И.М. Об использовании тросовых систем для создания постоянно действующего транспортного канала в космическом пространстве / И.М.Сидоров // Полет. - 2000. - №8. - С. 36-39.

[5] Асланов, В.С. Пространственное движение космической тросовой системы, предназначенной для доставки груза на Землю / В.С. Асланов, А.С.Ледков, Н.Р. Стратилатов // Полет. - 2007. - №2. - C. 28-33.

W = (Wx) = (аг) = r[b(T) - (а(х) + с)аШаХ(т)].

[6] Асланов, В.С. Колебания тела с орбитальной тросовой системой / В.С.Асланов // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71. -Вып. 6. - С. 1027-1033.

[7] Суслов, Г.К. Теоретическая механика / Г.К.Суслов - М.;Л.: Гостехиз-дат, 1946. - 655 с.

[8] Белецкий, В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс / В.В.Белецкий - М.: Наука, 1965. - 416 с.

[9] Cartmell, M.P. A review of space tether research / M.P. Cartmell, D.J. McKenzie // Progress in Aerospace Sciences, 44. 2008. - P. 1--21.

[10] Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С.Градштейн, И.М. Рыжик - М.: Физматгиз, 1963. - 1108 с.

[11] Волосов,В.М. Некоторые виды расчетов в теории нелинейных колебаний, связанных с усреднением / В.М.Волосов // Журнал вычисл. математики и мат. физики. - 1963. - Т. 3. - №1. - С. 3-53.

Поступила в редакцию 18/ VIII/2008; в окончательном варианте — 18/VIII/2008.

SMALL OSCILLATIONS OF A AXISYMMETRIC SPACECRAFT WITH AN ORBITAL TETHERED SYSTEM

© 2008 V.S.Aslanov? N.R. Stratilatov4

Motion around a center of mass of a spacecraft with a tethered system, designed to launch a re-entry capsule from a circular orbit is considered. In the deployment of the tethered system the direction and value of the tensile strength of the tether vary and, if the point of application of the tensile strength does not coincide with the center of mass of the body, a moment occurs which leads to oscillations of the body with variable amplitude and frequency. A equation of the perturbed motion of the body about the center of mass under the action of the tensile force of the tether and the gravitational moment is derived. Assuming that the change in the value and direction of the tensile force is slow, approximate and exact solutions of the differential equation of the perturbed motion are obtained.

Keywords and phrases: tethered system, space vehicle, circular orbit, line of action of a force, tighting force.

Paper received 18/ VIII/2008. Paper accepted 18/VIII/2008.

3Aslanov Vladimir Stepanovish ([email protected]), Dept. of Theoretical Mechanics, Samara State Aerospace University, Samara, 443086, Russia.

4Stratilatov Nikolay Remirovish ([email protected]), State Research and Production Space-Rocket Center TsSKB-Progress, Samara, 443009, Russia.